专题02 全等三角形（4个知识点回顾+5大题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

专题02 全等三角形 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 全等三角形的性质】 【题型2全等三角形的判定】 【题型3全等三角形的判定与性质综合】 【题型4角平分线的性质】 【题型5角平分线的判定与性质综合】 知识点1： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点2 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点3： 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点4 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 题型归纳 【题型1 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，，点B，M，N，C在一条直线上，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，那么（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为 时，与全等． 【题型2全等三角形的判定】 6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，可以判定的依据是（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（   ） A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点． (1)求证：； (2)若，求证：． 9．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，已知，，，，，且点B在线段上． (1)求的长； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 10．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点E，F在上，且，．求证：． 12．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，，． 求证：． 【题型3全等三角形的判定与性质综合】 13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 16．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是________． A． B．          C． D． （2）求得的取值范围是________． A．        B．        C．        D． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 17．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，过点A作于点E，过点B作于点D，与交于点F，且． (1)求证：； (2)已知，求的长． 18．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在和中，，为锐角，，，连接，与交于点，与交于点． (1)求证： (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 19．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【题型4角平分线的性质】 20．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 21．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在 (    )    A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 22．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，点E是的中点，于B，于C，平分，下列结论：①； ②；③；④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，已知的周长是30，，分别平分、，于点D，且，则的面积为（    ） A．30 B．35 C．40 D．45 26．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，和的外角平分线、交于点，于点．若，，，则的周长为(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 27．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型5角平分线的判定与性质综合】 28．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 29．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）【问题】如图1，平分，，，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________________； （2）【探究】如图2，平分，，，求证：； （3）【应用】如图3，四边形中，，，，，若，求的值． 30．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 31．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图所示的两个三角形全等，则x的值是（   ） A．45 B．40 C．35 D．25 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在中，平分，于点，已知的面积为5，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知，为的中点，若，，则 ． 8．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为 ． 9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，，平分，，则点D到的距离为 ． 10．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，，垂足为点 A，射线，垂足为点B， ，动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着 E点运动而运动，始终保持 ．若点E的运动时间为t秒 ，则当 秒时， 与全等． 三、解答题 11．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，点D，点F在外，连接，，，且，，． (1)尺规作图：作的角平分线并与相交于点E（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 12．（24-25八年级上·全国·期末）在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． (1)如图①，点D在线段上，求证：． (2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 13．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在三角形中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图①，若点的横坐标为，点的坐标为______； (2)如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作垂直轴于点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点A在x轴上，且，，，连接交轴于点，点在轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 全等三角形的性质】 【题型2全等三角形的判定】 【题型3全等三角形的判定与性质综合】 【题型4角平分线的性质】 【题型5角平分线的判定与性质综合】 知识点1： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点2 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点3： 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点4 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 题型归纳 【题型1 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，若，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质及坐标与图形，根据全等三角形的性质得出，确定，结合图象求解即可． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别是，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边a和c的夹角， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，，点B，M，N，C在一条直线上，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等，是解题关键 ． 利用得到，从而得到，然后利用即可求解 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选： B． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，全等三角形的对应角相等，得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为 时，与全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度是，则有，，，分两种情况：当，时，当，时，分别求解即可得解． 【详解】解：设点的运动速度是，则有，，， ∵， ∴与全等有两种情况： 当，时，， 解得：， ∴， 解得：，即点的运动速度是； 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是； 综上所述，点Q的运动速度为或 时，与全等， 故答案为：或． 【题型2全等三角形的判定】 6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，可以判定的依据是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可．． 【详解】解：在和中， 故选：D． 7．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（   ） A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，可以确定唯一三角形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以组成两个完整的角和两个角的夹边，根据，可以确定唯一三角形，符合题意；其他组合均不能得到唯一三角形， 故选D． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，已知，，，，，且点B在线段上． (1)求的长； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）证明求出的长，进而求出的长即可； （2）根据三角形内角和定理证明，进而证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得 ， ，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴ ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点E，F在上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．先根据平行线的性质得到，再证明，然后根据“”可判断． 【详解】解：， ， ， ， 即， 在和中， ， ． 12．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明． 【详解】解： ， ，， 在和中， ， ． 【题型3全等三角形的判定与性质综合】 13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解答关键． （1）由，利用线段的和差得到，由证明两个三角形全等即可； （2）由（1）可知，由全等三角形的性质得到，然后利用角的和差来求解． 【详解】（1）证明：∵， ． 在和中 ． （2）解：， ， ． 14．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得出结论； （2）根据全等三角形的性质求出答案． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， ； （2）解：由（1）得， ， ，， ． 15．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）先证明，得出，即可求出的值，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵． ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是________． A． B．          C． D． （2）求得的取值范围是________． A．        B．        C．        D． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确做出作辅助线，构造全等三角形． （1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答； （2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （3）延长到F，使，连接，证明得，，再由外角的性质得出，再证明得，从而得出． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选B． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选C． （3）证明：延长到F，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴． 17．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，过点A作于点E，过点B作于点D，与交于点F，且． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）根据同角的余角相等可得，根据证明全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在和中，，为锐角，，，连接，与交于点，与交于点． (1)求证： (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键． （1）利用“”可判断； （2）利用得到，再根据三角形内角和得到，即可判断． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ； （2）解： 理由如下： ， ， ， ， ． 19．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，可求出、的值，由，可求出、的长，得出点的坐标， （2）过点作轴于，由，可求出、的长，得出点的坐标， （3）延长、交于点，由，得出，结合，可证，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角坐标系内点的坐标，解题的关键是：作垂直辅助线，找到全等三角形． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， （2）过点作轴于， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的坐标为， （3）延长、交于点， 轴， ， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故轴恰好平分． 【题型4角平分线的性质】 20．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键；过D作于E，根据角平分线的性质可得，即可得解． 【详解】解：过D作于E， ， ， ，， ， 点D到BC的距离是4， 故选：． 21．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在 (    )    A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 由它到三条公路的距离相等，即其在三条角平分线的交点上，据此即可解答． 【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意； B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，符合题意； C．三角形高的交点为垂心，不符合题意； D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，不符合题意． 故选B． 22．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 23．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，点E是的中点，于B，于C，平分，下列结论：①； ②；③；④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质；过E作于F，由证明，得出，，；证出，由证明，得出，，由平角定义得出，①正确；由等角的余角相等得出，②正确；只有时，，③不正确；证出，得出，④正确． 【详解】解：①过E作于F，如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，①正确； ②∵， ∴ ∴， ∴，②正确； ③只有时，， ∴③不正确； ④∵，， ∴④正确； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：C． 24．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出，代入数据即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，的面积为， ∴． 故选：A． 25．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，已知的周长是30，，分别平分、，于点D，且，则的面积为（    ） A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，过O作于E，于F，连接，根据角平分线性质得出，求出的面积，再求出答案即可． 【详解】解：过O作于E，于F，连接， ∵，分别平分和，，，，， ∴，， ∵的周长为30， ∴， ∴ ， 故选：D． 26．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，和的外角平分线、交于点，于点．若，，，则的周长为(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质、连接，过点作于，，交的延长线于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式分别求出、，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于，，交的延长线于， 和的外角平分线、交于点，，于，， ， ， ， 解得：， ， ， ， 的周长， 故选：D． 27．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 【题型5角平分线的判定与性质综合】 28．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证明，结合，列式计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴ ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴． 29．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）【问题】如图1，平分，，，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________________； （2）【探究】如图2，平分，，，求证：； （3）【应用】如图3，四边形中，，，，，若，求的值． 【答案】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质即可求解； （2）过点D作，交于E，，交延长线于F，先证明，即可证明 ，根据全等三角形的性质即可得证 （3）过点D作，交延长线于F，连接，证明，进而证明 ，得出，进而根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过点D作，交于E，，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ． ， （3）解：过点D作，交延长线于F，连接， ，， ， ， ， 在和中， ． ，， 在和中， ， 30．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等形的识别，利用全等图形的概念 “两个图形能够完全重合，就是全等图形”是解答本题的关键． 本题观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等图形”的定理即可得到答案． 【详解】解：A选项两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； B选项两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：A 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图所示的两个三角形全等，则x的值是（   ） A．45 B．40 C．35 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵两个三角形全等， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据作图过程得出，利用三边相等证明即可得答案． 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与，重合， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴这一做法用到三角形全等的判定定方法是． 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解题的关键． 如图所示，，，是边上的中线，设，延长至E，使，则，证明，则，根据三角形的三边关系得到，即可得到x的取值范围． 【详解】解：如图所示 ：，，是边上的中线，则，    延长至E，使，则， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在中，平分，于点，已知的面积为5，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 6．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质得到是解题的关键． 过点作于点，由角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算方法，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 二、填空题 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知，为的中点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解： ， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，    ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，，平分，，则点D到的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点D作于E，结合题目中的条件，平分，利用角平分线的性质定理可得，再根据距离的定义即可解答． 【详解】解：过点D作于E， 平分，，， ，即点D到的距离为5． 故答案为：5． 10．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，，垂足为点 A，射线，垂足为点B， ，动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着 E点运动而运动，始终保持 ．若点E的运动时间为t秒 ，则当 秒时， 与全等． 【答案】2或6或8 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，应用分类讨论是解题的关键；分两种情况： 当E 在线段上时，当E在上，再分别分成两种情况进行计算即可． 【详解】解：当E 在线段上，点E与点A重合时，，此时，但，舍去； 当E 在线段上时，，则， ， ； 当E在上时，，则， ， 动点E的速度为， ； 当E在上时，，则， ， 动点E的速度为， ； 故答案为：2或6或8． 三、解答题 11．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，点D，点F在外，连接，，，且，，． (1)尺规作图：作的角平分线并与相交于点E（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质可得，从而证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ 12．（24-25八年级上·全国·期末）在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． (1)如图①，点D在线段上，求证：． (2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在线段上移动时，，当点D在的延长线上时，；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可证； （2）①当点D在线段上移动时，由（1）可知：，则，由，，可得，进而可得；②当点D在的延长线上时，同理求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点D在射线上移动时，或，理由如下： ①当点D在线段上移动时， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②当点D在的延长线上时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 13．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在三角形中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图①，若点的横坐标为，点的坐标为______； (2)如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作垂直轴于点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点A在x轴上，且，，，连接交轴于点，点在轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 【答案】(1) (2)，理由见解析． (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）过点作轴的垂线，交轴于点，证明，即可求得答案； （2）延长，交于点，证明和，即可求得答案； （3）过点作轴的垂线，交轴于点，证明和，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点． ∵，， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴点的坐标为． 故答案为： （2），理由如下： 如图所示，延长，交于点． ∵轴恰好平分， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． （3），理由如下： 如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$