清单04 一元二次方程（知识梳理+9个题型解读+真题拔高20题）（期末复习知识清单）九年级数学上学期青岛版

清单04 一元二次方程 （知识梳理+9个题型解读+优选真题拔高题） 题型清单目录 【考点题型一】解一元二次方程-直接开平方法 4 【考点题型二】解一元二次方程-配方法 4 【考点题型三】解一元二次方程-公式法 5 【考点题型四】解一元二次方程-因式分解法 6 【考点题型五】换元法解一元二次方程 6 【考点题型六】根的判别式 7 【考点题型七】根与系数的关系 8 【考点题型八】一元二次方程的应用 9 【考点题型九】配方法的应用 11 期末真题拔高训练 12 知识点01：一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点02：一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点03：一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点04：解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点05：配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点06：解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点07：根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点08：由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点09：一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【考点题型一】解一元二次方程-直接开平方法 【精讲题】（2023秋•长治期末）一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D．， 【变式1-1】（2023秋•武胜县期末）若方程的解是，则方程的解是　　． 【变式1-2】（2020秋•东辽县期末）解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程化成一次方程求解．一元二次方程可以化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是 　　． 【变式1-3】（2019秋•滨湖区期末）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解　，　． 【考点题型二】解一元二次方程-配方法 【精讲题】（2023秋•奇台县校级期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为　　 A． B． C． D． 【变式2-1】．（2023秋•娄星区校级期末）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2-2】（2023秋•江夏区校级期末）解一元二次方程，配方后得到，则的值是　　 A．13 B．9 C．5 D．4 【变式2-3】（2016秋•渝中区校级期末）解方程： （1） （2）． 【考点题型三】解一元二次方程-公式法 【精讲题】（2023秋•魏都区校级期末）用配方法解方程： （1） ； （2）． 用公式法解方程： （1） ； （2）． 【变式3-1】（2023秋•龙川县校级期末）计算． （1） ． （2）． 【考点题型四】解一元二次方程-因式分解法 【精讲题】（2023秋•林芝市期末）一元二次方程的一个解是，则另一个解是　　 A． B． C． D．无法判断 【变式4-1】（2023春•肇东市期末）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　　． 【变式4-2】（2023秋•新市区校级期末）用适当的方法解方程： （1） ； （2）． 【变式4-3】（2017秋•东明县期末）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． （1）尝试：分解因式：　　　　； （2）应用：请用上述方法解方程：． 【考点题型五】换元法解一元二次方程 【精讲题】（2023秋•叙州区期末）如果，则的值为　　 A．1 B．2 C． D．1或 【变式5-1】（2023秋•潮南区校级期末）若实数，满足，求的值． 【变式5-2】（2023秋•黔南州期末）阅读材料：解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．① 解得， 当时，．．； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　　法达到了降次的目的，体现了 　　的数学思想． （2）解方程：． 【考点题型六】根的判别式 【精讲题】（2023秋•北流市期末）若是关于的方程的某个根，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】（2023秋•越秀区期末）若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 【变式6-2】．（2023秋•驻马店期末）一元二次方程根的判别式的值是　　 A． B．3 C． D．5 【变式6-3】（2023秋•永修县期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求的值，并求出此时方程的另一根． 【变式6-4】（2018秋•永吉县期末）我们规定：方程的变形方程为．例如，方程的变形方程为 （1）直接写出方程的变形方程； （2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若方程的变形方程为，直接写出的值． 【考点题型七】根与系数的关系 【精讲题】（2023秋•广陵区校级期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是　　 A． B．2 C．3 D． 【变式7-1】（2023秋•隆昌市校级期末）已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是　　 A．4047 B．4046 C．2023 D．1 【变式7-2】（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知两个实数、，可按如下规则进行运算：若为奇数，则计算的结果：若为偶数，则计算的结果．根据上述规则，每得到一个数叫做一次操作．对于给定的两个实数、，操作一次后得到的数记为；再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去以下结论正确的个数为　　 ①若，，则； ②若、为方程的两根，则； ③若、均为奇数，则无论进行多少次操作，得到的均不可能为偶数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】（2022秋•黄冈期末）已知关于的一元二次方程， （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）若方程的两个实数根为、，且，求的值． 【考点题型八】一元二次方程的应用 【精讲题】（2023秋•兖州区期末）“一题多解”是培养数学思维的重要方式，有三位同学对下面的问题给出了三种不同解法．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．这三位同学都用了方程来解决．设小路的宽度为 ，得出方程： ①； ②； ③． 其中正确的是　　 A．① B．② C．①② D．①②③ 【变式8-1】（2023秋•榆中县期末）中可营镇某农户家的冬梨迎来大丰收据了解，冬梨成本为20元千克，若每千克售价30元，一周可以售出300千克，经市场调研后，发现当销售单价每上1元，销售量就减少5千克． （1）如果每千克涨价元，那么周销售量为 　　千克；涨价后每千克的利润为 　　元；（用含的式子表示） （2）在保证薄利多销的前提下，要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为多少元？ 【变式8-2】（2023秋•旌阳区校级期末）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【变式8-3】（2023秋•临泽县期末）某水果店销售一种水果的成本价是5元千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ （2）在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？ 【考点题型九】配方法的应用 【精讲题】（2023秋•仁寿县校级期末）已知：，则　　 A．1 B． C． D． 【变式9-1】（2023秋•铜梁区校级期末）已知两个多项式，，则下列结论正确的个数是　　 ①当，时，或； ②当，时，的最小值为； ③当时，若，则的取值范围是． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式9-2】（2022秋•长丰县校级期末）已知多项式，下列说法正确的个数为　　 ①若，则代数式的值为； ②当时，代数式的最小值为； ③当时，若，则的取值范围是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式9-3】（2023秋•建昌县期末）国家课程实施以来，学校特别重视学生劳动教育，为了提高学生动手能力，特意给学生划出实践基地用来给各班种植花草、花生、马铃薯等．实验小组同学决定用长为的栅栏，再借助学校的外墙围成一个矩形的花圃（如图）．已知可利用的外墙长，设矩形的边 ，面积为 ． （1）与之间的函数关系式为 　　，的取值范围是 　　； （2）用配方法求当，分别为多少时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【变式9-4】（2016秋•广陵区校级期末）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： （1）求证：对于任何实数，都有； （2）不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 期末真题拔高训练 一．选择题 1．（2024秋•南京期末）已知和是方程的两个解，则的值为　　 A．2020 B．2024 C．2026 D．2028 2．（2023秋•兴庆区校级期末）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽应满足的方程是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•定西期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 4．（2023秋•长治期末）为了落实新课标劳动课的要求，某校修建了一个面积为1500平方米的矩形花圃实践基地．已知基地的长比宽多20米，若设基地的宽为米，则可列方程为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•澄迈县期末）有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为　　 A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 6．（2024春•济南期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A．且 B．且 C．且 D． 二．填空题 7．（2023秋•石林县校级期末）把方程化成一般形式为 　　，一次项系数为 　　． 8．（2023秋•石林县校级期末）一元二次方程有两根，，则　　． 9．（2023秋•磐石市期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　． 10．（2023秋•朝天区期末）已知关于的一元二次方程的一个根为3，则方程的另一个根是 　　． 11．（2022秋•邻水县期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　　． 12．（2019秋•滨湖区期末）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解　　． 三．解答题 13．（2023秋•沂水县期末）解方程 （1）； （2）． 14．（2022秋•西峡县期末）一张长为，宽的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为，求剪掉的正方形纸片的边长． 15．（2023秋•新罗区校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根是，求方程的另一个根； （2）若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值． 16．（2023秋•雅安期末）已知：关于的一元二次方程， （1）已知是方程的一个根，求的值及另一个根； （2）若以这个方程的两个实数根作为中、的边长，，当时，求此时的值． 17．（2023秋•靖宇县期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快件总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？ 18．（2018秋•永吉县期末）我们规定：方程的变形方程为．例如，方程的变形方程为 （1）直接写出方程的变形方程； （2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若方程的变形方程为，直接写出的值． 19．（2023秋•临泽县期末）某水果店销售一种水果的成本价是5元千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ （2）在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？ 20．（2022秋•昭阳区期末）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动汽车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2014年底拥有家庭电动汽车150辆，2016年底家庭电动汽车的拥有量达到216辆． （1）若该小区2014年底到2016年底家庭电动汽车拥有量的年平均增长率相同，则年平均增长率是多少？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资30万元（全部用完）建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位10000元个，露天车位2000元个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 一元二次方程 （知识梳理+9个题型解读+优选真题拔高题） 题型清单目录 【考点题型一】解一元二次方程-直接开平方法 4 【考点题型二】解一元二次方程-配方法 5 【考点题型三】解一元二次方程-公式法 7 【考点题型四】解一元二次方程-因式分解法 9 【考点题型五】换元法解一元二次方程 11 【考点题型六】根的判别式 13 【考点题型七】根与系数的关系 16 【考点题型八】一元二次方程的应用 18 【考点题型九】配方法的应用 21 期末真题拔高训练 26 知识点01：一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点02：一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点03：一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点04：解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点05：配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点06：解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点07：根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点08：由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点09：一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【考点题型一】解一元二次方程-直接开平方法 【精讲题】（2023秋•长治期末）一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D．， 【思路点拨】形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．把方程两边开方即可． 【规范解答】解：， ， 解得：，， 故选：． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握该方法是关键． 【变式1-1】（2023秋•武胜县期末）若方程的解是，则方程的解是　，　． 【思路点拨】由题意可知，即可得出，然后利用直接开平方法解方程即可． 【规范解答】解：方程的解是， ， 方程中，， ， ，， 故答案为：，． 【考点评析】此题主要考查了直接开平方法法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式1-2】（2020秋•东辽县期末）解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程化成一次方程求解．一元二次方程可以化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是 　　． 【思路点拨】根据直接开方法，可得结论． 【规范解答】解：一元二次方程可以化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查解一元二次方程直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法的步骤，属于中考常考题型． 【变式1-3】（2019秋•滨湖区期末）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解　，　． 【思路点拨】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【规范解答】解：关于的方程的解是，，，，均为常数，， 方程变形为，即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 【考点评析】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算． 【考点题型二】解一元二次方程-配方法 【精讲题】（2023秋•奇台县校级期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式． 【规范解答】解：， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解一元二次方程． 【变式2-1】．（2023秋•娄星区校级期末）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【思路点拨】根据配方法解一元二次方程的步骤，对所给计算过程依次进行判断即可． 【规范解答】解：， ， 所以甲同学不错， ， 所以乙同学错了． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【变式2-2】（2023秋•江夏区校级期末）解一元二次方程，配方后得到，则的值是　　 A．13 B．9 C．5 D．4 【思路点拨】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【规范解答】解：， ， 则，即， ， 故选：． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式2-3】（2016秋•渝中区校级期末）解方程： （1） （2）． 【思路点拨】（1）在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方； （2）先把分式方程整理成整式方程，再按照解整式方程的步骤进行计算，最后再进行检验，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， 解得，； （2）， ， ， ， ， 经检验是增根， 故原方程无解． 【考点评析】考查了配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．同时考查了解分式方程． 【考点题型三】解一元二次方程-公式法 【精讲题】（2023秋•魏都区校级期末）用配方法解方程： （1）； （2）． 用公式法解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （3）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （4）根据公式法解一元二次方程即可得到答案． 【规范解答】解：（1）， ，即，解得， ，； （2）， ， ，即，解得， ，； （3）， ， △， ， ，； （4）， △， ， ，． 【考点评析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【变式3-1】（2023秋•龙川县校级期末）计算． （1）． （2）． 【思路点拨】（1）运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． （2）先化简各个式子的三角函数值，再根据加减混合运算，即可作答． 【规范解答】解：（1）， △， 则， 即； （2） ． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程：以及特殊角的三角函数的混合运算：正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点题型四】解一元二次方程-因式分解法 【精讲题】（2023秋•林芝市期末）一元二次方程的一个解是，则另一个解是　　 A． B． C． D．无法判断 【思路点拨】先把一元二次方程，转换成一元一次方程，解方程即可． 【规范解答】解：（1）， ，， ，， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法． 【变式4-1】（2023春•肇东市期末）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　24或　． 【思路点拨】由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【规范解答】解：， ， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图①：，，是高， ，， ； 当时，如图②，，，， ， 是直角三角形，， ． 该三角形的面积是：24或． 故答案为：24或． 【考点评析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 【变式4-2】（2023秋•新市区校级期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据平方根的定义可得，解方程就可以解决问题； （2）因式分解得，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ，； （2）， ， 或， ，． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法：直接开平方法和因式分解法是解题的关键． 【变式4-3】（2017秋•东明县期末）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． （1）尝试：分解因式：　2　　　； （2）应用：请用上述方法解方程：． 【思路点拨】（1）类比题干因式分解方法求解可得； （2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：2，4； （2）， ， ， 则或， 解得：或． 【考点评析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【考点题型五】换元法解一元二次方程 【精讲题】（2023秋•叙州区期末）如果，则的值为　　 A．1 B．2 C． D．1或 【思路点拨】设，将等式转化为一元二次方程；再求出的值；最后根据平方数的非负数即可得到答案． 【规范解答】解：设， 则原方程可转化为， 解得或． 根据等式得到：， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是根据平方数的非负性来确定结果． 【变式5-1】（2023秋•潮南区校级期末）若实数，满足，求的值． 【思路点拨】设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，，然后确定的值． 【规范解答】解：设，则， ，即， 解得：，， ， ． 【考点评析】本题考查了换元法解一元二次方程．换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题． 【变式5-2】（2023秋•黔南州期末）阅读材料：解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．① 解得， 当时，．．； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　换元　法达到了降次的目的，体现了 　　的数学思想． （2）解方程：． 【思路点拨】（1）根据题意可以解答本题； （2）根据换元法可以解答此方程． 【规范解答】解：（1）由题意可得， 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想， 故答案为：换元、换元； （2）， 令，则原方程可化为：， 解得，或， （舍去），， 解得，，， 故原方程的解是，． 【考点评析】本题考查换元法解一元二次方程、解一元二次方程的方法，解题的关键是明确解方程的方法． 【考点题型六】根的判别式 【精讲题】（2023秋•北流市期末）若是关于的方程的某个根，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由可得，则可求得的值，然后根据得到关于的不等式，继而可求得的取值范围． 【规范解答】解：， ， ， 或， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上，， 故选：． 【考点评析】此题考查了一元二次方程的解，解一元一次不等式组，能够利用因式分解法求得方程的解是解题的关键． 【变式6-1】（2023秋•越秀区期末）若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 【思路点拨】根据方程有两个不相等的实数根得到△，即可求出答案． 【规范解答】解：由题意得，△， 解得，， ， 且． 故选：． 【考点评析】此题考查利用一元二次方程根的判别式求参数：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键． 【变式6-2】．（2023秋•驻马店期末）一元二次方程根的判别式的值是　　 A． B．3 C． D．5 【思路点拨】根据一元二次方程根的判别式△即可求出值． 【规范解答】解：，，， △． 所以一元二次方程根的判别式的值是5． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式． 【变式6-3】（2023秋•永修县期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求的值，并求出此时方程的另一根． 【思路点拨】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证； （2）把代入方程求出的值，确定出方程，即可求出另一根． 【规范解答】（1）证明：这里，，， △， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程得：， 解得：，即方程为， 设另一根为，根据题意得：， 解得：． 【考点评析】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式6-4】（2018秋•永吉县期末）我们规定：方程的变形方程为．例如，方程的变形方程为 （1）直接写出方程的变形方程； （2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若方程的变形方程为，直接写出的值． 【思路点拨】（1）用表示方程里的，直接得结论； （2）先把方程变形，再利用根的判别式，计算出的取值范围； （3）变形方程整理，即得的值． 【规范解答】解：（1）用表示方程里的， 可得． （2）用表示方程里的， 得． 整理，得 变形后的方程有两个不相等的实数根， △ ， ． （3）． （方程的变形方程为， 整理，得， 即 由于方程的变形方程为， 所以． 【考点评析】本题考查了换元法、根的判别式、不等式的解法．题目难度不大，掌握根的判别式是关键． 【考点题型七】根与系数的关系 【精讲题】（2023秋•广陵区校级期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是　　 A． B．2 C．3 D． 【思路点拨】设该方程另一个根为，则根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后问题可求解． 【规范解答】解：设另一个根为，则， 解得：； 故选：． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式7-1】（2023秋•隆昌市校级期末）已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是　　 A．4047 B．4046 C．2023 D．1 【思路点拨】利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． 【规范解答】解：因为、是方程的两个实数根， 所以，，， 则， 即， 所以． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了根与系数的关系及代数式求值，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧用整体思想是解题的关键． 【变式7-2】（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知两个实数、，可按如下规则进行运算：若为奇数，则计算的结果：若为偶数，则计算的结果．根据上述规则，每得到一个数叫做一次操作．对于给定的两个实数、，操作一次后得到的数记为；再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去以下结论正确的个数为　　 ①若，，则； ②若、为方程的两根，则； ③若、均为奇数，则无论进行多少次操作，得到的均不可能为偶数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据新规则，先判断是奇数还是偶数，再按照相应的算式计算即可判断结论． 【规范解答】解：①若，，则 ，故①正确； ②若、为方程的两根，则 ，， 则，故②错误； ③若、均为奇数，则为偶数，则无论进行多少次操作，得到的均不可能为偶数，故③正确； ④若，，则， 再从、、中任选两个数，选两个绝对值较大的、，操作一次得到的数记为， 则， 同理， ，故④错误； 结论正确的个数为2个． 故选：． 【考点评析】本题考查新规则下实数运算及一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． 【变式7-3】（2022秋•黄冈期末）已知关于的一元二次方程， （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）若方程的两个实数根为、，且，求的值． 【思路点拨】（1）由根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义可把化为关于的方程，则可求得的值． 【规范解答】解： （1）关于的一元二次方程有两个实数根， △，即，解得； （2）、是方程的两个实数根， ，， ， ， 即，解得或， 又， ． 【考点评析】本题主要考查根的定义及根的判别式，由根的判别式求得的取值范围是解题的关键． 【考点题型八】一元二次方程的应用 【精讲题】（2023秋•兖州区期末）“一题多解”是培养数学思维的重要方式，有三位同学对下面的问题给出了三种不同解法．如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．这三位同学都用了方程来解决．设小路的宽度为 ，得出方程： ①； ②； ③． 其中正确的是　　 A．① B．② C．①② D．①②③ 【思路点拨】设小路的宽度为 ，则花草区域的总长度为，总宽度应该为，根据种植花草的面积或小路占地面积为，分别列出一元二次方程，即可得出结论． 【规范解答】解：设小路的宽度为 ，则花草区域的总长度为，总宽度应该为， 根据题意得：或， 即正确的是①②， 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-1】（2023秋•榆中县期末）中可营镇某农户家的冬梨迎来大丰收据了解，冬梨成本为20元千克，若每千克售价30元，一周可以售出300千克，经市场调研后，发现当销售单价每上1元，销售量就减少5千克． （1）如果每千克涨价元，那么周销售量为 　　千克；涨价后每千克的利润为 　　元；（用含的式子表示） （2）在保证薄利多销的前提下，要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为多少元？ 【思路点拨】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【规范解答】解：（1）如果每千克涨价元，那么周销售量为千克；涨价后每千克的利润为元， 故答案为：，； （2）根据题意得，总利润， 解得或， 在保证薄利多销的前提下， ， （元， 答：要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为30元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【变式8-2】（2023秋•旌阳区校级期末）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【思路点拨】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润求出即可． 【规范解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）设当商品降价元时，商品获利4250元，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【变式8-3】（2023秋•临泽县期末）某水果店销售一种水果的成本价是5元千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ （2）在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？ 【思路点拨】（1）根据等量关系：每千克水果的利润每天的销售量每天的总利润420元，可列出方程，解方程即可； （2）让定价尽量小即可让利于顾客． 【规范解答】解：（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，设单价应为元， 由题意得：， 化简得，， 解得，． 答：若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元． （2）因为让利于顾客，所以定价定为8元． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【考点题型九】配方法的应用 【精讲题】（2023秋•仁寿县校级期末）已知：，则　　 A．1 B． C． D． 【思路点拨】因为，所以，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【规范解答】解：， ， ， ，， ，， ，， ，， 则． 故选：． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的变形运算，乘方运算，熟练掌握配方法和非负数的意义是解题的关键． 【变式9-1】（2023秋•铜梁区校级期末）已知两个多项式，，则下列结论正确的个数是　　 ①当，时，或； ②当，时，的最小值为； ③当时，若，则的取值范围是． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【思路点拨】（1）当，时，代入到，就可以计算出的值， （2）当时，代入到，利用函数的性质，根据的取值范围，就可以推导出的最小值， （3）当时，分别代入到和的多项式中，再结合就可以得出的取值范围． 【规范解答】解：（1）当，时， ， ， ， ，， 故结论①符合题意， （2）当时，代入到， ， 根据为此函数的性质可以得到，函数的对称轴， 在内，当时，取最小值为， 故结论②符合题意； （3）当时，，， ， ， 只有当的取值范围是时，， 故结论③符合题意， 故选：． 【考点评析】本题考查的重点是一元二次方程的配方法的运用，二次函数的性质以及非负数的性质，熟练的运用这三个知识点就可以得出相应的结论． 【变式9-2】（2022秋•长丰县校级期末）已知多项式，下列说法正确的个数为　　 ①若，则代数式的值为； ②当时，代数式的最小值为； ③当时，若，则的取值范围是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】①根据，解方程求得的值后求出代数式的值即可； ②当时，求出关于的解析式是一次函数，故可判断②； ③当时求出，再根据绝对值的意义得出，再根据二次函数的性质求出的取值范围． 【规范解答】解：①， ， 解得：或， ， ， ， ， 故①是错误的，不符合题意； ②当时， ， 没有最小值， 故②是错误的，不符合题意； ③当时，， ， ， ， ， 令， ， 有最大值， ， 当时， 解得，， 的解集为， 即当时，则的取值范围是． 故③错误，不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了配方的应用和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 【变式9-3】（2023秋•建昌县期末）国家课程实施以来，学校特别重视学生劳动教育，为了提高学生动手能力，特意给学生划出实践基地用来给各班种植花草、花生、马铃薯等．实验小组同学决定用长为的栅栏，再借助学校的外墙围成一个矩形的花圃（如图）．已知可利用的外墙长，设矩形的边 ，面积为 ． （1）与之间的函数关系式为 　　，的取值范围是 　　； （2）用配方法求当，分别为多少时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【思路点拨】（1）根据矩形面积的计算公式，可以列出面积与边长直接的函数关系式； （2）利用二次函数的性质，可以推导出边长为何值时面积最大． 【规范解答】解：（1），， 故答案为：，； （2）， ， 二次函数的系数， 有最大值， 又， 时，随的增大而减小， 当 时，有最大值，， 此时， 答：，长分别为，时，花圃的面积最大，最大面积是． 【考点评析】无 【变式9-4】（2016秋•广陵区校级期末）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： （1）求证：对于任何实数，都有； （2）不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【思路点拨】（1）根据非负数的性质解答； （2）利用作差法比较大小即可． 【规范解答】（1）证明：， ； （2）解：， ， ，． ． 【考点评析】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系 期末真题拔高训练 一．选择题 1．（2024秋•南京期末）已知和是方程的两个解，则的值为　　 A．2020 B．2024 C．2026 D．2028 【思路点拨】先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【规范解答】解：由条件可知：，， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 2．（2023秋•兴庆区校级期末）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽应满足的方程是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设路宽为 ，修路后花园剩下的花园拼在一起是长方形，其长为，宽为，面积为，根据“使观赏路面积占总面积的，即修路后剩下花园面积占总面积的”即可列出方程． 【规范解答】解：根据题意得：， 整理得． 故选：． 【考点评析】本题考查一元二次方程解决实际问题，理解题意找到等量关系是关键． 3．（2023秋•定西期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【思路点拨】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【规范解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 即且， 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 4．（2023秋•长治期末）为了落实新课标劳动课的要求，某校修建了一个面积为1500平方米的矩形花圃实践基地．已知基地的长比宽多20米，若设基地的宽为米，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据矩形的面积公式列出方程式即可． 【规范解答】解：根据题意，得， 故选． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式列出方程式解题的关键． 5．（2023秋•澄迈县期末）有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为　　 A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 【思路点拨】设原来的两位数个位数字为，则十位数字为．根据等量关系，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍．列方程求解即可． 【规范解答】解：设原来的两位数个位数字为，则十位数字为．则， ， 解得，， 当时，即原来的两位数个位数字为4，十位数字为2． 这个两位数是24， 当时，即原来的两位数个位数字为5，十位数字为1． 这个两位数是15， 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程． 6．（2024春•济南期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A．且 B．且 C．且 D． 【思路点拨】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 二．填空题 7．（2023秋•石林县校级期末）把方程化成一般形式为 　　，一次项系数为 　　． 【思路点拨】把原等式化为一般形式为，再根据一次项系数的定义即得出答案． 【规范解答】解：， ， ， 故一般形式为，一次项系数为， 故答案为：；． 【考点评析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为：． 8．（2023秋•石林县校级期末）一元二次方程有两根，，则　3　． 【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数关系，两根之和等于，代入求值即可． 【规范解答】解：一元二次方程中， ，， ， 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2023秋•磐石市期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　． 【思路点拨】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出△，求出的取值范围即可． 【规范解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 10．（2023秋•朝天区期末）已知关于的一元二次方程的一个根为3，则方程的另一个根是 　2　． 【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系解答本题即可． 【规范解答】解：关于的一元二次方程的一个根为3，设另一个根为， ， 解得， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 11．（2022秋•邻水县期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　9　． 【思路点拨】设小长方形的长为 ，宽为 ，根据大长方形的周长结合图形可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论． 【规范解答】解：设小长方形的长为 ，宽为 ， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则． 所以． 故答案为：9． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂图意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 12．（2019秋•滨湖区期末）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解　，　． 【思路点拨】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【规范解答】解：关于的方程的解是，，，，均为常数，， 方程变形为，即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 【考点评析】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算． 三．解答题 13．（2023秋•沂水县期末）解方程 （1）； （2）． 【思路点拨】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， 或， ，． （2）， ， 或， ，． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 14．（2022秋•西峡县期末）一张长为，宽的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为，求剪掉的正方形纸片的边长． 【思路点拨】设剪去的正方形边长为，那么长方体纸盒的底面的长为，宽为，然后根据底面积是即可列出方程求出即可． 【规范解答】解：设剪掉的正方形纸片的边长为． 由题意，得． 整理，得． 解方程，得，（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的正方形的边长为． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． 15．（2023秋•新罗区校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根是，求方程的另一个根； （2）若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值． 【思路点拨】（1）将代入中，得，再解方程即可； （2）先根据判别式求得的取值范围，再根据根与系数的关系代入求值即可． 【规范解答】解：（1）一元二次方程的一个根是， 将代入中，得， 解得， 解一元二次方程，得或， 方程的另一个根为； （2）由题意知， ， △， 且； 一元二次方程的两个根分别为，， ，，， ，可化为， 解得或（舍去）， ． 【考点评析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系以及解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是关键． 16．（2023秋•雅安期末）已知：关于的一元二次方程， （1）已知是方程的一个根，求的值及另一个根； （2）若以这个方程的两个实数根作为中、的边长，，当时，求此时的值． 【思路点拨】（1）将代入方程中，求出值，再代入到方程中，求出另一个根； （2）根据根与系数的关系求出，，再根据，利用勾股定理得到，利用完全平方公式变形，求出值即可． 【规范解答】解：（1）将代入中， 得：， 解得：，， 当时，， 解得：，； 当时，， 解得：，； （2）由题意可得：，， ， ，则， ， 解得：，， 当时，方程无解， ． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解和解法，根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟练掌握方程的解法． 17．（2023秋•靖宇县期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快件总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？ 【思路点拨】（1）设该公司投递快件总件数的月平均增长率为，根据该公司今年三月份与五月份完成投递的快件总件数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据6月份的快件总件数月份的快递总件数增长率），可求出6月份的快件总件数，利用6月份可完成投递快件总件数每人每月可投递快件件数人数可求出6月份可完成投递快件总件数，二者比较后即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设该公司投递快件总件数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为． （2）6月份快递总件数为：（万件）， （万件）， ， 该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 18．（2018秋•永吉县期末）我们规定：方程的变形方程为．例如，方程的变形方程为 （1）直接写出方程的变形方程； （2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若方程的变形方程为，直接写出的值． 【思路点拨】（1）用表示方程里的，直接得结论； （2）先把方程变形，再利用根的判别式，计算出的取值范围； （3）变形方程整理，即得的值． 【规范解答】解：（1）用表示方程里的， 可得． （2）用表示方程里的， 得． 整理，得 变形后的方程有两个不相等的实数根， △ ， ． （3）． （方程的变形方程为， 整理，得， 即 由于方程的变形方程为， 所以． 【考点评析】本题考查了换元法、根的判别式、不等式的解法．题目难度不大，掌握根的判别式是关键． 19．（2023秋•临泽县期末）某水果店销售一种水果的成本价是5元千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ （2）在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？ 【思路点拨】（1）根据等量关系：每千克水果的利润每天的销售量每天的总利润420元，可列出方程，解方程即可； （2）让定价尽量小即可让利于顾客． 【规范解答】解：（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，设单价应为元， 由题意得：， 化简得，， 解得，． 答：若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元． （2）因为让利于顾客，所以定价定为8元． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 20．（2022秋•昭阳区期末）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动汽车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2014年底拥有家庭电动汽车150辆，2016年底家庭电动汽车的拥有量达到216辆． （1）若该小区2014年底到2016年底家庭电动汽车拥有量的年平均增长率相同，则年平均增长率是多少？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资30万元（全部用完）建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位10000元个，露天车位2000元个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案． 【思路点拨】（1）设年平均增长率是，根据某小区20014年底拥有家庭电动汽车150辆，2016年底家庭家庭电动汽车的拥有量达到216辆，可求出增长率． （2）设该小区可建室内车位个，露天车位个，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况． 【规范解答】解：（1）设家庭电动汽车拥有量的年平均增长率为， 则， 解得，（不合题意，舍去） 答：该小区家庭电动汽车拥有量年平均增长率为； （2）设该小区可建室内车位个，露天车位个， 则， 由①得， 代入②得， 是正整数， 或21， 当时，当时． 方案一：建室内车位20个，露天车位50个； 方案二：室内车位21个，露天车位45个． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是先求出增长率，然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$