第六章 一次函数压轴 专题2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第十讲：一次函数压轴 题型一：面积类 1.已知一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的解析式； (2)求面积． 2.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作轴垂线，点是一次函数图象上的一个动点． (1)直接写出直线的函数解析式是：___________； (2)在图1中，连接，，当的面积等于10时，求点D的坐标； 3.如图直线的表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求点D的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 题型二：线段 4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)求函数的表达式； (2)求的表达式及A点的坐标； (3)点D为直线上一点，其横坐标为，过点D作轴于点F，交交于点E，且，求点D的坐标． 题型三：等腰三角形 5.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点 A、B分别在x轴与y轴上．已知A点坐标为，B点坐标为，且a，b满足 ，为 y 轴上一点，其坐标为，点P 从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒． (1)求点B与点C的坐标． (2)求的面积S关于t的关系式． (3)点P 在运动过程中，是否存在一点，使为等腰三角形？ 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点 (1)求正比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四：直角三角形 7.如图经过点的直线（，为常数，且）分别与轴、轴交于、两点．  (1)求该直线的函数解析式和点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)在轴上存在点，使得，求点的坐标； (2)在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五：全等三角形 9.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求、的长； (2)已知点，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 10.如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点O作交直线于点F， ①求证：； ②求点F的坐标； (3)若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 题型六：等腰直角三角形 11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为． (1)求正比例函数与一次函数的关系式． (2)若点D在第二象限，是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 12.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线（，k为常数）与x轴交于点C，与y轴交于点D．直线与交于点E，已知． (1)求直线的表达式； (2)P为直线上一动点，作轴交直线于点Q，以为直角边作，满足且．若的周长为，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，点N为直线上一动点，是否存在是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． 13.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于D点， ． (1)求直线的解析式； (2)点Q为直线上一动点，若有，请求出Q点坐标； (3)点M为直线上一动点，点N为y轴上一备用图动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 14.已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m， （1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为 　 　，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标； （2）直线y＝2x+b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型七：45度角 15.如图（m为常数，）与x轴正半轴交点B，与y轴正半轴交于点A，且． (1)求m的值； (2)动点P、Q分别从A、B出发，以1cm/s的速度同时沿x轴正方向运动，设时间为t秒． ①如图（1），连接，当t为何值时，是以为腰的等腰三角形； ②如图（2），点C与O关于直线对称，连接，若，补全图形，并求的面积． 16.如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、． (1)求线段的中点坐标； (2)若点M是直线上的一点，连接，若，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 题型八：相等角 17.如图，直线与轴交于点，与轴交于点；直线经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)求的面积； (3)已知点为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 18.如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线与x轴负半轴交于点C，且．直线与直线交于点D，点P在x轴上． (1)求直线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，连接，若，求点P的坐标． 题型九：双倍角 19.如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点． (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 题型十：定点类 20.已知与成正比例，且当时，， (1)求与x之间的函数解析式； (2)已知（1）中函数的图象为直线，关于x的函数的图象为直线． ①若无论非零实数k取何值，直线恒过一定点P，则点P的坐标是 ； ②当时，若点始终在直线，及x轴所围成的封闭区域内（包括边界），求a的取值范围． 题型十一：最值 21.在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点，点B为y轴上一动点，如图以为边在其一侧作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)当点B在y轴上运动时，点C的运动轨迹是一条直线，延长交y轴于点，求点C所在直线的解析式； (3)连接，请直接写出的最小值． 22.如图，直线与x轴交于点，直线与x轴，轴分别交于两点，并与直线相交于点D． (1)点D的坐标为___________； (2)求四边形的面积； (3)若点P为x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标． 23.如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点． (1)求a，b的值； (2)当线段最短时，求点B的坐标； (3)在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值． 题型十二：翻折 24.已知：如图，一次函数y＝x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E． （1）直线CD的函数表达式为 　 　；（直接写出结果） （2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ． ①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十一：路径 25.如图，直线与y轴交于点G，直线l上有一动点P，过点P作y轴的平行线，过点G作x轴的平行线，它们相交于点E．将△PGE沿直线l翻折得到，点E的对应点为． (1)如图1，请利用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点E的对应点； (2)如图2，当点E的对应点落在x轴上时，①直线l与x轴的交点D的坐标______，②求证，③求点P的坐标； (3)如图3，直线l上有、两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长为______． 题型十二：新定义材料 26.对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：记点到轴的距离为，到轴的距离为，若，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”．特别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为0． 例如，点到轴的距离为3，到轴的距离为2，因为，所以点的“引力值”为2．    (1)①点的“引力值”为 ； ②若点的“引力值”为2，则的值为 ； (2)若点在直线上，且点的“引力值”为2，求点的坐标； (3)已知点是以为圆心，半径为2的圆上的一个动点，直接写出点的“引力值”的取值范围． 27.在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）． （1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 　 　； （2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标； （3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围． 28.对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“顺转点”，图1为点P关于点A的“顺转点”Q的示意图． 【知识理解】 （1）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“顺转点”为点Q． ①若点P的坐标为（1，0），则点Q的坐标为　 　； ②当点P的坐标为　 　时，点Q的坐标为（2，﹣1）； ③△PAQ是　 　三角形； 【知识运用】 （2）如图2，已知直线y＝x+1与x轴交于点A． ①点B的坐标为（1，0），点C在直线y＝x+1上，若点C关于点B的“顺转点”在坐标轴上，则点C的坐标为　 　； ②点E在直线y＝x+1上，点E关于点A的“顺转点”为点F，则直线AF的表达式为___　 　； 【知识迁移】 （3）如图3，已知直线l1：y＝﹣2x+2与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°，则直线l2的函数表达式为　 　； （4）点A是平面直角坐标系内一点，点P（2，0）关于点A的“顺转点”为点B，点B恰好落在直线 y＝﹣x上．当线段AP最短时，点A的坐标为　 　． 29.小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 1如图的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 3.如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该直线的函数表达式和点B的坐标； (2)在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由． 5.模型建立： （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点C，过A作于D，过B作于E． 求证：； 模型应用： （2）已知直线：与y轴交于A点，将直线绕着A点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式； 模型拓展： （3）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点位于第一象限内．若是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 6.如图，平面直角坐标系中，已知点A（10，0），点B（0，8），过点B作x轴的平行线l，点P是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接OP，AP． （1）如图1，若将△BOP沿OP翻折后，点B的对应点B'恰好落在x轴上，则△BOP的面积S△BOP＝　 　； （2）如图1，若OP平分∠APB，求点P的坐标； （3）如图2，点C是直线上一点，若△APC是以AP为直角边的等腰直角三角形，求点C的坐标． 7.如图， 已知直线与轴、轴分别交于点， 以 为边在第一象限内作长方形． 1. 求点的坐标； 1. 将对折，使得的与重合，折痕B'D'交AC于点B'，交AB于点D，求直线解析式（图②）； 1. 在坐标平面内， 是否存在点（除点外），使得与全等， 若存在， 请求出 所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 9.如图①，为等腰直角三角形，，于点，于点． (1)求证： (2)如图②为等腰直角三角形，其中点坐标为，点的坐标为，求点的坐标． (3)如图③在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，，与轴交于点，若，求点的坐标． 10.如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F． (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作，交轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值． 11.结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短线段（即垂线段）的长度．类似我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为d（M，N）特别地，当图形M、N有公共点时，图形M，N的“距离”d（M，N）＝0． （1）如图1，在平面直角坐标系中，∠AOB＝60°，若A（4，0），M（0，2），N（﹣1，0），则d（N，∠AOB）＝　 　，d（M，∠AOB）＝　 　； （2）如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），将一次函数y＝kx+6的图象记为L． ①若k＞0，且，求k的值； ②若d（L，△ABC）＝0，求k的取值范围； （3）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（3n，﹣4n+4）为平面内一点，则d（O，P）＝ 　． 12.如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点C（4，﹣6），分别与x轴、y轴相交于点A、B，AB＝AC．D（0，﹣3）为y轴上一点，P为线段BC上的一个动点． （1）求直线AB的函数表达式； （2）①连接DP，若△DCP的面积为△DCB面积的，则点P的坐标为 　 　； ②若射线DP平分∠BDC，求点P的坐标； （3）如图2，若点C关于直线DP的对称点为C'，当C'恰好落在x轴上时，点P的坐标为 　 　．（直接写出所有答案） 13.如图，直线l：y＝2x﹣2与y轴交于点G，直线l上有一动点P，过点P作y轴的平行线PE，过点G作x轴的平行线GE，它们相交于点E．将△PGE沿直线l翻折得到△PGE′，点E的对应点为E′． （1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点E的对应点E′； （2）如图2，当点E的对应点E′落在x轴上时， ①直线l与x轴的交点D的坐标　 　； ②求证：E′D＝E′G； ③求点P的坐标． （3）如图3，直线l上有A（﹣2，﹣6）、B（4，6）两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点E′也随之运动，请直接写出点E′的运动路径长为　 　． 14.[模型建立]如图等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA．（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： [模型运用] （1）如图1，若AD＝2，BE＝5，则△ABC的面积为　 　； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求AB与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为：y＝2x+1，点A（3，2），在其线l上是否存在点B，使直线AB与直线l的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． [模型拓限] （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线y＝2x﹣5上一点，将线段BP延长至点Q，使BQ＝BP，将线段BQ绕点B顺时针旋转45°后得BA，直接写出OA的最小值为　 　．（≈3.2，结果精确到0.1） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$