专题11分式方程中字母取值和实际问题中的技巧与常见模型（八种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题11分式方程中字母取值和实际问题中的技巧与常见模型（八种技巧精讲精练+过关检测） 题型01巧用分式方程解的定义求字母(式子)的值 【典例分析】 【例1-1】（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的解，解分式方程，求出方程的解，把解代入分式方程求出m即可． 【详解】解：解方程， 得，， 经检验是方程的解， 把代入方程， 得，， 故选：A． 【例1-2】（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的分式方程的解与方程的解相同，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是解分式方程，求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出a的值即可． 【详解】解：方程， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 把代入得：， 去分母整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故答案为：2． 【例1-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的同解问题，先解出后一个分式方程，再将所得解代入前一个方程即可得解．注意检验． 【详解】解：在方程的两边同乘，可得：． 解得． 经检验，是方程的解． 把代入方程，得：． 解得． 经检验，是方程的解． ∴的值为． 【变式演练】 【变式1-1】当a＝ 时，方程的解与方程的解相同． 【答案】 【分析】根据解分式方程，可得第二个分式方程的解，根据方程的解相同，把方程的解代入第一个方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：，去分母，得x-4=3x．解得x=-2， 经检验：x=-2是原分式方程的解． ∵方程的解与方程的解相同． 把x=-2代入得： 解得a= 经检验：a=是分式方程的解， ∴当a=时，方程的解与方程的解相同． 故答案为 【点睛】本题考查了分式方程的解，利用了解分式方程的步骤，注意要检验分式方程的解 【变式1-2】（2024八年级上·全国·专题练习）当 时，关于的分式方程与的解相同． 【答案】-3 【解析】略 【变式1-3】（八年级上·河北沧州·期中）已知方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】先解方程，然后将方程的解代入即可求出a值． 【详解】解：化为整式方程得：x（x﹣1）+2（x+1）=x2﹣1， 化简得：x=﹣3， 经检验x=﹣3是原方程的解， ∴原方程的解是x=﹣3， 将x=-3代入， 解得a=， 经检验a=是原方程的解， ∴a=． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握方程的解法是解题关键． 题型02巧用分式方程有增根求字母的值 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程有增根的情况下求参数，理解分式方程的增根情况是解题关键．先去分母化简，然后根据题意得出，将其代入方程求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得 ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入，得， 故选：B． 【例2-2】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）已知关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，先把原方程化为整式方程后求出，再根据分式方程有增根的情况是分母为0得到，即，则，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：1 【例2-3】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）分式方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解： 去分母得：， 即， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 把代入整式方程得：； 把代入整式方程得：， 则的值是6或0． 当时，原方程为，此时无解， ∴ 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）关于的分式方程有增根，则这个增根为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程增根的定义．根据分式方程增根的定义：使分式方程最简公分母为零的的值即可得到答案． 【详解】解：关于的分式方程有增根，且分式方程最简公分母为， 分式方程的增根为， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，先把原方程化为整式方程，再根据原方程有增根得到是所得整式方程的根，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）当m为何值时，解关于x的分式方程会出现增根？ 【答案】当时，分式方程有增根． 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将或代入计算，即可求出的值． 【详解】∵关于x的分式方程有增根， ∴或， ∴或． 方程两边同乘，得， 整理得， 当时，； 当时，． 当时，方程为，此时方程无解， ∴当时，分式方程有增根 题型03巧用分式方程无解求字母的值 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的方程无解，则m的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了利用分式方程的解的情况求参数，正确理解分式方程无解的两种情况是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，由或时方程无解，求出． 【详解】解：， 去分母，得， 化简得，， ∵方程无解， ∴①当时，方程无解； ②当时，方程无解，此时，解得， 即或时，方程无解， 故选：D 【例3-2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是明确分式方程什么条件下无解． 根据解分式方程的方法和关于的分式方程无解来求解． 【详解】解：， 方程两边同乘以得 移项并合并同类项得 ． 关于的分式方程无解， ， 解得， ， 解得． 故答案为： 【例3-3】（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若分式方程无解，求的值． 【答案】2或1 【分析】本题主要考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成的形式，如果，此时分式方程也无解． 根据分式方程无解分为有增根或去分母后的整式方程无解两种情况进行解答即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， ∴当或时原方程无解， 当时，， 当时，即时，，得， ∴当或时，原方程无解 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出，然后根据分式方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于的方程，解方程求出即可．本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 即， 关于的分式方程无解，，， 解得：，， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数为或或0，共3个， 故选：C 【变式3-2】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解产生的原因是解题的关键． 将分式方程去分母转化为整式方程，根据原方程无解得，即可求解． 【详解】解： 去分母，得：， 解得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴， ∴． 故答案为：3 【变式3-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求：m的值 【答案】的值为1或． 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，分两种情况可求得m． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴； ∵最简公分母， ， 当时，得， 综上：的值为1或 题型04巧用分式方程解的范围求字母的值(取值范围) 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数a的值的和是（    ） A．9 B．11 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，理解一元一次不等式组的解集以及分式方程的解是解决问题的关键．根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据分式方程的解为非负整数，进而确定a的所有可能的值，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ． 解分式方程， 得且． 分式方程的解为非负数， 且， 解得且， 综上所述，且． a为整数， a为2，4，5， 所有满足条件的整数a的值的和为． 故选B 【例4-2】（22-23八年级上·重庆巫溪·期末）关于x的不等式组的解集为，且关于y的方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为（　　） A．15 B．17 C．18 D．22 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，并由解集得，再解分式方程，并由原方程的解为正数得且，进而可求解． 【详解】解：， 解不等式②，得， ∵原不等式组的解集为， ∴， 解得：， ， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得：且， ∴且， ∴整数a为4，6，7，和为， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及解分式方程，熟练掌握其一般解法是解题的关键 【例4-3】（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得：， ∵关于x的一元一次不等式组解集为， ∴， 分式方程去分母得：， 整理得， 当时，，方程不成立， 当时，解得：， ∵y为整数解，且， ∴，，， 解得的值为或或或或， ∴或0， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为： 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．0 B．1 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先解关于的一元一次不等式组，再根据其解集是，得小于5，再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出的值，再求和即可． 【详解】解：由不等式组， 得：， 解集是， ， 由关于的分式方程得， ， 有非负整数解， ， ， （舍去，此时分式方程为增根），，，，，，2或4时，不是整数）， 它们的和为． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，掌握分式方程有意义的条件，不等式组的解集是解题的关键 【变式4-2】（23-24八年级上·重庆荣昌·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】6 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程、分式方程的解，理解分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，正确求出a值是解答的关键，注意分式有意义的条件．先由不等式组的解集求得，再解分式方程得，然后根据分式方程的解为非负整数且得到a的值，进而可求解． 【详解】解：， 解①得， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解方程， 去分母得：， 整理得： ∴， ∵分式方程的解为非负整数，且， ∴a的值为0，2，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：6 【变式4-3】（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和． 【答案】 【分析】此题考查已知分式方程的解的情况求参数，解一元一次不等式组，正确掌握分式方程的解法及一元一次不等式组的解法是解题的关键．先解分式方程，根据方程的解的情况得到且，再解一元一次不等式组，求出a的取值范围，由此得到所有整数解及解的和． 【详解】解： 解得且， ∵解为非负数， ∴且， 解得且． ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 因为关于y的不等式组的解集为， 所以， 所以且， 因为为整数， 所以为1、2、4、5， 所以符合条件的所有整数的和为 题型05工程问题 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成．设规定的工期为x天，根据题意列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定的工期为x天，等量关系为：甲5天的工作量乙x天的工作量，据此列方程即可，正确找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【例5-2】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）某项工程由甲、乙两人合作需6天完成，若甲单独做需15天完成，则乙单独做需 天完成． 【答案】10 【分析】设乙单独做需天完成，根据甲完成的工程量乙完成的工程量总工程量，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设乙单独做需天完成， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故答案为：10． 【例5-3】（24-25八年级上·全国·单元测试）某公司承包一项整治河流的工程，要求在规定时间内完成．如果该公司第一分公司单独施工，那么正好按规定日期完成；如果该公司第二分公司单独施工，那么就要超出规定日期个月．现在两个分公司合作施工个月后，剩下的任务由第二分公司单独施工，恰好如期完工．这项工程的规定日期是几个月？ 【答案】这项工程的规定日期是6个月 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设这项工程的规定日期是x个月，则第一分公司的工作效率为，第二分公司的工作效率为，再根据两个分公司合作施工个月后，剩下的任务由第二分公司单独施工，恰好如期完工列出方程求解即可． 【详解】解：设这项工程的规定日期是x个月， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定日期是6个月 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）一项工程若由甲队单独去做，刚好能如期完成；若由乙队单独做，要比规定时间多用5天才完成；若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独去做，也正好如期完成．设这项工程预期x天完成，那么下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，首先规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，乙队完成这项工程要天．根据题意可得等量关系：甲干4天的工作量乙干x天的工作量，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，乙队完成这项工程要天． 由题意可列方程：， 故选：A． 【变式5-2】（22-23八年级·黑龙江绥化·期末）一项工程，若甲、乙两人合作需要m小时完成，甲单独做需要n小时完成，那么乙单独做需要 小时完成． 【答案】 【分析】设乙单独做需要x小时，根据工作效率=工作量÷工作时间，再根据合作的效率=效率甲工作效率+乙工作效率，列出方程求解即可． 【详解】解：设乙单独做需要x小时，根据题意，得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙单独做需要小时． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键 【变式5-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）近段时间，我市积极应对台风“摩羯”和郁江2024年第1号洪水，确保了2001年以来最高洪峰在我市安全过境．9月14日，邕江南宁水文站水位已下降至紧急水位以下且持续回落，下午市政部门开始着手河道清淤治理工作，现有甲、乙两工程队，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要几天？ (2)经过预算，甲工程队每天的费用是3000元，乙工程队每天的施工费用为2000元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？ 【答案】(1)甲、乙工程队单独完成此项工程分别各需要30天，45天 (2)完成河道清淤的总费用是90000元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用—工程问题，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键； （1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，根据等量关系：两队合作15天完成的工作任务与甲5天完成余下任务的和为全部任务，列出分式方程求解即可； （2）先计算出两个工程队合作完成的时间，即可计算出总费用． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天，则乙工程队单独完成此项工程需要天， 由题意得：， 方程两边同乘以得： 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ； 答：甲、乙工程队单独完成此项工程分别各需要30天，45天； （2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为（天， （元）， 答：完成河道清淤的总费用是90000元． 题型06行程问题 【典例分析】 【例6-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速行驶，提速后比提速前多行驶，设提速后列车的平均速度为，下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题列分式方程，设提速后列车的平均速度为，根据不同速度相同时间直接列方程即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设提速后列车的平均速度为，则由题意可得 ， 故选：B 【例6-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）青少年是全民国防教育的重中之重，要从培养担当民族复兴大任时代新人的高度，教育引导青少年树立国防观念．某校为了提升青少年国防素养，组织共青团员乘大巴车前往距离学校的中国人民革命军事博物馆进行参观学习，出发后前一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前了到达博物馆，则前一小时大巴车的行驶速度为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设大巴车前一小时的行驶速度为，则一小时后的行驶速度为，再列方程求解即可． 【详解】设大巴车前一小时的行驶速度为，则一小时后的行驶速度为， 依题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴大巴车前一小时的行驶速度为． 故答案为：60 【例6-3】（21-22八年级上·云南昆明·期末）2020年3月，象群共计16头从西双版纳州进入普洱市，一路“象”北．当地政府组成大象护卫队，全程跟踪象群迁移轨迹，全景式记录大象“出走”经过．护卫队分成甲、乙两组，甲组行程120km和乙组行程80km所用时间相等，已知甲组的速度比乙组速度每小时快3km，求甲、乙两组的速度． 【答案】甲组的速度为9km/h，乙组的速度为6km/h． 【分析】设乙组的速度为xkm/h，则甲组的速度为（x+3）km/h，根据题意可列出关于x的分式方程，解出方程并检验，即可得出结果． 【详解】解：设乙组的速度为xkm/h，则甲组的速度为（x+3）km/h， 依题意列方程得： 解得x=6 经检验，x=6是方程的解 ∴x+3=6+3=9（km/h） 答：甲组的速度为9km/h，乙组的速度为6km/h． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解答本题的关键 【变式演练】 【变式6-1】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶，设大巴车的速度为，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设大巴车的速度为，则轿车的速度为，再根据时间路程速度列出方程即可． 【详解】解：设大巴车的速度为，则轿车的速度为， 由题意得，， 故选：A 【变式6-2】（22-23八年级上·山东烟台·期中）甲、乙两个火车站相距720 km，火车提速后，行驶速度是原来速度的1.2倍，从甲站到乙站的时间缩短1.2 h，则火车原来的速度为 ． 【答案】 【分析】设火车原来的速度为，则提速后的速度为，利用时间=路程÷速度，结合提速后从甲站到乙站的时间缩短1.2h，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设火车原来的速度为，则提速后的速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴火车原来的速度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 【变式6-3】（24-25八年级上·河北邢台·期中）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地． (1)求前 1 小时这辆汽车行驶的速度； (2)汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？ 【答案】(1)前 1小时这辆汽车行驶的速度为 (2)以提速后的速度行驶更省油． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用： （1）设前 1小时这辆汽车行驶的速度为，则1小时后这辆汽车行驶的速度为，根据出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油升，根据汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油列出方程求出y的值，进而分别求出原速回来和提速回来的油耗，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设前 1小时这辆汽车行驶的速度为，则1小时后这辆汽车行驶的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴前 1小时这辆汽车行驶的速度为； （2）解：设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油升， 由题意得， ， 解得， ∴， ∴回来时若以原速度行驶总耗油升， 若以提速后的速度行驶总耗油升， ∵， ∴以提速后的速度行驶更省油． 题型07销售问题 【典例分析】 【例7-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）某商店销售一种小电器，元月的营业额为元为了扩大销量，在月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了件，营业额比元月增加了元，设元月每件小电器的售价为元，则可列方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设元月每件小电器的售价为元，则2月每件小电器的售价为元，再根据在月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了件，营业额比元月增加了元列出方程即可． 【详解】解：设元月每件小电器的售价为元，则2月每件小电器的售价为元， 由题意得，， 故选：D 【例7-2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 【答案】(1)180元 (2)440元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据件数作为等量关系列出方程， （1）设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元，分别计算出第一批和第二批哈密瓜的件数，根据件数建立方程，解方程即可得到答案； （2）先计算出第二批哈密瓜的进价和件数，再分别计算两次销售的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：第一批哈密瓜的件数为，第二批哈密瓜的件数为， ∴， 解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴第一批哈密瓜每件进价是180元； （2）解：根据（1）得第二批哈密瓜的售价为元， 则第二批哈密瓜的件数为：件， ∴第二批哈密瓜的利润为：元 【例7-3】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）外出时佩戴口罩可以有效防控流感病毒，某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包的进价多元，请解答下列问题： (1)求购进的第一批医用口罩有多少包？ (2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？ 【答案】(1)2000包 (2)3元 【分析】（1）设第一批每包的进价为x元，则第二批每包的进价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，得第一批购进2000包，进价为2元，第二批购进3000包，进价为元设药店销售该口罩每包的售价是y元．根据题意，得，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握解方程，解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设第一批每包的进价为x元，则第二批每包的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：购进的第一批医用口罩有2000包． （2）解：根据题意，得第一批购进2000包，进价为2元，第二批购进3000包，进价为元， 设药店销售该口罩每包的售价是y元． 根据题意，得， 解得． 答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24八年级上·河南商丘·期末）某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品首批柑橘成熟后，某电商用元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据单价比第一批每箱便宜了4元，数量与第一批的数量一样多，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A 【变式7-2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 【答案】(1)180元 (2)440元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据件数作为等量关系列出方程， （1）设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元，分别计算出第一批和第二批哈密瓜的件数，根据件数建立方程，解方程即可得到答案； （2）先计算出第二批哈密瓜的进价和件数，再分别计算两次销售的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：第一批哈密瓜的件数为，第二批哈密瓜的件数为， ∴， 解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴第一批哈密瓜每件进价是180元； （2）解：根据（1）得第二批哈密瓜的售价为元， 则第二批哈密瓜的件数为：件， ∴第二批哈密瓜的利润为：元． 【变式7-3】（24-25八年级上·全国·期中）某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． (1)求甲、乙两种香椿每件的进价； (2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 【答案】(1)甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元 (2)最多可购买乙种香椿120件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列方程，列不等式，是解本题的关键． （1）设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元，再利用花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等列方程，再解方程即可； （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件，利用总费用为4320元，列不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元． 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元． （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件． 由题意得， 解得． ∵a为正整数， ∴a的最大值为120． 答：最多可购买乙种香椿120件 题型08其他问题 【典例分析】 【例8-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲容器的容积为，则乙容器的容积为，根据从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲容器的容积为，则乙容器的容积为，根据题意得： ， 解得：，， 经检验，都是原方程的根，但不符合题意舍去， ∴甲容器原有酒精， 故选：B． 【例8-2】（23-24八年级上·河南濮阳·期末）我国是能源消耗大国，为了推动绿色发展，实现“双碳”目标，我国现大力发展新能源．光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将光能直接转变为电能的一种技术．我国的光伏发电量世界第一． 现有一光伏发电厂平均每公顷土地发电量比原来增加100千瓦，原来发电1100千瓦的一块土地，现在总发电量增加了20千瓦，问原来和现在发电场每公顷土地的发电量各是多少千瓦？ 【答案】原来和现在发电场每公顷土地的发电量各是5500千瓦、5600千瓦． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设光伏发电厂原来平均每公顷土地发电量为千瓦，根据发电板的面积不变列分式方程求解即可． 【详解】解：设光伏发电厂原来平均每公顷土地发电量为千瓦 由题意得： 方程两边乘得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 答：原来和现在发电场每公顷土地的发电量各是5500千瓦、5600千瓦 【例8-3】（23-24八年级上·重庆南川·期末）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务． (1)若甲、乙两厂共生产块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？ (2)若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多，甲、乙两厂各生产块光伏板时，乙厂比甲厂多用3天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？ 【答案】(1)甲厂每天生产光伏板块，乙厂每天生产光伏板块 (2)甲厂每天生产块光伏板，乙厂每天生产块光伏板 【分析】本题考查了一元一次方程、分式方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设甲厂每天生产光伏板x块，则乙厂每天生产光伏板块，根据题意列方程即可求解； （2）设乙厂每天生产y块光伏板，则甲厂每天生产块光伏板，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲厂每天生产光伏板x块，则乙厂每天生产光伏板块，根据题意得：      解得：     当时，     答：甲厂每天生产光伏板块，乙厂每天生产光伏板块 （2）解：设乙厂每天生产y块光伏板，则甲厂每天生产块光伏板， 根据题意得：     解得：     经检验，是所列方程的解且符合题意     ∴当时， 答：甲厂每天生产块光伏板，乙厂每天生产块光伏板 【变式演练】 【变式8-1】（23-24八年级·全国·单元测试）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，全国上下各行各业把环境保护都放在首位．某工程队现在正铺设一条全长为2000m的排污管道，为了减少白天对交通的影响…设实际每天铺设管道xm，列方程为，根据方程可知省略的部分是（   ） A．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成这一任务 B．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果推迟20天完成这一任务 C．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果提前20天完成这一任务 D．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果推迟20天完成这一任务 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据给定的分式方程，找出每一项所代表的意义是解题的关键． 设实际每天铺设管道xm，则为原计划每天铺设管道的长度，表示原计划铺设管道所需时间，表示实际铺设管道所需时间，结合所列方程，即可得出省略部分的内容． 【详解】解：∵设实际每天铺设管道xm，， ∴表示原计划每天铺设管道的长度， ∴表示原计划铺设管道所需时间， 表示实际铺设管道所需时间． ∵， ∴实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成这一任务， 故选：A． 【变式8-2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）“走！去永州，品道州脐橙．”现在正是采摘脐橙的季节，某种植大户安排甲、乙两组民工负责脐橙采摘装箱，已知甲组比乙组每小时少箱，甲组采摘箱与乙组采摘箱所用的时间相等，分别求甲、乙两组每小时采摘脐橙的箱数． 【答案】甲组每小时采摘脐橙箱，乙组每小时采摘脐橙箱 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握题意，设甲组每小时采摘脐橙箱，则乙组每小时采摘脐橙箱，根据题意，列出方程，即可解答． 【详解】解：设甲组每小时采摘脐橙箱，则乙组每小时采摘脐橙箱， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙组每小时采摘脐橙箱， 答：甲组每小时采摘脐橙箱，乙组每小时采摘脐橙箱． 【变式8-3】（24-25八年级上·全国·单元测试）某自动化车间计划生产个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时分钟恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了分钟，求软件升级后每分钟生产多少个零件？ 【答案】软件升级后每分钟生产个零件 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设软件升级前每分钟生产x个零件，则升级后每分钟生产个零件，再根据结果完成任务时比原计划提前了分钟列出方程求解即可． 【详解】解：设软件升级前每分钟生产x个零件，则升级后每分钟生产个零件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：软件升级后每分钟生产个零件． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数，根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 整理得，， 当，即时，方程为，方程无解，故分式方程也无解； 当时，， ∵分式方程无解，即产生增根， ∴令，得， ∴， 解得； 综上，当或时，分式方程无解， 故选：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．去分母，方程两边同时乘以，得，则，再根据该方程的解是负数得，然后根据是该方程的增根得出，，据此可得a的取值范围． 【详解】解：， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 解得：， ∵该方程的解是负数， ∴， 解得：， ∵是该方程的增根， ∴时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：a的取值范围是：且． 故选：C． 3．（22-23八年级上·重庆大足·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解不等式组，根据不等式组解集的确立方法对应求出的取值范围；然后解分式方程，得到的结果，然后根据条件知：且，求出的范围，综合以上两个范围确定的整数值即可． 【详解】解：不等式组 解得 不等式组的解集为 分式方程 方程的解为非负整数且 或或 综上，或 整数的和为 故选B 【点睛】本题考查了不等式组解集的确定，分式方程的解法以及相关字母的求解，注意分母不为零是本题做对的关键． 4．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地．求前一小时的行驶速度．若设前一小时的行驶速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程，熟练地根据题意找到等量关系是解题的关键．根据实际用时列出相应的分式方程． 【详解】解：设前一小时的行驶速度为，则一小时后的速度为， 由题意得：， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级上·全国·期末）若关于x的方程无解，则m的值 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解方程得，，由方程无解可得，计算求解即可． 【详解】解：， 两边同时乘以得，， 解得，， ∵关于x的方程无解， ∴， 解得，， 故答案为：1 6．（2024八年级上·全国·专题练习）分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，理解分式方程的增根是解题的关键，方程两边都乘以最简公分母把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解： 方程两边都乘以得， ， ， ， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，，此时原分式方程无解，不符合题意． 所以的值为， 故答案为：． 7．（21-22八年级上·山东威海·期中）某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期成：如果乙工程队单独做，则超过规定日期3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，求规定日期．如果设规定日期为x天，根据题意列方程得 ． 【答案】 【分析】设规定日期为x天，则甲的效率为 乙的效率为 再表示甲完成的工作量为 乙完成的工作量为 再利用两人完成的工作量之和为1可得答案. 【详解】解：设规定日期为x天，则甲的效率为 乙的效率为 所以 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握“工作量=工作效率工作时间”是解本题的关键. 三、解答题 8．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）（1）解方程：； （2）若关于x的方程有增根，试求k的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）先根据解分式方程的方法得到，再根据方程有增根可得，代入计算即可求解． 【详解】解：（1） 去分母，得： 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：． （2） 方程可化为， ∵方程有增根， ∴， ， 故． 9．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3或 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； （2）由（1）将分式化为整式方程为：， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； （3）由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程有增根，无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 10．（24-25八年级上·北京顺义·阶段练习）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍． (1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元？ (2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？ 【答案】(1)一批箱装饮料每箱的进价是200元 (2)每箱饮料至少标价296元 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． （1）设第一批箱装饮料每箱的进价是x元，根据第二批数量是第一批箱数的倍，列方程求解； （2）设每箱饮料的标价是y元，根据全部售完后总利润率不低于，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设第一批箱装饮料每箱的进价是元， 依题意列方程得， 解得：， 经检验，是所列方程的解， 答：第一批箱装饮料每箱的进价是200元． （2）解：设每箱饮料的标价是y元， 依题意得， 解得：， 答：至少标价296元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11分式方程中字母取值和实际问题中的技巧与常见模型（八种技巧精讲精练+过关检测） 题型01巧用分式方程解的定义求字母(式子)的值 【典例分析】 【例1-1】（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 【例1-2】（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的分式方程的解与方程的解相同，则 ． 【例1-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【变式演练】 【变式1-1】当a＝ 时，方程的解与方程的解相同． 【变式1-2】（2024八年级上·全国·专题练习）当 时，关于的分式方程与的解相同． 【变式1-3】（八年级上·河北沧州·期中）已知方程的解与方程的解相同，求a的值． 题型02巧用分式方程有增根求字母的值 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【例2-2】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）已知关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【例2-3】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）分式方程有增根，求m的值． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）关于的分式方程有增根，则这个增根为（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式2-2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）当m为何值时，解关于x的分式方程会出现增根？ 题型03巧用分式方程无解求字母的值 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的方程无解，则m的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【例3-2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【例3-3】（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若分式方程无解，求的值． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求：m的值 题型04巧用分式方程解的范围求字母的值(取值范围) 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数a的值的和是（    ） A．9 B．11 C．12 D．14 【例4-2】（22-23八年级上·重庆巫溪·期末）关于x的不等式组的解集为，且关于y的方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为（　　） A．15 B．17 C．18 D．22 【例4-3】（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．0 B．1 C．4 D．5 【变式4-2】（23-24八年级上·重庆荣昌·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【变式4-3】（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和． 题型05工程问题 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成．设规定的工期为x天，根据题意列方程为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）某项工程由甲、乙两人合作需6天完成，若甲单独做需15天完成，则乙单独做需 天完成． 【例5-3】（24-25八年级上·全国·单元测试）某公司承包一项整治河流的工程，要求在规定时间内完成．如果该公司第一分公司单独施工，那么正好按规定日期完成；如果该公司第二分公司单独施工，那么就要超出规定日期个月．现在两个分公司合作施工个月后，剩下的任务由第二分公司单独施工，恰好如期完工．这项工程的规定日期是几个月？ 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）一项工程若由甲队单独去做，刚好能如期完成；若由乙队单独做，要比规定时间多用5天才完成；若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独去做，也正好如期完成．设这项工程预期x天完成，那么下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23八年级·黑龙江绥化·期末）一项工程，若甲、乙两人合作需要m小时完成，甲单独做需要n小时完成，那么乙单独做需要 小时完成． 【变式5-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）近段时间，我市积极应对台风“摩羯”和郁江2024年第1号洪水，确保了2001年以来最高洪峰在我市安全过境．9月14日，邕江南宁水文站水位已下降至紧急水位以下且持续回落，下午市政部门开始着手河道清淤治理工作，现有甲、乙两工程队，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要几天？ (2)经过预算，甲工程队每天的费用是3000元，乙工程队每天的施工费用为2000元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？ 题型06行程问题 【典例分析】 【例6-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速行驶，提速后比提速前多行驶，设提速后列车的平均速度为，下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【例6-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）青少年是全民国防教育的重中之重，要从培养担当民族复兴大任时代新人的高度，教育引导青少年树立国防观念．某校为了提升青少年国防素养，组织共青团员乘大巴车前往距离学校的中国人民革命军事博物馆进行参观学习，出发后前一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前了到达博物馆，则前一小时大巴车的行驶速度为 ． 【例6-3】（21-22八年级上·云南昆明·期末）2020年3月，象群共计16头从西双版纳州进入普洱市，一路“象”北．当地政府组成大象护卫队，全程跟踪象群迁移轨迹，全景式记录大象“出走”经过．护卫队分成甲、乙两组，甲组行程120km和乙组行程80km所用时间相等，已知甲组的速度比乙组速度每小时快3km，求甲、乙两组的速度． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶，设大巴车的速度为，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（22-23八年级上·山东烟台·期中）甲、乙两个火车站相距720 km，火车提速后，行驶速度是原来速度的1.2倍，从甲站到乙站的时间缩短1.2 h，则火车原来的速度为 ． 【变式6-3】（24-25八年级上·河北邢台·期中）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地． (1)求前 1 小时这辆汽车行驶的速度； (2)汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？ 题型07销售问题 【典例分析】 【例7-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）某商店销售一种小电器，元月的营业额为元为了扩大销量，在月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了件，营业额比元月增加了元，设元月每件小电器的售价为元，则可列方程为 A． B． C． D． 【例7-2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 【例7-3】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）外出时佩戴口罩可以有效防控流感病毒，某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包的进价多元，请解答下列问题： (1)求购进的第一批医用口罩有多少包？ (2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？ 【变式演练】 【变式7-1】（23-24八年级上·河南商丘·期末）某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品首批柑橘成熟后，某电商用元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 【变式7-3】（24-25八年级上·全国·期中）某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． (1)求甲、乙两种香椿每件的进价； (2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 题型08其他问题 【典例分析】 【例8-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（23-24八年级上·河南濮阳·期末）我国是能源消耗大国，为了推动绿色发展，实现“双碳”目标，我国现大力发展新能源．光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将光能直接转变为电能的一种技术．我国的光伏发电量世界第一． 现有一光伏发电厂平均每公顷土地发电量比原来增加100千瓦，原来发电1100千瓦的一块土地，现在总发电量增加了20千瓦，问原来和现在发电场每公顷土地的发电量各是多少千瓦？ 【例8-3】（23-24八年级上·重庆南川·期末）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务． (1)若甲、乙两厂共生产块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？ (2)若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多，甲、乙两厂各生产块光伏板时，乙厂比甲厂多用3天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？ 【变式演练】 【变式8-1】（23-24八年级·全国·单元测试）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，全国上下各行各业把环境保护都放在首位．某工程队现在正铺设一条全长为2000m的排污管道，为了减少白天对交通的影响…设实际每天铺设管道xm，列方程为，根据方程可知省略的部分是（   ） A．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成这一任务 B．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果推迟20天完成这一任务 C．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果提前20天完成这一任务 D．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果推迟20天完成这一任务 【变式8-2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）“走！去永州，品道州脐橙．”现在正是采摘脐橙的季节，某种植大户安排甲、乙两组民工负责脐橙采摘装箱，已知甲组比乙组每小时少箱，甲组采摘箱与乙组采摘箱所用的时间相等，分别求甲、乙两组每小时采摘脐橙的箱数． 【变式8-3】（24-25八年级上·全国·单元测试）某自动化车间计划生产个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时分钟恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了分钟，求软件升级后每分钟生产多少个零件？ 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2024八年级上·全国·专题练习）关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 3．（22-23八年级上·重庆大足·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地．求前一小时的行驶速度．若设前一小时的行驶速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·全国·期末）若关于x的方程无解，则m的值 ． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）分式方程有增根，则的值为 ． 7．（21-22八年级上·山东威海·期中）某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期成：如果乙工程队单独做，则超过规定日期3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，求规定日期．如果设规定日期为x天，根据题意列方程得 ． 三、解答题 8．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）（1）解方程：； （2）若关于x的方程有增根，试求k的值． 9．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 10．（24-25八年级上·北京顺义·阶段练习）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍． (1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元？ (2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$