15.1 轴对称图形（6种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

15.1 轴对称图形（6种题型基础练+能力提升练） 一．轴对称图形（共5小题） 1．（2023秋•蚌埠期末）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可． 【解答】解：选项、、均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2．（2023秋•凤阳县校级月考）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：，，选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（2023秋•田家庵区校级期末）某校为庆祝2023年9月23日至10月8日在杭州举行的第19届亚运会，特举办了以《中国加油》为主题的手抄报活动，以下汉字是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：选项、、中的汉字，找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不是轴对称图形，不符合题意； 选项中的汉字能找到一条对称轴，是轴对称图形，符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4．（2023秋•青阳县期末）下列图形是轴对称图形的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：这五个图形都是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5．（2024秋•歙县期中）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有　　条． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：五角星的对称轴共有5条， 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 二．镜面对称（共3小题） 6．（2024秋•凤台县期中）如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是 　 　． 【分析】注意镜面对称的特点，并结合实际求解． 【解答】解：根据镜面对称的性质，如图所示的真实图象应该是． 故答案为． 【点评】考查了镜面对称的知识，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合． 7．（2023秋•谢家集区期中）一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 　 　． 【分析】平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，因此可以把镜中呈现的图片，沿着一条竖直线翻折，看翻折后是怎样的图形． 【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与成镜面对称， 英文单词的中文意思是：数学． 故答案为：数学． 【点评】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 8．（2022秋•谢家集区期中）小明照镜子时，发现衣服上的英文单词在镜子中呈现为“”，则这个英文单词是 　 　． 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与成轴对称． 故答案为：． 【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此题的关键是掌握镜面反射的原理与性质． 三．作图-轴对称变换（共4小题） 9．（2023秋•蜀山区期末）如图，平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形△； （2）画出△向左平移4个单位长度后得到的△； （3）如果上有一点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标是 　 　． 【分析】（1）利用轴对称的性质即可画图； （2）利用平移的性质即可画图； （3）根据平面直角坐标系中点的变化规律可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求； （3）点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了作图轴对称变换、平移变换，平面直角坐标系中点的变换规律等知识，准确画出图形是解题的关键，属于常考题． 10．（2023秋•裕安区校级期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，，请按要求解答下列问题： （1）画出关于轴对称的△，并写出点的对应点的坐标为　　，　　； （2）平行于轴的直线经过，画出关于直线对称的图形△，并写出的坐标为　　，　　． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的△，进而可以写出点的对应点的坐标； （2）根据轴对称的性质即可画出关于直线对称的图形△，进而写出的坐标． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； 的坐标为； 故答案为：，； （2）如图，△即为所求； 的坐标为． 故答案为：7，2． 【点评】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 11．（2023秋•安庆期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，． （1）的面积是 　　； （2）把向下平移4个单位长度得△，请画出△； （3）请画出△关于轴对称的△． 【分析】（1）利用矩形法，将正方形面积减去三个小三角形的面积，即可得到答案； （2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案． 【解答】解：（1）的面积； 故答案为：4； （2）如图，△为所求， ； （3）如图，△为所求， ． 【点评】本题考查了轴对称的性质，平移的性质，以及求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和平移的性质． 12．（2023秋•金安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形△； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标：　 　； （3）请直接写出的面积：　　． 【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征求解； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【解答】解：（1）如图，△为所作； （2）点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； （3）的面积． 故答案为：4． 【点评】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 四．利用轴对称设计图案（共4小题） 13．（2023春•三明期末）如图是正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形称为轴对称图形，这样的白色小方格有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故选：． 【点评】此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法． 14．（2023秋•利辛县月考）如图，是正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有 　　种选择． 【分析】依据轴对称图形的定义进行作图，即可使整个黑色部分图形构成轴对称图形． 【解答】解：如图所示： 使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有3种选择． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 15．（2022秋•谢家集区期中）如图，在的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形． 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示： ． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 16．（2022秋•蜀山区期末）如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复． 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示： 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 五．轴对称-最短路线问题（共4小题） 17．（2020秋•颍州区校级月考）如图，点、在直线外，在点沿着直线从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△、△、、△、△，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为　　 A．不断变大 B．不断变小 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【分析】作点关于直线的对称点，连接交直线于点，当点运动到此点时三角形的周长最短，由此即可得出结论． 【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 两点之间线段最短，且为定值， 当点运动到此点时三角形的周长最短， 这些三角形的周长变化为先变小再变大． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 18．（2023秋•田家庵区校级期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则△周长的最小值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】连接，由于△是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接， △是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， △的周长最短． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 19．（2023秋•颍泉区校级期末）如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，当周长最小时，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、，此时周长最小，推出，进而得出的度数． 【解答】解：延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、． ， 、关于对称，、关于对称， 此时的周长最小， ，， ，同理：， ，， ，， ， ， ， ． ， 故选：． 【点评】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 20．（2023秋•南陵县期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 　　． 【分析】在上取一点，使得，证明得到，进而推出当、、三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，里面面积法求出的长即可得到答案． 【解答】解：在上取一点，使得，如图所示： 平分， ， ，， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长， 的面积为12， ， 又， ， 最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 六．翻折变换（折叠问题）（共7小题） 21．（2023秋•青阳县期末）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在上的点处，已知，，则的长是　　 A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】由轴对称的性质可以得出，，就可以得出，根据直角三角形的性质就可以求出，然后建立方程求出其解即可． 【解答】解：△与△关于对称， △△， ，， ． ， ． ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键． 22．（2024秋•潘集区期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在△外的处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的外角得：，，代入已知可得结论． 【解答】解：由折叠得：， ，， ，，， ， 故选：． 【点评】本题考查翻折的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键． 23．（2024秋•歙县期中）如图所示，在△中，将点与点分别沿和折叠，使点，都与点重合，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据折叠的性质得，，，再根据三角形内角和定理，最后由求的度数． 【解答】解：将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ，， ， ， ， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键． 24．（2023秋•黄山期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【解答】解：由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 故选：． 【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 25．（2023秋•金安区校级期末）如图，在中，点、在边上，点在边上，将沿着翻折，使点和点重合，将沿着翻折，点恰与点重合．结论：①，②，③，④，正确的有 A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③ 【分析】将沿着翻折，可得，，将沿着翻折，则，可得，，可求，． 【解答】解：将沿着翻折，使点和点重合， ，， 将沿着翻折，点恰与点重合， ，， ，④正确； ， ，故③正确； 故选：． 【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质， 26．（2024秋•埇桥区校级月考）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则△的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据翻折的性质得到，再设出未知数，分别表示出线段，，的长度，然后在△中利用勾股定理求出的长度，进而求出的长度，就可以利用面积公式求得△的面积了． 【解答】解：长方形折叠，使点与点重合， ， 设，则， 在△中， ， ， 解得：， △的面积为：． 故选：． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可． 27．（2023秋•临泉县期末）如图，在中，，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，，，则的长为 　　． 【分析】根据折叠的性质以及含角的直角三角形的性质得出即可求解． 【解答】解：将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上， 在中，，，，， ， ． 故答案为：9． 【点评】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键． 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•庐江县校级月考）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是△的　　 A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【分析】根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ， 所以是△的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ， 又因为， 所以， 即， 所以是△的高线． 由图③的折叠方式可知， ， 所以是△的中线． 故选：． 【点评】本题考查轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题． 2．（2023秋•大通区期末）在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且．若，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质即可得解． 【解答】解：， ， ， ， ， 沿着折叠压平，与重合， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用求解更简便． 3．（2024秋•瑶海区校级期中）在△中，将，按如图所示方式折叠，点，均落在边上点处，线段，为折痕．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【解答】解：线段、为折痕， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数． 4．（2024秋•亳州期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，若轴上有两个动点、在的左侧），且，则当取最小值时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点，推出的最小值是，此时位于位置，再利用待定系数法求出的函数解析式，令，求出的值即可确定的坐标，从而解决问题． 【解答】解：将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 的最小值是，此时位于位置， 设的函数解析式为， 则， 解得， 的函数解析式为， 当时，， 解得， ， 故选：． 【点评】本题考查最短路线问题，涉及平面直角坐标系，平移，平行四边形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短，能通过平移将两条线段长的最小值用一条线段表示时解题的关键． 5．（2023秋•裕安区校级期末）如图，将三角形纸片剪掉一角得到四边形，设与四边形的周长分别为，．则正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】根据三角形三边关系和多边形的周长公式作答． 【解答】解：如图，，，且．则： ， 即：． 故选：． 【点评】本题主要考查了剪纸问题，解题时，充分利用了三角形的三边关系，三角形的两边之和大于第三边． 6．（2023秋•黄山期末）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】分别作点关于、的对称点、，连、，交于，交于，的周长，然后得到等腰△中，，即可得出． 【解答】解：分别作点关于、的对称点、，连接，交于，交于，则 ，，， 根据轴对称的性质，可得，，则 的周长的最小值， ， 等腰△中，， ， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△中是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 7．（2023秋•长丰县期末）如图所示，淇淇用一个正方形田字格设计了一个图案，其中部分小三角形已经涂上了灰色，她想再将图案中的①②③④中的一个小三角形涂灰，使得整个图案构成轴对称图形，则应该涂灰的小三角形是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据轴对称的性质使整个图案构成轴对称图形，可得涂灰的小三角形． 【解答】解：要使整个图案构成轴对称图形，应该涂灰的小三角形是④． 故选：． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 8．（2023秋•弋江区期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】作点关于的对称点，连接，交于，作于，可得出，进一步得出结果． 【解答】解：作点关于的对称点，连接，交于，作于， ， 平分， 点在上， ， 的最小值为的长， ， ， ， 的最小值为：6， 故选． 【点评】本题考查了轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 二．填空题（共6小题） 9．（2023秋•萧县校级月考），两点的坐标分别为，，在轴上找一点，使线段的值最大，则点的坐标是 　 　． 【分析】作点关于轴的对称点，则点坐标为，根据三角形三边的关系得到（当点、、共线时，取等号），所以，的值为，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再确定该直线与轴的交点坐标，即点坐标． 【解答】】解：作点关于轴的对称点，如图所示： 则点坐标为， ， ， 当点、、共线时，的值最大， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则，解得， 点坐标为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了轴对称最短路线问题，坐标与图形性质，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 10．（2023秋•安徽期末）如图，在△中，，，，分别是边，上的动点，沿着直线将△对折，点的对称点是点． （1）若，则的度数为 　 　． （2）若’ ，则的度数为 　　 ． 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据三角形外角得出； （2）分两种情况：当在下方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【解答】解：（1）在△中，，， ， ， ， 根据折叠可知，， ； 故答案为：105． （2）当在下方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ， ； 当在下方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ； 综上分析可知，此时或； 故答案为：150或60． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 11．（2023秋•淮南期末）如图，在四边形中，，，，分别在，上． （1）当时，　 　； （2）当周长最小时，　　 ． 【分析】（1）由，得，而，所以，因为，所以，则，于是得到问题的答案； （2）延长到点，使；延长到点，使，连接、，则，，所以，连接交于点，交于点，由，可知当点与点重合且点与点重合时，，此时周长最小，因为，，所以，，而，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）延长到点，使；延长到点，使，连接、， 垂直平分，垂直平分， 点与点关于直线对称，点与点关于直线对称， ，， ， 连接交于点，交于点， ， 当点与点重合且点与点重合时，，此时周长最小， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查轴对称的性质、三角形内角和定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 12．（2022秋•庐江县期末）如图，在中，，，，点为斜边上任意一点，作点关于所在直线的对称点． （1）当时，　 　； （2）的最小值为 　　． 【分析】（1）先由直角三角形性质求出，再根据当时，可求得，从而求得，然后由轴对称的性质可求解； （2）点在边上运动时，点关于对称点运动路径是以为圆，长为半径的半圆弧，所以当点在与半圆的交点时，此时最小，由可求解． 【解答】解：（1）当时，如图， 在中，，， ，， ， ， ， 点关于所在直线的对称点 ， 故答案为：3； （2）点在边上运动时，点关于对称点运动路径是以为圆，长为半径的半圆弧，所以当点在与半圆的交点时，此时最小， ， 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形的性质，轴对称的性质，最短距离问题，由题意得出点关于对称点运动路径是以为圆，长为半径的半圆弧，所以当点在与半圆的交点时，最小是解题的关键． 13．（2023秋•黄山期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为 　　． 【分析】设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：设，根据翻折不变性可知，， ， ， ， ， ， 故答案为72 【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 14．（2022秋•肥西县校级期末）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． （1）若，则　 　度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则　　度．（用含的代数式表示） 【分析】（1）先利用平角定义可得，再利用折叠的性质可得：，然后利用平行线的性质即可解答； （2）利用（1）的思路可得：，再利用平行线的性质可得，然后利用折叠的性质可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， 由折叠得：， ， ， 故答案为：35； （2）设与相交于点， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 由折叠得：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 15．（2023秋•颍泉区校级期末）如图，与△在平面直角坐标系中，且的顶点坐标为、、． （1）画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，关于轴对称的图形△； （2）连结、、，所得到的图形 　　轴对称图形（填是或者不是）；若是，画出它的对称轴； （3）的面积为 　　． 【分析】（1）根据图形平移及轴对称的性质画出△即可； （2）画出△计算边长，画出对称轴即可； （3）根据图形计算即可得出结论． 【解答】解：（1）的三个顶点的坐标分别为、、， 将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，关于轴对称的点的坐标分别为，，， 在平面直角坐标系中依次描出这些点，顺次连接可得△，如图所示： （2），， ， 所以所得图形是等腰三角形，是轴对称图形， 对称轴如图所示． 故答案为：是； （3）如图， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键． 16．（2023秋•桐城市校级期末）如图，网格中小正方形的边长为1，△在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）求△的面积； （2）作出△关于轴对称的△，并直接写出，，三点的坐标． 【分析】（1）运用割补法列式计算，即可作答． （2）先根据轴对称性质，作出点，，三点，再根据平面直角坐标系中的位置，即可作答． 【解答】解：（1）依题意， ， △的面积为； （2）如图： ，，三点的坐标分别是，，， 【点评】本题考查了作图轴对称变换、图形与坐标，掌握其性质是解决此题的关键． 17．（2023秋•利辛县校级期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，． （1）将向右平移5个长度单位，再向上平移1个长度单位，得到△，画出△； （2）画出△关于轴对称的△． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求； 【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 18．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，和△的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和△关于直线成轴对称． （1）直接写出的面积为 　　； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴； （3）请在线段的右侧找一点，画出，使． 【分析】（1）根据割补法求三角形的面积即可求解； （2）连接，，根据网格的特点过，的中点作直线，即可求解； （3）根据轴对称的性质作出，即可． 【解答】解：（1）的面积为， 故答案为：5； （2）如图1，直线即为所求． （3）如图2，即为所求． 【点评】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 19．（2023秋•大通区期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于轴的 对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：（1）△如图所示； （2），，； （3）的面积， ， ． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 20．（2023秋•裕安区校级期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的△，并写出△各顶点的坐标； （2）将向右平移6个单位，作出平移后的△，并写出△各顶点的坐标； （3）观察△和△，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 【分析】（1）要关于轴对称，即从各顶点向轴引垂线，并延长，且线段相等，然后找出各顶点的坐标． （2）各顶点向右平移6个单位找对应点即可． （3）从图中可以看出关于直线轴对称． 【解答】解：（1），，； （2），，； （3）△与△关于直线轴对称． 【点评】本题侧重于数学知识的综合应用，做这类题的关键是掌握平移，轴对称，及坐标系的有关知识，触类旁通． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.1 轴对称图形（6种题型基础练+能力提升练） 一．轴对称图形（共5小题） 1．（2023秋•蚌埠期末）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•凤阳县校级月考）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•田家庵区校级期末）某校为庆祝2023年9月23日至10月8日在杭州举行的第19届亚运会，特举办了以《中国加油》为主题的手抄报活动，以下汉字是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•青阳县期末）下列图形是轴对称图形的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2024秋•歙县期中）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有　　条． 二．镜面对称（共3小题） 6．（2024秋•凤台县期中）如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是 　 　． 7．（2023秋•谢家集区期中）一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 　 　． 8．（2022秋•谢家集区期中）小明照镜子时，发现衣服上的英文单词在镜子中呈现为“”，则这个英文单词是 　 　． 三．作图-轴对称变换（共4小题） 9．（2023秋•蜀山区期末）如图，平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形△； （2）画出△向左平移4个单位长度后得到的△； （3）如果上有一点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标是 　 　． 10．（2023秋•裕安区校级期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，，请按要求解答下列问题： （1）画出关于轴对称的△，并写出点的对应点的坐标为　　，　　； （2）平行于轴的直线经过，画出关于直线对称的图形△，并写出的坐标为　　，　　． 11．（2023秋•安庆期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，． （1）的面积是 　　； （2）把向下平移4个单位长度得△，请画出△； （3）请画出△关于轴对称的△． 12．（2023秋•金安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形△； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标：　 　； （3）请直接写出的面积：　　． 四．利用轴对称设计图案（共4小题） 13．（2023春•三明期末）如图是正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形称为轴对称图形，这样的白色小方格有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（2023秋•利辛县月考）如图，是正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有 　　种选择． 15．（2022秋•谢家集区期中）如图，在的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形． 16．（2022秋•蜀山区期末）如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复． 五．轴对称-最短路线问题（共4小题） 17．（2020秋•颍州区校级月考）如图，点、在直线外，在点沿着直线从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△、△、、△、△，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为　　 A．不断变大 B．不断变小 C．先变小再变大 D．先变大再变小 18．（2023秋•田家庵区校级期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则△周长的最小值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 19．（2023秋•颍泉区校级期末）如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，当周长最小时，则的度数为　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•南陵县期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 　　． 六．翻折变换（折叠问题）（共7小题） 21．（2023秋•青阳县期末）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在上的点处，已知，，则的长是　　 A．12 B．10 C．8 D．6 22．（2024秋•潘集区期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在△外的处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是　　 A． B． C． D． 23．（2024秋•歙县期中）如图所示，在△中，将点与点分别沿和折叠，使点，都与点重合，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•黄山期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•金安区校级期末）如图，在中，点、在边上，点在边上，将沿着翻折，使点和点重合，将沿着翻折，点恰与点重合．结论：①，②，③，④，正确的有 A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③ 26．（2024秋•埇桥区校级月考）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则△的面积为　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•临泉县期末）如图，在中，，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，，，则的长为 　　． 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•庐江县校级月考）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是△的　　 A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 2．（2023秋•大通区期末）在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且．若，则等于　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•瑶海区校级期中）在△中，将，按如图所示方式折叠，点，均落在边上点处，线段，为折痕．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•亳州期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，若轴上有两个动点、在的左侧），且，则当取最小值时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•裕安区校级期末）如图，将三角形纸片剪掉一角得到四边形，设与四边形的周长分别为，．则正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 6．（2023秋•黄山期末）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•长丰县期末）如图所示，淇淇用一个正方形田字格设计了一个图案，其中部分小三角形已经涂上了灰色，她想再将图案中的①②③④中的一个小三角形涂灰，使得整个图案构成轴对称图形，则应该涂灰的小三角形是　　 A．① B．② C．③ D．④ 8．（2023秋•弋江区期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 二．填空题（共6小题） 9．（2023秋•萧县校级月考），两点的坐标分别为，，在轴上找一点，使线段的值最大，则点的坐标是 　 　． 10．（2023秋•安徽期末）如图，在△中，，，，分别是边，上的动点，沿着直线将△对折，点的对称点是点． （1）若，则的度数为 　 　． （2）若’ ，则的度数为 　　 ． 11．（2023秋•淮南期末）如图，在四边形中，，，，分别在，上． （1）当时，　 　； （2）当周长最小时，　　 ． 12．（2022秋•庐江县期末）如图，在中，，，，点为斜边上任意一点，作点关于所在直线的对称点． （1）当时，　 　； （2）的最小值为 　　． 13．（2023秋•黄山期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为 　　． 14．（2022秋•肥西县校级期末）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． （1）若，则　 　度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则　　度．（用含的代数式表示） 三．解答题（共6小题） 15．（2023秋•颍泉区校级期末）如图，与△在平面直角坐标系中，且的顶点坐标为、、． （1）画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，关于轴对称的图形△； （2）连结、、，所得到的图形 　　轴对称图形（填是或者不是）；若是，画出它的对称轴； （3）的面积为 　　． 16．（2023秋•桐城市校级期末）如图，网格中小正方形的边长为1，△在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）求△的面积； （2）作出△关于轴对称的△，并直接写出，，三点的坐标． 17．（2023秋•利辛县校级期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，． （1）将向右平移5个长度单位，再向上平移1个长度单位，得到△，画出△； （2）画出△关于轴对称的△． 18．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，和△的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和△关于直线成轴对称． （1）直接写出的面积为 　　； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴； （3）请在线段的右侧找一点，画出，使． 19．（2023秋•大通区期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 20．（2023秋•裕安区校级期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的△，并写出△各顶点的坐标； （2）将向右平移6个单位，作出平移后的△，并写出△各顶点的坐标； （3）观察△和△，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$