精品解析：河南省唐河县中等职业学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

2023年秋期高中二年级12月月考考试 数学试题 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效.时间：150分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 下列说法错误的是（    ） A. 向量与向量长度相等 B. 单位向量都相等 C. 的长度为，且方向是任意的 D. 任一非零向量都可以平行移动 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. “直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必 6. 下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相互平行的直线 7. 正方体中，与对角线AC成异面直线的棱有（ ） A. 3条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 8. 直线平面，直线，则l与m不可能（ ） A 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 9. 如图，在三棱锥中，，，分别是中点．若，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 平面平面，直线，直线，那么直线与直线的位置关系一定是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 垂直 D. 不相交 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 设四边形中且，则这个四边形是__________. 12. 已知平面直角坐标系内的点，，，则______. 13. 已知双曲线 ，则该双曲线的实轴长为_______________ 14. 若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为______. 15. 三棱锥的棱中，异面直线有_________对． 16. 在长方体中，异面直线与所成角的大小等于______. 17 如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则________. 18. 在60°的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10cm，则该点到二面角的棱的距离是______． 三、计算题（每小题8分，共24分） 19. 已知，. （1）当为何值时，与共线? （2）当为何值时，与垂直？ 20. 求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程. 21. 如图，平面，，，，，直线与交于点，且，，，求的长． 四、证明题（每小题6分，共12分） 22. 已知向量和不共线，如果，，.求证：A，B，D三点共线. 23. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面．求证：平面． 五、综合题（10分） 24. 如图，在三棱锥中，底面ABC，，，分别是AB，PB的中点. （1）求证：平面PAC； （2）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年秋期高中二年级12月月考考试 数学试题 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效.时间：150分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 下列说法错误的是（    ） A. 向量与向量长度相等 B. 单位向量都相等 C. 的长度为，且方向是任意的 D. 任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反向量，单位向量，零向量等向量的概念逐项判断即可. 【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确； 单位向量长度都为，但方向不确定，不一定相等，故B选项错误； 根据零向量的概念易知的长度为，且方向是任意的，C选项正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：C. 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征，列不等式可求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故实数的取值范围为. 故选：C 4. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程求焦点. 【详解】根据题意可知抛物线的标准方程为，所以，焦点在轴上， 焦点坐标为，即. 故选：C. 5. “直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的（ ）条件 A 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的定义分析可得答案. 【详解】直线l与平面没有公共点，则直线l与平面平行，反之，也成立， 故“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”充要条件. 故选：C 6. 下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相互平行的直线 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中点线面的位置关系直接判断即可.. 【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误； 由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误； 两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误； 由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确． 故选:D． 7. 正方体中，与对角线AC成异面直线的棱有（ ） A. 3条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 【答案】C 【解析】 【分析】由异面直线的定义结合正方体的结构特征判断即可. 【详解】如图，正方体， 由异面直线的定义， 与对角线AC成异面直线的棱有：共条. 故选：C. 8. 直线平面，直线，则l与m不可能（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 【答案】B 【解析】 【分析】由线面平行的性质判断空间中直线与直线的关系即可. 【详解】因为直线平面α，直线， 则l与m可能平行、异面或垂直，故A、C、D选项错误； 若l与m相交，设，则， 又直线，则，即与平面有交点，与题设矛盾， 故l与m不可能相交，故B选项正确. 故选：B. 9. 如图，在三棱锥中，，，分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将异面直线转化为相交直线求解即可. 【详解】因为，，分别是的中点， 所以，， 所以异面直线与所成角即或其补角， 因为， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的大小为， 故选：B. 10. 平面平面，直线，直线，那么直线与直线的位置关系一定是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 垂直 D. 不相交 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面互相平行，且直线平行于平面，可得直线平面或直线平面，由此分两种情况加以讨论，利用线面平行的性质定理结合线面垂直的定义判断即可. 【详解】因为平面平面，直线， 所以直线平面，或直线平面， ①当直线平面时，经过直线作平面与平面相交， 设平面平面， 因为直线平面，直线平面，平面平面， 所以直线，因为直线，直线平面， 所以直线，可得直线； ② 当直线平面时，因为直线，直线平面，所以直线. 综上所述，直线与直线一定垂直 故选：C. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 设四边形中且，则这个四边形是__________. 【答案】等腰梯形 【解析】 【分析】根据等腰梯形的定义即可得解. 【详解】由知四边形ABCD是梯形， 又，即梯形的两腰相等， 所以，四边形是等腰梯形， 故答案为：等腰梯形． 12. 已知平面直角坐标系内的点，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示、向量坐标的运算结合向量模的计算可求. 【详解】由题可知，， 则，； 故答案为：. 13. 已知双曲线 ，则该双曲线的实轴长为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接求解即可. 【详解】由双曲线方程可知：， 所以该双曲线的实轴长为， 故答案为:. 14. 若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程求出易得答案. 【详解】因为抛物线的顶点是原点，准线为直线， 所以焦点坐标为， 所以抛物线的焦点在轴正半轴上，， 所以抛物线的方程为. 故答案为： 15. 三棱锥的棱中，异面直线有_________对． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三棱锥的结构特征及异面直线定义判断异面直线的对数. 【详解】如下图，异面直线有、、共3对. 故答案为：3 16. 在长方体中，异面直线与所成角的大小等于______. 【答案】## 【解析】 【分析】欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角即为异面直线所成角，再求出该角即可． 【详解】如图：在长方体中，， 所以异面直线与所成角的为， 由长方体的性质可知， 所以异面直线与所成角的大小等于 故答案为：. . 17. 如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意结合线面垂直的性质分析求解. 【详解】∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF//DE， 又∵，则四边形AFED为平行四边形， ∴. 故答案为：6. 18. 在60°的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10cm，则该点到二面角的棱的距离是______． 【答案】## 【解析】 【分析】画出空间图形，说明为二面角的平面角，且，再结合三角函数求解. 【详解】解：如图所示，两平面相交于，，，， ，，． 则为二面角的平面角，且， 所以所以. 即点到二面角的棱的距离为． 故答案为：． 三、计算题（每小题8分，共24分） 19. 已知，. （1）当为何值时，与共线? （2）当为何值时，与垂直？ 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据平面向量线性运算的坐标表示求出与的坐标，及共线向量的坐标表示即可得解. （）根据平面向量垂直的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为，， ，， 因为与共线，则，解得. 【小问2详解】 由（）可知，，， 因为 与垂直，， 解得. 20. 求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程. 【答案】 【解析】 【详解】椭圆 ∴ a2＝25，b2＝16，c2＝25－16＝9 且 椭圆焦点在y轴上 ∴ 双曲线的焦距是2×5＝10，实轴长为2×3＝6，虚轴长为8 即 a＝3，b＝4，c＝5 ∵ 焦点在y轴上 ∴ 双曲线方程为： 21. 如图，平面，，，，，直线与交于点，且，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】由平面与平面平行的性质定理可以确定，再由∽求解即可. 【详解】∵直线与交于点，∴设直线与确定一个平面，，，，， 又∵，，，，∴，， 又∵平面，∴由平面与平面平行的性质定理知，， ∴∽， ∴，即，解得. ∴的长为. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22. 已知向量和不共线，如果，，.求证：A，B，D三点共线. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用向量线性运算，结合数乘向量性质即可证明结论. 【详解】因为，，， 所以， 又向量和不共线， 所以=，即， 又因BD与AB有公共点B， 所以A，B，D三点共线. 23. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理求证. 【详解】在矩形中，． 又平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理得平面． 五、综合题（10分） 24. 如图，在三棱锥中，底面ABC，，，分别是AB，PB的中点. （1）求证：平面PAC； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定先证平面，即可证明. 【小问1详解】 因为，分别是AB，PB的中点， 所以是的中位线，所以， 又平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC. 【小问2详解】 因为底面ABC，底面ABC， 所以，又， 平面，， 所以平面，又平面， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$