专题05 平行四边形（考点清单，5个考点&6题型解读）（期末复习知识清单）八年级数学上学期鲁教版五四制

清单05 平行四边形（5个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【清单02】平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【清单03】三角形的中位线 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 【清单04】多边形的相关概念及其表示方法 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 【清单05】多边形内角和与外角和 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 【考点题型一】利用平行四边形的性质求解 【例1】如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【变式1-1】在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式1-3】平行四边形不具有的特点是（    ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等 D．平行四边形邻角互补 【变式1-4】在平行四边形中，平分交于点，且点将边分为两部分，若，则平行四边形的周长为 ． 【变式1-5】如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 【考点题型二】利用平行四边形的性质证明 【例2】如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．求证：； 【变式2-2】如图，在平行四边形中，于点E，点E为的中点，．点P在BE上，作于点F，连接． (1)若，求的长； (2)求证：． 【变式2-3】如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式2-4】如图，在的边、上截取线段、，使，连结，M、N是线段上的两点，且，连结、．求证：． 【变式2-5】已知：如图，是的对角线上的两点，．求证：； 【变式2-6】如图，在平行四边形中，E是边上的一点，且．仅用无刻度的直尺画出的角平分线． 【考点题型三】平行四边形的判定 【例3】下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【变式3-1】如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【变式3-2】如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是，．连接交于点．求证：四边形是平行四边形． 【变式3-5】在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接，分别交线段、于点、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（除外）． 【变式3-6】已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 【考点题型四】利用平行四边形的判定与性质求解 【例4】如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在四边形中，连接、，直线经过和的交点，且分别交于点，交、的延长线于点，下列结论：①；②的周长的周长；③；④图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【变式4-2】如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【变式4-3】如图，，且，则（    ） A．80° B．100° C．105° D．120° 【变式4-4】如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 【变式4-5】如图，已知四边形中，． (1)求证：，． (2)若，直接写出的度数是 ． 【考点题型五】三角形的中位线 【例5】如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 【变式5-3】如图，与成中心对称，是的中位线，是的中位线，已知，则 ． 【变式5-4】如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 【变式5-5】如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④成立的有 ．（填写正确序号） 【变式5-6】在中，，，D是的中点．E是直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F，连接． (1)如图1，当E是线段的中点时，则线段之间的数量关系为________． (2)如图2，当点E在线段上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)若．请直接写出线段的长． 【考点题型六】多边形的内角和和外角和 【例6】下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【变式6-1】已知过一个多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【变式6-2】如图，小明从A点出发，前进到点B处后向右转，再前进到点C处后又向右转，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为 ． 【变式6-5】正多边形的每个外角为，则这个正多边形的边数是 ． 【变式6-6】若边形的每个内角都为，则等于 ；它的外角和度数是 ． 【变式6-7】如图，六边形的各个内角都相等． (1)求的度数； (2)若，判断与之间的位置关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 平行四边形（5个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【清单02】平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【清单03】三角形的中位线 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 【清单04】多边形的相关概念及其表示方法 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 【清单05】多边形内角和与外角和 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 【考点题型一】利用平行四边形的性质求解 【例1】如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质并利用数形结合的思想是解题关键．根据平行四边形的性质结合所给三个顶点的坐标可得出，，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，， ∴，轴， ∴，， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-3】平行四边形不具有的特点是（    ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等 D．平行四边形邻角互补 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判断即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：平行四边形不具有的特点是对角线相等， 故选：． 【变式1-4】在平行四边形中，平分交于点，且点将边分为两部分，若，则平行四边形的周长为 ． 【答案】40或44/44或40 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证为等腰三角形，即，再根据线段的比，分类讨论，分别求出的长，即可求出平行四边形的周长． 【详解】解：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴． 分类讨论：①当时， ∵， ∴， ∴平行四边形的周长为； ②当时， ∵， ∴， ∴平行四边形的周长为． 综上可知平行四边形的周长为40或44． 故答案为：40或44． 【变式1-5】如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形性质；根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明出，结合题干条件根据勾股定理解直角三角形即可得到的长，进而即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ，， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【考点题型二】利用平行四边形的性质证明 【例2】如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，，结合已知条件进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形 ， 在和中 ． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，根据平行四边形的性质，得到，得到，，根据，，推出，利用，即可得证． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，于点E，点E为的中点，．点P在BE上，作于点F，连接． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，合理做出辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． （1）由点E为中点，可得，再由已知条件求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）过点A作交于点H，易证，是等腰直角三角形，通过等腰直角三角形斜边和直角边的关系，等量代换可出求证的等式成立． 【详解】（1）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：过点A作交于点H， 则， ∴， 即， ∵，， 且，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-3】如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)55° (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据平分可得，根据可得； 根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的定义可知，，得到，再根据平行四边形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ， 又平分， 又四边形是平行四边形， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ∴， 又平分，平分， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ， ． 【变式2-4】如图，在的边、上截取线段、，使，连结，M、N是线段上的两点，且，连结、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用平行线的性质，根据证明，由此得，进而可证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴， ， ，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-5】已知：如图，是的对角线上的两点，．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定．理解全等三角形的判定是解答关键． 根据线段的和差求得，利用平行四边形的性质易得，由平行线的性质求得，最后利用判定三角形全等的来求解． 【详解】证明：， ， 即. ∵四边形是平行四边形， ， ． 在与中 ， ． 【变式2-6】如图，在平行四边形中，E是边上的一点，且．仅用无刻度的直尺画出的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，涉及平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，交于点O，连接并延长，交于点F，连接AF，即可求解． 【详解】解：如图，即为所求． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 【考点题型三】平行四边形的判定 【例3】下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．一条对角线平分一组对角的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定． 根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． 【变式3-2】如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平形四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平形四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平形四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-3】如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：A． 【变式3-4】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是，．连接交于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定及等腰三角形的性质．解决本题的关键是熟练掌握旋转的性质与平行四边形的判定，由，，可得，从而得出，再由平行线的性质可得，可得出，最后由平行四边形的判定可得结论． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【变式3-5】在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接，分别交线段、于点、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（除外）． 【答案】(1)见解析 (2)、、、 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，再根据线段的中点得到，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）结合平行四边形的性质及全等三角形的判定方法即可找出图中的全等三角形． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ∴，， ∵、分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在与中 ∴． 综上，图中有以下全等三角形： 、、、． 【变式3-6】已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键． （1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先利用平行四边形的性质得到，，继而得到，从而得证； 【详解】（1）∵平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）∵平行四边形， ，，， 又∵四边形是平行四边形， ， ， ， 【考点题型四】利用平行四边形的判定与性质求解 【例4】如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，证明得，，从而，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵平分交于点，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故选：D ． 【变式4-1】如图，在四边形中，连接、，直线经过和的交点，且分别交于点，交、的延长线于点，下列结论：①；②的周长的周长；③；④图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】可以先判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质逐个排查即可，熟练掌握平行四边形的判定和性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴①正确；， ②的周长的周长，正确； ③，正确； ④∵， ∴， ∵，， ∴， 同理图中全等的三角形有：，，； 共计10对全等的三角形，④错误． 综上所述，正确的结论是：①②③． 故选：B． 【变式4-2】如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，则可证明，继而，可证明四边形是平行四边形，故四边形的面积与平行四边形的面积相等，即可求解． 【详解】解：过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F， ∴ ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积与平行四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式4-3】如图，，且，则（    ） A．80° B．100° C．105° D．120° 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角．设，作出如图的辅助线，证明是等边三角形，由，得到，据此求解即可． 【详解】解：作，，与交于点，连接， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 【变式4-4】如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键．作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取， 根据轴对称可知：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∴最小，即最小， ∴最小值为的长， ∵，G为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即的最小值为10． 故答案为：10． 【变式4-5】如图，已知四边形中，． (1)求证：，． (2)若，直接写出的度数是 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； （1）根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等即可解答． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ，； （2）由（1）得四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 【考点题型五】三角形的中位线 【例5】如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 【变式5-1】如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴之间的距离是， 故选：D． 【变式5-2】如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取、的中点、，连接、，则可得，，因此转而求的最小值；过作，且，连接、，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，取、的中点、，连接、，则，为的中位线， ∴， ∴， 在等边三角形中，，为的中点， ∴，， ，，， ∴， ，， ， ； 过作，且，连接、，则， ， ， ， 当点在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得：， 的最小值． 故答案为：． 【变式5-3】如图，与成中心对称，是的中位线，是的中位线，已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，还考查了三角形的中位线定理．根据成中心对称的两个图形全等可得，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：与成中心对称， ， ， 是的中位线， ． 故答案为：． 【变式5-4】如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 【变式5-5】如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④成立的有 ．（填写正确序号） 【答案】①②③ 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可得，由三角形中位线定理可判定②，证明，可判定①，根据勾股定理可以③，判定由平行四边形的面积公式可判定④． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，， 平分， ， ， ∵， 为等边三角形， ，， ， ， 又， ，， ∴， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ∴， ，故①正确； ，， 是的中位线， ，故②正确； ，，， ， ，故③正确； 是的中点， ， 是的中点， ， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③． 【变式5-6】在中，，，D是的中点．E是直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F，连接． (1)如图1，当E是线段的中点时，则线段之间的数量关系为________． (2)如图2，当点E在线段上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)若．请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由三角形的中位线定理得，，进而证明四边形是矩形得，得出，再根据勾股定理得结果； （2）过点作交的延长线于点，连接，证明得，，由垂直平分线的性质定理得，进而根据勾股定理得结论 （3）分为当点E在线段上时及当点E在线段的延长线上时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的中点，是线段的中点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：． 证明：过点作交的延长线于点，连接， ． ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当点E在线段上时， 设，则， ， ， 在中，， 由（2）得， ， ， 解得：， ； 当点E在线段的延长线上时，如图， 过点作，与的延长线交于点，连接， 设，则， ， ， 则，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ； 综上所述，或 【考点题型六】多边形的内角和和外角和 【例6】下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查多边形的有关知识，熟练掌握多边形的定义是解题关键．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故该选项不符合题意； C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； D．各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故该选错误，项符合题意． 故选：D． 【变式6-1】已知过一个多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握多边形的对角线是解题的关键．根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出即可 【详解】设这个多边形的边数是，由题意得， ， 解得， 即这个多边形为七边形， 故选D． 【变式6-2】如图，小明从A点出发，前进到点B处后向右转，再前进到点C处后又向右转，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为是解题关键．由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 正多边形的外角和为，且每个外角都为， 正多边形的边数为，即小明所走过的图形是正十八边形， 路程为， 故选：C． 【变式6-3】若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的外角和是，多边形内角和定理：（且为整数）． 由多边形的外角和是，求出正多边形的边数，再根据多边形内角和定理即可计算求解． 【详解】解：根据题意，正多边形的边数为， ∴正多边形的内角和为， 故选： A． 【变式6-4】如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，根据多边形内角和公式，分别求出正五边形和正六边形的内角度数，即可得和的度数，再根据三角形的内角和定理即可得出答案，熟练掌握多边形的内角和定理和是解题的关键． 【详解】∵五边形是正五边形， ∴每个内角度数为， ∴，， 同理可得正六边形每个内角度数为， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-5】正多边形的每个外角为，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以一个外角的度数，就得到外角和中外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴边数， 故这个正多边形的边数是5． 故答案为：5． 【变式6-6】若边形的每个内角都为，则等于 ；它的外角和度数是 ． 【答案】 /360度 【分析】本题主要考查了多边形内角和、中心角等知识点，掌握多边形内角和公式是解答本题的关键．根据多边形内角和公式解方程求得n，然后根据多边形外角和为即可得出结果． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 它的外角和度数是． 故答案为：，． 【变式6-7】如图，六边形的各个内角都相等． (1)求的度数； (2)若，判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查多边形的内角和，平行线的判定： （1）根据多边形的内角和的计算方法，求出的度数即可； （2）求出的度数，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：六边形的内角和为． ∵六边形的各个内角都相等， ∴； （2）解：与之间的位置关系为； 理由：由（1）可得， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$