24.2 圆的基本性质（第2课时 垂径分弦）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.2 圆的基本性质 第2课时 垂径分弦 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 学习目标 等腰三角形 平行四边形 矩形 等腰三角形、平行四边形、矩形具有对称性 情景导入 菱形 正方形 菱形、正方形具有对称性，那么圆是否也具有对称性呢？ 圆 O 新知探究 1.在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，如图 ，你发现了什么? 圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线. 易错警示：因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴. O D M A · C 证明：连接OA，OB. 思路点拨：证明⊙O关于CD对称，也就是AM=BM. 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为M． 在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形. 又∵AB⊥CD，∴AM=MB. 即CD是AB的垂直平分线 对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称. B 你能证明你的发现吗？ 根据圆的对称性又能推出圆的哪些性质呢？ 2.在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，如图.把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A ，B是关于直线CD的一对对应点.连接AB，得弦AB ，如图，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系? 直径CD⊥弦AB 新知探究 3.直径CD把劣弧 分成 与 两部分，把优弧 分成 与 两部分，这时 与 ， 与 各有怎样的关系? 新知探究 由上面的探究，我们可以发现并证明如下定理: *垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 几何语言： ∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AE=BE 试着证明垂径定理. *已知:如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，并且CD⊥AB ，垂足为E. 求证:AE=EB ， = (或 = ). 证明：连接OA ， OB ，则OA =OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称. 同理，如果点Р是⊙O上任意一点，过点Р作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称. 当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合， AE与BE重合，点A 与点B重合， 与 重合， 与 重合.因此，AE=EB， 猜想：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E. （1）证明：CD⊥AB （2） 解：(1) 连结 AO、BO，则 AO = BO. 又∵ AE = BE， ∴ CD⊥AB. ∴△AOE≌△BOE(SSS). (2) 由垂径定理可得 与 是什么关系？ 与 呢？ · O D E A B C 我们还可以得到： 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. · O D P A B C ∵ CD 是⊙O 的直径， 数学语言： AP = BP， ∴ CD⊥AB， “不是直径”这个条件能去掉吗？ 不能，圆的两条直径是互相平分的. 例2 如图，☉O中的半径为5cm，弦AB是为6cm，求圆心O到弦AB的距离. 解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E. 弦心距 · O A B E 在Rt△OEA中，有 答：圆心O到弦AB的距离为4cm. 圆心到弦的距离叫弦心距. 课本例题 例3 赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到0.1 m) 分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形. 课本例题 解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作 AB 的 垂线， 交弧AB 于点C，交AB 于点D，则CD=7.2m， 由垂径定理，得 AD= AB= ×37.4=18.7(m)， 设☉O的半径为 R m，在Rt△OAD中， AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7 由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2， 即R2=18.72+(R-7.2)2. 解得R≈27.9. 因此，赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m. 课本练习 1.在半径为 4 cm 的O中,有长为4 cm 的弦 AB. 计算: (1)点0与AB的距离; (2)∠AOB的度数. 解:因为0A=0B=4cm,AB=4cm,则OA=0B=AB,∠A=∠B=∠ A0B=60°. 将点0到AB的距离设为0D,垂足为D,故OD⊥AB, 所以AD=2cm,则0D=(cm). 2.已知:如图,在以0为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C,D两点.求证:AC=BD 课本练习 证明:作OE⊥AB于点E,则根据垂径定理,得AE=BE,CE=DE, 则AE-CE=BE-DE.所以AC=BD. 3. 判断正误: (1)垂直于弦的直径平分这条弦. （ ） (2)平分弦的直径垂直于这条弦 （ ） (3)弦的垂直平分线必过圆心 （ ） (4)平分弦所对弧的直径垂直于这条弦. （ ） 课本练习 √ √ √ × 圆的对称性 1.［知识初练］圆是轴对称图形，有______条对称轴，其对称轴是 __________________________________；圆也是中心对称图形， 其对称中心是______. 无数 圆所在平面内任意一条过圆心的直线 圆心 分层练习-基础 2.下列说法中，不正确的是( ) D A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D.圆的每一条直径都是它的对称轴 20 垂径定理 （第3题） 3.［知识初练］如图，是 的直径，弦于点 ， 则下列结论不一定成立的是( ) B A. B. C. D. 21 （第4题） 4.如图，在中，于点 ，若，， 则 的半径长为___. 5 5.[2024·合肥模拟] 已知点在的弦上， ， ，，则圆心到弦 的距离为___. 3 22 垂径定理的推论 （第6题） 6.如图，的直径过弦的中点 ，且，，则 的长为___. 8 23 （第7题） 7.如图，是的直径，是 的一条弦，与交于点， ， 下列结论：； ；； 中， 一定正确的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 24 垂径定理的实际应用 8. 真实情境 [2024·滁州期末] “圆”是 中国文化中的一个重要精神元素， 在中式建筑中有着广泛的应用，例 1.3 如古典园林中的门洞.如图，某园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口 宽为，则该门洞的半径为____ ． 25 如图是一个残破的圆形玻璃， 弦，半径于点 ， ， 求原圆形玻璃的直径. 解：连接.设原圆形玻璃的半径为 ， 则 . , . 在中, , 即，解得 . , 原圆形玻璃的直径为 . 26 10.是内一点，过点的最长弦长为 ,最短弦长为,则 的长为( ) B A. B. C. D. 分层练习-巩固 11.[2024·芜湖模拟改编] 如图，是 的弦，半径于点，为直径， ，，则线段 的长为_ ___. （第11题） 27 解析： 点拨：连接 ，如图. 是的弦，半径于点 ， . 在 中， ， . ，分别是， 的中点， 是 的中位线， ， 在 中， . 28 （第12题） 12. 如图是一个圆形木制艺术品，记 圆心为.已知的半径为 ，在距离点 的点处发生虫蛀，现需沿过点 的弦 将艺术品裁开，然后用美化材料沿 进行 粘贴，则美化材料（即弦 的长）最少需要 ______ . 29 [2024·南通月考] 如图，在以为圆心的 两个同心圆中，大圆的弦 交小圆于，两点，若 ， . （1）求 的长； 解：如图，作，垂足为点 ，由垂径定理知， 点是的中点，也是 的中点， ， ， . 30 （2）若大圆半径为 ，求小圆的半径. 解：如图，连接， ， 在中，， ， . 又 在中， ， ， 即小圆的半径为 . 31 14.［应用意识］[2024·淮南期中] 我国古代数学 经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁” 的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯 之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是：今有一圆柱 形木材，埋在墙壁中，不知其大小. 如图，用锯去锯木材， 锯口深寸，锯道长尺（1尺 寸）.这根圆柱 形木材的直径是多少寸？ 分层练习-拓展 32 解：由题意可知 ， 为 的半径， 尺 寸. 设 寸， 寸， 寸， 在 中，由勾股定理，得 ， 解得， （寸）, 这根圆柱形木材的直径是26寸. 33 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧 两种辅助线： 连半径；作弦心距 构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程 基本图形及变式图形 课堂小结 常见辅助线：①连半径；②做弦的垂线，构造直角三角形， 有如下关系： A B C D O h r d 垂径定理基本图形计算中的四个变量与两个关系： 1.弦长<m></m>，弦心距<m></m>，半径<m></m>，弓形高<m></m>，这四个变量已知其中 两个可以求其他两个. 2.两个关系：<m></m>；<m></m>. $$