专题4.1（考题猜想，易错、好题必刷50题10种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期青岛版

专题4.1 一元二次方程的应用（易错、好题必刷50题10种题型专项训练） 目录 【题型01 传播问题（一元二次方程的应用）】 1 【题型02 增长率问题（一元二次方程的应用）】 2 【题型03 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）】 4 【题型04 数字问题（一元二次方程的应用）】 7 【题型05 营销问题（一元二次方程的应用）】 8 【题型06 动态几何问题（一元二次方程的应用）】 10 【题型07 工程问题（一元二次方程的应用）】 12 【题型08 行程问题（一元二次方程的应用）】 15 【题型09 图表信息题（一元二次方程的应用）】 16 【题型10 其他问题（一元二次方程的应用）】 18 【题型01 传播问题（一元二次方程的应用）】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（17-18九年级·广东东莞·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 4．（23-24九年级上·山东滨州·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， (1)用含x的解析式表示：第一轮后共有①______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有②______人患了流感； (2)根据题意，列出相应方程为③______； (3)解这个方程，得④______； (4)根据问题的实际意义，平均一个人传染了⑤______个人． 5．（23-24九年级上·广东清远·期末）某教育局组织教职工男子篮球比赛． (1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛? (2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长． 【题型02 增长率问题（一元二次方程的应用）】 6．（24-25九年级上·贵州·期末）某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 7．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）近几年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． (1)求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； (2)某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 9．（24-25九年级上·河北保定·期中）某网店于2024年年初以每件35元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售384件．第一季度该商品十分畅销，销售是持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到600件．设这个季度销售量的月平均增长率不变． (1)求第一季度销售量的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利6250元？ 10．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同． (1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？ (2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润． 【题型03 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）】 11．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 12．（19-20八年级下·浙江湖州·期末）我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答： (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 14．（24-25九年级上·天津静海·期中）天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． (1)利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； (2)某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 15．（17-18九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，现有两点、的分别从点和点B同时出发，沿边，BC向终点C移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为．问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 16．（2014·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）． （1）求点D的坐标． （2）求直线BC的解析式． （3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【题型04 数字问题（一元二次方程的应用）】 17．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（  ） A．23 B．34 C．23或34 D．或 18．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：四位数2156，因为2×6=2×（1+5），所以2156是“共生数”．有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字多3，十位上的数字比个位上数字的一半少1，则这个“共生数”四位数的个位数字为（      ） A．2 B．4 C．5 D．6 19．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 20．（22-23八年级下·江苏·期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 ． 21．（20-21九年级上·重庆·期末）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“方积数”．例如：，因为，所以484是“方积数”． (1)请通过计算判断263是不是“方积数”，并直接写出最小的“方积数”． (2)已知一个“方积数”（，其中，，为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，求满足条件的所有的值． 22． （18-19九年级上·全国·单元测试）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数． 【题型05 营销问题（一元二次方程的应用）】 23．（24-25九年级上·全国·期末）某商场经销的某种商品，每件成本为元，经市场调研，当售价为元时，平均每周可销售件；售价每增加元，平均每周销售量将减少件． (1)如果涨价后商场销售这批商品平均每周盈利元，那么每件商品的售价为多少元？ (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利是否可以达到元？请说明理由． 24．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． (1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 25． （23-24九年级上·云南文山·期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 26．（24-25九年级上·全国·期末）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元盒． 销售单价（元/盒） 日销售量（盒） (1)直接写出乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元盒）的函数表达式； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； 27．（24-25九年级上·河南南阳·期中）商场销售某种商品，每件进价200元，售价250元，平均每天售出30件．调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件． (1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 件，每天盈利 元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2108元？ (3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是 【题型06 动态几何问题（一元二次方程的应用）】 28．（22-23九年级上·广东东莞·期末）在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，是等腰直角三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 29．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是． (1)几秒后与相似？ (2)设的面积为，的面积为；在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由． 30．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    31．（13-14八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 32．（22-23九年级上·四川内江·期末）矩形中，、为对角线，，，为中点，动点从点出发沿向点运动，动点同时以相同速度从点出发沿向点运动，、的速度都是秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，求运动时间； (2)当时，求运动时间； (3)当时，求运动时间； (4)连接，的面积能否达到矩形面积的三分之一？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【题型07 工程问题（一元二次方程的应用）】 33．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 34．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 35．（21-22九年级上·云南·期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 36．（20-21九年级上·四川资阳·期末）2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 37．（2013·重庆·中考真题）随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 【题型08 行程问题（一元二次方程的应用）】 38．（21-22八年级下·山东烟台·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 ． 39．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 40．（22-23九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 41．（19-20九年级上·江苏盐城·期末）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 【题型09 图表信息题（一元二次方程的应用）】 42．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 43．（21-22九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 44．（19-20九年级上·山西阳泉·期末）阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.请你用学过的知识解决这个问题. 45．（12-13九年级上·全国·期末）为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行收费标准如下：    春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？ 【题型10 其他问题（一元二次方程的应用）】 46．（21-22八年级下·江苏盐城·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 47．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）重庆位于中国内陆西南部、长江上游地区，地貌以丘陵、山地为主，故有“山城”之称．据统计重庆某4A级景区在2021年共接待游客达10万人次，在2023年接待游客达12.1万人次． (1)若该4A级景区2021年到2023年接待游客人数的年平均增长率都相同，求这两年的年平均增率． (2)某旅行社专门定制了一条来重庆的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25人，人均旅游费为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元，如果该旅行社组织的一个旅行团共收取了27000元的费用，求这个旅行团的人数． 48．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下：活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 49．（19-20九年级上·贵州遵义·期末）为兼顾季节性用水差异，大力推进水资源节约，从2019年1月1日起，遵义市中心城区居民生活用水的阶梯水量，将从“月计量”缴费调整为“年计量”缴费按“一户一表”，居民家庭为3口人计算，阶梯用水量及水价见下表： 年用水量（吨） 水价（元/吨） 第一阶梯 0～216（含216） 第二阶梯 216～288（含288） 第三阶梯 288以上 8.4 小明家和小刚家均为3口之家，2018年全年用水量分别为260吨和300吨，若按“年计量”缴费标准计算，小明家和小刚家全年应缴水费分别为789.6元和1008元. （1）求表中，的值； （2）小刚家实施节水计划，以2018年用水量为起点，预计2020年用水量降到243吨，且从2018年到2020年每年用水量的平均下降率都相同，请按此下降率计算2021年小刚家用水量. 50．（23-24九年级上·四川成都·期末）年月日至年月日，第届世界大学生夏季运动会在成都成功举办，美丽的东安湖体育公园给国内外朋友留下了深刻的印象；在公园建设过程中，准备在一块草地上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植单价（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米元． (1)直接写出当和时，与的函数关系式； (2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，最终花费为元，那么甲、乙两种花卉的种植面积分别为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 一元二次方程的应用（易错、好题必刷50题10种题型专项训练） 目录 【题型01 传播问题（一元二次方程的应用）】 1 【题型02 增长率问题（一元二次方程的应用）】 4 【题型03 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）】 8 【题型04 数字问题（一元二次方程的应用）】 15 【题型05 营销问题（一元二次方程的应用）】 19 【题型06 动态几何问题（一元二次方程的应用）】 23 【题型07 工程问题（一元二次方程的应用）】 33 【题型08 行程问题（一元二次方程的应用）】 38 【题型09 图表信息题（一元二次方程的应用）】 41 【题型10 其他问题（一元二次方程的应用）】 44 【题型01 传播问题（一元二次方程的应用）】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，第一轮后感染台，第二轮后感染台，然后列方程即可． 【规范解答】解：依题意得，， 故选：D． 2．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有人患流感，第二轮后有人患流感， 由题意得． 故选：C 3．（17-18九年级·广东东莞·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)经过三轮传染后共有729人会患流感 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【规范解答】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人； （2）解：（人． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 4．（23-24九年级上·山东滨州·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， (1)用含x的解析式表示：第一轮后共有①______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有②______人患了流感； (2)根据题意，列出相应方程为③______； (3)解这个方程，得④______； (4)根据问题的实际意义，平均一个人传染了⑤______个人． 【答案】(1)， (2) (3) (4)10 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有人，一个人传染x个人，则第二轮又有人患病，则两轮后有人患病； （2）据两轮后有人患病，即可列方程求解； （3）利用直接开平方法解方程； （4）根据问题的实际意义得出答案． 【规范解答】（1）由题意可得，第一轮后共有人患了流感； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，第二轮后共有人患了流感； 故答案为：，； （2）根据题意，列出相应方程为，即． 故答案为：； （3），开平方得，， 解得， 故答案为：； （4）根据问题的实际意义，不符合题意，应该舍去，， 即平均一个人传染了10个人． 故答案为：10． 5．（23-24九年级上·广东清远·期末）某教育局组织教职工男子篮球比赛． (1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛? (2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长． 【答案】(1)有8支队参加比赛 (2)每个正方形的边长为米 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，算术平方根的意义； （1）设有支队参加比赛，根据采用单循环赛制，共安排了28场比赛列方程求解即可； （2）先求出每个正方形的面积，再根据算术平方根的意义求出每个正方形的边长． 【规范解答】（1）解：设有支队参加比赛， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：有8支队参加比赛； （2）每个正方形的面积是平方米， 则每个正方形的边长为米． 【题型02 增长率问题（一元二次方程的应用）】 6．（24-25九年级上·贵州·期末）某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 【答案】(1) (2)元 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据平均增长率的等量关系：，列出方程进行求解即可； （2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设当商品降价元时，商品获利元， 根据题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：当商品降价元时，商场获利元． 7．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）近几年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2013年投入=2015年投入，列出方程求解即可． 【规范解答】解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x， ， 故选：B． 8．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． (1)求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； (2)某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x．根据两年时间种植面积由80公顷变为公顷列出方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每千克的利润为元，销售量为，再由总利润为1750列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x． 由题意，得， 解得（舍去）． 答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为． （2）解：设售价应降低y元． 由题意，得， 整理得 解得． ∵要尽快减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 9．（24-25九年级上·河北保定·期中）某网店于2024年年初以每件35元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售384件．第一季度该商品十分畅销，销售是持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到600件．设这个季度销售量的月平均增长率不变． (1)求第一季度销售量的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利6250元？ 【答案】(1) (2)当商品降价5元时，商场获利6250元 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键； （1）设第一季度销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可； （2）设当商品降价m元时，商品获利6250元，根据总利润单个利润总数量列出方程即可． 【规范解答】（1）解：设第一季度销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得：（舍）， 答：第一季度销售量的月平均增长率为； （2）解：设当商品降价m元时，商品获利6250元， 根据题意可得， 解得：（舍）， 答：当商品降价5元时，商场获利6250元． 10．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同． (1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？ (2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润． 【答案】(1)该景点在6月份的第二周接待游客为240人； (2)W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元． 【思路点拨】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可； （2）根据总利润=A，B两种纪念品利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可． 【规范解答】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，根据题意， 得200（1+x）2=288， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）， ∴该景点接待游客数量的周平均增长率为20%， ∴200（1+20%）=240（人）， ∴该景点在6月份的第二周接待游客为240人； （2）∵该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍， ∴该景点第四周接待游客为240×1.8=432（人）， 设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，则该景点售出B种旅游纪念品（432-a）件， 根据题意得：W=5a+8（432-a）=-3a+3456， ∵售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍， ∴432-a≤3a， 解得：a≥108， ∵-3＜0， ∴W随a的增大而减小， ∴当a=108时，W最大，最大值为3132， ∴W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元． 【考点评析】本题主要考查一次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和一元二次方程． 【题型03 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）】 11．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【规范解答】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 12．（19-20八年级下·浙江湖州·期末）我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积的关系可得出答案，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 【规范解答】解：方程，即的拼图如图： 中间小正方形的边长为：，其面积为：， 大正方形的面积为：，其边长为， 因此，C选项所表示的图形符合题意， 故选：C． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答： (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)x的值为9 (2)苗圃园的面积不能达到，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）假设苗圃园的面积能达到，根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即苗圃园的面积不能达到． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：x的值为9； （2）解：苗圃园的面积不能达到，理由如下： 假设苗圃园的面积能达到， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到． 14．（24-25九年级上·天津静海·期中）天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． (1)利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； (2)某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【答案】(1)道路宽为1米 (2)①；②每盆应降价15元 【思路点拨】本题考查了与图形有关及销售利润相关的一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设道路宽为米，根据种植花卉的总面积为63平方米，列出方程并求解即可； （2）①根据销售价减降价再减进价即可得利润；降价前卖出的盆数加上因降价而增加的销售量，即是现在每天卖出的盆数； ②根据：每盆的利润乘每天的销售量，结合①中的数据，列出方程并求解即可． 【规范解答】（1）解：设道路宽为米， 由题意，得：， 整理得：， 解得：； ∵当时，， ∴不符合题意， ∴； 答：道路宽为1米； （2）解：①降价后每盆的利润是元； 每天卖出盆； 故答案为：； ②由①得：， 整理得：， 解得：； 为让购买者得到实惠，应取； 答：为让购买者得到实惠，每盆应降价15元． 15．（17-18九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，现有两点、的分别从点和点B同时出发，沿边，BC向终点C移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为．问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】假设不成立，四边形面积的面积不能等于，理由见解析 【思路点拨】根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【规范解答】解：∵，，， ∴． ∴，； 假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则， 整理得：， ∵， ∴假设不成立，四边形面积的面积不能等于． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键. 16．（2014·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）． （1）求点D的坐标． （2）求直线BC的解析式． （3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）y=；（3）见解析 【思路点拨】（1）解一元二次方程求出、的长度，过点作于点，根据正方形的性质可得，，然后求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标即可； （2）过点作轴于点，同理求出点的坐标，设直线的解析式为，、为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答； （3）根据正方形的性质，点与点重合时，为等腰三角形；点为点关于点的对称点时，为等腰三角形，然后求解即可． 【规范解答】解：（1）解方程得，， ， ，， 过作于点， 正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）过点作轴于点， 同上可证得， ，， ， ， 设直线的解析式为，、为常数）， 代入，得，， 解得， ； （3）在直线上存在点，使为等腰直角三角形，理由如下：如图， 当点与点重合时，， 当点与点关于点对称时，． 综上所述：点的坐标为或． 【考点评析】本题是一次函数综合题型，主要利用了解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【题型04 数字问题（一元二次方程的应用）】 17．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（  ） A．23 B．34 C．23或34 D．或 【答案】A 【思路点拨】此题考查一元二次方程的实际运用，设十位数字为，个位数字为，根据这两个数字之积等于它们数字和的2倍列方程求出其解即可，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 【规范解答】解：设十位数字为，则个位数字为，依题意得： ， 整理得：， ∴ 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴这个两位数是， 故选：A． 18．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：四位数2156，因为2×6=2×（1+5），所以2156是“共生数”．有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字多3，十位上的数字比个位上数字的一半少1，则这个“共生数”四位数的个位数字为（      ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】设个位上的数字为a，由题意可分别表示出十位、百位及千位上的数字，再由“共生数”可得到方程，解方程即可． 【规范解答】设个位上的数字为a，由题意得：十位上的数字为、百位及千位上的数字分别为与a， 由此数是“共生数”，则得方程：，解方程得：或（舍去），即这个“共生数”四位数的个位数字为4． 故选：B． 【考点评析】本题是新定义问题，考查了一元二次方程的应用，理解新定义的含义并正确列出方程是关键． 19．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【规范解答】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数为， 当时，，此时这个两位数为， 综上所述，这个两位数为25或36， 故选：C． 20．（22-23八年级下·江苏·期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 ． 【答案】 【思路点拨】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【规范解答】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为， 由题意得，， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 21．（20-21九年级上·重庆·期末）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“方积数”．例如：，因为，所以484是“方积数”． (1)请通过计算判断263是不是“方积数”，并直接写出最小的“方积数”． (2)已知一个“方积数”（，其中，，为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，求满足条件的所有的值． 【答案】(1)263不是方积数，121 (2)121，242，363，484 【思路点拨】（1）由题意代入验证即可解答； （2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝−2，得出m＝−1，n＝−1，求出b＝a＋c，a＝c，结合方积数的定义即可得出答案 【规范解答】（1）∵62＝36，4×2×3＝24，36≠24 ∴263不是方积数； ∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵22＝4，4×1×1＝4， ∴最小的“方积数”是121； （2）∵k＝100a＋10b＋c是方积数， ∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0， ∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根， ∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0， 将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0， ∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根， ∴m＝，即mn＝1， ∵m＋n＝﹣2， ∴m＝﹣1，n＝﹣1， ∴a﹣b＋c＝0， ∴b＝a＋c， ∵b2＝4ac， ∴（a＋c）2＝4ac， 解得：a＝c， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 【考点评析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清方积数的定义． 22．（18-19九年级上·全国·单元测试）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数． 【答案】x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式为：2x2－19x+24=0． 【思路点拨】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可． 【规范解答】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为： x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 整理得：2x2－19x+24=0． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是找等量关系． 【题型05 营销问题（一元二次方程的应用）】 23．（24-25九年级上·全国·期末）某商场经销的某种商品，每件成本为元，经市场调研，当售价为元时，平均每周可销售件；售价每增加元，平均每周销售量将减少件． (1)如果涨价后商场销售这批商品平均每周盈利元，那么每件商品的售价为多少元？ (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利是否可以达到元？请说明理由． 【答案】(1)每件商品的售价为元 (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1）设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． （2）设每件商品的售价为y元，则每件的利润为元，销售量为(件)根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 答：每件商品的售价为元； （2）涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元，理由如下： 设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件， 依题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元． 24．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． (1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴为了尽量减少库存，售价应降低20元． 25．（23-24九年级上·云南文山·期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】25元 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，设每件商品降价元，根据等量关系列出方程，解方程，根据实际情况取解即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：设每件商品降价元， 依题意得：， 整理，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 26．（24-25九年级上·全国·期末）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元盒． 销售单价（元/盒） 日销售量（盒） (1)直接写出乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元盒）的函数表达式； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； 【答案】(1) (2)当乌馒头每盒定价元时，商店日销售纯利润为元 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出关系式是解此题的关键． （1）设乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价利润损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可； 【规范解答】（1）解：设乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为， 由题意得：， 解得：， 乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为； （2）解：由题意得： ， 解得：，， 顾客获得最大实惠， ， 当乌馒头每盒定价元时，商店日销售纯利润为1480元． 27．（24-25九年级上·河南南阳·期中）商场销售某种商品，每件进价200元，售价250元，平均每天售出30件．调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件． (1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 件，每天盈利 元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2108元？ (3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是 【答案】(1)40，1800 (2)19元 (3) 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程在销售中的问题，根据题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． （1）商品售价降价元时，则现在的售价是元，售出件，每件的利润是元，由此即可求解； （2）设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，利润达到元，由此即可求解； （3）根据利润率等于利润除以进价乘以百分之百，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意当商品售价降价5元时，现在售出的件数是，利润是元． （2）解：设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，利润达到元， ∴， 解方程得，，， ∵为了让顾客得到更多的实惠， ∴，即商品降价元． （3）解：售价是元， 利润是元， ∴利润率是． 【题型06 动态几何问题（一元二次方程的应用）】 28．（22-23九年级上·广东东莞·期末）在中，，，，一动点P从点C出发沿方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，是等腰直角三角形？ (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中，线段能平分的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)t (2) (3)不能，理由见解析 【思路点拨】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的面积的求法． （1）先表示出，，判断出，进而建立方程求解，即可得出答案； （2）利用“”建立方程求解，即可求出答案； （3）假设在运动过程中，线段能平分的面积，进而利用“”建立方程，判断出此方程无实数根，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由运动知，，， ∴， ∵点P在从C向点A运动，点Q从点A向点C运动， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在运动过程中，线段不能平分的面积； 理由：假设在运动过程中，线段能平分的面积， 则， 由（2）知，， ∴， ∴， 而， ∴此方程无实数根， ∴在运动过程中，线段不能平分的面积． 29．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是． (1)几秒后与相似？ (2)设的面积为，的面积为；在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)秒或秒后与相似 (2)存在，10秒或15秒 【思路点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确解出一元二次方程是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）分和两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可； （2）用t分别表示出，根据题意列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：设y秒后与相似，则， 所以； 当时，， 即， 解得， ， 当时，， 即， 解得， ， 答：秒或秒后与相似； （2）解：由题意，，则CQ=； 的面积为， 的面积为， 由题意得，， 解得，， 答：运动10秒或15秒时，． 30．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    【答案】(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【思路点拨】（）根据题意列出关系式即可； （）列出方程，然后求解即可； （）的面积等于的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有实数根； 本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【规范解答】（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）∵， ∴当的面积是面积的时，， 整理得：， 解得：； （3）解：不存在，理由： 由（）得， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， 则不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半． 31．（13-14八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 【答案】(1)5cm² (2)或 (3)或或或 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，梯形的面积公式，一元二次方程的解法的应用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． (1)当时， 可以得出，就有，由梯形的面积就可以得出四边形的面积； (2)如图1， 作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2， 作于E，在中， 由勾股定理建立方程求出其解即可； (3)分情况讨论， 如图3， 当时， 如图4， 当时， 如图5， 当 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【规范解答】（1）解： ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ ∴． 答：四边形面积是 5cm²； （2）解：如图1， 作于E， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：； 如图2，作于E，    ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴ 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． 综上所述： 或； （3）解：如图3， 当时， 作于E，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：． 如图4， 当时， 作于E，    ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得：； 如图5， 当时，    ∵， ∴， ∵， 在中，由勾股定理，得 解得， (舍去)， 综上所述：或或或． 故答案为：或或或． 32．（22-23九年级上·四川内江·期末）矩形中，、为对角线，，，为中点，动点从点出发沿向点运动，动点同时以相同速度从点出发沿向点运动，、的速度都是秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当时，求运动时间； (2)当时，求运动时间； (3)当时，求运动时间； (4)连接，的面积能否达到矩形面积的三分之一？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)能，当时，的面积能达到矩形面积的三分之一 【思路点拨】（1）由，证明，可得，再利用相似三角形的性质建立方程即可； （2）先证明，可得，，再建立方程求解即可； （3）由，可得，再建立方程求解即可； （4）如图，连接，由题意得，结合，再建立方程，再解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，，则， ， ， ， 即，解得． （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即， 解得； （3）∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得： ，经检验符合题意； ，则． （4）能，理由如下： 如图，连接， 由题意得， ， ， ， ，（不合题意的根已舍去） 当时，的面积能达到矩形面积的三分之一． 【考点评析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，理解题意，利用方程思想解题是关键． 【题型07 工程问题（一元二次方程的应用）】 33．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【规范解答】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 34．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 35．（21-22九年级上·云南·期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【思路点拨】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【规范解答】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 36．（20-21九年级上·四川资阳·期末）2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见解析． 【思路点拨】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论； ②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论． 【规范解答】解：（1）设每天增长的百分率为x， 依题意，得：500（1+x）2=720， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为20%； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天， 依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500， 解得：m1=4，m2=25， 又∵在增加产能同时又要节省投入， ∴m=4． 答：应该增加4条生产线； ②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天， 依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000， 化简得：a2-29a+270=0， ∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解． ∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 37．（2013·重庆·中考真题）随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【思路点拨】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可． （2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解． 【规范解答】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月， 根据题意，得， 即， 解得（不合题意，舍去）． ∴． 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为m 个月， 由题意得，100m+（100+50）m≤1500， 解得： ∵施工时间为整数， ∴m≤8， 答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解． 【题型08 行程问题（一元二次方程的应用）】 38．（21-22八年级下·山东烟台·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意，则乙走了步，甲斜向北偏东走了步，根据题意，列出方程，即可． 【规范解答】设甲，乙两人相遇的时间为， ∴乙走了步，甲斜向北偏东走了步， ∴， 故答案为：． 39．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【思路点拨】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【规范解答】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【考点评析】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 40．（22-23九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【思路点拨】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 41．（19-20九年级上·江苏盐城·期末）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s 【思路点拨】（1）将t=4代入公式计算即可； （2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可； （3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案. 【规范解答】解：（1）当 t=4s 时，cm. 答：甲运动 4s 后的路程是 ． （2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ， 乙走过的路程为 ，则. 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s． （3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ， 则 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s． 【考点评析】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 【题型09 图表信息题（一元二次方程的应用）】 42．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【思路点拨】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【规范解答】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 43．（21-22九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【思路点拨】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【规范解答】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 44．（19-20九年级上·山西阳泉·期末）阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.请你用学过的知识解决这个问题. 【答案】矩形的阔为24步，长为36步 【思路点拨】如果设矩形田地的宽为x步，则长为(x+12)步，根据面积为864，即可得出方程求解即可． 【规范解答】设阔为步，则长为步． 根据题意，列方程得： 解方程，得，(不合题意，舍去)． 答：矩形的阔为24步，长为36步． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用-面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长×矩形的宽． 45．（12-13九年级上·全国·期末）为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行收费标准如下：    春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？ 【答案】该班参加这次春游活动的人数为35名. 【思路点拨】判断得到这次春游活动的人数超过25人，设人数为名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【规范解答】解：∵25人的费用为2500元<2800元， ∴参加这次春游活动的人数超过25人， 设该班参加这次春游活动的人数为x名， 根据题意,得[100−2(x−25)]x=2800， 整理,得 解得：   时,100−2(x−25)=70<75，不合题意，舍去； 时,100−2(x−25)=80>75， 答：该班共有35人参加这次春游活动. 【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键. 【题型10 其他问题（一元二次方程的应用）】 46．（21-22八年级下·江苏盐城·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)4条 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【规范解答】（1）解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度生产量的平均增长率为． （2）设应该再增加m条生产线， 则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 47．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）重庆位于中国内陆西南部、长江上游地区，地貌以丘陵、山地为主，故有“山城”之称．据统计重庆某4A级景区在2021年共接待游客达10万人次，在2023年接待游客达12.1万人次． (1)若该4A级景区2021年到2023年接待游客人数的年平均增长率都相同，求这两年的年平均增率． (2)某旅行社专门定制了一条来重庆的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25人，人均旅游费为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元，如果该旅行社组织的一个旅行团共收取了27000元的费用，求这个旅行团的人数． 【答案】(1)这两年的年平均增率为； (2)这个旅行团共人． 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用． （1）设这两年的年平均增率为，利用该级景区在年接待游客人数该级景区在年接待游客人数(这两年的年平均增率)，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设这个旅行团共人，根据该旅行团共收取了元的费用，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设这两年的年平均增率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两年的年平均增率为； （2）解：设这个旅行团共人， ∵，， ∴， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：这个旅行团共人． 48．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下：活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 【答案】该班共有人参加这次春游活动 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 判断得到这次春游活动的人数超过人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【规范解答】解：人的费用为元元， 参加这次春游活动的人数超过人， 设该班参加这次春游活动的人数为名． 根据题意，得， 整理，得， 解得：，， 时，，不合题意，舍去； 时，． 答：该班共有人参加这次春游活动 49．（19-20九年级上·贵州遵义·期末）为兼顾季节性用水差异，大力推进水资源节约，从2019年1月1日起，遵义市中心城区居民生活用水的阶梯水量，将从“月计量”缴费调整为“年计量”缴费按“一户一表”，居民家庭为3口人计算，阶梯用水量及水价见下表： 年用水量（吨） 水价（元/吨） 第一阶梯 0～216（含216） 第二阶梯 216～288（含288） 第三阶梯 288以上 8.4 小明家和小刚家均为3口之家，2018年全年用水量分别为260吨和300吨，若按“年计量”缴费标准计算，小明家和小刚家全年应缴水费分别为789.6元和1008元. （1）求表中，的值； （2）小刚家实施节水计划，以2018年用水量为起点，预计2020年用水量降到243吨，且从2018年到2020年每年用水量的平均下降率都相同，请按此下降率计算2021年小刚家用水量. 【答案】（1）的值为2.8，的值4.2；（2）2021年小刚家用水量为218.7吨. 【思路点拨】（1）小明家：一阶梯水费+二阶梯水费=789.6；小刚家：一阶梯水费+二阶梯水费+三阶梯水费=1008；列出方程组，求得，即可. （2）连续两年降低，列一元二次方程即可解. 【规范解答】（1）由题意得，解得，. 即：的值为2.8，的值4.2. （2）由题意得，解得，（舍去）， （吨） 答：2021年小刚家用水量为218.7吨. 【考点评析】本题考查了二元一次方程组以及一元二次方程组的应用问题，难度适中，认真分析，找到等量关系，正确求解即可. 50．（23-24九年级上·四川成都·期末）年月日至年月日，第届世界大学生夏季运动会在成都成功举办，美丽的东安湖体育公园给国内外朋友留下了深刻的印象；在公园建设过程中，准备在一块草地上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植单价（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米元． (1)直接写出当和时，与的函数关系式； (2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，最终花费为元，那么甲、乙两种花卉的种植面积分别为多少？ 【答案】(1)； (2)甲、乙两种花卉的种植面积分别为和． 【思路点拨】（）根据函数图象用待定系数法求分段函数解析式； （）分当和时两种情况，根据总费用两种花卉费用之和列出方程，解方程即可求解； 本题考查一次函数的应用，求出分段函数的表达式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把，代入解析式得， ， 解得， ∴； 当时，， ∴当时，； ∴与的函数关系式为； （2）解：当时， 由题意得，， 解得，(不合，舍去)； 当时， ， 解得(不合，舍去)； ∴甲、乙两种花卉的种植面积分别为和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$