精品解析：福建省厦门市思明区音乐学校 2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年福建省厦门市思明区音乐学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列4个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的最小值是（　　） A. 1 B. C. D. 3. 如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是(　　) A. 17° B. 34° C. 56° D. 68° 4. 如图，是的直径，弦，垂足为E，如果，，那么线段的长为（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 如图，是绕点顺时针旋转后得到的图形．若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象经过，三点，则，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为，则列出下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为，则下列说法正确的是（　　） A. 汽车可以滑行4秒后才停止 B. 汽车滑行2秒时停止 C. 滑行速度先变大后变小 D. 滑行的最远距离是22米 9. 如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象与x轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线的对称轴是____． 12. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 13. 为方程的解，则的值为__________． 14. 如图，为的直径，为上一点，，交于点，连接，，若，____ 15. 当时，函数的最小值为1，则的值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值为______，的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 18. 在平面直角坐标系中，的顶点为． （1）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______． 19. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 20. 已知抛物线与轴交于点、． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为，过点作轴的平行线与抛物线的另一个交点为，画出示意图并求的面积． 21. 批发商周老板家的红心蜜柚深受广大顾客的喜爱．蜜柚成熟上市几天后，他记录了每天每千克的利润s（元/千克）与销售单价x（元/千克）的相关数据如表一；每天销售数量y（千克）和销售单价x（元/千克）的相关数据如表二． 表一： x … 6 5 4 3 … s … 4 3 2 1 … 表二： x … 6 5 4 3 … y … 200 300 400 500 … （1）请根据表格中的数据规律，分别求出s与x的函数关系式，y与x的函数关系式； （2）周老板每天销售红心蜜柚的利润可以达到1000元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不行，请说明理由． 22. 在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）与交于点Q，连接，若，请探究与的数量关系． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 24. 在等腰直角中，，，过点B作的垂线l．点P为直线上的一个动点（不与点A，B重合），将射线绕点P顺时针旋转交直线l于点D． （1）如图1，点P在线段上，依题意补全图形． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． （2）点P在线段的延长线上，直接写出线段，，之间的数量关系． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，N；对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． （1）如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”． ①当N坐标为，在图中画出点Q，连接，交线段于点T，求的值； ②当N为线段延长线上任意一点，连接，交线段于点T，是否为定值？ （2）的半径为t，M是上一点，点N在线段上，若点N与点O重合，P为外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积（用含t的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省厦门市思明区音乐学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列4个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称的图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，也是轴对称的图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，是轴对称的图形，故本选项错误； D、是中心对称图形但不是轴对称的图形，故本选项正确． 故选：D． 2. 二次函数的最小值是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，关键是熟练掌握二次函数的性质．根据关系式可知抛物线开口向上，函数有最小值，根据顶点坐标可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，y有最小值． 故选：D． 3. 如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是(　　) A. 17° B. 34° C. 56° D. 68° 【答案】D 【解析】 【分析】欲求∠AOB，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解. 【详解】∠AOB、∠ACB是同弧所对的圆心角和圆周角，∠AOB＝2∠ACB＝68°， 故答案为：D. 【点睛】此题主要考查的是圆周角定理，解本题的要点在于熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半. 4. 如图，是的直径，弦，垂足为E，如果，，那么线段的长为（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，求出，在中利用勾股定理求出，再由垂径定理求出即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，是绕点顺时针旋转后得到的图形．若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质求出，再计算出的度数即可． 【详解】解：由题意得：． 又∵， ∴． 故选B． 6. 若二次函数的图象经过，三点，则，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴即可求解． 【详解】解：由题意可得：二次函数的对称轴为：直线 ∵点在对称轴左边，距离对称轴个单位长度 点在对称轴右边，距离对称轴个单位长度 又二次函数开口向上　 ∴ 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的增减性．确定二次函数的开口方向和对称轴是关键． 7. 某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为，则列出下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设2，3月份平均每月的增长率是x，那么可以用x表示2，3月份的印刷科技书籍，然后根据题意可列出方程为． 【详解】如果设2，3月份平均每月的增长率是x， 那么可以用x表示2，3月份的印刷科技书籍分别是40（1+x）、40（1+x）2， 然后根据题意可列出方程为：40+40（1+x）+40（1+x）2=140． 故选C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量得出是解题关键． 8. 公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为，则下列说法正确的是（　　） A. 汽车可以滑行4秒后才停止 B. 汽车滑行2秒时停止 C. 滑行速度先变大后变小 D. 滑行的最远距离是22米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．由函数关系式为，变形得，，即求函数的最值问题，则汽车滑行2秒，到达最远距离为20米停止． 【详解】解：∵， ∴由于惯性汽车速度变小，汽车滑行2秒，滑行的最远距离是20米， 故选项A，C，D不合题意， 故选：B． 9. 如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的图象是解答的关键．设正方形的边数为m，然后割补法求面积得到y、x与m的关系，然后根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为m，则， ∵，则，， ∴， ∴y与x的函数图象开口向上，顶点坐标为， 故y与x的函数图象可能为选项B中图象， 故选：B． 10. 二次函数的图象与x轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行排除选项． 【详解】解：由二次函数可知开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； ∵，是二次函数与x轴的交点，点是图象上的一点， ∴当时，则或；故、选项错误； 当时，则，故正确；当且时，此时有可能，故错误； 故选． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线的对称轴是____． 【答案】直线. 【解析】 【详解】试题分析：先把一般式配成顶点式，根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴． y=x2+2x=（x+1）2-1， 抛物线的对称轴为直线x=-1． 故答案为直线x=-1． 考点：二次函数的性质． 12. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k＜1． 【解析】 【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=， 解得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键. 13. 为方程的解，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】把x=a代入已知方程，可以求得（a2+a）的值，然后将其整体代入所求的代数式进行求值． 【详解】解：依题意得：a2+a-5=0， 解得a2+a=5， 所以a2+a+1=5+1=6． 故答案是：6． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 14. 如图，为的直径，为上一点，，交于点，连接，，若，____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，根据平行线的性质求出的度数，由等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后由圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 当时，函数的最小值为1，则的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时，求的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 【详解】解：当时，有， 解得：，． ∵当时，函数有最小值1， ∴或， ∴或， 故答案为：2或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值为______，的最大值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 6 【解析】 【分析】根据点、、的坐标，可知点是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得的长，再由勾股定理解得的长，最后由点与圆的位置关系解得的最大值与最小值，进而确定的取值范围． 【详解】解：连接， 由题意，得：，， ， ， ， 要最大，就是点到上的一点的距离最大， 在的延长线上， ，， ， 的最小值是， 的最大值是， 故答案为：；． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，将问题转化为求的最大值是解题关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 即或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得，即， ∴， 解得：，． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点为． （1）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图、旋转作图以及找出旋转中心，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为点的对应点的坐标为，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答． （2）因为将以点为旋转中心旋转，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答 （3）运用数形结合思想，直接得与的旋转中心的坐标，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图得将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为． 19. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 【答案】 证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】略 20. 已知抛物线与轴交于点、． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为，过点作轴的平行线与抛物线的另一个交点为，画出示意图并求的面积． 【答案】（1） （2）如图，面积为 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴交点，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数性质和待定系数法； （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出顶点，对称轴为直线，可得，，故； 【小问1详解】 解：把、代入得： ， 解得： 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴顶点， ∵过点作轴的平行线与抛物线的另一个交点为， 与关于直线对称， ， ， ． 的面积为． 21. 批发商周老板家的红心蜜柚深受广大顾客的喜爱．蜜柚成熟上市几天后，他记录了每天每千克的利润s（元/千克）与销售单价x（元/千克）的相关数据如表一；每天销售数量y（千克）和销售单价x（元/千克）的相关数据如表二． 表一： x … 6 5 4 3 … s … 4 3 2 1 … 表二： x … 6 5 4 3 … y … 200 300 400 500 … （1）请根据表格中的数据规律，分别求出s与x的函数关系式，y与x的函数关系式； （2）周老板每天销售红心蜜柚的利润可以达到1000元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不行，请说明理由． 【答案】（1）， （2） 周老板每天销售红心蜜柚的利润不能达到1000元．理由如下： 设每天销售红心蜜柚的利润为w， ∵ ， ， ∴当时，w有最大值为900， 即：销售单价为5元/千克时，每天销售利润最高为900元． 答：周老板每天销售红心蜜柚的利润不能达到1000元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，根据每天的销售利润＝每天每千克利润×销售数量建立二次函数解析式，二次函数的性质，是解题的关键． （1）利用待定系数法，得到解析式：根据表1中，，得到每天每千克的利润s（元/千克）与销售单价x（元/千克）为一次函数关系，根据表2中，，得到每天销售数量y（千克）和销售单价x（元/千克）为一次函数关系，； （2）每天的销售利润，得到当时，w有最大值为900． 【小问1详解】 解：∵表1，每天每千克的利润s（元/千克）与销售单价x（元/千克）为一次函数关系， ∴设， 将，代入， 得， 解得， ∴， ∵表2，每天销售数量y（千克）和销售单价x（元/千克）一次函数关系， ∴设， 将，代入， 得， 解得：， ∴， 【小问2详解】 解：略． 22. 在矩形中，点E在边上，，将绕点B顺时针旋转得到，使点A的对应点F在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）与交于点Q，连接，若，请探究与的数量关系． 【答案】（1） 如图即为所求； （2）， 在矩形中，                       绕点B顺时针旋转得到， 点A的对应点F在线段上， AI ∵ 在中， 又与交于点Q， 又                                                                 是等边三角形．                                                           在中，                           【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点； （1）利用作全等三角形即可； （2）根据矩形性质得，，根据旋转性质得，根据全等得在中，根据直角三角形的性质得 ，即可得到，再根据 得出，，，证明 是等边三角形，得出，在中，根据得出，即可得，即可求解； 【小问1详解】 如图即为所求； 以为圆心，在上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，即为所求； 故 【小问2详解】 略 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】 任务一：直角坐标系： ； 任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；； 任务三：有两种设计方案 方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼． ∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则， 若顶点一侧挂3盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则， 若顶点一侧挂4盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 【解析】 【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解； 任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围； 任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解． 【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且经过点． 设该抛物线函数表达式为， 则， ∴， ∴该抛物线的函数表达式是． 任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， ∴悬挂点的纵坐标的最小值是． 当时，，解得或， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是． 任务三：略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 在等腰直角中，，，过点B作的垂线l．点P为直线上的一个动点（不与点A，B重合），将射线绕点P顺时针旋转交直线l于点D． （1）如图1，点P在线段上，依题意补全图形． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． （2）点P在线段的延长线上，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） 解：①补全图形如图1， 证明：如图1，设与的交点为点E， 根据题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②． 证明：如图2，过点P作交于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在等腰直角中，， 又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）①根据题意补全图形，由直角三角形的性质可得出答案； ②过点P作交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）过点P作交于点M，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 证明：如图3，过点P作交于点M， 由（1）可知， ∴， ∴，， 同（1）可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，N；对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． （1）如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”． ①当N坐标为，在图中画出点Q，连接，交线段于点T，求的值； ②当N为线段延长线上任意一点，连接，交线段于点T，是否为定值？ （2）的半径为t，M是上一点，点N在线段上，若点N与点O重合，P为外一定点，点Q为点P的“对应点”．当点M在上运动时，直接写出点Q所构成的图形的面积（用含t的式子表示）． 【答案】（1）①， 图形如图1所示： ②是定值 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据定义求出点，点Q的坐标，画出图形，连接，证明四边形是平行四边形，可得结论； ②设，求出点坐标，进而求出直线的解析式，进而求出的坐标，求出的值即可； （2）连接并延长至点，使，连接 ，推出点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，可得结论． 【小问1详解】 ①解： 是由点向右平移 个单位长度，再向上平移个单位长度得到的； ， ， 的横坐标为： ；纵坐标为：，， ， 连接，交线段于点， 连接． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②∵，则：直线的解析式为：， 设， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 则：， ∴， ∴， 联立，解得：， ∴， ∴， ∴为定值； 【小问2详解】 解：连接并延长至点，使，连接 ，如图： 由的定义可知： 关于点 对称 点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆 点的轨迹构成的图形的面积为： 【点睛】本题坐标与图形，中心对称，一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平移与中心对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $