专题03 二次函数（考题猜想，易错必刷32题16种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期鲁教版

专题03 二次函数 （易错必刷36题16种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数的判断和自变量取值范围 · 利用二次函数定义判断参数的值 · 二次函数的定义 · 求抛物线的顶点、对称轴、最值 · 二次函数的增减性 · 二次函数的平移 · 二次函数表达式的确定 · 二次函数的图象与系数a，b，c的关系 · 二次函数与其他函数的图象关系 · 二次函数与一元二次方程的关系 · 二次函数的实际应用（1）-几何图形问题 · 二次函数的实际应用（2）-销售问题 · 二次函数的实际应用（3）-拱桥问题 · 二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题 · 二次函数的实际应用（4）-增长率问题 · 二次函数的综合应用 1． 函数的判断和自变量取值范围（共2小题） 1．下列说法中，正确的是(    ) A．变量x，y满足y2＝x，则y是x的函数 B．变量x，y满足x＋3y＝1，则y是x的函数 C．代数式πr3是它所含字母r的函数 D．在V＝πr3中，是常量，r是自变量，V是r的函数 【答案】B 【详解】A、y与x不是唯一的值对应，所以A错误； B、当x取一值时，y有唯一的值与之对应，所以B正确； C、代数式，故错误； D、在V=πr3中，π是常量，r是自变量，V是r的函数，故错误． 故选B． 【点睛】函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 2.（2017·广东东莞·一模）函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A．x＞ B．x≠ C．x≠且x≠0 D．x＜ 【答案】B 【详解】分式有意义的条件是分母不等于0，故分母2x﹣3≠0，解得x的范围． 解：根据题意得：2x﹣3≠0， 解得：x≠． 故选B． 2． 利用二次函数定义判断参数的值（共2小题） 3.（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）若关于的函数的图象是抛物线，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如（为常数，且）的函数叫做二次函数，其图象为抛物线是解题关键．根据据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵关于的函数的图象是抛物线， ∴，， ∴． 故选A． 4.（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故选：3． 3． 二次函数的定义（共2小题） 5.（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：①，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，不是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤，是二次函数； 共有2个二次函数， 故选：B． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列函数中，是的二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B． 是二次函数，故符合题意； C． 是反比例函数，故不符合题意； D． 是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 4． 求抛物线的顶点、对称轴、最值（共2小题） 7.（24-25九年级上·山东淄博·期中）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为轴，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴为轴， 故选：D． 8（24-25九年级上·山东德州·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 5． 二次函数的增减性（共3小题） 9．（2024·云南怒江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出、、的值，比较即可得解． 【详解】解：∵点，，都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 10．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，当时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越大，当时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越小． 先求得函数图象的开口方向和对称轴，再根据各点离对称轴的距离大小即可判断． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 11．（24-25九年级上·浙江·期中）已知点，，在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性质，掌握二次函数的图象与性质是关键．确定抛物线的对称轴为直线，确定点关于对称轴的对称点为，由二次函数的性质即可确定函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴； 故选：C． 6． 二次函数的平移（共3小题） 12.（24-25九年级上·河南开封·期中）如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（   ） A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移4个单位，向下平移5个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，理解二次函数图象平移的性质是解答关键． 根据二次函数的图象向右平移是减，向下平移是减来进行求解． 【详解】解：的顶点坐标是，的顶点坐标是， 顶点由到需要向右平移4个单位，向下平移5个单位， 平移的过程是向右平移4个单位，向下平移5个单位． 故选：D． 13.（24-25九年级上·河北唐山·期中）将抛物线 平移3个单位长度后得到 则方向为（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键；观察函数式中的变化，由变为，表明是向左平移了3个单位长度，从而得解． 【详解】解：由得， 所以图象向左平移了3个单位长度， 故选：C． 14.（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”解题即可． 【详解】解：把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象是， 故选：A． 7． 二次函数表达式的确定（共3小题） 15.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)确定二次函数的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；二次函数的性质； （1）设该二次函数的表达式为 ，将A、B、C的坐标代入，待定系数法求二次函数的解析式； （2）配方法化为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：设该二次函数的表达式为 ， 把代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解： ， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标． 16（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值并判断点是否落在的图像上； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)m的值为，点C落在的图像上 (3)n的取值范围为 【分析】（1）先根据对称轴求得b，然后将点代入求得c的值即可； （2）先求出点平移后的的坐标，然后代入函数解析求得m的值，再确定点B的坐标，然后判断其是否在抛物线上即可； （3）先将函数解析式化成顶点，然后分、、三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数为的对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴为直线，解得：． ∴抛物线为， 又∵图象经过点， ∴． ∴． ∴抛物线为． （2）解：将点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度 ∴平移后的点为． 又∵在， ∴． 解得：（舍去负值）． ∴点的坐标为． 当时，， ∴点C落在的图象上． （3）解：∵， 当时，， ∴当时， ∴最大值与最小值的差为， 解得：，不符合题意，舍去． 当时，最大值与最小值的差为，符合题意． 当时，最大值与最小值的差为，解得 或 ，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移等知识点，灵活运用二次函数的性质是关键． 17.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为6.25，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由二次函数为，可得抛物线为直线，可得的值，再由图象经过点，求出的值，进而可以得解； （2）依据题意，得平移后的点为，代入，计算可以得解； （3）依据题意，由，可得当时，取最小值，最小值为，再根据、和进行分类讨论，即可计算得解． 【详解】（1）解：二次函数为， 抛物线的对称轴为直线． ． 抛物线为． 又图象经过点， ． ． 抛物线为． （2）解：点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 平移后的点为． 又在， ， 或（舍去）． ． （3）解：∵， ∴当时，取最小值，最小值为，当 时， 最大值与最小值的差为． ，不符合题意，舍去． 当 时， 最大值与最小值的差为，符合题意． 当时，最大值与最小值的差为，解得 或，不符合题意，舍去． 综上所述，的取值范围为． 8． 二次函数的图象与系数a，b，c的关系（共2小题） 18.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，有下列结论：①②关于x的方程的两个根是；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，利用抛物线与轴的交点个数可判断①，利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，可判断②，根据得到当时，得到即则可判断③，根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可判断④，根据二次函数的性质可判断⑤，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴有个交点， 即故①符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是故②符合题意； 即 当时， ∴ 故③不符合题意； 由图象知，当时，的取值范围是故④符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 ∴当时，随增大而增大， ∴当时，随增大而增大，故⑤符合题意， 综上，符合题意的是个， 故选：C． 19.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②关于x的方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线与轴有两交点可得，可判断①；由抛物线对称轴为直线可得与的关系，由抛物线经过可得，可判断③；由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一交点坐标，从而可得方程的两个根，可判断②；进而可得时，的取值范围，可判断④；由图象可得时，随增大而增大，可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ， ∴，①正确； ∵抛物线对称轴为直线， ， ， ∵抛物线经过， ∴，③错误； ∵抛物线与轴交与， ∴抛物线与轴另一交点坐标为， ∴方程的两个根是，②正确； ∴时，，④正确； 由图象可得时，随增大而增大， ∴⑤正确． 故选：C． 9． 二次函数与其他函数的图象关系（共2小题） 20.（22-23九年级上·广东东莞·期末）函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据二次函数的图象与系数的关系及一次函数的性质作出判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，，二次函数开口向上，一次函数过二、三、四象限， ②当时，，二次函数开口向下，一次函数过一、二、四象限， 由各选项的图象可以看出，选项正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象综合判断，不等式的性质，二次函数的图象与系数的关系，根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 21.（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，先由原图得出，，再分析函数的图象的开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴的负半轴，据此即可作答． 【详解】解：∵原图的二次函数的开口向上， ∴中的， ∵原图的一次函数经过第一、二、三象限， ∴一次函数中的， 则函数的开口向上， ∵， ∴， ∴函数与轴交于负半轴， ∵，， ∴，即函数的对称轴在轴的负半轴， ∴符合上述条件是C选项， 故选：C． 10． 二次函数与一元二次方程的关系（共2小题） 22.（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表． x 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从表中数据可知，下列说法中正确的是（  ） A．抛物线的对称轴是直线 B．方程的解为， C．函数的最大值为6 D．在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．根据表格信息结合二次函数性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、由表格可知函数经过，， 所以对称轴，故选项不符合题意； B、根据图表，当时，，根据抛物线的对称性，当时，， ∴抛物线与x轴的交点为和， ∴方程的解为，，故选项正确，符合题意； C、根据表中数据得到抛物线的开口向下， ∴当时，函数有最大值，而不是，或1对应的函数值6，故选项错误，不符合题意； D、根据表中数据得到抛物线的开口向下，并且在直线的右侧，y随x增大而减小，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 23.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线与坐标轴的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，先令，得，可知抛物线与x轴有两个交点，当时，，可知抛物线与y轴有1个交点，故可得结论． 【详解】解：对于 当时，得，即， 此时， 所以，抛物线与x轴有两个交点； 当时，， 所以，抛物线与y轴有1个交点， 所以抛物线与坐标轴有3个交点． 故选：D． 11． 二次函数的实际应用（1）-几何图形问题（共3小题） 24.（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出直线的解析式为，再设点P的坐标为，用含p的二次函数表示出S，利用二次函数的性质求出的最大值和最小值即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 动点P在线段上， 设点P的坐标为，其中， 轴，轴， 四边形为矩形，，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， ， 当时，取最小值，最小值为， ， 故答案为：． 25.（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形花圃，墙长为6米，其中边大于或等于墙长，中间用篱笆隔开．设的长为x米，的长为y米，矩形花圃的面积为s米．    (1)直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围； (2)当的长为多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)，， (2)当的长为9米时，矩形花圃的面积最大，且最大面积为平方米 【分析】（1）由题意知，，，可求，由，可求，进而可得，由题意知，，整理作答即可； （2）由题意知，，然后求最值即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 整理得，， ∵， ∴，则， 由题意知，， ∴，，； （2）解：由题意知，． ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 答：当的长为9米时，矩形花圃的面积最大，且最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，一元一次不等式的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，一元一次不等式的应用，二次函数的最值是解题的关键． 26．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，若篱笆虚线部分的长度为，当所围成矩形的面积是时墙足够长 (1)求矩形的长是多少？ (2)当矩形的长是多少矩形的面积w有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)矩形的长是 (2)当矩形的长是时，矩形的面积w有最大值，最大值是 【分析】此题考查了二次函数的应用，以及一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设矩形的一条边长为，则另一条边长为，由矩形的面积公式结合矩形的面积是，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． （2）矩形的面积等于长乘以宽，列式得关于x的二次函数，用配方法写成顶点式，从而得解． 【详解】（1）解：设矩形的一条边长为，则另一条边长为， 由题意得：， 解得：，， 或， ， 矩形的长为， 答：矩形的长是． （2）解：根据题意，得：， ， 有最大值， 当时，w取得最大值64， 答：当矩形的长是时，矩形的面积w有最大值，最大值是 ． 12． 二次函数的实际应用（2）-销售问题（共2小题） 27.（2025九年级下·全国·专题练习）某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． (1)设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） (2)设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ (3)临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 【答案】(1) (2)销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元 (3)0.8 【分析】（1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可； （2）根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案； （3）根据“该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套”得到x的范围，根据题意列式，找到当时，w有最大值，即可求解． 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键． 【详解】（1）解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套， ∴日销售量为，即， 故答案为：， （2）解：由题意，∵日销售量为， ∴销售该文具的日利润为， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为2250． 答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元． （3）解：由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套， ∴， ∴， 又此时日销量利润， ∴对称轴为直线． ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴， ∴． 28. （2025九年级下·全国·专题练习）某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合； （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得： ， ， 该函数图象开口向下，且其对称轴为， 又， 在此范围内，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 13． 二次函数的实际应用（3）-拱桥问题（共2小题） 29.（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式； (2)如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？ (3)如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）当，则，解得：，则此时水面宽度为，原先水面宽度为，故可求出增加的长度； （3）设，则，由题意得：，则，故，由开口向下，且，得当时，． 【详解】（1）解：由题意得抛物线经过点，顶点为， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：当，则， 解得：， 则此时水面宽度为， 原先水面宽度为， ∴水面宽度增加； （3）解：， ∴对称轴为直线， 设，则， 由题意得：， ∴， ∴ ， ∴开口向下，由， 得当时，． 30.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式． （2）根据题意，得点E与的距离为米，当时，求自变量的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． ∴米，顶点P的纵坐标为6， ∴，， ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． （2）解：根据题意，得点E与的距离为米， 当时， ， 解得，（舍去）， 故点E与隧道左壁之间的距离为米． 14． 二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题（共2小题） 31.（24-25九年级上·陕西西安·期中）根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 【答案】任务：；任务，不能，理由见解析． 【分析】任务：利用待定系数法，把，代入，即可求出的值； 任务：将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为米，据此即可得到答案； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：任务，由题意可知，，，． 把，代入，得， ， 解得：， 任务，不能．理由如下： 由任务知，该抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为米， ∵， ∴他站立时绳子不能顺利从他头顶越过． 32. （24-25九年级上·北京·期中）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． (1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； (2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】(1)①4；②是；③ (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式． （1）①由表中数据直接可以得出结论； ②由表中数据直接可以得出结论； ③用待定系数法求函数解析式； （2）把分别代入（1）、（2）解析式求出和即可． 【详解】（1）解：①由表格中数据知，当和时，， 对称轴为，顶点坐标为， 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是， 故答案为：4； ②当时，， 羽毛球是可以过网， 故答案为：是； ③，， ， 把，代入解析式得，， 解得， ； （2）解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 故答案为：． 15． 二次函数的实际应用（4）-增长率问题（共1小题） 33.（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）一台机器原价为100万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，需注意两年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．原价为100万元，一年后的价格是万元，两年后的价格是为：万元，则函数解析式求得． 【详解】解：由题意得，，即． 故选：A 16． 二次函数的综合应用（共3小题） 34.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，二次函数的图象过点和，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该二次函数的对称轴上有一点M，使的长度最短，求出M的坐标． 【答案】(1)二次函数的关系式为 (2) 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、“将军饮马”模型． （1）用待定系数法即得二次函数的关系式为； （2）由，得抛物线的对称轴是直线，与y轴交点，根据点B关于直线的对称点是A，可知与对称轴的交点即为点M，使的长度最短，用待定系数法得直线的解析式为，即得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴是直线，与y轴交点， ∵点B关于直线的对称点是A， ∴与对称轴的交点即为点M，使的长度最短，如图： 设直线的解析式为，将代入得： ，解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 35.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接交对称轴于点D，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出即可求解． 【详解】（1）解：把点 分别代入，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵ ， ∴对称轴为直线， 点A关于对称轴的对称点为点B，连接交对称轴于点D，连接，如图1，此时最小， 当时，， ∴点． 设直线的解析式为，代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 36.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在对称轴上存在一点，周长的最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数和一次函数关系式即可； （2）首先确定点的坐标为，再结合题意可知点，关于抛物线的对称轴对称；令直线与抛物线的对称轴的交点为点，由“最短路径”的性质即可求出的坐标，并确定周长取最小值． 【详解】（1）解：将、代入， 可得，解得， ∴抛物线的函数关系式为； 设直线的函数关系式为， 将、代入， 可得，解得， ∴直线的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的坐标为， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， 令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示， ∵点，关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴此时周长取最小值， 当时，， ∴此时点的坐标为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的周长，有一定的综合性，难度适中． $$专题03 二次函数 （易错必刷36题16种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数的判断和自变量取值范围 · 利用二次函数定义判断参数的值 · 二次函数的定义 · 求抛物线的顶点、对称轴、最值 · 二次函数的增减性 · 二次函数的平移 · 二次函数表达式的确定 · 二次函数的图象与系数a，b，c的关系 · 二次函数与其他函数的图象关系 · 二次函数与一元二次方程的关系 · 二次函数的实际应用（1）-几何图形问题 · 二次函数的实际应用（2）-销售问题 · 二次函数的实际应用（3）-拱桥问题 · 二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题 · 二次函数的实际应用（4）-增长率问题 · 二次函数的综合应用 1． 函数的判断和自变量取值范围（共2小题） 1．下列说法中，正确的是(    ) A．变量x，y满足y2＝x，则y是x的函数 B．变量x，y满足x＋3y＝1，则y是x的函数 C．代数式πr3是它所含字母r的函数 D．在V＝πr3中，是常量，r是自变量，V是r的函数 2.（2017·广东东莞·一模）函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A．x＞ B．x≠ C．x≠且x≠0 D．x＜ 2． 利用二次函数定义判断参数的值（共2小题） 3.（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）若关于的函数的图象是抛物线，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 4.（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3． 二次函数的定义（共2小题） 5.（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列函数中，是的二次函数的是（） A． B． C． D． 4． 求抛物线的顶点、对称轴、最值（共2小题） 7.（24-25九年级上·山东淄博·期中）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴 8（24-25九年级上·山东德州·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 5． 二次函数的增减性（共3小题） 9．（2024·云南怒江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·浙江·期中）已知点，，在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 6． 二次函数的平移（共3小题） 12.（24-25九年级上·河南开封·期中）如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（   ） A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移4个单位，向下平移5个单位 13.（24-25九年级上·河北唐山·期中）将抛物线 平移3个单位长度后得到 则方向为（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 14.（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 7． 二次函数表达式的确定（共3小题） 15.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)确定二次函数的对称轴和顶点坐标． 16（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值并判断点是否落在的图像上； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 17.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为6.25，求的取值范围． 8． 二次函数的图象与系数a，b，c的关系（共2小题） 18.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，有下列结论：①②关于x的方程的两个根是；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②④ 19.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②关于x的方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②④ 9． 二次函数与其他函数的图象关系（共2小题） 20.（22-23九年级上·广东东莞·期末）函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 21.（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 轴的负半轴， 10． 二次函数与一元二次方程的关系（共2小题） 22.（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表． x 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从表中数据可知，下列说法中正确的是（  ） A．抛物线的对称轴是直线 B．方程的解为， C．函数的最大值为6 D．在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大 23.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线与坐标轴的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 11． 二次函数的实际应用（1）-几何图形问题（共3小题） 24.（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是 ． 25.（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形花圃，墙长为6米，其中边大于或等于墙长，中间用篱笆隔开．设的长为x米，的长为y米，矩形花圃的面积为s米．    (1)直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围； (2)当的长为多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 26．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，若篱笆虚线部分的长度为，当所围成矩形的面积是时墙足够长 (1)求矩形的长是多少？ (2)当矩形的长是多少矩形的面积w有最大值？最大值是多少？ 12． 二次函数的实际应用（2）-销售问题（共2小题） 27.（2025九年级下·全国·专题练习）某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． (1)设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） (2)设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ (3)临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 28. （2025九年级下·全国·专题练习）某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 13． 二次函数的实际应用（3）-拱桥问题（共2小题） 29.（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式； (2)如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？ (3)如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度． 30.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 14． 二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题（共2小题） 31.（24-25九年级上·陕西西安·期中）根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 32. （24-25九年级上·北京·期中）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． (1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； (2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 15． 二次函数的实际应用（4）-增长率问题（共1小题） 33.（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）一台机器原价为100万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数关系为（　　） A． B． C． D． 16． 二次函数的综合应用（共3小题） 34.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，二次函数的图象过点和，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该二次函数的对称轴上有一点M，使的长度最短，求出M的坐标． 35.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点D的坐标． 36.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． $$