第03讲：不等式性质、基本不等式期末高频考点题型讲与练【9大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

第03讲：不等式性质、基本不等式期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 考点01：不等式的性质应用 考点02：由基本不等式证明或比较不等式的大小 考点03：基本不等式求积的最大值 考点04：基本不等式求和的最小值 考点05：二次或者二次商式的最值问题 考点06：基本不等式“1”的妙用 考点07：条件等式求最值 考点08：基本不等式的恒成立求参数问题 考点09：基本不等式的实际问题的应用 【知识梳理】 知识点01：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点02：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点03：基本不等式≤ 1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点04：利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 【题型归纳】 题型一：不等式的性质应用 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合作差法与举反例的方法逐个判断即可. 【详解】对A，，因为，，故，即，故A错误； 对B，当时，故B错误； 对C，， 因为，故，故， 故，故C错误； 对D，，因为，故， 故，即，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一上·河南许昌·期末）关于实数，下列结论正确的有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】结合不等式的基本性质逐项判断即可得. 【详解】对A：当时，有，故A错误； 对B：如果，那么，故B正确； 对C：当时，有，故C错误； 对D：如果，则，故，即，故D错误. 故选：B. 3．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、C，利用作差法判断B、D. 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以， 所以，故B错误； 对于C：当，，，时满足，，但是，故C错误 对于D：因为， 所以，当时取等号，故D正确． 故选：D． 题型二：由基本不等式证明或比较不等式的大小 4．（22-23高一上·河南·期末）已知为正实数，以下不等式成立的有（    ） ①；②；③；④ A．②④ B．②③ C．②③④ D．①④ 【答案】C 【分析】对于①③做差因式分解与零比大小；对于②基本不等式验证；对于④数形结合验证. 【详解】，只有时①成立； （当且仅当时等号成立），②恒成立； ，当且仅当，时等号成立. 故在a，b均为正实数时恒成立，③恒成立； 令，则可以看成当时，函数的函数值恒大于 由函数图象可知④恒成立. 故选:C. 5．（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知，，，下列不等式正确的个数有（    ） ①，②，③，④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由于，得，根据基本不等式对选项一一判断即可． 【详解】因为，，， 所以，得，当且仅当时取等号，②对； 由，当且仅当时取等号，①对； 由得，所以，当且仅当时取等号，③对； 由，当且仅当时取等号，④对 故选：D 6．（22-23高一上·广东深圳·期末）若x，y满，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式的性质进行逐一判断即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为， 而，所以， 于是有，故选项AB都不正确； 由， 故选：C 题型三：基本不等式求积的最大值 7．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式中“和定积最大”的方法即可求解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 8．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由可得，故， 又，当且仅当，即时取等号， 故， 故函数的值域为， 故答案为： 9．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求积的最大值. 【详解】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为： 题型四：基本不等式求和的最小值 10．（23-24高一下·河北·期末）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为且，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以最小值为. 故答案为：． 11．（23-24高一上·湖北·期末）已知，则的最小值为 【答案】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 12．（23-24高一上·江西新余·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】化为，分别求出，，根据已知条件确定，确定原式满足基本不等式成立的条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以有，所以，即； 因为，即；又因为所以， 所以， 当且仅当时，解得，又因为，所以， 时等号成立，所以的最小值为； 故答案为： 题型五：二次或者二次商式的最值问题 13．（19-20高一下·河北唐山·期末）若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【分析】构造基本不等式即可得结果. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2. 故选：D. 【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题. 14．（20-21高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 15．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 题型六：基本不等式“1”的妙用 16．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 17．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】/． 【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：． 18．（23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由，借助基本不等式可先将的最小值求出，即可得的最大值. 【详解】， 由，故， 则 ， 当且仅当，即、时，等号成立， 则. 故答案为：. 题型七：条件等式求最值 19．（23-24高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由基本不等式得到，将代入，求出最小值. 【详解】因为，由基本不等式得， 即，解得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 20．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【详解】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故答案为：8 21．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将已知式子适当变形替换，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 题型八：基本不等式的恒成立求参数问题 22．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可. 【详解】因为且，所以 ，当且仅当时取等号． 因为不等式恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 23．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数a，b满足，， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以不等式恒成立，只需即可. 故答案为： 24．（19-20高一上·山东淄博·期末）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，只要即可，再根据基本不等式中的“”的妙用，求得，解不等式即可得解. 【详解】根据题意先求得最小值， 由， 得 ， 所以若要不等式恒成立， 只要，即， 解得，所以. 故答案为： 题型九：基本不等式的实际问题的应用 25．（23-24高一上·浙江丽水·期末）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）． (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)施肥量为时，单株年利润最大为390元 【分析】（1）由利润=单株产量售价成本，结合分段函数即可求解； （2）结合二次函数和基本不等式性质分别求出和时对应的，即可得解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 故； （2）当时，的对称轴为，最大值为， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 综上施肥量为时，单株年利润最大为390元. 26．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本） (1)求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式． (2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元 【分析】（1）依题意可得，再分、分别求出的解析式； （2）利用二次函数的性质和基本不等式分别求出每一段上的最大值，再取两者较大的即可． 【详解】（1）依题意， 当时，， 当时，， 故； （2）若，， 当时，， 若，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，又， 故年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元． 27．（23-24高一上·山东临沂·期末）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元． (1)设长为米，总造价为S元，求S关于的函数解析式； (2)若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元? 【答案】(1)； (2)2100. 【分析】（1）利用几何图形的特征计算图形面积即可； （2）利用（1）的结论结合基本不等式可知，解不等式即可. 【详解】（1）由题意可得，正方形的面积为，阴影部分面积为， 所以，且，则， 则 ； （2）由（1）可知， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 由于投入到该休闲场所的资金最多29500元， 所以 解得，当时，符合题意， 所以花坛造价最多投入每平方米2100元． 【强化精练】 一、单选题 28．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明正确选项，举反例排除错误选项即可. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误， 对于B，当时，无意义，故B错误， 对于C，若且，则，，故C正确， 对于D，令，则，，显然，故D错误， 故选：C 29．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，如， 则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项错误. C选项，若，则， 所以由两边乘以得，所以C选项正确. D选项，若，， 则，所以D选项错误. 故选：C 30．（22-23高一上·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得. 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 31．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 32．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出边长，利用相似得到定值，再利用基本不等式求解即可. 【详解】设矩形广场的长为，宽为，且，， 由三角形相似性质得，化简得， 而，当且仅当时取等，故， 故健身广场的最大面积为. 故选：C 33．（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】通过配凑，借助基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， ， 当且仅当，即，时，有最小值. 故选：C. 34．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【分析】举例说明，即可判断AC；根据基本不等式计算即可判断BD. 【详解】对A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意； 对B：， 当且仅当即时等号成立，但无解，故B不符合题意； 对C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意； 对D：，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D符合题意. 故选：D 35．（23-24高一上·全国·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可得. 【详解】由于，，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 36．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，，而，， 所以， 所以且， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即目标式最大值为. 故选：D 二、多选题 37．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】对于A,用作差法比较大小即可；对于B,举特殊情况即可判断；对于C,用作差法比较即可；对于D,用作差法比较即可. 【详解】对于,因为,所以, 即,，即故，故正确; 对于,若则,故错误; 对于,即,故正确; 对于,,故错误. 故选:. 38．（23-24高一上·云南德宏·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若 ，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质，差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，则，所以A选项错误. B选项，若，，则， 则，所以B选项正确. C选项，若，则， 所以，所以C选项正确. D选项，若，，如， 则，所以D选项错误. 故选：BC 39．（23-24高一下·湖南·期末）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得，利用1的代换可得，可判断A；，利用二次函数可求最小值判断B；作差法比较数的大小判断C；利用1的代换可得判断D. 【详解】因为且，所以，则， 所以，， 对于A项，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B项，， 当且仅当，即时等号成立，所以，故正确； 对于C项，，因为， 所以，所以，即，故C错误； 对于D项，， 当且仅当时等号成立，此时不符合题意，所以等号不成立，故D正确. 故选：ABD. 40．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若均为正数，且满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，逐项计算判断即可. 【详解】正数满足， 对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当，即取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 41．（23-24高一上·河南安阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．，则的最小值是2 B．，则的最小值是 C．，则的最小值是1 D．的最小值为9 【答案】BD 【分析】根据选项式子的特点，利用函数单调性或者基本不等式可得答案. 【详解】对于A，当时，，A不正确； 对于B，，令，则， 由对勾函数的单调性可知，当时，为增函数，所以的最小值是，B正确； 对于C，令，由得，， 由对勾函数的单调性可知，当时，为增函数，所以的最小值是，C不正确； 对于D，由可得，， 当且仅当，即时，取到等号，D正确. 故选：BD. 42．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知，且，在下列结论正确的是（    ） A．有最小值为4 B．有最小值为 C．有最大值为2 D．有最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式逐一判断即可. 【详解】A：因为正实数a，b满足， 所以， 当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确； B：因为正实数a，b满足， 所以，当且仅当时，取等号， 即有最大值，因此本选项不正确； C：因为正实数a，b满足， 所以， 当且仅当时取等号，因此本选项不正确； D：因为正实数a，b满足， 所以， 当且仅当时取等号，因此本选项正确， 故选：AD 三、填空题 43．（23-24高一下·云南·期末）若，则的最大值为 ． 【答案】/0.0625 【详解】因为所以，当且仅当时等号成立， 因，则，故有， 所以，即的最大值为. 故答案为:． 44．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 45．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 46．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 47．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值. 【详解】已知实数且， 则， ， 当或时等号成立，即的最大值为1； ，当，或时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值. 48．（23-24高一上·福建福州·期末）若正实数满足，则下列结论正确的有 . ①②③④ 【答案】②④ 【分析】举反例判断①③；利用基本不等式判断②；展开利用基本不等式判断④. 【详解】①当时，，错误； ②，当且仅当时等号成立，正确； ③当时，，错误； ④， 当且仅当，即时等号成立，正确. 故答案为：②④. 四、解答题 49．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）利用基本不等式，结合换元法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 则，当且仅当，即时，取到等号， 所以的最大值为； （2）因为，所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取到等号， 所以的最小值为. 50．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出，，再由作差法比较大小即可得出答案. （2）先求出两次投资在2027年产生的利润之和，再由基本不等式或判别式求出的最大值. 【详解】（1）表示2024年及2025年各投资2百万元， 由题意得， ， ， 所以. （2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元， 设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元， 2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 所以. 解法一： ，设， 则，两边平方得， 由得，所以， 当时取等号. 所以，. 所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 解法二： ， 当且仅当，即时取等号， 所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 51．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)9 (2)5 【分析】（1）利用基本不等式结合二次不等式求解即可； （2）利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】（1）当时，，即， 所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9； （2）当时，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5. 52．（23-24高一上·全国·期末）（1）已知，求的最小值； （2）若均为正实数，且满足，求的最小值. 【答案】（1）8；（2） 【分析】（1）先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值； （2）结合1的妙用，利用基本不等式求出最值. 【详解】（1） 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. （2） 因为均为正实数，， 所以，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 53．（23-24高一上·云南·期末）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 【答案】(1)，定义域为 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意货车每小时的运输的可变成本为元，固定成本为a元，求和后乘以时间即可； （2）由（1）的结论，利用基本不等式求最小值作答. 【详解】（1）由题意得可变成本为元，固定成本为a元， 所用时间为， 则，定义域为． （2）由（1）得，当且仅当，即时取等号， 易知函数在上单调递减，在上单调递增. 又， 所以当时，货车以km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小． 54．（23-24高一上·四川达州·阶段练习）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】(1)，从第 3 年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）确定，解不等式得到答案. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【详解】（1）， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：不等式性质、基本不等式期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 考点01：不等式的性质应用 考点02：由基本不等式证明或比较不等式的大小 考点03：基本不等式求积的最大值 考点04：基本不等式求和的最小值 考点05：二次或者二次商式的最值问题 考点06：基本不等式“1”的妙用 考点07：条件等式求最值 考点08：基本不等式的恒成立求参数问题 考点09：基本不等式的实际问题的应用 【知识梳理】 知识点01：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点02：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点03：基本不等式≤ 1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点04：利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 【题型归纳】 题型一：不等式的性质应用 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·河南许昌·期末）关于实数，下列结论正确的有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 题型二：由基本不等式证明或比较不等式的大小 4．（22-23高一上·河南·期末）已知为正实数，以下不等式成立的有（    ） ①；②；③；④ A．②④ B．②③ C．②③④ D．①④ 5．（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知，，，下列不等式正确的个数有（    ） ①，②，③，④. A．1 B．2 C．3 D．4 6．（22-23高一上·广东深圳·期末）若x，y满，则（    ） A． B． C． D． 题型三：基本不等式求积的最大值 7．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数的值域为 . 9．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 题型四：基本不等式求和的最小值 10．（23-24高一下·河北·期末）已知，且，则的最小值为 ． 11．（23-24高一上·湖北·期末）已知，则的最小值为 12．（23-24高一上·江西新余·期末）已知，则的最小值为 ． 题型五：二次或者二次商式的最值问题 13．（19-20高一下·河北唐山·期末）若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 14．（20-21高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·湖南益阳）已知，则函数的最小值是 ． 题型六：基本不等式“1”的妙用 16．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 17．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ． 18．（23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 题型七：条件等式求最值 19．（23-24高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足，则的最小值是 . 20．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 21．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 题型八：基本不等式的恒成立求参数问题 22．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 23．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 24．（19-20高一上·山东淄博·期末）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 题型九：基本不等式的实际问题的应用 25．（23-24高一上·浙江丽水·期末）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）． (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 26．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本） (1)求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式． (2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 27．（23-24高一上·山东临沂·期末）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元． (1)设长为米，总造价为S元，求S关于的函数解析式； (2)若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元? 【强化精练】 一、单选题 28．（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 29．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 30．（22-23高一上·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 31．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（    ）    A． B． C． D． 33．（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 34．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 35．（23-24高一上·全国·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 36．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 37．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 38．（23-24高一上·云南德宏·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若 ，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，，则 39．（23-24高一下·湖南·期末）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若均为正数，且满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 41．（23-24高一上·河南安阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．，则的最小值是2 B．，则的最小值是 C．，则的最小值是1 D．的最小值为9 42．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知，且，在下列结论正确的是（    ） A．有最小值为4 B．有最小值为 C．有最大值为2 D．有最小值为 三、填空题 43．（23-24高一下·云南·期末）若，则的最大值为 ． 44．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知，且，则的最小值为 . 45．（23-24高一上·广西百色·期末）若，则的最小值为 . 46．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 47．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 48．（23-24高一上·福建福州·期末）若正实数满足，则下列结论正确的有 . ①②③④ 四、解答题 49．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 50．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 51．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 52．（23-24高一上·全国·期末）（1）已知，求的最小值； （2）若均为正实数，且满足，求的最小值. 53．（23-24高一上·云南·期末）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 54．（23-24高一上·四川达州·阶段练习）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$