专题4.1 指数运算与指数函数（考点精讲）-【中职专用】2025年技能高考数学一轮复习讲练测（湖北专用）

专题4.1 指数运算与指数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 3 考点一：指数幂的运算 3 考点二：指数函数的一般形式 4 考点三：指数函数恒过定点问题 4 考点四：指数型函数图象问题 5 考点五：指数型函数的单调性 5 考点六：由函数单调性求参数范围 6 考点七：指数型函数值域问题 7 考点八：指数函数的实际应用 8 【考纲要求】 1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点 【考向预测】 1.指数幂的运算 2.指数函数的图象与性质 3.指数函数的应用 【知识清单】 1. 指数的基本知识 （1） 根式的基本性质 ①的定义域为,的定义域为 ②，定义域为 ③，定义域为 ④，定义域为 ⑤，定义域为 （2） 指数的基本性质 ①零指数幂:; ②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; ④负分数指数幂: （3） 指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 2. 指数函数 （1） 指数函数的定义及一般形式 一般地，函数，叫做指数函数 （2） 指数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性质 过定点 【考点分类剖析】 考点一：指数幂的运算 例1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【变式探究】将表示成分数指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 例3．式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式探究】（    ） A． B． C． D． 考点二：指数函数的一般形式 例1．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式探究】若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 考点三：指数函数恒过定点问题 例1．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的图象恒过定点（   ） A． B． C． D． 【变式探究】当且时，函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 考点四：指数型函数图象问题 例1．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（   ） A． B． C． D． 例2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 考点五：指数型函数的单调性 例1．已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式探究】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 考点六：由函数单调性求参数范围 例1．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知函数在上是减函数,则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点七：指数型函数值域问题 例1．函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式探究】若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式探究】若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（    ） A． B．或 C． D．或 例3．函数在区间上的最大值是． A． B． C． D． 【变式探究】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 考点八：指数函数的实际应用 例1．某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【变式探究】核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 例2．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式探究】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近年内减少了，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 指数运算与指数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 3 考点一：指数幂的运算 3 考点二：指数函数的一般形式 5 考点三：指数函数恒过定点问题 6 考点四：指数型函数图象问题 7 考点五：指数型函数的单调性 7 考点六：由函数单调性求参数范围 9 考点七：指数型函数值域问题 13 考点八：指数函数的实际应用 16 【考纲要求】 1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点 【考向预测】 1.指数幂的运算 2.指数函数的图象与性质 3.指数函数的应用 【知识清单】 1. 指数的基本知识 （1） 根式的基本性质 ①的定义域为,的定义域为 ②，定义域为 ③，定义域为 ④，定义域为 ⑤，定义域为 （2） 指数的基本性质 ①零指数幂:; ②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; ④负分数指数幂: （3） 指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 2. 指数函数 （1） 指数函数的定义及一般形式 一般地，函数，叫做指数函数 （2） 指数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性质 过定点 【考点分类剖析】 考点一：指数幂的运算 例1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂指运算的性质，可得答案. 【详解】对于选项A：，故选项A错误， 对于选项B：，故选项B错误， 对于选项C：，故选项C错误， 对于选项D：，故选项D正确， 故选：D． 【变式探究】已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确. 【详解】A选项，且，故，A错误； B选项，且，故，B错误； C选项，，C错误； D选项，且，故，D正确. 故选：D 例2．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 【变式探究】将表示成分数指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】. 故选：C. 例3．式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用根式化简及去绝对值，即可得到答案. 【详解】 故选：A. 【变式探究】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式直接化简求解即可. 【详解】． 故选：D 考点二：指数函数的一般形式 例1．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 【变式探究】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 【变式探究】若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 考点三：指数函数恒过定点问题 例1．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，可得是定值，可得定点坐标. 【详解】当时，，则函数的图象恒过定点． 故选：C. 【变式探究】函数的图象恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的性质判断即可. 【详解】由于，所以恒过定点，且一定不经过，故C正确，D错误. 而，均不是定值，故A，B错误. 故选：C. 【变式探究】当且时，函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的性质即可求解. 【详解】当时，，与无关， 则函数恒过定点． 故选：B. 考点四：指数型函数图象问题 例1．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 【变式探究】函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性排除C、D，再由函数过点，即可判断B. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 因为，在定义域上单调递减，故排除C、D； 又当时，显然不过点，故B错误； 在定义域上单调递增，且，所以，符合题意. 故选：A 例2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质，利用排除法进行求解即可. 【详解】因为， 所以当时，函数，因此排除D. 当时，函数，因此排除A和C， 故选：B 【变式探究】函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质判断函数图象 【详解】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确， 故选：D． 考点五：指数型函数的单调性 例1．已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数型复合函数的单调性求解. 【详解】令在单调递增，单调递减， 所以函数在单调递减，单调递增， 故选:C. 【变式探究】函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，在结合复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 因为开口向下，对称轴为， 可知在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式探究】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用复合函数判断单调性“同增异减”的方法求解即可 【详解】解：令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 在定义域内为减函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选：C 考点六：由函数单调性求参数范围 例1．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可得到答案. 【详解】∵函数在上单调递减， ∴，∴ 故选：C． 【变式探究】已知函数在上是减函数,则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数的单调性列出不等式组，可解出实数的取值范围． 【详解】由题意可得，解得 故选：B 【变式探究】已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，根据是上单调函数列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，，则，无解. 当时，，则，所以符合题意. 所以的取值范围是. 故选：D 例2．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性，可得在的单调性，再根据其对称轴和区间端点值关系，即可求得参数范围. 【详解】因为为上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减， 故，解得. 故选：D. 【变式探究】若函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、、三种情况讨论，结合二次函数及指数函数的性质计算可得. 【详解】当时，函数在定义域上单调递减，满足条件； 当时，函数开口向上，对称轴为，所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，只需满足在为减函数，即，则； 综上可得. 故选：C 【变式探究】设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数函数单调性知函数在区间上也是单调递增，结合对称轴可得，解之即可． 【详解】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增， 所以函数在区间上也是单调递增， 因为二次函数的对称轴为， 所以有，即. 故选：B. 考点七：指数型函数值域问题 例1．函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分析可知函数在区间上单调递增，结合单调性求最值. 【详解】因为在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为. 故选：A. 【变式探究】若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性求出最值即可得解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以， 则，所以. 故选：C. 【变式探究】若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况，由函数的单调性结合函数的最大值为4，求出的值，从而可求出函数的解析式，进而可求出函数的最小值. 【详解】时，在上单调递增， 则，解得， 此时，. 当时， 在上单调递减， 所以，解得， 此时，. 综上，m的值为或， 故选：D. 例3．函数在区间上的最大值是． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是指数型的函数，单调递减，故在x=-2时取得最大值. 【详解】 当x=-2时取得最大值为27. 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用；求解最值其根本还是研究函数的单调性，可以借助基本初等函数单调性、复合函数单调性法则等判断函数单调性. 【变式探究】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出的取值范围，再根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】令， 则， 因为在R上单调递减， 所以， 故函数的值域为， 故选：C 考点八：指数函数的实际应用 例1．某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，时，求时的值. 【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，. 故选：D 【变式探究】核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解． 【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a， 由题意可得，，即， 所以，即， 故． 故选：C． 例2．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】直接根据指数函数定义求解即可. 【详解】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量， 经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量， 经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量， ， 经过天后，剩留的质量，. 故选：A. 【变式探究】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近年内减少了，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率，然后建立函数关系. 【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的倍， 则， ， 所以设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是， 故选：C. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$