福建省古田县第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题

· 古田一中2024—2025学年高三上第三次月考 · 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则复数在复平面内所对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．“”是“数列为递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数，则满足的的取值范围为( ) A． B． C． D． 4．已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 5．在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（     ） A． B．2 C．3 D． 6．在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（     ） A． B． C． D． 7．正方体的棱长为2，是棱的中点，是棱上一点（含端点），且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D．1 8．已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（     ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．当时，的最小正周期为 B．函数过定点 C．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为 D．函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 11．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C．线段上存在点，使平面平面 D．为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 三、本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 13．已知数列满足，，记数列的前项和为，则 . 14．如图，在中，，，直线与边，分别交于，两点，且的面积是面积的一半.设，，记，则的最小值与最大值之和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为 (1)求； (2)求的取值范围. 16．（15分） 已知正项等比数列的前项和为且. (1)求； (2)求数列的前项的和. 17．（15分） 如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点、分别在、上，且，，. (1)若平面，求； (2)若，求二面角的余弦值. 18．(17分) 定义：记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)求证：为区间上的凹函数； (2)若为区间上的凸函数，求实数的取值范围； (3)求证：当时，. 19．（17分） 正实数构成的集合，定义.当集合中恰有个元素时，称集合A具有性质. （1）判断集合，是否具有性质； （2）若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值; （3）若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 古田一中2024—2025学年高三上第三次月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B C C B B A AD BC ABD 8．A【详解】作出图像，令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且，则，解得，故选：. 11．ABD 【详解】对于选项A，因为平面，平面平面， 所以，点到平面的距离等于，的面积为， 所以，，故选项A正确； 对于选项B，连接，易知面，又面，所以， 又分别为棱的中点，则，而，所以， 又面，，所以面， 又面，所以平面平面，故选项B正确， 对于选项C，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、 、、，、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 设，可得点，其中， 则， 所以，解得， 故平面与平面不平行，所以选项C错误， 对于选项D，由选项C知，，， 设直线与所成角为， 则， 当时，取得最大值，此时最小，所以选项D正确，故选：ABD. 12． 13． 14． 15．【详解】（1）由余弦定理，，又三角形面积为， 2分 则，又由题，则； 5分 （2）由（1），，又为锐角三角形， 则. 7分 由正弦定理： . 因在上单调递增，则时，. 10分 则，即. 13分 16．【详解】（1）设公比为，由可得， 2分 又，解得或， 4分 由于为正项数列，所以，故； 5分 （2）由可得， 7分 ， 9分 故 11分 . 15分 17．【详解】（1）在线段上取一点，使，连接、， 在中，因为，，所以， 2分 所以且， 因为且，则四边形为平行四边形，则，且， 所以，所以，、、、四点共面， 若平面，平面，平面平面， 所以，， 因为，所以，四边形为平行四边形， 4分 所以，，故， 故当平面时，. 6分 （2）因为底面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为，则，， 因为，，则， 又因为，，则、、、， 8分 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 10分 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 12分 所以，， 14分 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以，二面角的余弦值为. 15分 18．【详解】（1）由题意得，，记的导函数为（下同）， 则，所以在区间上单调递增， 所以为区间上的凹函数. 2分 （2）由题意得，，则， 令，则，故. 3分 令，则， 故在上单调递增，故， 5分 则，故，故实数的取值范围为. 6分 （3）由题意得，. 当时，，符合题意， 7分 当时，因为，则，则即证， 即证， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 故当时，，即成立. 10分 当时，由（1）知在上单调递增， 又，所以，使得， 所以，因为，所以，所以. 11分 i）当时，，即证， 设，则， 所以在上单调递减， 所以. 14分 ii）当时，，即，即证， 设，则， 令， 则， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，则， 则，则在上单调递增， 故当时，. 16分 综上，当时，. 17分 19【详解】【小问1详解】 具有性质；不具有性质. 若，则，恰有个元素，所以具有性质； 2分 若，，有5个元素，，不具有性质. 17分 4分 【小问2详解】 当中的元素个数时，因为中所有元素能构成等比数列， 不妨设元素依次为构成等比数列，则，其中互不相同. 于是这与具有性质，中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾. 6分 当中的元素个数恰有3个时，取时满足条件， 所以集合中的元素个数最大值为3. 8分 【小问3详解】 因为，不妨设， 所以. 9分 （1）当时，构成等比数列， 所以，即，其中互不相同. 这与中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾. 11分 （2）当时，构成等比数列，第3项是或. ①若第3项是，则，即， 所以，与题意矛盾. 12分 ②若第3项是，则，即， 所以成等比数列，设公比为，则中等比数列的前三项为： ，其公比为，第四项为，第十项为. 13分 (ⅰ)若第四项为，则，得， 又，得，此时中依次为 显然，不合题意 15分 (ⅱ)若第四项为，则，得，又，得， 此时中依次为，显然，不合题意. 因此，. 取满足条件. 所以中的元素个数最大值是4. . 17分 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$