第09讲 洛伦之力（复习篇）【4知识点+7强化点】--【寒假自学课】2025年高二物理寒假提升精品讲义（人教版2019）

第09讲 洛伦之力（复习篇） 考点聚焦：复习要点+知识网络，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：对洛伦之力的理解 1．洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的力叫做洛伦兹力． 2．洛伦兹力的方向 （1）判定方法 左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心； 四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 拇指——指向洛伦兹力的方向． （2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)． 3．洛伦兹力的大小 （1）v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°) （2）v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°) （3）v＝0时，洛伦兹力F＝0. 4．洛伦兹力的特点 （1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功． （2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化． （3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向． 5．洛伦兹力与安培力的联系及区别 （1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力． （2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功． 知识点2：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 1．匀速圆周运动的规律 若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动． （1）基本公式：qvB＝m （2）半径R＝ （3）周期T＝＝ 2．圆心的确定 （1）已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图1甲所示，P为入射点，M为出射点)． （2）已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 3．半径的确定 可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小． 4．运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为t＝T(或t＝)． 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路 知识点3：带电粒子在直线有界磁场中的运动 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 图a中粒子在磁场中运动的时间：t＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间：t＝(1－)T＝(1－)＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间：t＝T＝ 2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间：t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间：t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间：t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间：t＝T＝ 处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧 从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律． （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值． （2）当速度v一定时，弧长(或弦长)越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(前提条件是弧是劣弧)． （3）当速率变化时，圆心角大的，运动时间长． （4）在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)． 知识点4：带电粒子在圆形有界磁场中的运动 1. 一般解题步骤 （1） 画出轨迹圆并找出轨迹圆的圆心； （2） 求半径（分清楚磁场半径和轨迹圆半径） （3） 确定运动时间（注意多解问题） 2. 模型解读：圆形边界(进出磁场具有对称性) （1）沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示． （2）不沿径向射入时，如图乙所示．射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ. 强化点一 洛伦之力的方向 判断方法：左手定则。磁场穿过掌心，四指表示正电荷运动方向（或负电荷的反方向），拇指表示安培力的方向。 【典例1】（23-24高二下·云南玉溪·期末）如图所示，放射性元素从点沿方向发射三种放射线，空间有垂直射线速度的匀强磁场，三种射线穿过磁场后分别打到屏上的三点，则打到三点的射线分别是（    ） A．射线、射线、射线 B．射线、射线、射线 C．射线、射线、射线 D．射线、射线、射线 【变式1-1】（2024·北京海淀·三模）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向外的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。有关这些径迹以下判断正确的是（　　） A．d、e都是正电子的径迹 B．a径迹对应的粒子动量最大 C．b径迹对应的粒子动能最大 D．a径迹对应的粒子运动时间最长 【变式1-2】（多选）（23-24高二下·四川成都·期末）如图所示，两足够长的通电直导线P、Q（垂直纸面）关于粗糙程度均匀的水平面对称分布，P、Q连线与水平面交点为O，P、Q通以大小相等、方向相反的恒定电流。一带正电的绝缘物块从A点以某一初速度向右运动，恰好运动到O点。下列说法正确的是（　　） A．从A到O，磁感应强度逐渐增大 B．从A到O，磁感应强度先增大后减小 C．从A到O，物块做匀减速直线运动 D．从A到O，物块做加速度逐渐增大的减速运动 强化点二 洛伦之力的大小 【典例2】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，质量为m、电荷量为的小球A套在粗细均匀的固定绝缘水平杆上，整个装置处在垂直于纸面向外的水平匀强磁场中。现对A施加一个水平向右、大小恒为的拉力，使小球A从静止开始运动，已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，小球A与杆间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，则当小球的加速度大小第一次达到时，小球的速度大小为（　　） A． B． C． D． 故选A。 【变式2-1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）如图所示，将一由绝缘材料制成的带一定正电荷的小滑块（可视为质点）放在倾斜的固定木板上，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。测得小滑块的质量为m，木板的倾角为θ，木板与滑块之间的动摩擦因数为μ。滑块由静止释放，依次经过A、B、C、D四个点，且AB=CD=d，小滑块经过AB、CD所用的时间均为t。重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．到达C点之前滑块先加速后减速 B．到达C点之前滑块所受的摩擦力先增大后减小 C．滑块所带的电荷量为 D．滑块的加速度先减小后增大 【变式2-2】（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，足够长的光滑三角形绝缘槽固定在水平面上，与水平面的夹角分别为和，加垂直于纸面向里的磁场，分别将质量相等、带等量正、负电荷的小球a、b依次从两斜面的顶端由静止释放，关于两球在槽上运动的说法正确的是（    ） A．在槽上，a、b两球都做匀加速直线运动，且 B．a、b两球沿槽运动的最大速度为和，则 C．a、b两球沿直槽运动的最大位移为和，则 D．a、b两球沿槽运动的时间为和，则 强化点三 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 【典例3】（23-24高二下·陕西·期末）如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场含边界，磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏质子打到荧光屏上不再反弹，P、Q两点的坐标分别为，。已知质子比荷，。求：结果均可用分数表示 （1）质子在磁场中运动的最长时间是多少; （2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 【变式3-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）如图所示，竖直虚线CD右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两个平行金属板M、N之间的电压为U，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计粒子重力）从靠近N板的S点由静止开始做加速运动，从A点垂直竖直虚线CD射入磁场，在磁场中做匀速圆周运动。求： （1）带电粒子从A点垂直竖直虚线CD射入磁场的速度大小v； （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R和周期T； （3）若在竖直虚线CD右侧加一匀强电场，使带电粒子在电磁场中做匀速直线运动，求电场强度E的大小。 【变式3-2】（23-24高二上·吉林长春·期末）如图，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限区域存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限发射各个方向的速度为的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，则： （1）求所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； （2）粒子在磁场中运动的周期； （3）所有粒子能够到达区域的面积。    强化点四 带电粒子在直线边界磁场中的运动 【典例4】（多选）（23-24高二下·贵州黔西·期末）如图所示，水平面的区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为，边界的夹角为30°，距顶点为的点有一粒子源，粒子在水平面内垂直边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子，粒子质量为、电荷量大小为，下列说法正确的是（　　） A．从边界射出的粒子速度方向都相同 B．粒子离开磁场时到点的最短距离为 C．垂直边界射出的粒子的速度大小为 D．垂直边界射出的粒子在磁场中运动的时间为 【变式4-1】（多选）（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图所示，在水平线OP的正上方存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。从磁场边界上O点同时向纸面内不同方向发射速率均为v、质量均为m、电荷量均为的两个带电粒子，两粒子均从边界上P点离开磁场，且OP的长度为，不计粒子的重力及相互作用力。以下说法正确的是（    ） A．两粒子在磁场中运动的加速度大小不同 B．两粒子射入磁场时速度方向与边界所成锐角均为60° C．两粒子在磁场运动过程中动量改变量大小均为 D．两粒子在磁场中运动的时间相差 【变式4-2】（23-24高二下·山东临沂·期末）如图所示，直角三角形的AB边长为L，，三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从D点沿着垂直BC边的方向以速度v射入磁场，CD间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．时，带电粒子垂直于AC边射出磁场 C．若粒子从BC边射出磁场，则 D．若粒子从AC边射出磁场，则 强化点五 带电粒子在弧形边界磁场中的运动 【典例5】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图所示，真空中xOy平面内存在半径为R的圆形区域，该圆形区域与y轴相切，x轴与其一条直径重合，P点为圆形区域边界上的一点，P点与圆心的连线与x轴正方向成角。已知圆形区域内只存在垂直于xOy平面的匀强磁场或只存在平行于y轴向上的匀强电场，一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从坐标原点O以初速度沿x轴正方向射入该圆形区域，粒子恰好从P点射出，不计粒子的重力。 (1)若圆形区域内只存在垂直于xOy平面的匀强磁场，求匀强磁场磁感应强度B的大小与方向； (2)若圆形区域内只存在平行于-轴向上的匀强电场，求粒子在圆形区域内运动过程中受到电场力的冲量I的大小。 【变式5-1】（23-24高二下·山东临沂·期末）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，O点为圆形区域的圆心，磁感应强度大小为B，一个比荷绝对值为k的带电粒子以某一速率从M点沿着直径MON方向垂直射入磁场，粒子离开磁场后打在右侧屏上的P点，QP连线过圆心O，QP与MN的夹角，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子做圆周的运动半径为 C．粒子运动的速率为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【变式5-2】（23-24高二下·山西临汾·期末）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（未画出），一质量为m、带电荷量为的微粒从圆上的N点以一定的速度沿图中虚线方向射入磁场，从圆上的M点离开磁场时的速度方向与虚线垂直。已知圆心O到虚线的距离为，不计微粒所受的重力，求： （1）微粒在磁场区域内运动的时间t； （2）微粒到圆心O的最小距离d。 强化点六 带电粒子（计重力）在磁场中的运动 【典例6】质量为m、电荷量为q的小物块，从倾角为θ的粗糙绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。若带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，下面说法正确的是（　　） A．小物块一定带正电荷 B．小物块在斜面上运动时做匀减速直线运动 C．小物块在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动 D．小物块在斜面上下滑过程中，当小球对斜面压力为零时的速率为 【变式6-1】（22-23高二上·上海徐汇·期末）如图所示，质量为的小球，带有的正电荷，套在一根与水平方向成的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为，杆所在空间有磁感应强度的匀强磁场，小球由静止开始下滑，求： （1）小球刚开始运动时加速度大小； （2）小球运动过程中的最大速率（重力加速度g取） 【变式6-2】（多选）质量m=0.1g的小物块，带有5×10-4C的电荷，放在倾角为30°的绝缘光滑斜面上，整个斜面置于B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向如图所示。物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，开始离开斜面（设斜面足够长，g取10m/s2）（　　） A．物体带正电 B．物体离开斜面时的速度为m/s C．物体在斜面上滑行的最大距离是1.2 m D．物体在离开斜面之前一直做匀加速直线运动 19．（2024·广西·高考真题）坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为（　　） A． B． C． D． 20．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动轨迹可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 真题感知 1．（多选）（2024·浙江·高考真题）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角。质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度沿细杆向上运动至最高点，则该过程（　　） A．合力冲量大小为mv0cosƟ B．重力冲量大小为 C．洛伦兹力冲量大小为 D．若，弹力冲量为零 2．（多选）（2024·河北·高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（   ） A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出 B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出 C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边的速度方向与ad边夹角必为45° D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60° 3．（2024·天津·高考真题）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R的半圆形匀强磁场区域，半圆与x轴相切于M点，与y轴相切于N点，直线边界与x轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。在第一象限存在沿方向的匀强电场，电场强度大小为E．一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从M点以速度v沿方向进入第一象限，正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若仅有电场，求粒子从M点到达y轴的时间t； (3)若仅有磁场，改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达x轴上P点，M、P的距离为，求粒子在磁场中运动的时间。 提升专练 一、单选题 1．（2024·河北·二模）如图所示，空间内有一垂直纸面方向的匀强磁场（方向未知），一带正电的粒子在空气中运动的轨迹如图所示，由于空气阻力的作用，使得粒子的轨迹不是圆周，假设粒子运动过程中的电荷量不变。下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动方向为 B．粒子所受的洛伦兹力大小不变 C．粒子在b点的洛伦兹力方向沿轨迹切线方向 D．磁场的方向垂直纸面向里 2．（2024·山东济南·一模）一倾角为的绝缘光滑斜面处在与斜面平行的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。质量为m，电荷量为的小球，以初速度从N点沿NM边水平射入磁场。已知斜面的高度为h且足够宽，小球始终未脱离斜面。则下列说法正确的是（    ） A．小球在斜面上做变加速曲线运动 B．小球到达底边的时间为 C．小球到达底边的动能为 D．匀强磁场磁感强度的取值范围 3．（2024·四川德阳·模拟预测）如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向以初速度大小v（未知）射入磁场，粒子仅能从正方形cd边（含c、d两点）射出正方形区域，该粒子在磁场中运动时间为t，不计粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 4．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，在y≥0的区域存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向均匀地不断发射速度大小均为v、质量为m、带电荷量为4q的同种带电粒子。在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度为x0、厚度不计、能接收带电粒子的薄金属板P（粒子一旦打在金属板P上，其速度立即变为0）。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与y轴平行。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度 B．磁感应强度 C．打在薄金属板右侧面与左侧面的粒子数目之比为1：2 D．打在薄金属板右侧面与左侧面的粒子数目之比为2：1 二、多选题 5．（2024·吉林长春·模拟预测）地球的磁场是保护地球的一道天然屏障，它阻挡着能量很高的太阳风粒子直接到达地球表面，从而保护了地球上的人类和动植物。地球北极的磁场是沿竖直轴对称的非均匀磁场，如图所示为某带电粒子在从弱磁场区向强磁场区前进时做螺线运动的示意图，不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（    ） A．该带电粒子带正电 B．从弱磁场区到强磁场区的过程中带电粒子的速率不变 C．带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离一直保持不变 D．带电粒子每旋转一周的时间变小 6．（2024·广西柳州·三模）如图所示，上方存在匀强磁场，同种粒子从点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，且均由点射出磁场，则两粒子（　　） A．运动半径之比为 B．初速率之比为 C．运动时间之比为 D．运动时间之比为 7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量均为m、带电荷量均为的粒子从P点沿竖直方向以不同速率射入磁场，P点与圆心的连线与竖直方向之间的夹角为，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．该束粒子射出磁场时速度方向与过出射点的磁场区域圆半径的夹角为 B．若粒子恰好从C点射出，则其在磁场中运动的时间为 C．若粒子恰好从A点射出，则其在磁场中运动的速度为 D．从B点射出的粒子比从A点射出的粒子在磁场中运动的时间短 三、解答题 8．（2024·湖北黄冈·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的x轴上方一矩形区域内存在一垂直平面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感强度大小，x轴的下方存在一与平面平行的匀强电场。一质量、电荷量的带正电粒子从点以、方向与y轴正向夹角射入第三象限，粒子在电场中偏转后第一次经过x轴上Q点时速度大小也为，方向也与y轴正向夹角，经过x轴后立即进入磁场，直到第二次经过x轴上M点离开磁场。已知，不计粒子重力，求： （1）电场强度的大小和方向； （2）Q点、M点的坐标； （3）矩形磁场区域的最小面积S。 9．（2024·陕西铜川·模拟预测）如图所示的坐标系中，y轴左侧存在范围足够大的匀强电场，电场方向与y轴负方向的夹角为，电场强度的大小为，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场（未画出）。质量为、带电荷量为、重力不计的带正电粒子由O点左侧距离O点处的P点由静止释放，经过一段时间由y轴上的Q点（未画出）进入磁场。已知，，。（结果均保留两位有效数字） （1）若磁场的磁感应强度大小为，且该磁场为矩形区域，欲使粒子垂直x轴离开磁场，求磁场面积的最小值； （2）若磁场范围足够大，粒子刚好不从x轴离开磁场，求粒子第2次到达y轴时位置到O点的距离以及粒子由P点释放到第2次到达y轴时所用的时间。    1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 洛伦之力（复习篇） 考点聚焦：复习要点+知识网络，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：对洛伦之力的理解 1．洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的力叫做洛伦兹力． 2．洛伦兹力的方向 （1）判定方法 左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心； 四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 拇指——指向洛伦兹力的方向． （2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)． 3．洛伦兹力的大小 （1）v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°) （2）v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°) （3）v＝0时，洛伦兹力F＝0. 4．洛伦兹力的特点 （1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功． （2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化． （3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向． 5．洛伦兹力与安培力的联系及区别 （1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力． （2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功． 知识点2：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 1．匀速圆周运动的规律 若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动． （1）基本公式：qvB＝m （2）半径R＝ （3）周期T＝＝ 2．圆心的确定 （1）已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图1甲所示，P为入射点，M为出射点)． （2）已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)． 3．半径的确定 可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小． 4．运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为t＝T(或t＝)． 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路 知识点3：带电粒子在直线有界磁场中的运动 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 图a中粒子在磁场中运动的时间：t＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间：t＝(1－)T＝(1－)＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间：t＝T＝ 2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间：t1＝，t2＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间：t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间：t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间：t＝T＝ 处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧 从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律． （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值． （2）当速度v一定时，弧长(或弦长)越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(前提条件是弧是劣弧)． （3）当速率变化时，圆心角大的，运动时间长． （4）在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)． 知识点4：带电粒子在圆形有界磁场中的运动 1. 一般解题步骤 （1） 画出轨迹圆并找出轨迹圆的圆心； （2） 求半径（分清楚磁场半径和轨迹圆半径） （3） 确定运动时间（注意多解问题） 2. 模型解读：圆形边界(进出磁场具有对称性) （1）沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示． （2）不沿径向射入时，如图乙所示．射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ. 强化点一 洛伦之力的方向 判断方法：左手定则。磁场穿过掌心，四指表示正电荷运动方向（或负电荷的反方向），拇指表示安培力的方向。 【典例1】（23-24高二下·云南玉溪·期末）如图所示，放射性元素从点沿方向发射三种放射线，空间有垂直射线速度的匀强磁场，三种射线穿过磁场后分别打到屏上的三点，则打到三点的射线分别是（    ） A．射线、射线、射线 B．射线、射线、射线 C．射线、射线、射线 D．射线、射线、射线 【答案】D 【详解】射线带正电、射线不带电、射线是电子流，带负电，根据左手定则可知打到三点的射线分别射线、射线、射线。 故选D。 【变式1-1】（2024·北京海淀·三模）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向外的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。有关这些径迹以下判断正确的是（　　） A．d、e都是正电子的径迹 B．a径迹对应的粒子动量最大 C．b径迹对应的粒子动能最大 D．a径迹对应的粒子运动时间最长 【答案】D 【详解】A．带电粒子在垂直于纸面向外的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是正电子的径迹，d、e都是负电子的径迹，A错误； B．带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有，解得 由图可知a径迹对应的粒子的运动半径最小，a径迹对应的粒子的速度最小，根据 可知a径迹对应的粒子动量最小，B错误； C．根据 可知 即b径迹对应的粒子动能不是最大的，C错误； D．带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有， 则 所以 粒子在磁场中的运动时间 其中为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知a径迹对应的偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，D正确。 故选D。 【变式1-2】（多选）（23-24高二下·四川成都·期末）如图所示，两足够长的通电直导线P、Q（垂直纸面）关于粗糙程度均匀的水平面对称分布，P、Q连线与水平面交点为O，P、Q通以大小相等、方向相反的恒定电流。一带正电的绝缘物块从A点以某一初速度向右运动，恰好运动到O点。下列说法正确的是（　　） A．从A到O，磁感应强度逐渐增大 B．从A到O，磁感应强度先增大后减小 C．从A到O，物块做匀减速直线运动 D．从A到O，物块做加速度逐渐增大的减速运动 【答案】AC 【详解】AB．根据安培定则可得，两导线在AO之间磁场如图所示 根据平行四边形定则，将两磁场合成可知，合磁场方向水平向左，且由A到O两导线磁场增大且与水平夹角变小，则合磁场沿水平向左增大，故A正确，B错误； CD．由于AO之间磁场方向水平向左，与物块的运动方向共线，所以物块不受洛伦兹力，物块在运动过程中受到恒定不变的摩擦力，根据牛顿第二定律，物块做匀减速直线运动，故C正确，D错误。 故选AC。 强化点二 洛伦之力的大小 【典例2】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，质量为m、电荷量为的小球A套在粗细均匀的固定绝缘水平杆上，整个装置处在垂直于纸面向外的水平匀强磁场中。现对A施加一个水平向右、大小恒为的拉力，使小球A从静止开始运动，已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，小球A与杆间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，则当小球的加速度大小第一次达到时，小球的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对小球分析，竖直方向平衡 水平方向，根据牛顿第二定律 当小球的加速度大小第一次达到时，联立解得 故选A。 【变式2-1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）如图所示，将一由绝缘材料制成的带一定正电荷的小滑块（可视为质点）放在倾斜的固定木板上，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。测得小滑块的质量为m，木板的倾角为θ，木板与滑块之间的动摩擦因数为μ。滑块由静止释放，依次经过A、B、C、D四个点，且AB=CD=d，小滑块经过AB、CD所用的时间均为t。重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．到达C点之前滑块先加速后减速 B．到达C点之前滑块所受的摩擦力先增大后减小 C．滑块所带的电荷量为 D．滑块的加速度先减小后增大 【答案】C 【详解】ABD．以滑块为对象，根据左手定则可知，滑块运动过程受到的洛伦兹力垂直斜面向下，滑块由静止释放，根据牛顿第二定律可得 可知随着滑块速度的增大，滑块的加速度减小，当加速度减至0后，滑块将做匀速运动，所以滑块先做加速度减小的加速运动，然后做匀速运动。小滑块经过AB、CD所用的时间均为t，可知滑块到达AB前已经做匀速运动，到达C之前滑块先加速后匀速，滑块所受的摩擦力先增大后不变。故ABD错误； C．滑块匀速运动时，有 根据平衡条件可得 联立，解得滑块所带的电荷量为 故C正确。 故选C。 【变式2-2】（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，足够长的光滑三角形绝缘槽固定在水平面上，与水平面的夹角分别为和，加垂直于纸面向里的磁场，分别将质量相等、带等量正、负电荷的小球a、b依次从两斜面的顶端由静止释放，关于两球在槽上运动的说法正确的是（    ） A．在槽上，a、b两球都做匀加速直线运动，且 B．a、b两球沿槽运动的最大速度为和，则 C．a、b两球沿直槽运动的最大位移为和，则 D．a、b两球沿槽运动的时间为和，则 【答案】AC 【详解】A．两小球受到的洛伦兹力都与斜面垂直向上，沿斜面方向的合力为重力的分力，故在槽上，a、b两球都做匀加速直线运动，加速度为， 可得 故A正确； B．当小球受到的洛伦兹力与重力沿垂直斜面向下分力相等时，小球脱离斜面，则 ， 可得， 故 故B错误； C．根据动力学公式， 可得a、b两球沿直槽运动的最大位移分别为， 根据数学关系可得 故C正确； D．a、b两球沿槽运动的时间分别为 ， 可得 故D错误。 故选AC。 强化点三 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 【典例3】（23-24高二下·陕西·期末）如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场含边界，磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏质子打到荧光屏上不再反弹，P、Q两点的坐标分别为，。已知质子比荷，。求：结果均可用分数表示 （1）质子在磁场中运动的最长时间是多少; （2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）质子能打到y轴上时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示 由周期公式 又由几何关系可知 则粒子在磁场中运动的最长时间 （2）当质子轨迹与PQ相切时，如图1所示，设此时初速度为，轨迹半径为R，由几何关系可得 又，解得 当粒子运动轨迹与磁场边界相切时，如图2所示， 设此时初速度为，轨迹半径为，由几何关系可得 又 解得 综上可得 【变式3-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）如图所示，竖直虚线CD右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两个平行金属板M、N之间的电压为U，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计粒子重力）从靠近N板的S点由静止开始做加速运动，从A点垂直竖直虚线CD射入磁场，在磁场中做匀速圆周运动。求： （1）带电粒子从A点垂直竖直虚线CD射入磁场的速度大小v； （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R和周期T； （3）若在竖直虚线CD右侧加一匀强电场，使带电粒子在电磁场中做匀速直线运动，求电场强度E的大小。 【答案】（1）；（2）；；（3） 【详解】（1）粒子在电场中被加速，解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则， 解得， （3）若在竖直虚线CD右侧加一匀强电场，使带电粒子在电磁场中做匀速直线运动，则需电场力方向向下，则场强方向竖直向下，满足 解得电场强度E的大小 【变式3-2】（23-24高二上·吉林长春·期末）如图，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限区域存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限发射各个方向的速度为的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，则： （1）求所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； （2）粒子在磁场中运动的周期； （3）所有粒子能够到达区域的面积。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力有 代入数据解得 （2）粒子在磁场中运动的周期 （3）所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积    由几何关系有 强化点四 带电粒子在直线边界磁场中的运动 【典例4】（多选）（23-24高二下·贵州黔西·期末）如图所示，水平面的区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为，边界的夹角为30°，距顶点为的点有一粒子源，粒子在水平面内垂直边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子，粒子质量为、电荷量大小为，下列说法正确的是（　　） A．从边界射出的粒子速度方向都相同 B．粒子离开磁场时到点的最短距离为 C．垂直边界射出的粒子的速度大小为 D．垂直边界射出的粒子在磁场中运动的时间为 【答案】AB 【详解】A．粒子竖直向上进入磁场，轨迹圆心一定在bc边上，若粒子能从边界bc射出，粒子的速度方向一定竖直向下，故方向均相同，故A正确； B．当轨迹恰好与ab边相切时，粒子从bc边离开磁场时到b点的距离最短，由几何关系可得 离b点的最短距离为，联立解得 故B正确； C．垂直边界ab射出的粒子，轨道半径为 由洛伦兹力作为向心力可得 解得粒子的速度大小为 故C错误； D．粒子在磁场中的运动周期为 垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为 故D错误。 故选AB。 【变式4-1】（多选）（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图所示，在水平线OP的正上方存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。从磁场边界上O点同时向纸面内不同方向发射速率均为v、质量均为m、电荷量均为的两个带电粒子，两粒子均从边界上P点离开磁场，且OP的长度为，不计粒子的重力及相互作用力。以下说法正确的是（    ） A．两粒子在磁场中运动的加速度大小不同 B．两粒子射入磁场时速度方向与边界所成锐角均为60° C．两粒子在磁场运动过程中动量改变量大小均为 D．两粒子在磁场中运动的时间相差 【答案】BC 【详解】A．两粒子在磁场中运动只受洛伦兹力的作用，根据牛顿第二定律 故两粒子在磁场中运动的加速度大小相等，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力，解得 则两粒子在磁场中运动半径相等，两个粒子先后经过P点，作出两个粒子的运动轨迹如图甲所示，短弧和长弧均以OP为弦，已知OP的长度为，根据几何关系可得 解得两个粒子射入磁场时与边界的夹角均为 故B正确； C．根据粒子的运动对称性和几何知识作出两粒子动量变化如图乙所示，可以得出两个粒子的动量变化量大小、方向均相同，为 故C正确； D．两粒子在磁场中运动的周期为 两粒子在磁场中运动的时间相差 故D错误。 故选BC。 【变式4-2】（23-24高二下·山东临沂·期末）如图所示，直角三角形的AB边长为L，，三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从D点沿着垂直BC边的方向以速度v射入磁场，CD间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．时，带电粒子垂直于AC边射出磁场 C．若粒子从BC边射出磁场，则 D．若粒子从AC边射出磁场，则 【答案】B 【详解】ACD．粒子带正电，根据左手定则可知，粒子进入磁场后将向上偏转，粒子从BC边离开时，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大，运动时间最长，当离开刚好离AC边相切时，粒子轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得 根据几何关系可得 联立解得， 可知粒子在磁场中运动的最长时间为 当粒子从BC边射出磁场，则有 当粒子从AC边射出磁场，则有 故ACD错误； B．若带电粒子垂直于AC边射出磁场，如图所示 根据几何关系可知， 由洛伦兹力提供向心力可得，联立解得 故B正确。 故选B。 强化点五 带电粒子在弧形边界磁场中的运动 【典例5】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图所示，真空中xOy平面内存在半径为R的圆形区域，该圆形区域与y轴相切，x轴与其一条直径重合，P点为圆形区域边界上的一点，P点与圆心的连线与x轴正方向成角。已知圆形区域内只存在垂直于xOy平面的匀强磁场或只存在平行于y轴向上的匀强电场，一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从坐标原点O以初速度沿x轴正方向射入该圆形区域，粒子恰好从P点射出，不计粒子的重力。 (1)若圆形区域内只存在垂直于xOy平面的匀强磁场，求匀强磁场磁感应强度B的大小与方向； (2)若圆形区域内只存在平行于-轴向上的匀强电场，求粒子在圆形区域内运动过程中受到电场力的冲量I的大小。 【答案】(1)，方向重直于xOy平面向里 (2) 【详解】（1）（1 ）若圆形区域内只存在匀强磁场，粒子在磁场中做匀速圆周运动，恰好从P点射出，则由左手定则知磁感应强度方向垂直于xOy平面向里。 设粒子轨迹圆半径为r，轨迹如图甲所示 由几何知识有 由洛伦兹力提供向心力有，解得 （2）若圆形区域内只存在匀强电场，粒子在平行于y轴向上的匀强电场区域内做类平抛运动，如图乙所示： 设粒子从O点运动到P点的时间为t，由平抛运动规律有 ， 粒子受到电场力的冲量解得 【变式5-1】（23-24高二下·山东临沂·期末）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，O点为圆形区域的圆心，磁感应强度大小为B，一个比荷绝对值为k的带电粒子以某一速率从M点沿着直径MON方向垂直射入磁场，粒子离开磁场后打在右侧屏上的P点，QP连线过圆心O，QP与MN的夹角，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子做圆周的运动半径为 C．粒子运动的速率为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】C 【详解】根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 A．由图可知，粒子在点受水平向右的洛伦兹力，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误； BC．由几何关系可得，粒子做圆周的运动半径为 由牛顿第二定律有解得 故B错误，C正确； D．粒子在磁场中运动的周期为 由几何关系可知，轨迹的圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间为 故D错误。 故选C。 【变式5-2】（23-24高二下·山西临汾·期末）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（未画出），一质量为m、带电荷量为的微粒从圆上的N点以一定的速度沿图中虚线方向射入磁场，从圆上的M点离开磁场时的速度方向与虚线垂直。已知圆心O到虚线的距离为，不计微粒所受的重力，求： （1）微粒在磁场区域内运动的时间t； （2）微粒到圆心O的最小距离d。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设微粒的速度大小为v，微粒在匀强磁场中运动的轨道半径为r，则有 ， 解得 由于偏转角为，则轨迹对应的圆心角也为，则有，解得 （2）作出粒子的运动轨迹如图所示A点为微粒运动轨迹的圆心，设圆心O到MA的距离为x，到MC的距离为y，则有 ，， 解得 微粒到圆心O的最小距离为 联立解得 强化点六 带电粒子（计重力）在磁场中的运动 【典例6】质量为m、电荷量为q的小物块，从倾角为θ的粗糙绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。若带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，下面说法正确的是（　　） A．小物块一定带正电荷 B．小物块在斜面上运动时做匀减速直线运动 C．小物块在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动 D．小物块在斜面上下滑过程中，当小球对斜面压力为零时的速率为 【答案】C 【详解】A．由题意可知，小物块受到的洛伦兹力垂直斜面向上，根据左手定则可得：小滑块带负电，故A错误； BC．在向下运动的过程速度增大，洛伦兹力增大，支持力减小，由 得摩擦力减小 所以加速度增大。物块做加速度逐渐增大的加速运动。故B错误C正确； D．由题意，当滑块离开斜面时，洛伦兹力 则 故D错误。 故选C。 【变式6-1】（22-23高二上·上海徐汇·期末）如图所示，质量为的小球，带有的正电荷，套在一根与水平方向成的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为，杆所在空间有磁感应强度的匀强磁场，小球由静止开始下滑，求： （1）小球刚开始运动时加速度大小； （2）小球运动过程中的最大速率（重力加速度g取） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球由静止刚开始下滑时，洛伦兹力为0，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）小球下滑过程中，根据左手定则可知小球受到洛伦兹力垂直于杆向上，当小球达到最大速度时，加速度为0，则有 代入数据解得 【变式6-2】（多选）质量m=0.1g的小物块，带有5×10-4C的电荷，放在倾角为30°的绝缘光滑斜面上，整个斜面置于B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向如图所示。物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，开始离开斜面（设斜面足够长，g取10m/s2）（　　） A．物体带正电 B．物体离开斜面时的速度为m/s C．物体在斜面上滑行的最大距离是1.2 m D．物体在离开斜面之前一直做匀加速直线运动 【答案】CD 【详解】A．根据题意可知，物体要离开斜面，所以受到的洛伦兹力垂直斜面向上，根据左手定则可知，物体带负电，故A错误； B．根据平衡条件 可得 故B错误； CD．由以上分析可知，物体沿斜面方向的合力由重力的分力提供，所以物体离开斜面前沿斜面做匀加速直线，根据牛顿第二定律可知 根据匀变速直线运动的规律可得 可得 故CD正确。 故选CD。 19．（2024·广西·高考真题）坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子运动轨迹如图所示 在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有 可得粒子做圆周运动的半径 根据几何关系可得P点至O点的距离 故选C。 20．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动轨迹可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 【答案】D 【详解】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故AB错误； C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图 则最短时间有 故C错误； D．粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示 设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力有 可得 故D正确。 故选D。 真题感知 1．（多选）（2024·浙江·高考真题）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角。质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度沿细杆向上运动至最高点，则该过程（　　） A．合力冲量大小为mv0cosƟ B．重力冲量大小为 C．洛伦兹力冲量大小为 D．若，弹力冲量为零 【答案】CD 【详解】A．根据动量定理 故合力冲量大小为，故A错误； B．小球上滑的时间为 重力的冲量大小为 故B错误； C．小球所受洛伦兹力为， 随时间线性变化，故洛伦兹力冲量大小为 故C正确； D．若，0时刻小球所受洛伦兹力为 小球在垂直细杆方向所受合力为零，可得 即 则小球在整个减速过程的图像如图 图线与横轴围成的面积表示冲量可得弹力的冲量为零，故D正确。 故选CD。 2．（多选）（2024·河北·高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（   ） A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出 B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出 C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边的速度方向与ad边夹角必为45° D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60° 【答案】AD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，在正方形abcd区域中做匀速直线运动，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，在正方形abcd区域中的运动轨迹必平行于AC的连线，可知粒子必经过cd边，进入正方形abcd区域前后的两段圆弧轨迹的半径相等，并且圆心角均为45°，据此作出粒子可能的两个运动轨迹如图所示 粒子的运动轨迹均关于直线BD对称，粒子必从C点垂直于BC射出，故A正确； C．若粒子经cd边垂直BC射出，粒子运动轨迹如图所示 设粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为，则图中两段圆弧轨迹的圆心角与的关系为 设两正方形的对应边之间的距离为，为保证粒子穿过ad边，需满足 且有 联立解得 为保证粒子穿过cd边，需满足 为保证从BC边射出，需满足 联立解得 可得粒子经cd边垂直BC射出，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角范围是 故C错误； BD．粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°时，作出粒子恰好经过c点的运动轨迹如图所示 设粒子在e点进入正方形abcd区域，线段MN垂直平分轨迹ec，与AB选项的分析同理，粒子的轨迹关于线段MN对称。线段CE平行于轨迹ec，取圆弧轨迹的中点F，过F点做轨迹ec的平行线分别交AD与BC于点G和点，点为点E关于MN的对称点。易知点e为ad的中点，点E为AD的中点，Ee垂直于ad和AD，设粒子轨迹半径为r，正方形ABCD的边长为2L。由几何关系得 联立解得 因，故，即EF垂直于，由对称性可知四边形为矩形，垂直于CE，可知点是点F关于MN的对称点，即点F是圆弧cH的中点，可知由c到粒子的轨迹圆心角为30°，可得粒子垂直BC射出。若粒子速度较大，轨迹半径较大，则粒子在c点左侧穿过cd，其轨迹如图所示 与临界轨迹对比，粒子第二段的轨迹圆心不会在BC上，故粒子不会垂直BC射出。若粒子速度较小，轨迹半径较小，则粒子在c点下方穿过cb，其轨迹如图所示。 与粒子恰好经过c点的运动过程同理，根据对称性可知粒子一定垂直BC射出，故B错误，D正确。 故选AD。 3．（2024·天津·高考真题）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R的半圆形匀强磁场区域，半圆与x轴相切于M点，与y轴相切于N点，直线边界与x轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。在第一象限存在沿方向的匀强电场，电场强度大小为E．一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从M点以速度v沿方向进入第一象限，正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若仅有电场，求粒子从M点到达y轴的时间t； (3)若仅有磁场，改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达x轴上P点，M、P的距离为，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，由于一带负电粒子能沿直线匀速穿过半圆区域，由平衡条件有 解得 （2）若仅有电场，带负电粒子受沿轴负方向的电场力，由牛顿第二定律有 又有，联立解得 （3）根据题意，设粒子入射速度为，则有， 可得 画出粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得，解得 则轨迹所对圆心角为，则粒子在磁场中运动的时间 提升专练 一、单选题 1．（2024·河北·二模）如图所示，空间内有一垂直纸面方向的匀强磁场（方向未知），一带正电的粒子在空气中运动的轨迹如图所示，由于空气阻力的作用，使得粒子的轨迹不是圆周，假设粒子运动过程中的电荷量不变。下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动方向为 B．粒子所受的洛伦兹力大小不变 C．粒子在b点的洛伦兹力方向沿轨迹切线方向 D．磁场的方向垂直纸面向里 【答案】D 【详解】A．由于空气阻力做负功，粒子运动过程中速率逐渐减小，由 得 所以粒子运动的轨道半径逐渐减小，粒子的运动方向为，A错误； B．由公式可知粒子所受的洛伦兹力逐渐减小，B错误； C．粒子所受的洛伦兹力与速度方向垂直，方向指向弯曲轨迹的内侧，所以粒子在b点的洛伦兹力并不沿切线方向，C错误； D．由左手定则可知匀强磁场的方向垂直纸面向里，D正确。 故选D。 2．（2024·山东济南·一模）一倾角为的绝缘光滑斜面处在与斜面平行的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。质量为m，电荷量为的小球，以初速度从N点沿NM边水平射入磁场。已知斜面的高度为h且足够宽，小球始终未脱离斜面。则下列说法正确的是（    ） A．小球在斜面上做变加速曲线运动 B．小球到达底边的时间为 C．小球到达底边的动能为 D．匀强磁场磁感强度的取值范围 【答案】B 【详解】A．小球运动过程中，小球受到的洛伦兹力、重力恒定不变，则小球受到的合力不变，且合力方向与初速度方向不在同一直线上，故小球在斜面上做匀变速曲线运动，故A错误； B．小球做类平抛运动，在NM方向上，小球做匀速直线运动，在斜面方向上，小球做匀加速直线运动，则 小球的加速度为 解得小球到达底边的时间为 故B正确； C．根据动能定理，小球到达底边的动能为 故C错误； D．根据左手定则，小球受到的洛伦兹力垂直斜面向上，为使小球不脱离斜面，则 解得匀强磁场磁感强度的取值范围为 故D错误。 故选B。 3．（2024·四川德阳·模拟预测）如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向以初速度大小v（未知）射入磁场，粒子仅能从正方形cd边（含c、d两点）射出正方形区域，该粒子在磁场中运动时间为t，不计粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．粒子在磁场中圆周运动周期 洛伦兹力提供向心力 得 如果粒子从c点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，可知粒子圆周运动的圆周角为 所用时间为 如果粒子从d点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，可知粒子圆周运动的圆周角为，所用时间为 所以粒子运动时间t，有 故AB错误； CD．如果粒子从c点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长线通过a点，磁场的边长为L，设粒子的轨道半径为r，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 如果粒子从d点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 粒子仅能从正方形cd边（含c、d两点）射出正方形区域，所以 C错误，D正确。 故选D。 【点睛】 4．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，在y≥0的区域存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向均匀地不断发射速度大小均为v、质量为m、带电荷量为4q的同种带电粒子。在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度为x0、厚度不计、能接收带电粒子的薄金属板P（粒子一旦打在金属板P上，其速度立即变为0）。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与y轴平行。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度 B．磁感应强度 C．打在薄金属板右侧面与左侧面的粒子数目之比为1：2 D．打在薄金属板右侧面与左侧面的粒子数目之比为2：1 【答案】C 【详解】AB．由左手定则可以判断带电粒子在磁场中沿顺时针方向做匀速圆周运动，沿x负方向射出的粒子恰好打在金属板的上方，如图所示 由几何关系可知 由洛伦兹力提供向心力，联立解得 故AB错误； CD．当打在右侧下端的临界点，如图所示 圆心O″与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和x轴正方向成150°角，结合A选项中图可知，沿与-x方向夹角范围为0~30°角发射的粒子打在薄金属板的右侧面上；当带电粒子打在金属板左侧面的两个临界点，如图所示 圆心O′与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和x轴正方向成30°角，可知沿与x正方向夹角范围为30~90°角发射的粒子打在薄金属板的左侧面上，则打在薄金属板右侧面与左侧面的粒子数目之比为 故C正确，D错误。 故选C。 二、多选题 5．（2024·吉林长春·模拟预测）地球的磁场是保护地球的一道天然屏障，它阻挡着能量很高的太阳风粒子直接到达地球表面，从而保护了地球上的人类和动植物。地球北极的磁场是沿竖直轴对称的非均匀磁场，如图所示为某带电粒子在从弱磁场区向强磁场区前进时做螺线运动的示意图，不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（    ） A．该带电粒子带正电 B．从弱磁场区到强磁场区的过程中带电粒子的速率不变 C．带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离一直保持不变 D．带电粒子每旋转一周的时间变小 【答案】ABD 【详解】A．由左手定则可知，该带电粒子带正电，故A正确； B．因洛伦兹力对带电粒子不做功，则从弱磁场区到强磁场区的过程中带电粒子的速率不变，故B正确； CD．根据洛伦兹力提供向心力 带电粒子每旋转一周的时间为 可知随着磁场的增强，粒子运动半径逐渐减小，带电粒子每旋转一周的时间变小，带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离为 故带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离减小，故C错误，D正确。 故选ABD。 6．（2024·广西柳州·三模）如图所示，上方存在匀强磁场，同种粒子从点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为和，且均由点射出磁场，则两粒子（　　） A．运动半径之比为 B．初速率之比为 C．运动时间之比为 D．运动时间之比为 【答案】AC 【详解】A．设OP=2d，则由几何关系可知， 可知ab的运动半径之比为，选项A正确； B．根据 可得 初速率之比为，选项B错误； CD．根据 ab两粒子转过的角度之比为300°：120°=5:2，则运动时间之比为，选项C正确，D错误。 故选AC。 7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量均为m、带电荷量均为的粒子从P点沿竖直方向以不同速率射入磁场，P点与圆心的连线与竖直方向之间的夹角为，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．该束粒子射出磁场时速度方向与过出射点的磁场区域圆半径的夹角为 B．若粒子恰好从C点射出，则其在磁场中运动的时间为 C．若粒子恰好从A点射出，则其在磁场中运动的速度为 D．从B点射出的粒子比从A点射出的粒子在磁场中运动的时间短 【答案】ABC 【详解】A．根据题意可知，粒子从P点射入磁场时，速度方向与过入射点的圆形磁场半径之间的夹角为，如图所示 由几何知识可知，该束粒子射出磁场时速度方向与过出射点的磁场区域圆半径的夹角也为，A正确； B．若粒子恰好从C点射出，粒子的运动轨迹如图甲所示，根据几何关系可知，粒子在磁场中转过的圆心角为，运动的时间为 B正确； C．若粒子恰好从A点射出，粒子的运动轨迹如图乙所示 根据几何关系可知，轨迹半径 由洛伦兹力提供向心力可知，解得 C正确； D．从B点射出的粒子在磁场中转过的圆心角大于从A点射出的粒子在磁场中转过的圆心角，根据 可知从B点射出的粒子比从A点射出的粒子在磁场中运动的时间长，D错误。 故选ABC。 三、解答题 8．（2024·湖北黄冈·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的x轴上方一矩形区域内存在一垂直平面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感强度大小，x轴的下方存在一与平面平行的匀强电场。一质量、电荷量的带正电粒子从点以、方向与y轴正向夹角射入第三象限，粒子在电场中偏转后第一次经过x轴上Q点时速度大小也为，方向也与y轴正向夹角，经过x轴后立即进入磁场，直到第二次经过x轴上M点离开磁场。已知，不计粒子重力，求 （1）电场强度的大小和方向； （2）Q点、M点的坐标； （3）矩形磁场区域的最小面积S。 【答案】（1）8 V/m ， 方向沿x轴正向；（2） ， ；（3） 【详解】（1）对粒子从P到Q运动过程中，初末速度及速度变化矢量图如图所示 由几何知识得 代入数据得 方向沿x轴正向， 则电场方向沿x轴正向，故粒子从P到Q运动过程可看成沿方向，匀速直线运动到x轴上F和沿x轴方向匀加速直线运动，则沿方向，匀速直线运动到x轴有，得 联立得 方向沿x轴正向 （2）粒子P到Q运动过程x轴方向匀加速直线运动有 可知 故Q点坐标为 对粒子在磁场中运动有，解得 则 得M点坐标为 （3）粒子在磁场中运动轨迹如图所示，对应轨迹圆心为，D为OM中点，连线延长交圆弧于C点，作其圆弧的外切矩形 在中，有，解得， 解得 矩形面积 代入数据得 9．（2024·陕西铜川·模拟预测）如图所示的坐标系中，y轴左侧存在范围足够大的匀强电场，电场方向与y轴负方向的夹角为，电场强度的大小为，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场（未画出）。质量为、带电荷量为、重力不计的带正电粒子由O点左侧距离O点处的P点由静止释放，经过一段时间由y轴上的Q点（未画出）进入磁场。已知，，。（结果均保留两位有效数字） （1）若磁场的磁感应强度大小为，且该磁场为矩形区域，欲使粒子垂直x轴离开磁场，求磁场面积的最小值； （2）若磁场范围足够大，粒子刚好不从x轴离开磁场，求粒子第2次到达y轴时位置到O点的距离以及粒子由P点释放到第2次到达y轴时所用的时间。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）作出粒子的运动轨迹，如图1所示，由几何关系可知， 由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理得，解得 带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由 整理得 代入数据得 由几何关系可知粒子轨迹的圆心在x轴上，粒子由C点垂直x轴离开磁场。则 矩形磁场区域的最小面积如图1所示，则 过做MN的垂线，分别交CQ，MN于S、T，则，则，解得 所以 矩形磁场面积的最小值为    （2）粒子刚好不从x轴离开磁场。其运动轨迹如图2所示。 由几何关系可知，解得 由对称性可知，粒子第2次到达y轴时的速度方向与y轴负方向的夹角为，且F点到O点的距离为 粒子在电场中运动时，粒子的加速度大小为 粒子由P到Q的时间为 粒子在磁场中运动的周期为 则粒子在磁场中运动的时间为 则粒子由P点释放到第2次到y轴的总时间为，代入数据解得    1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$