高一上学期期末模拟卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（重庆专用）

2025新高考高一高质量期末模拟试题二 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知集合，，则 A． B． C．是的真子集 D．是的真子集 【答案】D 【分析】求出集合、，利用交集、并集和真子集的定义可判断出各选项的正误. 【详解】，， 所以，，是的真子集. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的基本运算以及真子集的判断，同时也考查了对数不等式和指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．""是"的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由得，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】解：由得，即， 所以不一定推出，反之成立， 所以""是"的必要不充分条件 故选：B 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到的奇偶性，排除CD，再利用导函数得到时，恒成立，排除A，选出正确答案. 【详解】的定义域为R， 且， 所以为偶函数，排除CD； 令，， 则恒成立， 故当时，， 又在上恒成立， 所以在上恒成立，排除A， B选项正确., 故选：B 4．已知为第一象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由式子两边平方可算得，又由，即可得到本题答案. 【详解】因为，，，， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值. 5．函数 的零点的个数是 (  　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由得，再在同一坐标系下画出函数的图像，观察函数的图像即得解. 【详解】由得, 在同一坐标系下画出函数的图像，如图所示， ， 从图像上看，两个函数有5个交点，所以原函数有5个零点. 故选D 【点睛】本题主要考查函数的零点的个数，考查三角函数的图像和对数函数的图像，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．不等式（且）对于任意都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对a分成和两种情况，结合和的单调性列不等式，解不等式求得a的取值范围. 【详解】当时，由于，所以，不符合题意； 当时，在时单调递减，在时单调递增，要使不等式（且）对任意都成立， 则需，所以. 故选：B. 【点睛】易错店点睛：本题主要考查对数函数单调性，考查三角函数单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，本题易错点为忽略对a的范围的讨论. 7．已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，其中，在上单调递增，然后结合函数的单调性及可得答案. 【详解】， 因在（其中）上单调递增， 则，. 又因，则取，则. 故选：A 8．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于x的方程，有且只有7个不同实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可知方程必有两个根，结合函数的图象及韦达定理即得. 【详解】由题可画出函数的大致图象，    关于的方程有且只有个不同实数根， 设，则结合函数图象，可知方程必有两个根， 且，∴， 则，即. 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 二、多选题 9．已知函数，且正实数，满足，则下列结论可能成立的是（    ） A． B．的最大值为 C． D．的最小值为 【答案】AC 【分析】去绝对值分类讨论，判断一个命题是假命题要举反例 【详解】当，时，， 则 所以，所以，故A正确 当，时，，， 则 所以，故C正确 当，时，， 则 所以 对于B，当，，且时 取，时， （，） 当，且时 取，时， 当，且时， 取，时， 故B错误 对于D， 当，且时，，时，等号成立，故D错误 故选：AC 10．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．函数的图象可以由向右平移个单位得到 D．若函数在上恰有两个极大值点，则 【答案】BD 【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解. 【详解】令，则，即的单调增区间为，则在不单调，故选项错误； 令，则或，即或， 由，则或，，即或，故选项正确； 向右平移个单位变为故选项错误； 对于，， 在上恰有两个极大值点，即， 即，故选项正确. 故选： 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在定义域上是增函数 B．的值域为 C． D．若，，，则 【答案】BD 【分析】确定函数定义域，结合导数判断其单调性，可判断A；作出函数图象，数形结合，判断B；结合函数解析式可得，即可判断C；将化简变形得到，结合函数单调性推出，即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， ，则在上均单调递增， 由于函数图象在处不连续，故不能说在定义域上是增函数，A错误； 对于B，结合函数的单调性，作出函数的大致图象， 结合图象可知的值域为，B正确； 对于C，由于，故， 故， 故，C错误； 对于D，由题意知， 又，即 而，，故，结合在上单调递增， 可得，D正确， 故选：BD 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．若函数是偶函数，则实数a的值为 . 【答案】/ 【分析】根据偶函数定义，结合对数运算化简可得. 【详解】的定义域为， ， 因为函数是偶函数， 所以， 所以恒成立，故，即 故答案为： 13．已知函数，其中，若，且的相邻两条对称轴间的距离大于，则 ． 【答案】 【分析】跟可得，易得，进而可求出，再利用待定系数法求出即可. 【详解】由，可知， 解得， 又的相邻两条对称轴间的距离大于，所以， 所以，故，满足题意， 由，即， 解得，又，所以， 故． 故答案为：. 14．若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ． 【答案】 【分析】以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意得，由此可得答案. 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 若存在实数，使得上式成立，则， 则， 可得，可得， 解得， 由， 则取得最大值时， 此时. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解. 四、解答题 15．已知集合，. (1)若，求； (2)命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解指数不等式求出集合，再求； （2）由题意可得是的真子集，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）集合， 集合. 则； （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集，且， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 16．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象结合五点法可得，即可得函数解析式； （2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数有界性运算求解即可. 【详解】（1）设的最小正周期为， 由图可知，，即， 且，所以，此时， 将代入得，即， 且，则，可得，解得， 所以． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到； 再将横坐标变为原来的2倍，得； 因为，则，可得， 所以函数在区间内的值域为． 17．定义在上的函数是单调函数，，且，. (1)求，判断函数的奇偶性并说明理由； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)存在使得成立，求参数的取值范围. (1)，函数为奇函数，理由见解析 (2)函数在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，可求得的值；令，结合函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性； （2）判断出函数为上的减函数，然后任取、，且，可得出，利用题中等式以及函数单调性的定义即可证得结论成立； （3）将所求不等式变形为，可得出，令，可得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）在等式中， 令可得，解得， 因为函数的定义域为， 令可得，所以，， 因此，函数为奇函数. （2）函数为上的减函数，理由见解析： 任取、，且，则，所以，， 因为，所以，， 所以，函数在上为减函数. （3）存在使得， 可得， 因为函数在上为减函数，则， 令，其中，则，即函数为偶函数， 任取、且， 则 ， 因为，则，，则， 所以，，则， 所以，函数在上单调递增，则当时，， 即， 所以，当时，， 令，则，则， 所以，，可得， 令，其中，由题意可得， 因为函数在上单调递减，则， 则，因此，实数的取值范围是. 18．已知函数，函数的图象经过点且的最小正周期为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度；再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，令函数，区间且满足：在上至少有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由函数的最小正周期为得到，函数经过点，得到，从而求得； （2）由题意转化为，设，则在上是增函数，利用单调性可得答案. （3）令解得或，求得相邻两个零点之间的距离，若最小，则均为的零点，此时在区间，分别恰有个零点，即在区间恰有个零点，至少有一个零点可得答案. 【详解】（1）， 又函数的最小正周期为， ， ，又函数经过点， ，于是， 因为，所以， . （2）由题意得， ， ， 设， 则， 设， 则在上是增函数. 当时，， . 故实数的取值范围是. （3）由题意，， ， 令得：， 或， 解得：或， 相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则均为的零点，此时在区间， 分别恰有个零点， 在区间恰有个零点至少有一个零点， ，即， 检验可知，在恰有30个零点，满足题意， 的最小值为. 19．定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”． (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，当时，可知不是“伴随函数”；当时，函数在上单调递增，根据求出的值，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离得出，令，可得，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 取，则，此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”. （2）因为函数在定义域上为增函数，则存在， 使得， 若，则， 根据题意，存在，使得，矛盾， 故，所以，， 所以，，即. （3）若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，，所以，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以，， 令，则，由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4）， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一高质量期末模拟试题二 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知集合，，则 A． B． C．是的真子集 D．是的真子集 2．""是"的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 4．已知为第一象限角，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数 的零点的个数是 (  　) A．2 B．3 C．4 D．5 6．不等式（且）对于任意都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于x的方程，有且只有7个不同实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，且正实数，满足，则下列结论可能成立的是（    ） A． B．的最大值为 C． D．的最小值为 10．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．在上单调递增 B．若，则 C．函数的图象可以由向右平移个单位得到 D．若函数在上恰有两个极大值点，则 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在定义域上是增函数 B．的值域为 C． D．若，，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．若函数是偶函数，则实数a的值为 . 13．已知函数，其中，若，且的相邻两条对称轴间的距离大于，则 ． 14．若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ． 四、解答题 15．已知集合，. (1)若，求； (2)命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间内的值域． 17．定义在上的函数是单调函数，，且，. (1)求，判断函数的奇偶性并说明理由； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)存在使得成立，求参数的取值范围. 18．已知函数，函数的图象经过点且的最小正周期为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度；再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，令函数，区间且满足：在上至少有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值. 19．定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”． (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$