第十五章分式（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第十五章 分式（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．现代科技的发展已经进入5G时代，某地区将在2021年基本实现5G信号全覆盖．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，5G网络比4G网络快360秒，则由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，可得出5G网络的峰值速率每秒传输10x千兆数据，根据“在峰值速率下传输4千兆数据，5G网络比4G网络快360秒”，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：∵5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，4G网络的峰值速率每秒传输x千兆数据， ∴5G网络的峰值速率每秒传输千兆数据． 根据题意得： 故选：B． 【点睛】本题考查了列分式方程．正确理解题意解题的关键． 2．化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 3．按照如图所示的流程，若输出的M=3，则输入的为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据输出的M=3，利用程序框图定义的运算分类讨论选出符合条件的值． 【详解】解：根据题意：当M=3时， 若时： 解得：，经检验是原方程的根，且满足条件； 若时：，解得：，不满足． 故答案选：D． 【点睛】本题考查程序框图题，正确理解程序框图的运算是解题关键． 4．某校举行少先队“一日捐”活动，七、八年级学生各捐款3000元，八年级学生比七年级学生人均多捐2元，“…”，求七年级学生人数？解：设七年级学生有人，则可得方程，题中用“…”表示缺失的条件，根据题意，缺失的条件是（　　　　） A．七年级学生的人数比八年级学生的人数少 B．七年级学生的人数比八年级学生的人数多 C．八年级学生的人数比七年级学生的人数多 D．八年级学生的人数比七年级学生的人数少 【答案】D 【分析】根据给定方程逐一分析各项的意义，进而即可找出缺少条件． 【详解】∵七年级学生有x人， ∴为七年级学生的人均捐款数， ∴ 为八年级学生的人均捐款数， ∴（1-20%）x为八年级的人数， ∴缺失条件为八年级学生的人数比七年级学生的人数少20%． 故选D． 【点睛】此题考查分式方程的应用，根据给定的方程，寻找出缺失的条件是解题关键． 5．有两个相同的瓶子装满了酒精溶液，其中一个瓶子中酒精与水的体积之比是，而在另一个瓶子中两者的体积之比是，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的体积之比是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】混合液中的酒精与水的容积之比为两瓶中的纯酒精与两瓶中的水之比，设瓶子的容量为1，分别算出纯酒精和水的体积． 【详解】设瓶子的容积，即酒精与水的和是1． 则纯酒精之和为：； 水之和为： ∴混合液中的酒精与水的容积之比为：． 故选D． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，找到相应的等量关系是解决本题的关键． 6．如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负数解，那么所有符合条件的整数m的值之和为（    ） A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是由不等式组的解集求参数的取值范围，分式方程的非负整数解问题，掌握以上知识是解题的关键． 先解不等式组，由不等式组的解集求的取值范围，再解分式方程，由分式方程有非负数解，求值的范围，综合得到的范围，结合为整数，可得答案． 【详解】解： 由①得：， ， 由②得：， ， ， 不等式组的解集为：， ， ， 由可得， ， ， 分式方程有非负数解， ，且， ，且， ，且， 综上：且， 又为整数， 为 ， 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知，，则代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了代数式求值，分式的加法运算，先计算出，再整体代入，，计算即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：3． 8．用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】把用y代入后，整理即可得整式方程． 【详解】原方程可化为：， 方程两边乘2y，并整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的特殊解法：换元法，根据题目特点合理引入新的未知数是换元法的特点，从而把复杂的算式或方程转化为简单的算式或方程，利用问题的解决． 9．已知：+=4，求的值为 ． 【答案】． 【详解】分析：先根据+=4，可得x+y=4xy，再对所求式子变形，使其中出现（x+y）的形式，再把x+y=4xy整体代入计算即可． 详解：原式====． 故答案为． 点睛：本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是将已知条件转化为用xy表示x+y，然后再整体代入求值． 10．对于两个非零代数式，定义一种新的运算：x@y=．若x@(x﹣2)=1，则x= ． 【答案】． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】根据题中的新定义化简得：=1， 去分母得：x﹣2+x2=x2﹣2x， 解得：x=， 经检验x=是分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于利用转化的思想，解分式方程注意要检验． 11．已知关于的分式方程有一个增根，则 ． 【答案】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x-3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【详解】方程两边都乘(x−3)，得 x−2(x−3)=k+1， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x−3=0，即增根是x=3， 把x=3代入整式方程，得k=2. 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，熟悉掌握步骤是关键. 12．若整数使关于的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数之和为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组有且仅有四个整数解， 且 解得：； 分式方程有整数解， 解得：且（增根） 当为整数时，或或或或或4， 解得或或或或或， ， 或或或或； 又 或或， 则符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的整数解确定a的取值范围． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，整式的混合计算，掌握整理式与分式的混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．已知分式. (1)若， ，求M的值； (2)若，求M的值？ 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）把x＝6、y＝6代入式子求值即可； （2）把M进行通分相加，化成用x+y和xy表示的形式，然后把x+y＝3，xy＝2代入求解即可． 【详解】（1）当x＝6，y＝6时，M2+2＝4； （2）M 当x+y＝3，xy＝2时，M． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对所求的式子进行变形，用x+y和xy表示出M是关键． 15．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，解方程，最后检验，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 解得：， 当时，， ∴是原方程的解． 16．先化简：，并从1，2，3，4中选取一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】，0 【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后从1，2，3，4中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】原式= ． ∵当m=-2，2，0时，原分式无意义， ∴当时，原式．（或当时，原式．或当时，原式．） 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 17．先化简，然后从不等组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值． 【答案】，当x=1时，原式=6 【详解】原式=， 不等组 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 取x=1时，原式=6．本题答案不唯一． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（1）解方程：             (2)关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】（1） （2），且 【分析】本题主要考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的方法步骤，注意验根，是解决问题的关键． （1）运用去分母，移项，合并同类项，系数化成1，经检验，即得； （2）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1求出x的表达式，根方程的根为正数且分母不为0，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 经检验，是原分式方程的根， 故原分式方程的根为：； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 移项，得， 系数化成1，得； ∵方程的解是正数， ∴，且， ∴，且． 19．（1）计算：； （2）下面是小亮化简分式的过程，请认真阅读并完成问题． ……………第一步 ……………………第二步 ………………第三步 ………………………第四步 ……………………第五步 ①以上化简步骤中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． ②直接写出该分式化简后的正确结果，并在，，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． ③给该分式正确结果中的减去1，得到的新代数式记为．请求出时的的值． 【答案】（1）；（2）①三，通分时分母和分子没有同时变形；②，取时，原式，取时，原式，③ 【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的化简求值、解分式方程等知识，熟练掌握运算法则和解方程的步骤是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再进行四则混合运算即可； （2）①根据解题过程和分式的基本性质即可得到答案； ②先化简分式，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可； ③根据题意得到分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：（1） （2）①以上化简步骤中，从第三步开始出现错误，错误的原因是通分时分母和分子没有同时变形． 故答案为：三，通分时分母和分子没有同时变形； ② ∵当或0或1时，分式无意义， ∴取时，原式， 取时，原式， （3）由题意可得，， 去分母得，， 解得， 经检验，是分式方程的解 20．宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花1480元购进甲种点茶器具器套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．求甲、乙两种点茶器具套装的单价． 【答案】甲种点茶器具套装的单价为148元，乙种点茶器具套装的单价为178元 【分析】本题考查分式方程解决实际问题． 设甲种点茶器具套装的单价为x元，则乙种点茶器具套装的单价为元．根据“花1480元购进甲种点茶器具器套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍”即可列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设甲种点茶器具套装的单价为x元，则乙种点茶器具套装的单价为元． 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：甲种点茶器具套装的单价为148元，乙种点茶器具套装的单价为178元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．为迎接第届体艺文化节，重庆外国语学校在广先公量制作一批吉祥物，该公司由甲乙两组共同完成制作任务，乙组每天完成的件数是甲组的倍，甲组完成个吉祥物比乙组完成个吉祥物多用天． (1)甲乙两组每天各完成多少个吉祥物？ (2)学校两校区共需要制作个吉祥物．为加快进度，甲组每天完成的个数比（1）中多完成个，乙组每天完成的个数也比（1）中增加了，因考虑运送等问题，该广告公司完成任务的时间不超过天，则的值至少为多少？ 【答案】(1)甲组每天完成个吉祥物，乙组每天完成个吉祥物 (2) 【分析】（1）设甲组每天完成个吉祥物，则乙组每天完成个吉祥物，根据“甲组完成个吉祥物比乙组完成个吉祥物多用天”列出方程并解答； （2）根据（1）可得：，．加快进度后，甲组每天完成个，乙组每天完成个，根据“完成任务的时间不超过天”列出不等式并解答． 【详解】（1）解：设甲组每天完成个吉祥物，则乙组每天完成个吉祥物， 依题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴． 答：甲组每天完成个吉祥物，乙组每天完成个吉祥物． （2）为加快进度，甲组每天完成的个数为个，乙组每天完成的个数为个，依题意，得： ， 解得：．． ∴的值至少为． 【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用．分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 22．为实施乡村振兴战略，某村办企业以甲、乙两种农作物为原料开发了一种有机产品，生产该产品每盒需要甲原料2千克和乙原料3千克．根据种植经验，甲原料亩产600千克，乙原料亩产400千克，该村办企业通过农村土地流转共承包土地1300亩． (1)为使种植的甲、乙两种农作物原料刚好成套，应安排种植甲、乙两种农作物的面积各多少亩？ (2)在（1）的条件下，所生产的产品均以每盒150元的价格全部销售，求这种产品每年可为该村办企业创造多少万元的销售收入． 【答案】(1)种植甲种农作物的面积400亩，则种植乙种农作物的面积900亩． (2)这种产品可为该村办企业创造1800万元的销售收入 【分析】（1）设种植甲种农作物的面积x亩，则种植乙种农作物的面积亩，根据题意列方程解出即可； （2）首先求出生产该产品的盒数，再算出总收入即可． 【详解】（1）解：设种植甲种农作物的面积x亩，则种植乙种农作物的面积亩，根据题意列方程为： ， 解得，则， 答：种植甲种农作物的面积400亩，则种植乙种农作物的面积900亩； （2）解：由题意可知共生产该产品的盒数为： ， 全部销售可获得收入为： 万， 答：这种产品可为该村办企业创造1800万元的销售收入． 【点睛】本题主要考查列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______． (2)求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 【答案】(1)或或 (2) (3)27 【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式． （1）根据题干中的方法，将分式进行变形，再进行求解即可； （2）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，进而求出取值范围即可； （3）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，然后将代数式转化为完全平方公式的形式，求出最大值即可． 掌握分式的变形方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的值为非负整数， ∴， ∴； 故答案为：或或； （2）， ∵， ∴， ∴，即：； （3）∵， 又， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴； ∴的最小值为． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．现代科技的发展已经进入5G时代，某地区将在2021年基本实现5G信号全覆盖．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，5G网络比4G网络快360秒，则由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．化简结果是（   ） A． B． C． D． 3．按照如图所示的流程，若输出的M=3，则输入的为（  ） A． B． C． D． 4．某校举行少先队“一日捐”活动，七、八年级学生各捐款3000元，八年级学生比七年级学生人均多捐2元，“…”，求七年级学生人数？解：设七年级学生有人，则可得方程，题中用“…”表示缺失的条件，根据题意，缺失的条件是（　　　　） A．七年级学生的人数比八年级学生的人数少 B．七年级学生的人数比八年级学生的人数多 C．八年级学生的人数比七年级学生的人数多 D．八年级学生的人数比七年级学生的人数少 5．有两个相同的瓶子装满了酒精溶液，其中一个瓶子中酒精与水的体积之比是，而在另一个瓶子中两者的体积之比是，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的体积之比是（    ）. A． B． C． D． 6．如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负数解，那么所有符合条件的整数m的值之和为（    ） A． B．0 C．3 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知，，则代数式的值是 ． 8．用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为 ． 9．已知：+=4，求的值为 ． 10．对于两个非零代数式，定义一种新的运算：x@y=．若x@(x﹣2)=1，则x= ． 11．已知关于的分式方程有一个增根，则 ． 12．若整数使关于的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数之和为 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算： (1)； (2)． 14．已知分式. (1)若， ，求M的值； (2)若，求M的值？ 15． 解方程： 16． 先化简：，并从1，2，3，4中选取一个合适的数作为m的值代入求值． 17．先化简，然后从不等组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（1）解方程：             (2)关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 19．（1）计算：； （2）下面是小亮化简分式的过程，请认真阅读并完成问题． ……………第一步 ……………………第二步 ………………第三步 ………………………第四步 ……………………第五步 ①以上化简步骤中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． ②直接写出该分式化简后的正确结果，并在，，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． ③给该分式正确结果中的减去1，得到的新代数式记为．请求出时的的值． 20．宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花1480元购进甲种点茶器具器套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．求甲、乙两种点茶器具套装的单价． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．为迎接第届体艺文化节，重庆外国语学校在广先公量制作一批吉祥物，该公司由甲乙两组共同完成制作任务，乙组每天完成的件数是甲组的倍，甲组完成个吉祥物比乙组完成个吉祥物多用天． (1)甲乙两组每天各完成多少个吉祥物？ (2)学校两校区共需要制作个吉祥物．为加快进度，甲组每天完成的个数比（1）中多完成个，乙组每天完成的个数也比（1）中增加了，因考虑运送等问题，该广告公司完成任务的时间不超过天，则的值至少为多少？ 22．为实施乡村振兴战略，某村办企业以甲、乙两种农作物为原料开发了一种有机产品，生产该产品每盒需要甲原料2千克和乙原料3千克．根据种植经验，甲原料亩产600千克，乙原料亩产400千克，该村办企业通过农村土地流转共承包土地1300亩． (1)为使种植的甲、乙两种农作物原料刚好成套，应安排种植甲、乙两种农作物的面积各多少亩？ (2)在（1）的条件下，所生产的产品均以每盒150元的价格全部销售，求这种产品每年可为该村办企业创造多少万元的销售收入． 六、解答题（本大题共12分） 23．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______． (2)求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$