第04讲 二次函数的应用（8个知识点+8种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第04讲 二次函数的应用（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点2．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点3．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点4．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点5．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点6．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点7．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点8．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型强化 题型一．待定系数法求二次函数解析式 1．（2024•莱芜区校级模拟）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数，是常数，且的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•龙泉驿区校级月考）已知二次函数的图象过点，且对任意实数，都有．则该二次函数的解析式为 　　． 3．（2024•汇川区一模）已知点在抛物线为常数，上． （1）若，， ①求抛物线的解析式； ②若点，在该二次函数的图象上，且点在对称轴左侧、点在对称轴右侧，若，求的取值范围； （2）若时，总有，且当时总有，求的值． 题型二．二次函数的三种形式 4．（2023•青龙县校级一模）将二次函数化为的形式，正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2023•定海区模拟）将二次函数化为的形式为 　　． 6．（2022•定远县模拟）已知二次函数的图象经过点，，． （1）求出此二次函数的解析式，并把它化成的形式； （2）请在坐标系内画出这个函数的图象，并根据图象写出函数值为负数时，自变量的取值范围． 题型三．抛物线与x轴的交点 7．（2024•任丘市校级一模）函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为，，且，．当时，该函数的最大值与最小值的关系式是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•青铜峡市期末）已知二次函数的部分图象如图，则关于的一元二次方程的解为　　． 9．（2024•福建）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 题型四．图象法求一元二次方程的近似根 10．（2024•揭东区一模）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2， 其中正确的结论有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2023•泰安一模）已知二次函数的图象，是常数）与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，，，在该函数图象上．二次函数中，是常数）的自变量与函数值的部分对应值如表： 0 1 3 2 5 5 下列结论：①点的坐标是；②这个函数的最大值大于5；③有一个根在4与5之间；④当，时，．其中正确的为 　　．（将所有正确结论的序号都填入） 12．（2021•北碚区校级模拟）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，；当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象（每个小方格的边长为1个单位长度）并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程的解（精确到． 题型五．二次函数与不等式（组） 13．（2024•蒸湘区一模）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是　　 A． B． C． D．或 14．（2024秋•宁津县校级月考）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 　　． 15．（2024秋•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围． 题型六．根据实际问题列二次函数关系式 16．（2024•西平县三模）如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为　　 A． B． C． D． 17．（2024秋•伊州区校级期中）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则与之间的函数关系式为　　． 题型七．二次函数的应用 18．（2024•长沙县校级模拟）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为　　． A．13 B．14 C．15 D．16 19．（2024秋•香洲区校级期中）汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车刹车后行驶 　　米才能停下来． 20．（2024•光明区二模）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 题型八．二次函数综合题 21．（2023•呼伦贝尔一模）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 22．（2024•大连三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作垂交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 　　． 23．（2024•城关区校级一模）如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． （1）求二次函数的表达式． （2）求线段的长． （3）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？直接写出点的坐标． 分层练习 一、单选题 1．若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数，若存在、，使得与时函数值相等，则当时，函数值为（    ） A． B． C． D． 3．在中考体育训练期间，小学对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为y＝－＋x＋，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（    ） A．米 B．2米 C．8米 D．10米 4．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，抛物线交x轴于（－2，0）、（4，0）两点，则下列判断中，错误的是（    ） A．图像的对称轴是直线x＝1 B．当x1时，y随x的增大而减小 C．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2和4 D．当－2x4时，y0 6．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 7．若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“二倍点”，如：，都是“二倍点”，若抛物线在时恰好有两个“二倍点”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论： ①； ②方程一定有一个根在和之间； ③方程定有两个不相等的实数根； ④； ⑤对于任意实数，都有．其中，正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次函数的图象与直线的交点坐标是 ． 12．已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，则此抛物线的解析式是 ． 13．若抛物线（为常数）与轴的两个交点都在轴的正半轴上，则的取值范围是 ． 14．某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240元，若一次性购买不超过10双时，售价不变，若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元．已知该球鞋进价是每双120元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双． 15．二次函数中的和满足下表： …… 0 1 2 3 …… …… 0 m 0 …… 则的值为 . 16．如图，利用的墙角修建一个四边形的花坛，使得，，如果新建围墙折线总长15米，那么当 米时，花坛的面积会达到最大． 17．如图，抛物线与轴相交于点，与过点平行于轴的直线相交于点（点在第二象限），抛物线的顶点在直线上，且点为的中点，对称轴与轴相交于点，平移抛物线，使其经过点、，则平移后的抛物线的解析式为 ． 18．抛物线交x 轴于点和（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D， 下列五个结论： ①抛物线过点；②；③；④当时，是等腰直角三角形；⑤若抛物线上有两点 和， 若，且，则．其中结论正确的序号是 三、解答题 19．喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件． （1）假设设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，求与之间的函数关系式． （2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润?此时，该商品的定价为多少元?获得的最大利润为多少? 20．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据： 单价（元/件） 30 34 38 40 42 销量（件） 40 32 24 20 16 （1）计算这5天销售额的平均数（销售额=单价销量） （2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量（件）与单价（元/件）之间存在一次函数关系，求关于的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）； （3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？ 21．某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）存在如下图所示的一次函数关系． (1)试求出与的函数关系式； (2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）． 22．随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2023年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2023年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中为一折线）． (1)当时，求每台的销售价格y与x之间的一次函数关系式； (2)设该产品2023年第x个月的销售数量为m（单位：台），m与x的关系可以用来描述．求哪个月的销售收入最多?（销售收入=每台的销售价格×销售数量） 23．如图一，已知直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与y轴交于C． (1)求A、B两点的坐标； (2)设抛物线与x轴的两个交点M、N（M在N左侧），请计算和的面积； (3)在抛物线A、B两点之间有一动点P，的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由； 24．已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．   （1）若，函数图象与轴只有一个交点，求的值； （2）若，，设点的横坐标为，求证：； （3）若，，问是否存在实数，使得在时，随的增大而增大？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 25．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点A，点是抛物线的顶点． 图1图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为轴上一点，连接交于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接、，在抛物线上是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程： （Ⅰ）列表（完成以下表格）． x … 0 1 2 3 4 5 … … 12 5 0 — 0 5 12 … … 12 5 0 — — — 0 5 12 … （Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．    （Ⅲ）根据图象解决以下问题： （1）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是______． （2）设函数的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C． ①求直线BC的解析式； ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的应用（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点2．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点3．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点4．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点5．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点6．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点7．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点8．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型强化 题型一．待定系数法求二次函数解析式 1．（2024•莱芜区校级模拟）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数，是常数，且的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立，的方程组，解方程组即可得到函数的解析式，画出函数的图形即可得到答案． 【解答】解：当时，， 整理得， 根据题意得△， 二次函数经过点， ， 整理得， ，解方程组得， ，函数的解析式为：， 整理得：， 函数的图象如下： 时，时，解得或，当时，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图象是解题的关键． 2．（2024春•龙泉驿区校级月考）已知二次函数的图象过点，且对任意实数，都有．则该二次函数的解析式为 　　． 【分析】令，解之可得交点为，则二次函数图象必过，又过，则把两点坐标代入解析式可得，又，整理可得，所以且△，则可得，从而求得二次函数解析式． 【解答】解：不妨令，解得：， 当时，． 必过， 又过， ， 解得：， ． 又， ， 整理得：， 且△， ， ， ，，． 该二次函数解析式为， 令， ，即，恒成立， 对任意实数，都有， 符合题意， 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的特征，掌握待定系数法，二次函数图象上点的特征，坐标轴的交点坐标，二次函数与一元二次方程的联系，根的判别式是解题的关键． 3．（2024•汇川区一模）已知点在抛物线为常数，上． （1）若，， ①求抛物线的解析式； ②若点，在该二次函数的图象上，且点在对称轴左侧、点在对称轴右侧，若，求的取值范围； （2）若时，总有，且当时总有，求的值． 【分析】（1）①将坐标代入求出的值，从而写出其解析式即可； ②求出抛物线的对称轴，根据题意列关于的一元一次不等式组并求解即可； （2）先判断还是，再根据其增减性求出点的一个坐标，将其代入抛物线求出的值即可． 【解答】解：（1）①将坐标代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． ②抛物线的对称轴方程是， 根据题意，得， 解得． （2）当时，，与题意不符， ． 抛物线开口向下，对称轴方程为， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 当时，， 将坐标代入， 得， 解得． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式等，利用待定系数法求二次函数的解析式、掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型二．二次函数的三种形式 4．（2023•青龙县校级一模）将二次函数化为的形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式． 5．（2023•定海区模拟）将二次函数化为的形式为 　　． 【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：，、、为常数）； （2）顶点式：； （3）交点式（与轴）． 6．（2022•定远县模拟）已知二次函数的图象经过点，，． （1）求出此二次函数的解析式，并把它化成的形式； （2）请在坐标系内画出这个函数的图象，并根据图象写出函数值为负数时，自变量的取值范围． 【分析】（1）设函数解析式为，将，，分别代入解析式，得到三元一次方程组，求解即可得二次函数的一般式；再用配方法得到顶点式； （2）求出顶点坐标、图象与轴、轴的交点，连接各点，即可得到函数的图象． 【解答】解：（1）将，，分别代入解析式，得， ， 解得，， 则函数解析式为． 即； （2）根据可知， 其顶点坐标为， 又当时，， ，． 则图象与轴的交点坐标为，． 当时，． 故函数图象与轴的交点为．故可得函数图象为： 根据图象写出函数值为负数时，自变量的取值范围或． 【点评】此题考查了二次函数的一般形式和顶点式，解题的关键是用待定系数法求函数解析式和根据函数关键点画函数图象． 题型三．抛物线与x轴的交点 7．（2024•任丘市校级一模）函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为，，且，．当时，该函数的最大值与最小值的关系式是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为，，从而，又，可得，，又，求得，进而得对称轴为直线，再由二次函数的图象与性质，可得当时，函数的最大值与最小值，消去即可得解． 【解答】解：函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为，， ． 又， 解得：，， ， ． 对称轴为直线． 又抛物线， 当时，随的增大而减小． 当时，函数在时，取得最小值，即， 在时，取得最大值，即． ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 8．（2023秋•青铜峡市期末）已知二次函数的部分图象如图，则关于的一元二次方程的解为　　． 【分析】根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，把该点代入方程，求得值；然后把值代入关于的一元二次方程，求根即可． 【解答】解：根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，所以该点适合方程，代入，得 解得，① 把①代入一元二次方程，得 ，② 解②，得 ， 关于的一元二次方程的解为， 故答案为或1． 【点评】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率． 9．（2024•福建）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【分析】（1）依据题意，将，代入建立方程组求出，即可得解； （2）依据题意，设，，，又的面积是的面积的2倍，从而可得，．，进而可得．，又，可得，进而建立方程求出即可得解． 【解答】解：（1）由题意，将，代入得 二次函数的表达式为． （2）由题意，设，，， 又的面积是的面积的2倍， ，． ． 又， ． 由， ， （舍去）． 点坐标为． 【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 题型四．图象法求一元二次方程的近似根 10．（2024•揭东区一模）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2， 其中正确的结论有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由抛物线与轴交点个数可判断②，由，时可判断③，由时函数取最大值可判断④，由函数与直线及直线的交点横坐标为方程的解及抛物线的对称轴为直线可判断⑤． 【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误． 抛物线与轴有2个交点， △， ，②错误． 时，， ， ， ， ， ，③正确． 时，为函数最大值， ， ， ， ，④正确． 方程的四个根分别为和的根， 抛物线关于直线对称， 抛物线与直线的交点的横坐标为之和为2， 抛物线与直线的交点横坐标为之和为2， 方程的四个根的和为4，⑤错误． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 11．（2023•泰安一模）已知二次函数的图象，是常数）与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，，，在该函数图象上．二次函数中，是常数）的自变量与函数值的部分对应值如表： 0 1 3 2 5 5 下列结论：①点的坐标是；②这个函数的最大值大于5；③有一个根在4与5之间；④当，时，．其中正确的为 　　．（将所有正确结论的序号都填入） 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解． 【解答】解：将，代入得， 解得， ， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 对称轴为直线，函数的最大值为6， ①错误，②正确． 把代入得，， 把代入得，， 抛物线与直线交点的横坐标在4与5之间， 有一个根在4与5之间，③正确； ，， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ．④正确． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 12．（2021•北碚区校级模拟）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，；当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象（每个小方格的边长为1个单位长度）并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程的解（精确到． 【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题． （2）利用描点法画出函数图象，观察图象，写出函数的性质即可． （3）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）把，；，代入中，得， 解得， 这个函数的表达式为； （2）列表： 0 1 4 6 0 2 3 1 描点，连线画出函数的图象如图： 由图象可知函数有最大值3； （3）由图象可知方程的解为，，，． 【点评】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，一次函数的图象与性质，利用图象求一元二次方程的近似根，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型五．二次函数与不等式（组） 13．（2024•蒸湘区一模）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【分析】根据图象得到二次函数图象在直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可． 【解答】解：根据图象，函数和的图象的两交点的横坐标为2和， 当或时，二次函数图象在直线的下方， 当时，的取值范围是或， 故选：． 【点评】本题考查二次函数、一次函数与不等式的综合，解答的关键是找到两图象的交点的横坐标． 14．（2024秋•宁津县校级月考）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 　　． 【分析】求出图象与轴的交点，然后由图象找出当时，自变量的范围，本题考查数形结合的思想方法． 【解答】解：关于直线的对称点为：， 根据图象可得，不等式的解集是， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与轴的交点． 15．（2024秋•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围． 【分析】（1）把点坐标代入中求出，从而得到抛物线解析式； （2）先求出过点的正比例函数解析式为，然后利用函数图象确定的范围． 【解答】解：（1）把代入得， 解得， 抛物线解析式为； （2）把代入得， 解得， 当时，对于的每一个值，都有． 【点评】本题考查了利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解 题型六．根据实际问题列二次函数关系式 16．（2024•西平县三模）如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据铁丝的长度及弯成的长方形的一边长，可得出与该边相邻的一边长为，利用长方形的面积公式，即可找出与之间的函数关系式． 【解答】解：铁丝的长度为，且弯成的长方形的一边长为 ， 与该边相邻的一边长为． 根据题意得：， 即． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键． 17．（2024秋•伊州区校级期中）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则与之间的函数关系式为　　． 【分析】由原价为可以得到第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为，由此即可得到函数关系式． 【解答】解：原价为， 第一次降价后的价格是， 第二次降价为 ． 故填空答案：． 【点评】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于的二次函数． 题型七．二次函数的应用 18．（2024•长沙县校级模拟）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为　　． A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】依据题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可判断得解． 【解答】解：由题意得，， ， 当时，最大． 当时，汽车停下来，滑行了． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能将二次函数解析式化为顶点式是关键． 19．（2024秋•香洲区校级期中）汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车刹车后行驶 　　米才能停下来． 【分析】根据题意化为顶点式，飞机滑行的最远距离也就是取得的最大值，本题得以解决． 【解答】解：， 当时，取得最大值， 此时，即飞机着陆后滑行600米飞机才能停下来． 故答案为：600． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 20．（2024•光明区二模）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）依据题意，设每次上涨的百分率为，再由题意列出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个售价为元，根据总利润单件利润销售数量，即可列出关于的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为． （2）由题意，设每个售价为元， 每天的利润 ． 当时，每天的最大利润为6125． 每个应降价元，即每个应降价20元． 答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． 题型八．二次函数综合题 21．（2023•呼伦贝尔一模）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 【分析】根据抛物线和圆的性质可以知道，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，得出阴影部分面积即可． 【解答】解：抛物线与抛物线的图形关于轴对称，直线与轴的正半轴的夹角为， 根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形， 并且扇形的圆心角为，半径为2， 所以：． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的综合题，题目中的两条抛物线关于轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积． 22．（2024•大连三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作垂交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 　　． 【分析】①当与原点重合时，，此时矩形不存在；②当在与轴的交点上时，矩形与图象有三个公共点；③时，矩形与图象只有两个公共点；④由②中可知，当时，矩形与图象有四个公共点；⑤当点在上时，矩形与图象有三个公共点；⑥当时，矩形与图象只有三个公共点；⑦当时，矩形与图象只有两个公共点． 【解答】解：由题意知，的解析式为，的解析式为； ①当与原点重合时，，此时矩形不存在； ②当在与轴的交点上时，矩形与图象有三个公共点，如图： 当时，，即； 故当时，矩形与图象有三个公共点； ③时，矩形与图象只有两个公共点，如图所示； ④由②中可知，当时，矩形与图象有四个公共点； ⑤如图，当点在上时，矩形与图象有三个公共点； 设直线的解析式为，把点坐标代入得，即， 点向上平移两个单位长度得到点， ， 点的纵坐标为，即， 把点坐标代入，得：， 解得：，（舍去）， ， 即点的以坐标为， 故； ⑥当时，矩形与图象只有三个公共点，如图； ⑦当时，矩形与图象只有两个公共点，如图； 综上，当或或时，矩形与图象有三个公共点， 故答案为：或或． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的交点，二次函数图象的平移等知识；利用二次函数的性质，分情况利用数形结合的方法分析求解即可． 23．（2024•城关区校级一模）如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． （1）求二次函数的表达式． （2）求线段的长． （3）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？直接写出点的坐标． 【分析】（1）代入和，解方程组即可； （2）令，求出点的坐标，利用两点间距离公式求解即可； （3）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③． 【解答】解：（1）把和代入， ， 解得：，， 二次函数的表达式为：； （2）令抛物线，则， 解得或， 根据题意：， ， ； （3）， 点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图， ①当时，， 又， ，； ②当时，， ； ③当时， ， 此时与重合， ； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】抛物线与轴有交点，说明，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数 （，，是常数，），决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 2．已知二次函数，若存在、，使得与时函数值相等，则当时，函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】根据与时函数值相等，得出之间的关系，再将代入中即可求出函数值. 【详解】根据与时函数值相等，得出 将代入中，得 故选D 【点睛】本题主要考查已知二次函数的解析式求函数值，能够找到之间的关系是解题的关键. 3．在中考体育训练期间，小学对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为y＝－＋x＋，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（    ） A．米 B．2米 C．8米 D．10米 【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】令y=0，求得x的值，取正值即可． 【详解】∵y＝－＋x＋， 令y=0， ∴－＋x＋=0， ∴， 解得x=8或x=-2(舍去)， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，正确解方程是解题的关键． 4．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】直接根据图像求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵两个交点坐标分别为，， ∴方程的解为，． 故选D． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型． 5．如图，抛物线交x轴于（－2，0）、（4，0）两点，则下列判断中，错误的是（    ） A．图像的对称轴是直线x＝1 B．当x1时，y随x的增大而减小 C．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2和4 D．当－2x4时，y0 【答案】D 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与x轴的交点问题，以及二次函数与一元二次不等式的关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、对称轴为直线x==1，正确，故本选项不符合题意； B、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； C、一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2和4正确，故本选项不符合题意； D、应为当-2＜x＜4时，y＞0，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 6．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【答案】A 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-=-1， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＜-4或x＞2时，y＜0． 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 7．若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“二倍点”，如：，都是“二倍点”，若抛物线在时恰好有两个“二倍点”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，求根公式的运用，根据抛物线在时恰好有两个“二倍点”，可得，再根据，及求根公式即可求解，掌握抛物线与轴有两个交点，一元二次方程根据的判别式，求根公式的运用是解题的关键． 【详解】解：抛物线在时恰好有两个“二倍点”， ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∵自变量的取值范围是， ∴，解得，；，解得，， ∴解集为：， ∴的取值范围是， 故选：． 8．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论： ①； ②方程一定有一个根在和之间； ③方程定有两个不相等的实数根； ④； ⑤对于任意实数，都有．其中，正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，． 故⑤正确； 综上，①③⑤正确，共3个． 故选：C． 9．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据二次函数图象，依次判断、、，可判断①；根据抛物线的对称性与过点（3，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1，0)，可判断②；根据图象，可知y是有最大值，但不一定是3，可判断③；由函数与的图象有两个交点，可判断④；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），可知，再根据、推导，可判断⑤；从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴，故②正确； 根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由可得， 根据图象，抛物线与直线有交点， ∴有实数根，故④正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，即，故⑤正确． 综上所述，正确的为②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 10．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】过点作于点，利用勾股定理以及面积法求得的长，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可； 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， 当， ， ， ， ，即， ， ，开口向上的一段抛物线； 当， 同理可证， ，即， ， ，开口向下的一段抛物线； 综上，符合题意的函数关系的图象是D； 故选：D． 【点睛】本题考查了动点函数图象问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的图象，在图象中应注意自变量的取值范围． 二、填空题 11．二次函数的图象与直线的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】联立两个函数解析式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴次函数的图象与直线的交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与直线的交点问题，联立函数解析式求解是解答本题的关键． 12．已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据题意设出抛物线的顶点形式，将代入即可确定出解析式． 【详解】解：根据题意设， 将代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为． 故答案为： 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 13．若抛物线（为常数）与轴的两个交点都在轴的正半轴上，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据题意可得：抛物线与y轴交于正半轴，从而 且 ，即可求解． 【详解】解：设x1，x2是抛物线和x轴的交点横坐标， ∵抛物线y＝x2﹣x﹣k与x轴的两个交点都在x轴正半轴上， ∴ 且 ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和图象，熟练掌握二次函数的性质和图象，运用数形结合思想是解题的关键． 14．某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240元，若一次性购买不超过10双时，售价不变，若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元．已知该球鞋进价是每双120元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双． 【答案】11 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．根据题意，写出与的函数关系式，分别根据一次函数和二次函数的性质得到两种情况下获得的最大利润，然后比较大小即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，与的函数关系式为； 当时，，， ∴y随x的增大而增大， 当时，取得最大值1200， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值1210， ， 当时，该鞋店获利最多， 答：当顾客一次性购买11双时，该网店从中获利最多． 故答案为：11． 15．二次函数中的和满足下表： …… 0 1 2 3 …… …… 0 m 0 …… 则的值为 . 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】通过表格中的数据可以求出二次函数的表达式，再将代入函数解析式，求得的值． 【详解】将，，代入 得 解得 故 将，代入函数解析式 得 故的值为． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的步骤． 16．如图，利用的墙角修建一个四边形的花坛，使得，，如果新建围墙折线总长15米，那么当 米时，花坛的面积会达到最大． 【答案】5 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】过点A作于E，则四边形为矩形，再证明是等腰直角三角形，得出，则，然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解． 【详解】解：如图： 过点A作于E，则四边形为矩形，， 则， 设， 在中， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴梯形面积 ， ， ∵， 抛物线开口向下， ∴S有最大值， ∴当时， ． 也就是当CD长为时，才能使储料场的面积最大， 故答案为：5． 【点睛】此题考查二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数，进一步利用函数的性质解决问题． 17．如图，抛物线与轴相交于点，与过点平行于轴的直线相交于点（点在第二象限），抛物线的顶点在直线上，且点为的中点，对称轴与轴相交于点，平移抛物线，使其经过点、，则平移后的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数图象的平移 【分析】先确定A（0，8），则表示出B点坐标（-b，8）（b＞0），利用点C为OB的中点可得到C（-b，4），根据抛物线的顶点坐标公式得到=4，解得b=4或b=-4（舍去），所以抛物线解析式为y=x2+4x+8=（x+2）2+4，则D（-2，0），然后设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，再把A点和D点坐标代入得到m、n的方程组，接着解方程组求出m、n即可． 【详解】解：当x=0时，y=x2+bx+8=8，则A（0，8）， ∵AB∥x轴， ∴B点的纵坐标为8， 当y=8时，x2+bx+8=8，解得x1=0，x2=-b， ∴B（-b，8）（b＞0）， ∵点C为OB的中点， ∴C（-b，4）， ∵C点为抛物线的顶点， ∴=4，解得b=4或b=-4（舍去）， ∴抛物线解析式为y=x2+4x+8=（x+2）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x=-2， ∴D（-2，0）， 设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n， 把A（0，8），D（-2，0）代入得， ，解得 ， 所以平移后的抛物线解析式为y=x2+6x+8． 故答案为y=x2+6x+8． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了抛物线的几何变换． 18．抛物线交x 轴于点和（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D， 下列五个结论： ①抛物线过点；②；③；④当时，是等腰直角三角形；⑤若抛物线上有两点 和， 若，且，则．其中结论正确的序号是 【答案】①③⑤ 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】①把代入解析式，求得函数值即可判断；②根据根与系数的关系即可判断；③根据抛物线与x轴有两个不同的交点得到对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式进行求解即可；④当时，求出抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴，利用勾股定理的逆定理即可判断；⑤根据二次函数图象即可判断． 【详解】解：①∵把代入得，， ∴抛物线过点，故①正确； ②∵抛物线交x轴于点和， ∴a、b是方程的两个根， ∴，故②错误； ③∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴方程有两个不相同的实数根， ∴， ∴，故③正确； ④当时，则二次函数解析式为， 令，则，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为、， 顶点坐标为， ∴， ∵， ∴不是等腰直角三角形，故③错误； ⑤∵，， ∴或，且， 又∵二次函数开口向下， ∴，故五正确． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点坐标、等腰直角三角形的判定，解决本题的关键是综合利用以上知识． 三、解答题 19．喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件． （1）假设设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，求与之间的函数关系式． （2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润?此时，该商品的定价为多少元?获得的最大利润为多少? 【答案】（1）；（2）每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1） ． （2） 所以，当时，y取得最大值为2250． 答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润=一件的利润销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． 20．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据： 单价（元/件） 30 34 38 40 42 销量（件） 40 32 24 20 16 （1）计算这5天销售额的平均数（销售额=单价销量） （2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量（件）与单价（元/件）之间存在一次函数关系，求关于的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）； （3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？ 【答案】（1）934．4；（2）；（3）当=35元/件时，工厂获得最大利润450元． 【知识点】求一组数据的平均数、其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）计算出这五天的销售额的总和除以5即可得这5天销售额的平均数； （2）设出一次函数的表达式，利用待定系数法即可求得函数关系式； （3）设利润为元，产品的单价为元/件，根据“利润=每件产品的利润×该产品的销售量”列出w与x的关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）． （2）设所求一次函数关系式为， 将代入，得 解得 ∴． （3）设利润为元， 产品的单价为元/件，根据题意，得 == ∴当=35元/件时，工厂获得最大利润450元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数在销售问题中的应用，平均数的含义，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）存在如下图所示的一次函数关系． (1)试求出与的函数关系式； (2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）． 【答案】(1) (2)当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元 (3) 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用： （1）由图象过点和易求直线解析式； （2）每天利润每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答； （3）求出当时，x的直即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由图象可知 解得 ， 与的函数关系式为：； （2）解：由题意得 ． ， 有最大值． ∴当时，P有最大值，最大值为． ∴当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元． （3）解：当时，则， 整理得， 解得，， ， 抛物线的开口向下， ∴当每天利润不得低于4320元时，销售单价的范围为． 22．随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2023年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2023年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中为一折线）． (1)当时，求每台的销售价格y与x之间的一次函数关系式； (2)设该产品2023年第x个月的销售数量为m（单位：台），m与x的关系可以用来描述．求哪个月的销售收入最多?（销售收入=每台的销售价格×销售数量） 【答案】(1) (2)第5个月收入最高，理由见解析 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为． ∵图象过两点， ，解得， ∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为； （2）解：设销售收入为万元， ①当时， ∵， ∴当时，； ②当时， ， ∵， ∴当时，， 因 ∴第5个月收入最高． 23．如图一，已知直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与y轴交于C． (1)求A、B两点的坐标； (2)设抛物线与x轴的两个交点M、N（M在N左侧），请计算和的面积； (3)在抛物线A、B两点之间有一动点P，的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)， (2)， (3)存在，，理由见解析 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）联立与得：，解得：或6， 即可求解； （2）令，则，则点M、N的坐标分别为、，即可求解； （3）设点，则点，由的面积即可求解． 【详解】（1）解：联立与得： ， 解得：或6， 当时，， 当时，， 即点A、B的坐标分别为，； （2）令，则， 即点M、N的坐标分别为、， 则的面积， 的面积； （3）存在，理由： 过点P作轴交于点H， 设点，则点， 则的面积 ， ∴的面积存在最大值，最大值为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、面积的计算等，有一定的综合性，难度不大． 24．已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．   （1）若，函数图象与轴只有一个交点，求的值； （2）若，，设点的横坐标为，求证：； （3）若，，问是否存在实数，使得在时，随的增大而增大？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）不存在，理由见解析． 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据条件，抛物线化为：y=﹣x2+bx﹣b+1，由△=0即可解决问题． （2）根据条件，抛物线化为：y=ax2﹣（a+1）x+1，令y=0求出点B横坐标即可． （3）不存在．由题意：z=y﹣m2x=x2﹣（c+1+m2）x+c，根据对称轴的位置即可判断． 【详解】解：（1）把点A（1，0）代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0． ∵a=﹣1，∴c=﹣b+1，∴抛物线为y=﹣x2+bx﹣b+1，由题意△=0，∴b2﹣4b+4=0，∴（b﹣2）2=0，∴b=2． （2）∵b=﹣a﹣c，c=1，∴抛物线为y=ax2﹣（a+1）x+1，令y=0，则有ax2﹣（a+1）x+1=0，∴（x﹣1）（ax﹣1）=0，∴x=1或． ∵0＜a＜1，∴＞1，∴B点的横坐标为xB＞1． （3）不存在．理由如下： ∵b=﹣a﹣c，a=1，∴b=﹣1﹣c，∴抛物线为y=x2﹣（c+1）x+c，∴z=y﹣m2x=x2﹣（c+1+m2）x+c． ∵对称轴x=． 又∵c≥3，m2≥0，∴对称轴x＞0，∴当0＜x＜时，z随x的增大而减小，∴这样的m不存在． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题，学会利用参数解决问题是解题的关键，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型． 25．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点A，点是抛物线的顶点． 图1图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为轴上一点，连接交于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接、，在抛物线上是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求解一元二次方程确定点，连接．延长交轴于，利用全等三角形的判定得出，设解析式，利用待定系数法确定函数解析式，得出，从而确定点的坐标； （3）根据题意分两种情况：设，①如图，当交x轴于G时；②如图，当与x轴交于点N时；分别利用相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点问题求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中 ∴ ∴； （2）当时， ， 解得：， ∴ 连接．延长交轴于 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 设解析式，将点代入得： ∴ ∴ ∴ ∴； （3）根据题意分两种情况：设 ①如图，当交x轴于G时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，   ∴， ∴， ∴ 同理可求得CG的解析式为：， 则 ∴， 解得：(舍)，， 当时，， ∴； ②如图，当与x轴交于点N时，过B作于P， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得的解析式为：， 联立方程组得： 解得：(舍)，， 因为点M在抛物线上，所以当时，， ∴ 综上所述，存在点或，使得． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，综合性较强，解题关键是理解题意，进行分类讨论． 26．某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程： （Ⅰ）列表（完成以下表格）． x … 0 1 2 3 4 5 … … 12 5 0 — 0 5 12 … … 12 5 0 — — — 0 5 12 … （Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．    （Ⅲ）根据图象解决以下问题： （1）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是______． （2）设函数的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C． ①求直线BC的解析式； ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时m的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）（1）（2）①或 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】(1)根据x是取值范围，去掉绝对值符号，分段画函数图象；观察图象直接求解不等式； (2)画出函数图象，通过观察可知，时就有三个交点；当直线平移时发现，直线与二次函数有两个相同交点时是三个交点变化的临界值，因此求这个值即可． 【详解】（Ⅰ）表格中当时，；当时对应值为；时，； 故答案为： （Ⅱ）草图为：      （Ⅲ） （1）结合图像，时，的图象在图像的下方， ∴解集为：， 故答案为：；    （2）①由表格可以得到：， ∴设直线的解析式为，， 解得：， ∴； ②由图象可知，与有三个交点， ∴时满足，    设平移后的直线为, 由图象可知，当时，两图象会有3个交点，找到直线和有两个相同交点时，    ∴, ∴， ， 解得：， 综上所述：.或． 【点睛】本题考查绝对值的性质，二次函数的图象，两个函数图象的交点，能够根据x的取值范围去掉绝对值符号，分段画出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$