精品解析：山西省晋城市2024-2025学年高一上学期12月选科调研考试数学试题

2024-2025学年山西省高一选科调研考试 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据真数的概念可得集合A，根据二次根式被开方数大于等于0可得集合B，利用集合的基本运算可得结果. 【详解】因为，，所以. 故选：A. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性，结合函数零点存在定理可得零点所在的区间. 【详解】因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数. 因为，， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由得或，进而根据概念直接求解即可. 【详解】解：解不等式得：或， 因为是或的真子集， 所以，是或的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 设命题，，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得结果. 【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得的否定为：，. 故选：B. 5. 已知是定义在上的偶函数，则（ ） A. 0 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数可得，求出，即可得解. 【详解】因为是上的偶函数， 所以，即， 则，所以， 所以，则. 故选：B. 6. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法令可得，代入解析式可得结果. 【详解】令，则，所以， 所以. 故选：D. 7. 函数（且）恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数性质，令，求出，再代入函数解析式即可. 【详解】令得，， 图象恒过定点. 故选：D 8. 已知，若函数有四个零点a，b，c，d，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，结合函数有四个零点可得的取值范围及，进一步求得，所以，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】作出的大致图象如图所示， 由图象可得，，， 由，得，即，得， 所以， 令，因为此函数在上单调递减， 所以， 故， 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得且，利用是上的增函数，可判断A；利用是上的减函数，可判断B；利用赋值法可判断CD. 【详解】因为，所以且. 对于A，因为是上的增函数，所以，故A正确； 对于B，因为是上的减函数，所以，故B正确； 对于C，取，，显然有，故C错误； 对于D，取，，，显然有，故D错误. 故选：AB. 10. 下列函数在区间上是单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得选项A错误；去绝对值可得选项B正确；利用函数的对称性可得选项C正确；根据函数和均在上为减函数可得选项D正确. 【详解】对于A，幂函数的单调递增区间为，故在上单调递增，故A错误； 对于B，当时，，在上单调递减，故B正确； 对于C，函数图象与图象关于轴对称， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，因为在上单调递减，在上单调递减，故在上单调递减，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在定义域内单调递减 B. 函数的最大值为2 C. 的图象关于直线对称 D. 函数无零点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用对数运算性质可得，令，利用的单调性可得选项A错误；根据可得选项B正确；根据图象在上关于直线对称可得选项C正确；根据解方程可得选项D错误. 【详解】由题意得，函数的定义域为，. 令，对称轴为直线， 在内单调递增，在内单调递减， 由在上为增函数可得在内单调递增，在内单调递减，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 因为图象在上关于直线对称，故的图象关于直线对称，故C正确； 令，则，解得， 由得函数有两个零点，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是分析内层函数的单调性、最值和对称性，结合对数函数的性质可确定选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意确定集合中元素的个数，即可得到真子集的个数. 【详解】由题意得，为4的正因数，故， 所以此集合的真子集个数为. 故答案为：7. 13. 已知，，试用、表示____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式结合对数的运算，化简代入可求结果 【详解】， 故答案为： 14. 对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得，结合的概念可得不等式的解集. 【详解】由得，，解得， 所以或，故，所以原不等式解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，先求出，或，再求得即可； （2）由，得出，分类整合解出的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，， 则，或， 所以. 【小问2详解】 若，则， ①当时，，解得，满足题意； ②当时，解得. 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数（是实数且）是奇函数. （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义域关于原点对称可得的值，根据奇函数的定义可得的值，据此可求函数的解析式. （2）分离常数可得，根据的取值范围逐步分析可得函数的值域. 【小问1详解】 由题意可得，，即. ∵，∴. ∵函数是奇函数，∴定义域关于原点对称，即，即，故. 根据题意，对任意，都有， ∴对任意恒成立， 化简得，即对任意恒成立， ∴，故. 【小问2详解】 由（1）得. ∵且，∴且， ∴或， ∴或， 即函数值域为. 17. 已知，，且. （1）求最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1）9 （2）4 【解析】 【分析】（1）由已知可得，利用“1”的代换结合基本不等式求解即可； （2）由已知可得，，代入，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由，得，即， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故； 【小问2详解】 由，得，即，， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 18. 已知定义在上的函数同时满足下面两个条件：对任意x，，都有；当时，. （1）求； （2）求证：在上单调递减； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最小值为2 【解析】 【分析】（1）令，即可求解； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）原不等式等价于，利用函数单调性将条件转化为存在，使得成立，令，，即可求解. 【小问1详解】 令，得， 所以； 【小问2详解】 任取，，且， ， 由，得， 因为当时，，所以， 即，故， 所以在单调递减； 【小问3详解】 由， 得， 即， 又在上单调递减， 所以条件等价于存在，使得成立， 即存在，使得成立， 令，， 则， 所以，即实数的最小值为2. 19. 对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，.若（，）. （1）当，时，求函数的不动点和稳定点； （2）若对任意实数n，函数恒有两个不同不动点，求m的取值范围； （3）对于任意函数，求证：. 【答案】（1）不动点为，稳定点为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由不动点和稳定点的定义建立等量关系，解方程即可得到结果. （2）由函数恒有两个不同的不动点可得方程有两个不相等的实数根，结合判别式可得对任意实数都成立，分析一元二次不等式恒成立问题可得结果. （3）当时可得，当时，根据集合中的元素都在集合中可证明结论. 【小问1详解】 当，时，函数. 由，解得. 由，得，解得. 所以函数的不动点为，稳定点为. 【小问2详解】 若对任意实数，函数恒有两个不同的不动点， 则方程有两个不相等的实数根， 所以有两个不相等的实数根， 即且对任意实数都成立， 故， 解得，故的取值范围为. 【小问3详解】 若，则，显然成立； 若，任取，则，所以， 所以，故. 综上，. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是把问题转化为一元二次不等式恒成立问题，结合方程的判别式可得结果.解决第（3）问的关键是结合题目中的新定义得到集合中的元素都在集合中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山西省高一选科调研考试 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设命题，，，则p否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知是定义在上的偶函数，则（ ） A. 0 B. 4 C. D. 5 6. 已知，则函数的解析式为（ ） A B. C. D. 7. 函数（且）恒过点（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若函数有四个零点a，b，c，d，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数在区间上是单调递减的是（ ） A B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在定义域内单调递减 B. 函数的最大值为2 C. 的图象关于直线对称 D. 函数无零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数是__________. 13. 已知，，试用、表示____________ 14. 对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知函数（是实数且）是奇函数. （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域. 17. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 18. 已知定义在上的函数同时满足下面两个条件：对任意x，，都有；当时，. （1）求； （2）求证：在上单调递减； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的最小值. 19. 对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，.若（，）. （1）当，时，求函数的不动点和稳定点； （2）若对任意实数n，函数恒有两个不同不动点，求m的取值范围； （3）对于任意函数，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$