第10讲 带电粒子的临界和多解问题（复习篇）【2知识点+8强化点】--【寒假自学课】2025年高二物理寒假提升精品讲义（人教版2019）

第10讲 带电粒子的临界和多解问题（复习篇） 考点聚焦：复习要点+知识网络，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：带电粒子在有界磁场中的临界问题 带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解． 临界点常用的结论： (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． (2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长． (3)当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长． 知识点2：带电粒子在磁场中运动的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题． (1)找出多解的原因． (2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况． 强化点一 放缩圆模型 适用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 【典例1】一匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束粒子在纸面内从a点垂直于射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为、电荷量为。则粒子在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有 又有 设粒子运动轨迹所对的圆心角为，则运动时间为 可知，越大，运动时间越长，当粒子运动时间最长时，运动轨迹如图所示，可知越大则越小，而 即当圆弧经过c点时最大，此时最大 由几何关系有 解得 联立可得 故选B。 【变式1-1】（多选）如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（重力不计）从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是（　　） A．若该粒子的入射速度为v＝ ，则粒子一定从AD边射出磁场 B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝ C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝ D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为 【答案】BD 【详解】A．若该粒子的入射速度为v＝ ，则由 可得 由几何关系可知，粒子将从CD边的中点射出磁场，故A错误； BC．由 可得 即粒子在磁场中的运动半径越大，速度就越大；由几何关系可得，当粒子的轨迹与AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子的轨迹半径为 所以粒子的最大速率为 故B正确、C错误； D．由 可得粒子在磁场中的运动周期 即运动周期与轨迹半径、粒子速度都无关；所以粒子在磁场中的运动时间取决于运动轨迹所对应的圆心角，所以粒子从AC边射出时运动时间最长，因为此时运动轨迹对应的圆心角为，其在磁场中的运动时间为 故D正确。 故选BD。 【变式1-2】（多选）如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A=60°，AO=a。在O点放置一个电子源，可以向OC方向发射速度不同的电子，电子的比荷为，发射速度为，对于电子进入磁场后的运动（不计电子的重力），下列说法正确的是（　　） A．电子不可能打到A点 B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长 C．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大 D．在AC边界上有一半区域有电子射出 【答案】CD 【详解】A．电子带负电，由左手定则可知，电子垂直射入磁场后沿顺时针方向做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 由题意可知，发射速度为 代入可得则电子的轨道半径 当电子速度 时，轨道半径 此速度方向与OC夹角为60°入射时，粒子恰好从A点飞出，如图所示 A错误； BC．电子在磁场中做圆周运动的周期 在磁场中的运动时间 电子在磁场中转过的圆心角越大，电子的运动时间越长，电子运动轨迹的长度为 相同电子运动时间相同，由于r不同，则电子的运动轨迹不同，电子的运动时间长，其运动轨迹线不一定长，B错误，C正确； D．当电子沿方向射入电场 时，轨道半径 时，电子的运动轨迹是以A为圆心的圆弧，由于AO长度为a，∠A=60°，则AC的长度为2a，电子恰好从AC中点飞出，因此在AC边界上只有一半区域有电子射出，轨迹如图所示 D正确。 故选CD。 强化点二 “旋转圆”模型 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定 方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 【典例2】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则这两种情况下带电粒子从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t1∶t2为（　　） A．1∶2 B．2∶1 C．∶1 D．1∶1 【答案】D 【详解】由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由 可知 R＝ 又 即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。 若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点M离P点最远时，则 MP＝2R1 同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子在磁场边界的出射点N离P点最远时，则 NP＝2R2 由几何关系可知 R2＝Rcos 30°＝R 则 由轨迹图可知，这两种情况下带电粒子的对应的圆心角相等，故带电粒子从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t1∶t2为1:1，ABC错误，D正确。 故选D。 【变式2-1】（多选）如图所示，等腰直角三角形MON的直角边MO长度为L，在MON区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。三个相同的带电粒子从M点沿MO方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1：t2：t3=3：3：2，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能带正电 B．三个粒子速度的大小关系可能是v2<v1<v3 C．粒子的比荷 D．从ON边射出的粒子与O点的距离为 【答案】BD 【详解】A．粒子要进入磁场，所以洛伦兹力向右，根据左手定则，粒子带负电。A错误； B．粒子从MN边射出时，时间相等，从ON边射出时，偏转角较小，时间较短，所以粒子以速度v1、v2射入时，从MN边射出，二者速度大小无法确定，粒子以v3射入，从ON边射出，半径最大，根据 可知，其速度最大。B正确； C．粒子以速度v1、v2射入时，从MN边射出，偏转角为90°，则有 解得 C错误； D．根据时间关系可知，粒子从ON边射出时，偏转角为60°，根据几何关系，从ON边射出的粒子与O点的距离为 D正确。 故选BD。 【变式2-2】（多选）如图所示，在边长为L的正方形区域ABCD内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m，电荷量为q的带电粒子（不计重力），分别以相同的速率v从A点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿AC方向射入时，垂直于BC边射出磁场。则粒子（　　） A．带负电 B．运动速率 C．在磁场中运动的最长时间 D．在磁场中运动的最长时间 【答案】BC 【详解】A．由左手定则可知粒子带正电，选项A错误； B．根据粒子的运动轨迹可知 由 可得 选项B正确； CD．从C点射出的粒子在磁场中运动的时间最长，圆弧所对的圆心角为60°，则最长时间为 选项C正确，D错误。 故选BC。 强化点三 “平移圆”模型的应用 适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 【典例3】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1：t2为（　　） A．2：1 B．4：3 C．3：2 D． 【答案】C 【详解】由带电粒子从A点沿AB方向射入磁场可知粒子做圆周运动的圆心在AD及其延长线上，又有粒子恰好从C点飞出磁场，故可得：粒子运动半径为L，粒子从A到C转过的中心角θ=90°；那么，P点入射的粒子的半径，根据 半径和从A点射入的相等，所以从P点入射的粒子的圆心在AD延长线上距D点处，那么粒子转过的中心角为 即 θ′=60° 运动时间 所以 故选C。 【变式3-1】（多选）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，d为ac边的中点，e为bc边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从a点以大小不同的速度沿ab方向射入磁场，分别从d、c、e点射出磁场，所用时间分别为t1、t2、t3，且t1：t3=3：2，若t3已知，则（　　） A．t2：t3=3：2 B．带电粒子的比荷为 C．从c点与从e点射出的速度大小之比为 D．从d点与从e点射出的速度大小之比为 【答案】AD 【详解】A．粒子运动轨迹如图所示 从d、c两点射出时，对应的圆心角相等，都等于90°，所以，他们在磁场中运动时间也相等，即，又由于t1：t3=3：2，因此 t2：t3=3：2 故A正确； B．由于t1：t3=3：2，又因为，从d点射出时对应的圆心角为90°，所以，从e点射出时，对应的圆心角为60°，即 变形得 故B错误； CD．设ab=L，由几何关系得 根据牛顿第二定律得 由于q、m、B相同，速度与半径成正比 故C错误、D正确； 故选AD。 【变式3-2】（多选）纸面内有一矩形边界磁场ABCD，磁场方向垂直于纸面（方向未画出），其中AD=BC=L，AB=CD=2L，一束β粒子以相同的速度v0从B点沿BA方向射入磁场，当磁场为B1时，β粒子从C射出磁场；当磁场为B2时，β粒子从D射出磁场，则（　　） A．磁场方向垂直于纸面向外 B．磁感应强度之比B1：B2=5：1 C．速度偏转角之比θ1：θ2=180：37 D．运动时间之比t1：t2=36：53 【答案】BD 【详解】A．由带负电的β粒子(电子)偏转方向可知，粒子在B点所受的洛伦兹力方向水平向右，根据左手定则可知，磁场垂直于纸面向里，A错误； B．粒子运行轨迹： 由几何关系可知： 又： 解得： 洛伦兹力提供向心力： 解得： 故，B正确； C．偏转角度分别为： θ1=180° θ2=53° 故速度偏转角之比，C错误； D．运动时间： 因此时间之比： D正确。 故选BD。 强化点四 “磁聚焦”和“磁发散”模型 （1）带电粒子的会聚 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点． （2）带电粒子的发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散) 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)． 【典例4】如图所示，在直角坐标系xoy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外．许多质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域．不计重力及粒子间的相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R=mv/qB，正确的图是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，以轴为边界的磁场，粒子从 轴进入磁场后在离开，速度与 轴的夹角相同，根据左手定和，知沿x轴负轴的刚好进入磁场做一个圆周，沿y轴进入的刚好转半个周期，如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方，故D正确； 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动 【名师点睛】本题考查分析和处理粒子在磁场中运动的轨迹问题，难点在于分析运动轨迹的边界，可以运用极限分析法分析． 【变式4-1】如图，矩形abcd的长ad＝0.6m，宽ab＝0.3m，o、e分别是ad、bc的中点，以o、e为圆心有两个半径均为R＝0.3m的四分之一圆弧，区域obedo内有方向垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25T。一群不计重力、质量m＝3×10－9kg、电荷量q＝2×10－5C的带正电粒子垂直于ad边以v＝5×102m/s的速度射入磁场区域。下列判断正确的是（   ） A．所有粒子射出磁场时的速度方向都平行 B．所有粒子在磁场中运动的时间都相等 C．从od边射入的粒子，出射点都在e点 D．从ao边射入的粒子，出射点都在b点 【答案】D 【详解】C．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力： 得： 因，从边射入的粒子，形成以为半径的圆弧，从点射入粒子的从点出去； 同理从之间射入的其他粒子，到边界处速度均竖直向上，因边界上无磁场，之间所有粒子全部通过点，C错误； ABD．从边射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某一个粒子在点进入磁场，其圆心为，如图所示： 根据几何关系，可知虚线的四边形是菱形，则粒子的出射点一定是从点射出。同理可知，从边射入的粒子，出射点全部从点射出，但射出的速度方向并不相同，根据运动轨迹可知，从边射入的粒子在磁场中运动的圆心角不相同，所以运动时间不相同，AB错误，D正确。 故选D。 【变式4-2】如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板。从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场射入大量带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m。不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（　　） A．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN上 B．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长 C．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线不可能过圆心O D．当入射速度时，粒子射出磁场后一定垂直打在MN上 【答案】D 【详解】AC．如图所示的两个三角形的三条边对应相等，这两个三角形全等，粒子一定沿着半径方向射出磁场，其出射方向的反向延长线一定通过圆心O，射出磁场的粒子不一定能垂直打在MN上，AC错误； D．当入射速度时 解得 粒子水平射出，一定垂直打在MN上，D正确； B．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长，弦切角越小，圆心角越小，在磁场中的运动时间越短，B错误。 故选D。 强化点五 带电粒子电性不确定形成的多解 如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。 【典例5】（多选）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回（水平速度不变，竖直方向速度等大反向）。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 【答案】CD 【详解】AC．若粒子带正电，根据题意粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回，当粒子到挡板的速度刚好垂直于挡板时，粒子与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，粒子运动轨迹如图所示 由几何知识得 解得 根据牛顿第二定律得 解得 根据动量定理得 同理，当粒子带负电时，如图 此时粒子通过MN的中点时也能恰好从Q点射出，故粒子可能带负电，此时粒子的运动轨迹半径不一定为，结合前面分析可知受到挡板作用力的冲量可能为，故A错误，C正确； B．若粒子的运动轨迹如图所示 由左手定则可知粒子带负电，粒子做圆周运动的半径最小为 由牛顿第二定律得 解得 故B错误； D．若粒子带负电，粒子在磁场中的运动轨迹半径为L时，此时对应的圆心角为，如图所示 粒子在磁场中的运动时间为 故D正确。 故选CD。 【变式5-1】（多选）平面OM和平面ON之间的夹角为35°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，大小为B，方向垂直于纸面向外。一质量为m，电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成20°角，运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计重力。则下列几种情形可能出现的是（   ） A．粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是 B．粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是 C．粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是 D．粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是 【答案】ABD 【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 ， 得到 ， AC．若粒子带负电，将做逆时针方向的匀速圆周运动，粒子回到OM直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与OM成20°，但由于35° > 20°，则粒子轨迹与ON只可能有一个交点，故粒子偏转角只可能为40°，运动时间 A正确、C错误。 BD．若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与ON有几个交点，粒子回到OM直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与OM成20°，粒子偏转角为 360°－40° = 320° 则粒子运动时间为 BD正确。 故选ABD。 【考点】考查带电粒子在匀强磁场中的运动。 【点睛】本题考查了带电粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹，由牛顿第二定律求出粒子的临界轨道半径即可正确解题。 【变式5-2】（多选）如图所示，直线OP把坐标系Oxy分成I区域和II区域，区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内。边界上的P点坐标为（4L，3L）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O。忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.则下列说法中正确的是（　　） A．该粒子可能沿y轴负方向从O点射出 B．该粒子射出时与x轴正方向夹角一定为90° C．该粒子在磁场中运动的最短时间 D．该粒子运动的可能速度为 【答案】BCD 【详解】AB．带电粒子射入磁场中，由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得 解得 所以粒子在Ⅰ和Ⅱ两磁场中做圆周运动的半径关系为 如图所示 由题意知OP边与x轴的夹角 可得 故带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I与OP边的夹角为53°，由带电粒子在单边磁场运动的对称性知从区域Ⅱ中射出的粒子速度方向一定为y轴负方向，故A错误，B正确； C．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 粒子在区域Ⅰ中转过的圆心角为 粒子在区域Ⅰ中运动的时间为 粒子在区域Ⅱ中转过的圆心角为 粒子在区域Ⅱ中运动的时间为 所以该粒子在磁场中运动的最短时间 故C正确； D．带电粒子每次从区域Ⅱ射出为一个周期，在OP边移动的距离为 其中 而 ，n=1，2，3…… 联立解得 故D正确。 故选BCD。 强化点六 磁场方向不确定形成的多解 有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向 不确定而形成的多解。 如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 【典例6】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【答案】（1）；（2）（n=1，2，3，…） 【详解】（1）设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则 正离子做匀速圆周运动的周期 联立以上可得磁感应强度 （2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子的运动轨迹如图所示 两板之间正离子只运动一个周期T0时，有 当两板之间正离子运动n个周期nT0时，有 （n=1，2，3，…） 联立解得正离子的速度的可能值为 （n=1，2，3，…） 【变式6-1】如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【答案】BD 【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧） 由几何知识知 而 所以 所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得 故A错误，B正确； CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧） 由几何知识知道相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。 由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得 故C错误，D正确。 故选BD。 【变式6-2】小明同学对正、负电子对撞产生了浓厚的兴趣，他根据所学知识设计了正、负电子对撞装置，通过电子在匀强磁场中的运动来实现正、负电子在不同位置能发生正碰。如图所示，ab和cd是关于y轴对称、间距为2l的直线磁场边界，在两边界之间有两个有界匀强磁场。两磁场的边界MN位于x轴上方且平行于x轴，MN与x轴的距离h可调。MN下方的磁场垂直纸面向里，上方的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B。若将质量为m、电荷量为e的正、负电子分别从ab和cd磁场边界上沿x轴同时以相同速率进入强磁场，使正、负电子能在y轴的不同位置垂直于y轴方向发生正碰，则MN与x轴的距离h的大小可能是（不计粒子间的相互作用力和粒子重力）（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设正、负电子以速度v在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，根据牛顿第二定律有 解得 当粒子运动到MN上方磁场且恰好与ab边界相切，此时粒子在磁场中圆心角最大。根据几何关系有 当h＞r时 所以求得 当n=1时，无解； 当n=2时 当n＞3时 不成立。 所以 当h＜r时，如图所示，正、负电子在两磁场中存在往复运动的情况，根据几何关系有 解得 ，（n=2、3、4...） 当n=2时 当n=4时 但是不可能为 故选ABC。 强化点七 临界状态不唯一形成的多解 带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。 【典例7】如图所示，正方形abcd区域（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电量为q的正电粒子从a点沿着ab方向射入磁场中，边长为l，不计粒子的重力，为使粒子从cd边射出磁场区域，粒子的速度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据洛伦兹力充当向心力，有 可得 可知对于同一粒子或比荷相同的粒子，在同一磁场中做圆周运动的轨迹半径由速度决定，速度越大轨迹半径越大，速度越小则轨迹半径越小。因此，粒子若要从cd边射出磁场区域，则恰好从d点出射时，粒子有最小速度，且此时ad为粒子轨迹的直径，有 解得 若粒子恰好从c点射出，粒子有最大速度，根据几何关系可知，此时粒子的轨迹半径为，则有 解得 综上可知，若粒子从cd边射出磁场区域，则粒子速度的取值范围为 故选C。 【变式7-1】如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则以下说法正确的是（    ）    A．质子的速度可能为 B．质子的速度可能为 C．质子由A到C的时间可能为 D．质子由A到C的时间可能为 【答案】C 【详解】AB．因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示    所有圆弧所对圆心角均为，质子可能的运动半径（n=1，2，3，…） 由洛伦兹力提供向心力得，即（n=1，2，3，…），质子的速度不可能为和，故AB错误； CD．质子由A到C的时间可能为（n=1，2，3，…），故C正确；D错误。 故选C。 【变式7-2】如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子可能在两个磁场间做多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示 所有粒子对应的圆心角均为，由几何关系可知， 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 当时，可得，故选C。 强化点八 带电粒子运动的往复性形成的多解 带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。 【典例8】如图所示，在坐标系的第Ⅰ象限内充满了沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限内充满了垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的P点以垂直于y轴和电场的初速度进入匀强电场，一段时间后经过x轴上的Q点进入匀强磁场，进入磁场时的速度方向与x轴正方向成角，已知，若粒子在磁场中运动一段时间后恰好能再回到电场，不计粒子重力，电场强度E和磁感应强度B大小均未知。求： （1）的距离； （2）磁感应强度B的大小： （3）粒子从离开P点到第三次经过x轴所需的时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子在Q点进入磁场时，沿x方向的分速度vx=v0=vcos30° 沿y方向的分速度vy=vsin30° OP间的距离 OQ的距离OQ=vxt=3L，解得 （2）粒子恰好能回到电场，即粒子在磁场中轨迹的左侧恰好与y轴相切，设半径为R，根据几何关系可得 R（1+sin30°）=3L，解得R=2L 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立可得磁感应强度的大小 （3）粒子在电场和磁场中做周期性运动，轨迹如图，粒子从P到Q的时间为 在磁场中做一次圆周运动的时间 粒子从离开P点到第三次经过x轴所需的时间 【变式8-1】如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E0的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为M，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。 （1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小； （2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。求改变后电场强度的大小和粒子的初速度。 【答案】（1）；（2）36E0， 【详解】（1）根据题意作出粒子运动轨迹如图 根据几何关系可知， 粒子在电场中加速，根据动能定理有， 根据洛伦兹力提供向心力有，解得 （2）离开电场后从P点第二次进入电场，轨迹如图 设半径为，根据几何关系可知，解得 则粒子从P点进入电场的方向与x水平方向的夹角满足 根据洛伦兹力提供向心力有 根据运动的分解可知， 解得 根据动能定理有 解得 【变式8-2】如图所示，在的“OPNQ”正方形区域中，存在沿y轴负方向的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OQ中点A沿x轴正方向，大小为的初速度进入电场，粒子依次经过P点和O点，不计粒子重力。求： （1）电场的电场强度E的大小； （2）磁场的磁感应强度B的大小； （3）粒子从A点进入电场后返回A点所经历的时间t。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子在电场中，有    水平方向      竖直方向    联立得     （2）设粒子离开电场是速度方向与x轴正方向夹角为，粒子离开电场速度为v， 有    ，  ，    得，   粒子在磁场中做匀速圆周运动有   由几何关系可知， ，得 （3）由（1） ，右图为粒子全程运动轨迹图 粒子第一次进入磁场中周期 运动时间 粒子第二次经过电场的为t3，由对称性可知   粒子从NP中点以v0速度水平方向第二次进入磁场，第二次经过磁场时间t4 = t2 之后粒子将在OP中点竖直第三次进入电场，假设运动的时间为t5有   ， 得 ，    之后粒子从OP中点竖直方向第三次进入磁场，时间t6 = t2 回到A点时间     N=1，2，3…… 得      N=1，2，3…… 1．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆半径的。一束质量为m、电荷量为的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据牛顿第二定律和圆周运动规律有 可得粒子做匀速圆周运动的周期为 如图所示，过c点做半圆边界的切线，切点为e。设半圆边界的圆心为O，粒子运动轨迹的圆心为O′。根据几何关系可知，当粒子从e点射出时，粒子转过的圆心角最大，运动时间最长，设，则 可得 所以 即粒子转过的圆心角为254°，可得运动时间为 故选B。 2．如图所示，直线MN是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从O点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t1、t3时间均从p点离开磁场，沿箭头2方向(垂直于MN)的粒子经t2时间从q点离开磁场，p是Oq的中点，则t1、t2、t3之比为 A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：3：5 D．2：3：10 【答案】C 【详解】各个粒子的圆心所在位置如图所示： 由于粒子运动的速度相等，所以三个粒子的轨道半径也相等，粒子2在磁场中运动了半个周期，所用时间 ，根据几何关系知粒子1转过的圆心角为 ，所用时间为 ,粒子3运动转过的圆心角为 所用时间为 ，所以 故C正确； 故选C 3．如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，.现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t(不计重力).则下列判断中正确的是(    ) A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为5t B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子进入磁场时速度大小为 【答案】BCD 【分析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是周期，由此求得周期．根据周期公式求出磁感应强度B．经分析可知粒子在磁场中运动时间最长的情况是粒子垂直AB边入射后，轨迹恰好与BC边相切，画出运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹，由几何知识求出轨道半径R，根据v=即可求出粒子速度． 【详解】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T/4，即为：T/4=t，则得周期为：T=4t，故A错误；由 T=4t，，T=，得：，故B正确； 运动时间最长的粒子在磁场中运动转过的角度为 ，轨迹如图所示，根据几何关系有：，解得：R=d，故C正确；根据粒子在磁场中运动的速度为：，周期为：T=4t，半径为：R=d，联立可得：，故D正确．故选BCD． 【点睛】本题考查带电粒子在磁场中的运动，考查半径公式和周期公式的运用，解题的关键是要画出粒子轨迹过程图，确定圆心，利用几何方法求出半径． 4．空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段是屏与纸面的交线，长度为，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子；，P为垂足，如图所示，已知，若上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子要打中的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从飞出，绕过距离最近的点，从右侧打中最下端的点，粒子运动的轨迹如图所示 为轨迹圆的弦长，为中点，，；粒子运动的半径为，根据几何关系可知四边形为平行四边形，则 解得 粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知 解得粒子的最小速率为 故选C。 5．如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m，电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知，粒子带负电，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（　　） A．粒子的速度大小为 B．从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 C．沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 D．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为 【答案】ACD 【详解】A．由，可得 SP＝5d 如图所示，结合“在轨迹圆中，轨迹的直径为最长的弦”和题中“所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点”可知SP是其中一个轨迹的直径，由 可得 则 故A正确； B．由几何知识可得从O点射出的粒子，轨迹所对的圆心角为106°，在磁场中的运动时间为 故B错误； C．假设沿平行x轴正方向射入的粒子，离开磁场时的位置到O点的距离为l，由几何知识可得 代入解得 故C正确； D．从x轴上射出磁场的粒子，从原点射出时在磁场中运动时间最短，其运动时间为 运动轨迹与x轴相切时运动时间最长，由几何知识可得轨迹所对的圆心角为，运动时间为 则 故D正确。 故选ACD。 6．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况    带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 7．如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 【答案】AD 【详解】A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意作出粒子的运动轨迹，如图甲所示 根据 解得 由几何关系可知 则有 A正确； B．由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O点的时间 由于 解得 B错误； CD．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点，如图乙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得 若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴的左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次经过O点，如图丙所示 由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得 C错误，D正确。 故选AD。 8．如图所示，在竖直的xoy平面内，在水平x轴上方存在场强大小 方向平行于x轴向右的匀强电场，在x轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场B和大小方向都未知的匀强电场 一质量为m、带电量为q的小球从y轴上的P（0，L）位置无初速度释放，释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆周运动，运动轨迹恰好与y轴相切，已知重力加速度为g。 （1）求匀强电场 大小与方向； （2）求匀强磁场B的大小； （3）求小球第二次穿过x轴的位置与第三次穿过x轴的位置之间的距离； 【答案】1）；方向竖直向上；（2）；（3） 【详解】（1）小球在第四象限做匀速圆周运动，有 qE2=mg 得 小球释放后进入第一象限，故小球带正电，可得电场方向竖直向上 （2）小球的运动轨迹如图所示， 小球在第一象限做匀加速直线运动，对小球，有 由③④⑤得 x轴下方匀强磁场磁感应强度大小为B，小球进入磁场，有 匀强磁场B的大小 （3）小球再次回到第一象限做类平抛运动 竖直方向 水平方向 联立解得 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 带电粒子的临界和多解问题（复习篇） 考点聚焦：复习要点+知识网络，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：带电粒子在有界磁场中的临界问题 带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解． 临界点常用的结论： (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． (2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长． (3)当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长． 知识点2：带电粒子在磁场中运动的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题． (1)找出多解的原因． (2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况． 强化点一 放缩圆模型 适用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 【典例1】一匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束粒子在纸面内从a点垂直于射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为、电荷量为。则粒子在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（重力不计）从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是（　　） A．若该粒子的入射速度为v＝ ，则粒子一定从AD边射出磁场 B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝ C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝ D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为 【变式1-2】（多选）如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A=60°，AO=a。在O点放置一个电子源，可以向OC方向发射速度不同的电子，电子的比荷为，发射速度为，对于电子进入磁场后的运动（不计电子的重力），下列说法正确的是（　　） A．电子不可能打到A点 B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长 C．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大 D．在AC边界上有一半区域有电子射出 强化点二 “旋转圆”模型 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定 方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 【典例2】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则这两种情况下带电粒子从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t1∶t2为（　　） A．1∶2 B．2∶1 C．∶1 D．1∶1 【变式2-1】（多选）如图所示，等腰直角三角形MON的直角边MO长度为L，在MON区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。三个相同的带电粒子从M点沿MO方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1：t2：t3=3：3：2，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子可能带正电 B．三个粒子速度的大小关系可能是v2<v1<v3 C．粒子的比荷 D．从ON边射出的粒子与O点的距离为 【变式2-2】（多选）如图所示，在边长为L的正方形区域ABCD内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m，电荷量为q的带电粒子（不计重力），分别以相同的速率v从A点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿AC方向射入时，垂直于BC边射出磁场。则粒子（　　） A．带负电 B．运动速率 C．在磁场中运动的最长时间 D．在磁场中运动的最长时间 强化点三 “平移圆”模型的应用 适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 【典例3】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1：t2为（　　） A．2：1 B．4：3 C．3：2 D． 【变式3-1】（多选）如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，d为ac边的中点，e为bc边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从a点以大小不同的速度沿ab方向射入磁场，分别从d、c、e点射出磁场，所用时间分别为t1、t2、t3，且t1：t3=3：2，若t3已知，则（　　） A．t2：t3=3：2 B．带电粒子的比荷为 C．从c点与从e点射出的速度大小之比为 D．从d点与从e点射出的速度大小之比为 【变式3-2】（多选）纸面内有一矩形边界磁场ABCD，磁场方向垂直于纸面（方向未画出），其中AD=BC=L，AB=CD=2L，一束β粒子以相同的速度v0从B点沿BA方向射入磁场，当磁场为B1时，β粒子从C射出磁场；当磁场为B2时，β粒子从D射出磁场，则（　　） A．磁场方向垂直于纸面向外 B．磁感应强度之比B1：B2=5：1 C．速度偏转角之比θ1：θ2=180：37 D．运动时间之比t1：t2=36：53 强化点四 “磁聚焦”和“磁发散”模型 （1）带电粒子的会聚 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点． （2）带电粒子的发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散) 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)． 【典例4】如图所示，在直角坐标系xoy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外．许多质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域．不计重力及粒子间的相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R=mv/qB，正确的图是（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，矩形abcd的长ad＝0.6m，宽ab＝0.3m，o、e分别是ad、bc的中点，以o、e为圆心有两个半径均为R＝0.3m的四分之一圆弧，区域obedo内有方向垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25T。一群不计重力、质量m＝3×10－9kg、电荷量q＝2×10－5C的带正电粒子垂直于ad边以v＝5×102m/s的速度射入磁场区域。下列判断正确的是（   ） A．所有粒子射出磁场时的速度方向都平行 B．所有粒子在磁场中运动的时间都相等 C．从od边射入的粒子，出射点都在e点 D．从ao边射入的粒子，出射点都在b点 【变式4-2】如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板。从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场射入大量带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m。不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（　　） A．射出磁场的粒子一定能垂直打在MN上 B．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长 C．射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线不可能过圆心O D．当入射速度时，粒子射出磁场后一定垂直打在MN上 强化点五 带电粒子电性不确定形成的多解 如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。 【典例5】（多选）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回（水平速度不变，竖直方向速度等大反向）。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 【变式5-1】（多选）平面OM和平面ON之间的夹角为35°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，大小为B，方向垂直于纸面向外。一质量为m，电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成20°角，运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计重力。则下列几种情形可能出现的是（   ） A．粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是 B．粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是 C．粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是 D．粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是 【变式5-2】（多选）如图所示，直线OP把坐标系Oxy分成I区域和II区域，区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内。边界上的P点坐标为（4L，3L）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O。忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.则下列说法中正确的是（　　） A．该粒子可能沿y轴负方向从O点射出 B．该粒子射出时与x轴正方向夹角一定为90° C．该粒子在磁场中运动的最短时间 D．该粒子运动的可能速度为 强化点六 磁场方向不确定形成的多解 有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向 不确定而形成的多解。 如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 【典例6】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【变式6-1】如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【变式6-2】小明同学对正、负电子对撞产生了浓厚的兴趣，他根据所学知识设计了正、负电子对撞装置，通过电子在匀强磁场中的运动来实现正、负电子在不同位置能发生正碰。如图所示，ab和cd是关于y轴对称、间距为2l的直线磁场边界，在两边界之间有两个有界匀强磁场。两磁场的边界MN位于x轴上方且平行于x轴，MN与x轴的距离h可调。MN下方的磁场垂直纸面向里，上方的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B。若将质量为m、电荷量为e的正、负电子分别从ab和cd磁场边界上沿x轴同时以相同速率进入强磁场，使正、负电子能在y轴的不同位置垂直于y轴方向发生正碰，则MN与x轴的距离h的大小可能是（不计粒子间的相互作用力和粒子重力）（　　） A． B． C． D． 强化点七 临界状态不唯一形成的多解 带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。 【典例7】如图所示，正方形abcd区域（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电量为q的正电粒子从a点沿着ab方向射入磁场中，边长为l，不计粒子的重力，为使粒子从cd边射出磁场区域，粒子的速度可能为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则以下说法正确的是（    ）    A．质子的速度可能为 B．质子的速度可能为 C．质子由A到C的时间可能为 D．质子由A到C的时间可能为 【变式7-2】如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 强化点八 带电粒子运动的往复性形成的多解 带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。 【典例8】如图所示，在坐标系的第Ⅰ象限内充满了沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限内充满了垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的P点以垂直于y轴和电场的初速度进入匀强电场，一段时间后经过x轴上的Q点进入匀强磁场，进入磁场时的速度方向与x轴正方向成角，已知，若粒子在磁场中运动一段时间后恰好能再回到电场，不计粒子重力，电场强度E和磁感应强度B大小均未知。求： （1）的距离； （2）磁感应强度B的大小： （3）粒子从离开P点到第三次经过x轴所需的时间。 【变式8-1】如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E0的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为M，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。 （1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小； （2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。求改变后电场强度的大小和粒子的初速度。 【变式8-2】如图所示，在的“OPNQ”正方形区域中，存在沿y轴负方向的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OQ中点A沿x轴正方向，大小为的初速度进入电场，粒子依次经过P点和O点，不计粒子重力。求： （1）电场的电场强度E的大小； （2）磁场的磁感应强度B的大小； （3）粒子从A点进入电场后返回A点所经历的时间t。 1．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆半径的。一束质量为m、电荷量为的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，直线MN是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从O点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t1、t3时间均从p点离开磁场，沿箭头2方向(垂直于MN)的粒子经t2时间从q点离开磁场，p是Oq的中点，则t1、t2、t3之比为 A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：3：5 D．2：3：10 3．如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，.现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t(不计重力).则下列判断中正确的是(    ) A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为5t B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子进入磁场时速度大小为 4．空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段是屏与纸面的交线，长度为，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子；，P为垂足，如图所示，已知，若上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m，电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知，粒子带负电，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（　　） A．粒子的速度大小为 B．从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 C．沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 D．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为 6．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 7．如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 8．如图所示，在竖直的xoy平面内，在水平x轴上方存在场强大小 方向平行于x轴向右的匀强电场，在x轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场B和大小方向都未知的匀强电场 一质量为m、带电量为q的小球从y轴上的P（0，L）位置无初速度释放，释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆周运动，运动轨迹恰好与y轴相切，已知重力加速度为g。 （1）求匀强电场 大小与方向； （2）求匀强磁场B的大小； （3）求小球第二次穿过x轴的位置与第三次穿过x轴的位置之间的距离； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$