高二上学期期末模拟卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（重庆专用）

2025新高考高二高质量期末模拟试题二 考试范围：空间向量 圆锥曲线 数列 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 3．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．设椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知点为椭圆上任意一点，直线过圆的圆心且与圆交于两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 9．如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．平面平面 10．已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．，直线的倾斜角为或 C．若为抛物线上一点，则的最小值为 D．的最小值为9 11．设数列满足，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 . 13．已知抛物线，经过抛物线上一点的切线截圆：的弦长为，则的值为 ． 14．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，面，四边形是梯形，，. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值. 16．已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点的直线与交于两点. (1)求椭圆的方程; (2)若的上顶点为，直线的斜率分别为，求证:为定值. 17．已知数列是首项为的等差数列，其前n项的和为，数列是首项为1的等比数列，且. (1)求，； (2)设，证明数列为等比数列； (3)求的前项的和. 18．如图，直线分别与抛物线交于和，与x轴分别交于和，直线与的交点为．    (1)当为C的焦点F，且直线与x轴垂直时，．求抛物线C的方程； (2)是否成等比数列？请给予说明； (3)在问题（1）的条件下，若，求面积S的最小值. 19．如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角△(为坐标原点)的边长为， (1)求的值； (2)记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； (3)是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高二高质量期末模拟试题二 考试范围：空间向量 圆锥曲线 数列 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记数列公比为且，利用等比数列前n项和可得，再由公比也为及等比数列前n项和、等比中项性质，即可求结果. 【详解】记数列公比为且，则，故， 所以公比也为， 则前9项和. 故选：D 2．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合几何性质求出最短弦和最长弦即可得解. 【详解】直线可化为，则直线过定点， 点代入圆中：，所以点在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短，即， 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，即， 所以. 故选：A 3．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设确定平面的法向量、直线的方向向量，应用向量法求线面角的正弦值即可. 【详解】由题设知：平面的法向量，直线的方向向量， 且平面与直线相交于， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 4．设椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线标准方程可得焦点，再由离心率可得，可求得椭圆方程. 【详解】根据题意易知抛物线的焦点为，可得； 椭圆离心率为，可得，即； 椭圆可化为，因此可得； 因此，所以椭圆的方程为. 故选：C 5．已知点为椭圆上任意一点，直线过圆的圆心且与圆交于两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即， 则圆心，半径为. 椭圆方程，, 则， 则圆心为椭圆的焦点， 由题意的圆的直径，且 如图，连接，由题意知为中点，则， 可得 . 点为椭圆上任意一点， 则，， 由， 得. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键于利用中点性质，将多动点有关的数量积，通过向量的线性运算与数量积运算性质，转化为动点与定点圆心连线的长度来表示，进而可借助椭圆上任意一点到焦点距离的范围使问题得解. 6．等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，可得出的通项公式，再利用裂项相消法可求得. 【详解】设等比数列的公比为，则，则， 所以，所以，因为，可得， 所以， 所以， 所以，， 即数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 因此. 故选：B. 7．已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得，结合求，进而得离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为， 则直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，，， 如图所示，    则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线的离心率， 故选：D. 8．数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据已知条件得，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解. 【详解】数列满足①， 当时，，即， 当时，②，      由②①得， 数列的所有奇数项，， 数列的所有偶数项，， 综上，数列的通项公式为. 记， 所以数列的前项和为： ， 由得，即， 因为，随着的增大而增大， 故当时，刚好满足， 所以，的最小值为.          故选：C. 二、多选题 9．如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．平面平面 【答案】ABD 【分析】A由空间向量加法结合图形可判断选项正误；B由A结合空间向量模长公式可判断选项正误；C验证是否为0可判断选项正误；D取BC中点为D，连接AD，判断是否为0，结合线面垂直的判定定理即可判断选项正误. 【详解】对于A，由图，，故A正确； 对于B，由A， ，故B正确； 对于C， ，则与BC不垂直，故C错误； 对于D，取BC中点为D，连接AD，则，又由图可得， 注意到, 则，又，平面， 则平面，又平面，则平面平面，故D正确. 故选：ABD 10．已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．，直线的倾斜角为或 C．若为抛物线上一点，则的最小值为 D．的最小值为9 【答案】AD 【分析】A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线的斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到. 【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为， 由抛物线定义得，A正确； B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线，联立，得， 设，由于，则 由韦达定理得， 故，解得， 故直线的斜率为，倾斜角不为或，B错误； C选项，由题意得，准线方程为，过点作垂直于直线于点， 由抛物线定义得，故， 要想求得的最小值，则过点作垂直于直线于点， 故的最小值为，最小值为，C错误； D选项，由题意得，由于，故， ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9，D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 11．设数列满足，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合二次函数的性质可判断A；由放缩法可得即可判断B；由放缩法可得，再由累乘法可得，可判断C；由累加法可得，即可判断D. 【详解】对于A，，因为， 根据二次函数的性质，所以，所以，故A正确； 对于B，， 所以， ，，所以，故B正确； 对于C，， ， 所以，累乘可得：， 所以， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以，数列的前项和为， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是通过由放缩法得到，对不等式两边取对数可得，再由累乘法得到，进而证得. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得且，由此建立不等式组并求解即得. 【详解】数列的前项和为，由且，得且， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 13．已知抛物线，经过抛物线上一点的切线截圆：的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得：，设切线方程，结合相切可得，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可. 【详解】因为抛物线过点，则，得到，所以， 显然切线斜率不为0，设切线方程为， 联立方程，消去x得， 则，整理得到，解得， 所以切线方程为，即， 又因为圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得，整理得到，解得或（舍）. 故答案为：1. 14．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛： 关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，面，四边形是梯形，，. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，证明，证明平面平面； （2）设，以点为坐标原点，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系，根据向量法求出二面角的正弦值. 【详解】（1）因为面平面， 所以，又因为平面平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）设，又因为， 以点为坐标原点，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系， 因为，所以， 又因为， 所以，又因为， 所以，故，， 所以，，， 设面一个法向量为， 所以，所以， 设面一个法向量为， 所以，所以， ，所以. 16．已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点的直线与交于两点. (1)求椭圆的方程; (2)若的上顶点为，直线的斜率分别为，求证:为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据顶点和离心率，列方程即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，即可根据两点斜率公式，结合韦达定理，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以的方程为 （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 由判别式，可得， 所以，易得， 所以， 所以 17．已知数列是首项为的等差数列，其前n项的和为，数列是首项为1的等比数列，且. (1)求，； (2)设，证明数列为等比数列； (3)求的前项的和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)设等差数列的公差和等比数列的公比，将其代入通项公式即可求得公差、公比，从而得到通项公式. (2)根据已知条件代入通项公式和求和公式化简，再用等比数列概念判定即可，注意计算细节. (3)对于等差乘以等比的数列，一般使用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设的公差为，的公比为. 由；；， 可得，解得或（舍去）， 故 . （2）等差数列前项和为 又 所以化简得 所以是以7为首项，2为公比的等比数列. （3）令 其前项和两式相减得： 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和求和公式，解题时需注意公比不能为.此类题目主要考查学生对基本概念的掌握和计算能力.对于常见的求和方法如错位相减法、倒序相加法、分组求和法、裂项相消法等要熟练掌握. 18．如图，直线分别与抛物线交于和，与x轴分别交于和，直线与的交点为．    (1)当为C的焦点F，且直线与x轴垂直时，．求抛物线C的方程； (2)是否成等比数列？请给予说明； (3)在问题（1）的条件下，若，求面积S的最小值. 【答案】(1)． (2)成等比数列．证明见解答． (3)8． 【分析】（1）由题，求出弦长，即可求出的值； （2）设出点的坐标，分别表示出，再证明即可； （3）由可知，再由（1）的条件求出，从而的面积为，利用基本不等式求最值即可． 【详解】（1）由题：抛物线焦点， 又当为C的焦点F，且直线与x轴垂直时，， 当时，，所以：， 故抛物线C的方程为：． （2）设 即 若，则直线的方程为， 令，得， 即， 若，则， 故． 同理：，所以， 所以， 即成等比数列． （3）由（1）知：抛物线C的方程为． 由（2）知，若， 则（舍）或， 所以， 在（1）的条件下：， 所以的面积为， 当且仅当时取等号； 故的面积最小值为8．    【点睛】本题通过设点法，将其他量分别用表示，找出他们之间的关系，消元计算或求最值即可． 19．如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角△(为坐标原点)的边长为， (1)求的值； (2)记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； (3)是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答. （2）根据给定条件，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项作答. （3）由（2）知，利用累乘法可得，根据作商法判断数列的单调性，结合一元二次不等式恒成立解答即可求解. 【详解】（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得， 而点在曲线上，即，解得， 为正三角形，且， 点在曲线上， ，整理得，解得， 所以，. （2）是正三角形，点，， 于是点在曲线上， 则，即，当时，， 两式相减得：， 整理得， 则，而满足上式，因此，， 即数列是首项为，公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）知 所以， 令 则， 所以，所以是递减数列， 所以， 所以使得不等式 一切正整数都成立， 则， 即， 因为正实数，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$