高二上学期期末模拟卷01-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（重庆专用）

2025新高考高二期末模拟试题一 考试范围：空间向量 圆锥曲线 数列 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D． 2．圆与圆的公切条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．已知点，，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 4．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 7．已知正项数列满足，且，则（    ） A．为等差数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等比数列 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列的前项和，则（    ） A． B．前项和为 C． D． 10．已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（   ） A．当为底面的中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为6 D．当时，为定值 11．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（    ）    A．椭圆的中心在直线上 B． C．直线与椭圆所在平面所成的角为 D．椭圆的离心率为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．直线过点且被圆截得的弦长最短，则直线的方程为 . 13．已知等差数列的前n项和为，，，则 . 14．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 四、解答题 15．已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 16．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是AD的中点，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 17．已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 18．椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． (1)若直线的斜率为1，求直线的方程． (2)求点P的轨迹方程． (3)求四边形面积的取值范围． 19．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求数列和的通项公式; (2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有个元素，求范围； (3)，数列的前项和为，求证： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高二期末模拟试题一 考试范围：空间向量 圆锥曲线 数列 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程的公式列出等式，即可求得离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以， 故选：A. 2．圆与圆的公切条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系来确定正确答案. 【详解】的圆心是，半径， 即，圆心为，半径， ，， 所以两圆相交，公切线有条. 故选：B 3．已知点，，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得为等边三角形，可得面积为，利用点到面的距离公式可得点到平面的距离，再由体积公式即可求解. 【详解】易得，，，， 则， 所以的面积， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以点到平面的距离， 则三棱锥的体积是. 故选：. 4．设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，所以， 故，则， 所以， ， 因此， 故选：B. 5．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，将转化为抛物线上的点到准线的距离，根据圆的定义，将转化为求圆外一点到圆心的距离再减半径，再分析即可． 【详解】设圆的圆心为，半径为，过点作垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知，，所以，当且仅当四点共线时，等号成立，而，所以，即的最小值为4． 故选：B 6．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先证明出为等差数列，然后求解出的通项公式，由此可求结果. 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以是公差为的等差数列， 因为，所以， 所以，所以， 故选：C. 7．已知正项数列满足，且，则（    ） A．为等差数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等比数列 【答案】A 【分析】由条件可得，，结合关系可得，可得，由此判断AC，举反例判断BD. 【详解】因为，数列为正项数列， 所以，，又， 所以， 所以， 所以为等差数列，A正确，C错误； 设，则，，， 满足条件，， 因为，， 所以不是等比数列，不是等差数列，B错误，D错误. 故选：A. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线，直线代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入中，利用韦达定理代入，化简即得， ，由的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围. 【详解】依题意，， 如图，由，可知三点共线，三点共线. 设，，，直线，直线, 由消去，可得， 则，同理可得，显然，，， 由代入坐标可得：，即得， 同理由可得，，由，可得， 同理，，故 （*）， 又点在椭圆上，则有，则（*）式可化成： ，解得，故得， 又，故的离心率的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率（或范围）的方法有三： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 二、多选题 9．已知数列的前项和，则（    ） A． B．前项和为 C． D． 【答案】AB 【分析】A：代入可得结果；B：分组求和可知结果；C：根据可求结果；D：对的结果进行变形，采用裂项相消法求和可知结果. 【详解】A：因为，故正确； B：因为的前项的和为（正负交替）， 的前项的和为，所以的前项和为，故正确； C：因为，当时，， 当时，不符合的情况， 所以，故错误； D：当时，， 所以 ，故错误； 故选：AB. 10．已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（   ） A．当为底面的中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为6 D．当时，为定值 【答案】ACD 【分析】对于A：根据空间向量的线性运算分析求解即可；对于BC：分析可知点在及内部，利用等体积法求最小值，取端点验证最大值；对于D：利用空间向量的数量积可得，进而可求. 【详解】由题意可知：. 对于A，当为底面的中心时， 则， 即，，，所以，故A正确； 对于BC，当时，可知点在及内部， 设，点到平面的距离为， 由题意可知：为等边三角形，且， 可得，， 因为，即，解得， 所以长度的最小值为，故B错误； 若点分别与重合时，长度分别为6，6，3， 所以长度的最大值为6，故C正确； 对于D，若， 则 ， 又因为， 则 ， 所以为定值，故D正确； 故选：ACD. 11．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（    ）    A．椭圆的中心在直线上 B． C．直线与椭圆所在平面所成的角为 D．椭圆的离心率为 【答案】BD 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，    点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A错误； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B正确； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C错误； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．直线过点且被圆截得的弦长最短，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】首先判断点在圆内，不妨令，当直线时，直线被圆截得弦长最短，求出，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】圆的圆心为，因为， 所以点在圆内，不妨令， 当直线时，直线过点且被圆截得的弦长最短， 因为，所以，则直线的方程为，即. 故答案为： 13．已知等差数列的前n项和为，，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列设公差为，由可得，从而求得，利用等差数列求和公式结合裂项相消法求和即可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以，则， 故，所以， 则， 所以 . 故答案为：. 14．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 四、解答题 15．已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设，由，得动点的轨迹方程； （2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程. 【详解】（1）设，则，， 由，得， 所以曲线的标准方程为. （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 过点的直线若斜率不存在，直线方程为，满足与圆相切； 过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即， 由圆心到直线距离，解得， 则方程为. 过点且与曲线相切的直线的方程为或. 16．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是AD的中点，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明,来证明； （2）构建空间直角坐标系，通过求两个面的法向量求解面面夹角； 【详解】（1）    因为平面，平面， 所以， 由，知，， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面. （2）    以C为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则， 故，，， 设平面的法向量， 则，即，取， 由（1）可知为平面ADE的法向量 则， 即平面ADE与平面所成夹角的余弦值. 17．已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，进而结合已知可得，可得结论； （2）结合（1）可得，令，对照系数可得，进而利用累加法可求得. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知 令， 对照系数可得（其中）， . 18．椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． (1)若直线的斜率为1，求直线的方程． (2)求点P的轨迹方程． (3)求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及过的定点，即可求解直线方程； （2）根据，转化为坐标运算，即可求点的轨迹方程； （3）首先分直线的斜率为0或不存在，以及直线的斜率存在且不为0两种情况，利用对角线互斥垂直，利用对角线的长度表示四边形的面积，利用函数关系求取值范围. 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以，, 因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点， 所以直线的方程为，即； （2）设，依题意，，且， ，， 所以，即， 故点的轨迹方程为； （3）依题意，， 过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，， ①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，； ②当的斜率存在且不为0时，设，，， 联立方程，得， ，，， 故， 同理， 故， 令，，则， 其中，故， 综上， 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是将转化为，利用和都过点的特征，且斜率的关系，根据，直接表示. 19．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，． (1)求数列和的通项公式; (2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有个元素，求范围； (3)，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； （2）求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出； （3）设，错位相减法求和得到，设，裂项相消法得到，从而求出，求和证明出结论. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为，设等差数列的公差为， ∵，即，又， 解得或（舍去），， 所以，. （2）， 其中， ∴， 集合，设， ， 所以当时，，当时，． 计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，所以． （3）因为， ， 设①， ②， 上式①②得， ， 所以， 当n为奇数时，， 设 ， . 【点睛】方法点晴，常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$