3.3&3.4由三视图描述几何体&简单几何体的表面展开图（12大题型提分练）（题型专练）数学浙教版九年级下册

（浙教版）九年级下册数学《第3章 三视图与表面展开图》 3.3 &3.4由三视图描述几何体&简单几何体的表面展开图 知识点一 由三视图描述几何体 由三视图描述几何体（或实物模型），一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体（或实物模型）的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸. 知识点二 直棱柱的表面展开图 ◆1. 几何体的表面展开图：将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图. ◆2. 直棱柱的表面展开图 直棱柱的表面展开图有以下特征： （1）两个底面的展开图全等； （2）侧面展开图均为矩形，且各个矩形有一条边相等. ◆3. 正方体的表面展开图 正方体是特殊的棱柱,它的六个面都是大小相同的正方形,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,可以得到11种不同的展开图，如下表. ★正方体展开图共11种： 【注意】不能作为正方体表面展开图的常见情况: 1.四个以上的正方形排成一排，或四个正方形排成一排且另两个在这一排的同侧，如 或 或 等; 2.出现“田”字形，如 等; 3.出现“凹”字形，如等. 知识点三 圆柱的表面展开图 ◆1. 圆柱的概念 如图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（ BC ）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体. AB , CD 旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆. AD 旋转所成的面就是圆柱的侧面， AD不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线. ◆2. 圆柱的表面展开图 如果沿圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展 开图.一般地，一个底面半径为 r ，母线长为 l 的圆柱的表面展开图如图所示. ◆3. 圆柱的侧面积和全面积 圆柱的侧面积 S侧=2πr l ；圆柱的全面积S全＝S侧＋S底＝2πrl＋πr2 圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2（其中 r 为底面半径， l为高）. 知识点四 圆锥的表面展开图 ◆1. 圆锥的概念 如图，圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（AC）旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体.直角边 BC旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边 AB 旋转所成的面就是圆锥的侧面.斜边 AB 不论转动到哪一个位置，都叫做圆锥的母线. ◆2. 圆锥的表面展开图 一般地，一个底面半径为 r ，母线长为 l 的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长 l ，弧长为底面圆周长 2πr 的扇形.圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，如图. 【注意】 （1）扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长； （2）扇形的面积等于圆锥的侧面积. ◆3. 圆锥的侧面积、全面积和侧面展开图扇形的圆心角度数 如图，圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，侧面展开图扇形的圆心角为 θ，则 圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl 圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2 圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数： θ=⋅360^ . 题型一 由三视图判断几何体 解题技巧提炼 (1)正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数. (2)左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数. (3)上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数. 1．（2023秋•南平期末）从不同方向看某物体得到如图所示的三个图形，那么该物体是（　　） A．长方体 B．圆柱 C．正方体 D．圆锥 2．（2023秋•同安区期末）如图，这是一个立体图形从三个不同方向看到的平面图形，则这个立体图形可能是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱 3．（2023秋•满城区期末）桌面上摆着一个由一些相同的小正方体搭成的立体图形，从它的正面看到的形状是，从它的左面看到的形状是，这个立体图形可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•老河口市校级一模）如图所示，一个几何体恰好能通过两个小孔，这个几何体可能是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 5．（2023•启东市二模）如图是从不同方向看某个立体图形所得到的平面图形，则这个立体图形是（　　） A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥 6．（2024•霍山县三模）从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（　　） A． B． C． D． 题型二 正方体的展开图 解题技巧提炼 正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种. 1．（2024•从江县校级二模）下列图形中不能作为正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•阳江期末）下列图形中不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•九龙坡区校级期末）下列选项中，不是正方体表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•朝阳区校级三模）有一个无盖的正方体盒子，下列选项中不可能是它的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•江阴市期末）下列平面图形不能够围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 题型三 其它几何体的展开图 解题技巧提炼 (1)棱柱的表面展开图中,上、下底面的边数均与侧面长方形的个数相等. (2)柱体的表面展开图中,两个底面不能在侧面展开图的同一侧. 1．（2024•沛县校级三模）下列图形中，是圆柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•中山市模拟）小红想设计制作一个圆柱形的礼品盒，下列展开图中设计正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•旺苍县三模）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•西安校级模拟）下列图形中是圆锥展开图的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•牙克石市一模）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•铁西区月考）下列图形中，不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 题型四 由展开图判断立体图形形状 解题技巧提炼 根据展开图判断立体图形形状的方法： (1) 展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正方体； (2) 展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥； (3) 展开图中有长方形(或正方形)和圆时，要考虑圆柱； (4) 展开图中有扇形时，要考虑圆锥. 1．（2024•朝阳区二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 2．（2024•玄武区二模）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 3．（2024•商丘模拟）如图是某几何体的展开图，则该几何体是一个（　　） A．圆锥 B．长方体 C．三棱柱 D．圆柱 4．（2024•松原模拟）下列图形中，能折叠成正方体的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•雁塔区校级模拟）下面图形中，经过折叠不能围成棱柱的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•西安校级四模）下面是几个几何体的展开图，其中能围成棱锥的是（　　） A．B． C．D． 题型五 正方体展开图中的相对面的字 解题技巧提炼 方法一：利用空间想象，先确定一个面的位置，再确定其他面的位置. 方法二：利用正方体的表面展开图中的规律确定相对面，即“隔一相对”（上下隔一行或左右隔一列） 1．（2023秋•石城县期末）如图是正方体展开图，每个面均有一个字，把它折成正方体后，“通”字对面的字是（　　） A．天 B．寨 C．欢 D．迎 2．（2023秋•雅安期末）一个正方体的每个面都写有一个汉字，其表面展开图如图所示，则在该正方体中，和“识”相对的面上写的汉字是（　　） A．就 B．是 C．力 D．量 3．（2023秋•东平县期末）如图是一个正方体的展开图，正方体中相对面上的数字或代数式互为相反数，则2x+y的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．1 4．（2024•河北三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（　　） A．点数1的对面是B面 B．点数2的对面是A面 C．A，C两个面的点数和为9 D．B，C两个面的点数和为6 5．（2024•李沧区三模）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最大是 　 　． 6．（2024•民勤县三模）如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则x﹣2y＝　 ． 7．（2023秋•高港区期末）有一个正六面体骰（tóu）子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2024次后，骰子朝下一面的点数是 　 　． 题型六 几何体的表面积 解题技巧提炼 几何体的表面积，解题的关键从几何体哪几个面来计算出表面积. 1．（2023秋•管城区月考）已知一个直棱柱共有12条棱，它的底面边长都是3cm，侧棱长都是6cm，则它的侧面积是（　　）cm2． A．108 B．96 C．72 D．18 2．（2023秋•南海区校级月考）一个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是5cm，侧棱长是4cm，该六棱柱的侧面积之和是（　　）cm2 A．120 B．20 C．100 D．150 3．（2023秋•曲沃县期末）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分125cm3和27cm3，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（　　）cm2． A．161 B．186 C．195 D．204 4．（2024•莒县二模）如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为1米的正方体砖砌成，现要把露出的表面漆成绿色，漆匠师傅报价是每平方米需成本及人工费共8元，油漆完工后，应付给漆匠师傅（　　） A．152元 B．168元 C．264元 D．272元 5．（2024秋•海淀区校级期中）一个长方体的包装箱，长为3a米，宽为2b米，高为（a+b）米． （1）该包装箱的体积为 　 　立方米． （2）若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 6．（2023秋•禅城区校级月考）将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色． （1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n等分呢？（请填写下表）： 棱等分数 4等分 n等分 3面涂色的正方体 个 　 个 2面涂色的正方体 　个 个 1面涂色的正方体 　 个 　 个 各个面都无涂色的正方体 　 　个 　 个 （2）将棱7等分时，只有1个面涂色的小正方体的个数是 　 　，各个面都无涂色的正方体的个数是 　 　． 题型七 圆柱的计算 解题技巧提炼 圆柱的侧面积 S侧=2πr l ；圆柱的全面积S全＝S侧＋S底＝2πrl＋πr2 圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2（其中 r 为底面半径， l为高）. 1．（2024•诸城市校级开学）一个圆柱的侧面展开图是个正方形，这样圆柱的高和底面直径的比是（　　） A．2π：1 B．1：1 C．π：1 D．1：π 2．（2024春•崂山区校级月考）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的高和（　　）相等． A．底面直径 B．底面周长 C．底面积 3．（2023春•肇源县期中）一个圆柱，底面直径和高都是2分米，这个圆柱的侧面积是（　　）平方分米． A．6π B．5π C．4π D．2π 4．（2024•衡阳开学）如图，将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（　　） A．2rh B．4rh C．2πr2 D．4πr2 5．（2023秋•龙潭区期末）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（　　） A．64πm2 B．72πm2 C．68πm2 D．80πm2 6．（2024秋•碑林区校级月考）如图，该几何体下端是一个长方体，上端是一个圆柱体，圆柱的底面半径为1cm，求该几何体的表面积．（结果保留π） 题型八 求圆锥的侧面积和全面积 解题技巧提炼 直接代入圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 有时还利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解. 1．（2023•香洲区二模）圆锥的底面半径为3，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为（　　） A．25π B．20π C．15π D．12π 2．（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（　　） A． B． C．2π D． 3．（2023•新吴区二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（　　） A．12π B．15π C．20π D．24π 4．（2023•夏津县二模）如图，一块含30°角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（　　） A．48πcm2 B．72πcm2 C．80πcm2 D．96πcm2 5．（2023•香洲区校级三模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（　　） A．27cm2 B．54cm2 C．27πcm2 D．54πcm2 6．一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求： （1）圆锥母线长与底面半径的比； （2）圆锥的全面积． 7．如图，已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形．求： （1）圆锥的底面半径； （2）圆锥的全面积． 题型九 求圆锥的高或底面圆的半径 解题技巧提炼 1、根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得半径，列出方程求解即可． 2、圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形， 1．（2023•娄星区一模）已知圆锥的母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面半径长为（　　） A．4πcm B．5πcm C．12cm D．15cm 2．已知扇形AOB的半径为3cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为（　　） A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm 3．（2023秋•秦皇岛期末）如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•红塔区模拟）将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为13cm，圆锥的侧面积为65πcm2，则该圆锥的高为（　　） A．5cm B．12cm C．13cm D． 5．（2023•上杭县模拟）圆锥的侧面展开图是一个圆心角120°，半径6cm的扇形，则该圆锥的高是（　　） A．1cm B．2cm C．cm D．cm 6．（2022•西双版纳模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画弧，则由图中阴影部分的扇形围成的圆锥的高为（　　） A． B． C． D．4 7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点O、A、B都是格点，若图中扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径． 8．（1）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为90°，半径为6cm的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，求圆锥的高． 题型十 求圆锥的母线长或侧面展开图的圆心角 解题技巧提炼 1、圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥的相关知识是解题的关键． 2、扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长，通过列方程来解答本题的关键． 1．圆锥的底面半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 2．（2023秋•河西区校级期末）已知一个圆锥的底面半径是5cm，侧面积是85πcm2，则圆锥的母线长是（　　） A．6.5cm B．13cm C．17cm D．26cm 3．若一个圆锥的底面半径为3cm，高为6cm，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（　　） A．150° B．120° C．100° D．80° 4．（2023秋•枣阳市期末）某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 5．（2023•温州模拟）已知圆锥的底面半径为2cm，表面积为14πcm2，则该圆锥的母线长 为 　 　cm． 6．（2023•盱眙县模拟）若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 　 　． 7．（2024•番禺区校级一模）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形． 步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系：　 　． 题型十一 圆锥计算与实际应用问题 解题技巧提炼 把实际问题转化成数学问题来解决，明确求的是圆锥的哪个量，在套用公式即可. 1．（2023•海州区二模）如图，一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC长为12分米，伞骨AB长为10分米，那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料为 　 平方分米． 2．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．    3．（2023•洪雅县模拟）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（　　） A．米2 B．40π米2 C．米2 D．55π米2 5．（2023秋•公安县月考）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． （1）求这个圆锥的母线长； （2）为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小． （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π） 题型十二 圆锥与最短距离 解题技巧提炼 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 1．如图，已知圆锥的底面半径为r＝20cm，h＝20cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）cm． A．40 B．40π C．160 D．80 2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D．3 3．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA′＝120°，OA，则蚂蚁爬行的最短距离是 　 　． 4．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为 ． 5．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm． （1）求圆锥形纸杯的侧面积． （2）若在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级下册数学《第3章 三视图与表面展开图》 3.3 &3.4由三视图描述几何体&简单几何体的表面展开图 知识点一 由三视图描述几何体 由三视图描述几何体（或实物模型），一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体（或实物模型）的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸. 知识点二 直棱柱的表面展开图 ◆1. 几何体的表面展开图：将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图. ◆2. 直棱柱的表面展开图 直棱柱的表面展开图有以下特征： （1）两个底面的展开图全等； （2）侧面展开图均为矩形，且各个矩形有一条边相等. ◆3. 正方体的表面展开图 正方体是特殊的棱柱,它的六个面都是大小相同的正方形,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,可以得到11种不同的展开图，如下表. ★正方体展开图共11种： 【注意】不能作为正方体表面展开图的常见情况: 1.四个以上的正方形排成一排，或四个正方形排成一排且另两个在这一排的同侧，如 或 或 等; 2.出现“田”字形，如 等; 3.出现“凹”字形，如等. 知识点三 圆柱的表面展开图 ◆1. 圆柱的概念 如图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（ BC ）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体. AB , CD 旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆. AD 旋转所成的面就是圆柱的侧面， AD不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线. ◆2. 圆柱的表面展开图 如果沿圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展 开图.一般地，一个底面半径为 r ，母线长为 l 的圆柱的表面展开图如图所示. ◆3. 圆柱的侧面积和全面积 圆柱的侧面积 S侧=2πr l ；圆柱的全面积S全＝S侧＋S底＝2πrl＋πr2 圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2（其中 r 为底面半径， l为高）. 知识点四 圆锥的表面展开图 ◆1. 圆锥的概念 如图，圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（AC）旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体.直角边 BC旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边 AB 旋转所成的面就是圆锥的侧面.斜边 AB 不论转动到哪一个位置，都叫做圆锥的母线. ◆2. 圆锥的表面展开图 一般地，一个底面半径为 r ，母线长为 l 的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长 l ，弧长为底面圆周长 2πr 的扇形.圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，如图. 【注意】 （1）扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长； （2）扇形的面积等于圆锥的侧面积. ◆3. 圆锥的侧面积、全面积和侧面展开图扇形的圆心角度数 如图，圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，侧面展开图扇形的圆心角为 θ，则 圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl 圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2 圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数： θ=⋅360^ . 题型一 由三视图判断几何体 解题技巧提炼 (1)正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数. (2)左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数. (3)上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数. 1．（2023秋•南平期末）从不同方向看某物体得到如图所示的三个图形，那么该物体是（　　） A．长方体 B．圆柱 C．正方体 D．圆锥 【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱． 【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个圆， ∴此几何体为圆柱， 故选：B． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状． 2．（2023秋•同安区期末）如图，这是一个立体图形从三个不同方向看到的平面图形，则这个立体图形可能是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥． 故选：A． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体，俯视图为圆就是圆锥． 3．（2023秋•满城区期末）桌面上摆着一个由一些相同的小正方体搭成的立体图形，从它的正面看到的形状是，从它的左面看到的形状是，这个立体图形可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据观察物体的方法，从正面看，是四个正方形，下行三个，上行一个位于左面，排除A和D；从左面看是三个正方形，下行三个，上行一个位于右面，由此判断． 【解答】解：从左面看到的是三个正方形，右边一列二个正方形，左边一个正方形与右边一列下边的一个成一行；由此可得这个立体图形可能是． 故选：C． 【点评】此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 4．（2023•老河口市校级一模）如图所示，一个几何体恰好能通过两个小孔，这个几何体可能是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【分析】根据主视图、俯视图即可判断出这个几何体的形状． 【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆锥． 故选：A． 【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力和学生对三视图掌握程度和灵活运用能力． 5．（2023•启东市二模）如图是从不同方向看某个立体图形所得到的平面图形，则这个立体图形是（　　） A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【解答】解：由主视图和左视图为长方形判断出是柱体，由俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：A． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为三角形就是三棱柱． 6．（2024•霍山县三模）从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱． 【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个三角形， ∴此几何体为三棱柱． 故选：C． 【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状． 题型二 正方体的展开图 解题技巧提炼 正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种. 1．（2024•从江县校级二模）下列图形中不能作为正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可． 【解答】解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种， 因此选项A符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的11种不同情况，是正确判断的前提． 2．（2023秋•阳江期末）下列图形中不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方体的展开图作出判断即可． 【解答】解：由题意知，不能拼成正方体， 故选：D． 【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键． 3．（2023秋•九龙坡区校级期末）下列选项中，不是正方体表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方体的展开图作出判断即可． 【解答】解：由图知，不是正方体的展开图， 故选：D． 【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键． 4．（2024•朝阳区校级三模）有一个无盖的正方体盒子，下列选项中不可能是它的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方体展开图的11种形式对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：选项A、B、C均可以做成一个无盖的正方体盒子，选项D不能，因为有两个面会重合． 故选：D． 【点评】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况，）判断也可． 5．（2023秋•江阴市期末）下列平面图形不能够围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据常见的正方体展开图的11种形式以及不能围成正方体的展开图解答即可． 【解答】解：根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”， 只有B选项不能围成正方体． 故选：B． 【点评】本题考查了正方体展开图，熟记展开图常见的11种形式与不能围成正方体的常见形式“一线不过四，田凹应弃之”是解题的关键． 题型三 其它几何体的展开图 解题技巧提炼 (1)棱柱的表面展开图中,上、下底面的边数均与侧面长方形的个数相等. (2)柱体的表面展开图中,两个底面不能在侧面展开图的同一侧. 1．（2024•沛县校级三模）下列图形中，是圆柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆柱展开图的特点进行判断即可． 【解答】解：圆柱的展开图由两个底面圆和一个侧面矩形组成，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了几何体展开图，解题的关键是掌握圆柱的展开图． 2．（2024•中山市模拟）小红想设计制作一个圆柱形的礼品盒，下列展开图中设计正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据选项的图形折合，看看是否能折成圆柱形即可． 【解答】解：选项A折出圆锥体、B折出无盖圆柱体，C能折出圆柱体，D能折出长方体． 故选：C． 【点评】本题考查了几何体的展开图的应用，主要考查学生的空间想象能力和观察能力． 3．（2024•旺苍县三模）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】解：A、6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；故本选项错误； B、6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；故本选项错误； C、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图；故本选项错误． D、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查几何体展开图的知识点，熟记常见立体图形的平面展开图是解决此类问题的关键． 4．（2024•西安校级模拟）下列图形中是圆锥展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由圆锥的展开图特点：侧面是扇形，底面是个圆． 【解答】解：A．圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故本选项符合题意； B．该图形是三棱柱的展开图，故本选项不符合题意； C．该图形是圆柱的展开图，故本选项不符合题意； D．该图形是正方体的展开图，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了几何体的展开图，熟悉圆锥的展开图特点，是解答此题的关键． 5．（2024•牙克石市一模）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据几何体的表面展开图可以判断这个几何体是三棱柱． 【解答】解：根据几何体的展开图可知： 这个几何体是：． 故选：C． 【点评】本题考查了几何体的展开图，多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． 6．（2023秋•铁西区月考）下列图形中，不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题． 【解答】解：A、B、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图； D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故D不能围成三棱柱． 故选：D． 【点评】本题考查了几何体的展开图，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧． 题型四 由展开图判断立体图形形状 解题技巧提炼 根据展开图判断立体图形形状的方法： (1) 展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正方体； (2) 展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥； (3) 展开图中有长方形(或正方形)和圆时，要考虑圆柱； (4) 展开图中有扇形时，要考虑圆锥. 1．（2024•朝阳区二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 【分析】侧面为长方形，底面为2个圆形，故原几何体为圆柱． 【解答】解：观察图形可知，该几何体是圆柱． 故选：A． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记圆柱的展开图的形状是解题的关键． 2．（2024•玄武区二模）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 【分析】根据五棱锥的侧面展开图得出答案． 【解答】解：由几何体的表面展开图由五个三角形和一个五边形组成，可知该几何体是五棱锥． 故选：A． 【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键． 3．（2024•商丘模拟）如图是某几何体的展开图，则该几何体是一个（　　） A．圆锥 B．长方体 C．三棱柱 D．圆柱 【分析】根据三棱柱的展开图即可得出答案． 【解答】解：三棱柱的展开图的侧面是三个长方形，上下面是都是全等的三角形， 故选：C． 【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握三棱柱的展开图是解题的关键． 4．（2024•松原模拟）下列图形中，能折叠成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【解答】解：A．折叠后有一行两个面无法折起来，缺少一个面，故本选项不合题意； B．折叠后是三棱柱，故本选项不合题意； C．折叠后能折叠成正方体，故本选项符合题意； D．折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺少一个面有两个面重合，不能折成正方体，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体的知识，需记住正方体的展开图形式：一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种． 5．（2024•雁塔区校级模拟）下面图形中，经过折叠不能围成棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据棱柱的特点作答． 【解答】解：A．能围成正方体，故本选项不符合题意； B．能围成四棱柱，故本选项不符合题意； C．能围成三棱柱，故本选项不符合题意； D．经过折叠不能围成棱柱，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键． 6．（2024•西安校级四模）下面是几个几何体的展开图，其中能围成棱锥的是（　　） A．B． C．D． 【分析】根据各选项得出几何体，选出正确答案． 【解答】解：选项A，折叠后得到圆锥，不合题意． 选项B，折叠后得到三棱柱，不合题意． 选项C，折叠后得到正方体，不合题意． 选项D，折叠后得到四棱锥，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，关键是熟悉几何体的平面展开图． 题型五 正方体展开图中的相对面的字 解题技巧提炼 方法一：利用空间想象，先确定一个面的位置，再确定其他面的位置. 方法二：利用正方体的表面展开图中的规律确定相对面，即“隔一相对”（上下隔一行或左右隔一列） 1．（2023秋•石城县期末）如图是正方体展开图，每个面均有一个字，把它折成正方体后，“通”字对面的字是（　　） A．天 B．寨 C．欢 D．迎 【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 【解答】解：根据题意，得“通”字一面相对的面上的字为“寨”， 故选：B． 【点评】本题考查了正方体展开图中的相对字问题，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 2．（2023秋•雅安期末）一个正方体的每个面都写有一个汉字，其表面展开图如图所示，则在该正方体中，和“识”相对的面上写的汉字是（　　） A．就 B．是 C．力 D．量 【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可． 【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“就”与“力”是相对面，“知”与“量”是相对面，“是”与“识”是相对面， 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 3．（2023秋•东平县期末）如图是一个正方体的展开图，正方体中相对面上的数字或代数式互为相反数，则2x+y的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．1 【分析】根据正方体的表面展开图，找出相对面，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由图可知：﹣2与2相对，2x﹣3与5相对，x与y相对， ∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ∴2x﹣3＝﹣5，y＝﹣x， ∴x＝﹣1，y＝1， ∴2x+y＝2×（﹣1）+1＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形相对两个面上的文字，相反数，求代数式的值，熟练掌握根据正方体的表面展开图找出相对面是解题的关键． 4．（2024•河北三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（　　） A．点数1的对面是B面 B．点数2的对面是A面 C．A，C两个面的点数和为9 D．B，C两个面的点数和为6 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，“Z”字两端是对面，即可解答． 【解答】解：由题意得：点数1和A是相对面，点数2和B是相对面，点数4和C是相对面， ∵相对两面的点数之和为7， ∴A的点数是6，B的点数是5，C的点数是3， ∴A，C两个面的点数和为9，B，C两个面的点数和为8， 故选：C． 【点评】本题考查了了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 5．（2024•李沧区三模）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最大是 　 　． 【分析】分别求出最右边的正方体、最上边的正方体、左下角的正方体所能看到的数字之和最大的情况即可． 【解答】解：要使几何体能看得到的面上数字之和最大， 最右边的那个正方体所能看到的4个数字为3，4，5，6，和为18； 最上边的那个正方体所能看到的6个数字为2，3，4，5，6，和为20； 左下角的那个正方体所能看到的3个数字为4，5，6，和为15； 所以这个几何体能看得到的面上数字之和最大为：18+20+15＝53， 故答案为：53． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是解题的关键． 6．（2024•民勤县三模）如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则x﹣2y＝　 ． 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之和为0，也就是互为相反数，求出x、y的值，从而得到x﹣2y的值． 【解答】解：将题图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，可知标有数字“2”的面和标有x的面是相对面，标有数字“4”的面和标有y的面是相对面， ∵相对面上两个数之和为0， ∴x＝﹣2，y＝﹣4， ∴x﹣2y＝﹣2﹣2×（﹣4）＝﹣2+8＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了正方体的展开图形，注意从相对面入手，分析解答问题． 7．（2023秋•高港区期末）有一个正六面体骰（tóu）子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2024次后，骰子朝下一面的点数是 　 　． 【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案． 【解答】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环， ∵2024÷4＝506， ∴滚动第2024次后与第一次相同， ∴朝下的数字是4的对面3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律． 题型六 几何体的表面积 解题技巧提炼 几何体的表面积，解题的关键从几何体哪几个面来计算出表面积. 1．（2023秋•管城区月考）已知一个直棱柱共有12条棱，它的底面边长都是3cm，侧棱长都是6cm，则它的侧面积是（　　）cm2． A．108 B．96 C．72 D．18 【分析】根据棱柱的形体特征判断这个直棱柱是直四棱柱，再根据棱柱侧面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵这个直棱柱共有12条棱， ∴这个直棱柱是4棱柱， ∵它的底面边长都是3cm，侧棱长都是6cm， ∴这个四棱柱的底面边长为3cm，高为6cm， ∴它的侧面积是3×4×6＝72（cm2）， 故选：C． 【点评】本题考查认识立体图形，几何体的表面积，掌握棱柱的形体特征以及四棱柱侧面积的计算方法是正确解答的关键． 2．（2023秋•南海区校级月考）一个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是5cm，侧棱长是4cm，该六棱柱的侧面积之和是（　　）cm2 A．120 B．20 C．100 D．150 【分析】六棱柱有六个侧面，求出一个侧面的面积再乘以6即可． 【解答】解：5×4×6＝120（cm2）， ∴六棱柱的侧面积之和是120cm2． 故选：A． 【点评】本题考查了几何体的表面积，熟练掌握立体图形的特点是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 3．（2023秋•曲沃县期末）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分125cm3和27cm3，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（　　）cm2． A．161 B．186 C．195 D．204 【分析】先求出大正方体和小正方体的棱长，再求出零件的表面积即可求解． 【解答】解：∵大正方体的体积为125cm3，小正方体的体积为27cm3， ∴大正方体的棱长为5cm，小正方体的棱长为3cm， ∴大正方体的每个表面的面积为25cm2，小正方体的每个表面的面积为9cm2， ∴这个零件的表面积为：25×6+9×4＝186（cm2）， 答：要给这个零件的表面刷上油漆，则所需刷油漆的面积为186cm2． 故选：B． 【点评】本题考查了几何体的表面积，解题的关键是根据正方体的体积正确确定正方体的棱长． 4．（2024•莒县二模）如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为1米的正方体砖砌成，现要把露出的表面漆成绿色，漆匠师傅报价是每平方米需成本及人工费共8元，油漆完工后，应付给漆匠师傅（　　） A．152元 B．168元 C．264元 D．272元 【分析】先分别求出每一层的表面积，相加求出总的表面积，再乘以单价即可求解． 【解答】解：由图可得，最上层侧面积为4平方米，上表面面积为1平方米，总面积为4+1＝5（平方米）； 中间一层侧面积为2×4＝8（平方米），上表面面积为4﹣1＝3（平方米），总面积为8+3＝11（平方米）； 最下层侧面积为3×4＝12（平方米），上表面面积为9﹣4＝5（平方米），总面积为12+5＝17（平方米）； ∴需要涂上颜色部分的面积为5+11+17＝33（平方米）； 油漆完工后，应付给漆匠师傅33×8＝264（元）， 故选：C． 【点评】本题考查的是组合几何体的表面积和认识立体图形，正确求出几何体的表面积是解题的关键 5．（2024秋•海淀区校级期中）一个长方体的包装箱，长为3a米，宽为2b米，高为（a+b）米． （1）该包装箱的体积为 　 　立方米． （2）若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据长方体的表面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵长方体的长为3a米，宽为2b米，高为（a+b）米， ∴该长方体的体积为3a•2b•（a+b）＝（6a2b+6ab2）立方米， 故答案为：（6a2b+6ab2）； （2）长方体的表面积为：2×3a•2b+2×2b•（a+b）+2×3a•（a+b） ＝12ab+4ab+4b2+6a2+6ab ＝（6a2+22ab+4b2）平方米， 答：共需喷上（6a2+22ab+4b2）平方米的油漆． 【点评】本题考查了几何体的表面积，关键是掌握几何体的表面积公式． 6．（2023秋•禅城区校级月考）将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色． （1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n等分呢？（请填写下表）： 棱等分数 4等分 n等分 3面涂色的正方体 个 　 个 2面涂色的正方体 　个 个 1面涂色的正方体 　 个 　 个 各个面都无涂色的正方体 　 　个 　 个 （2）将棱7等分时，只有1个面涂色的小正方体的个数是 　 　，各个面都无涂色的正方体的个数是 　 　． 【分析】（1）根据长方体的分割规律可分别得到4等分时的所得小正方体表面涂色情况，由特殊推广到一般即可得到n等分时所得小正方体表面涂色情况； （2）直接把n＝7代入（1）中所得的规律中即可． 【解答】解：（1）三面涂色8，8； 二面涂色24，12（n﹣2）， 一面涂色24，6（n﹣2）2， 各面均不涂色8，（n﹣2）3； 故答案为：8，8；24，12（n﹣2）；24，6（n﹣2）2；8，（n﹣2）3； （2）当n＝7时， 只有1个面涂色的小正方体的个数是6（n﹣2）2＝6×（7﹣2）2＝150， 各个面都无涂色的正方体的个数是（n﹣2）3＝（7﹣2）3＝125， 故答案为：150，125． 【点评】主要考查了立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律． 题型七 圆柱的计算 解题技巧提炼 圆柱的侧面积 S侧=2πr l ；圆柱的全面积S全＝S侧＋S底＝2πrl＋πr2 圆锥的全面积公式：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2（其中 r 为底面半径， l为高）. 1．（2024•诸城市校级开学）一个圆柱的侧面展开图是个正方形，这样圆柱的高和底面直径的比是（　　） A．2π：1 B．1：1 C．π：1 D．1：π 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：C＝πd，据此解答即可． 【解答】解：设圆柱的底面直径为d，因为底面周长＝πd，所以圆柱的高也是πd， 所以这样圆柱的高和底面直径的比是πd：d＝π：1． 故选：C． 【点评】此题考查了圆柱的计算和几何体的展开图，关键是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用． 2．（2024春•崂山区校级月考）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的高和（　　）相等． A．底面直径 B．底面周长 C．底面积 【分析】根据圆锥的侧面展开图的两条邻边分别为底面圆的周长和圆周的高，进行判断即可． 【解答】解：圆锥的侧面展开图的两条邻边分别为底面圆的周长和圆周的高， 又因为正方形的四边相等， 所以那么圆柱的高和底面周长相等； 故选：B． 【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，关键是培养学生的空间想象力． 3．（2023春•肇源县期中）一个圆柱，底面直径和高都是2分米，这个圆柱的侧面积是（　　）平方分米． A．6π B．5π C．4π D．2π 【分析】直接利用圆柱体侧面积公式S＝πdh，求出即可． 【解答】解：∵一个圆柱的底面直径为2分米，高为2分米， ∴这个圆柱的侧面积是：πdh＝π×2×2＝4π（平方分米）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆柱体侧面积求法，正确根据圆柱体侧面积公式是解题关键． 4．（2024•衡阳开学）如图，将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（　　） A．2rh B．4rh C．2πr2 D．4πr2 【分析】根据表面积增加了两个边长为2r和h的矩形的面积即可得出答案． 【解答】解：将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加2r×h×2＝4rh． 故选：B． 【点评】本题考查了截一个几何体，圆柱的计算和几何体的表面积，掌握几何体的特点是关键． 5．（2023秋•龙潭区期末）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（　　） A．64πm2 B．72πm2 C．68πm2 D．80πm2 【分析】由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：2π，再加上前后两个半圆面积，进而得出塑料膜的面积． 【解答】解：∵半圆的直径为4m， ∴半径为2m， ∴塑料膜的面积＝2π×32+π×22＝68π（平方米）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆柱的有关计算，本题中半圆形截面的弧长就是塑料薄膜的一边，弄清了这点，计算薄膜的面积就容易多了． 6．（2024秋•碑林区校级月考）如图，该几何体下端是一个长方体，上端是一个圆柱体，圆柱的底面半径为1cm，求该几何体的表面积．（结果保留π） 【分析】几何体的表面积＝长方体的表面积﹣圆的面积+圆柱的表面积﹣圆的面积＝长方体的表面积+圆柱的侧面积，因此此题可根据长方体与圆柱的表面积公式进行求解即可． 【解答】解：（5×4+5×3+3×4）×2+2π×1×10 ＝47×2+20π ＝（94+20π）cm2； 答：该几何体的表面积是（94+20π）cm2． 【点评】本题主要考查圆柱的计算、认识立体图形、几何体的表面积熟练掌握各个几何体表面积计算公式是解题的关键． 题型八 求圆锥的侧面积和全面积 解题技巧提炼 直接代入圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 有时还利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解. 1．（2023•香洲区二模）圆锥的底面半径为3，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为（　　） A．25π B．20π C．15π D．12π 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：圆锥的侧面积＝πrl＝π×3×5＝15π， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 2．（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（　　） A． B． C．2π D． 【分析】首先可求得圆锥的底面半径及母线长，再根据圆锥的侧面积公式，即可求得． 【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形， ∴底面半径＝1，母线长，底面周长＝2π， ∴圆锥的侧面积， 故选：B． 【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是牢记有关公式． 3．（2023•新吴区二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（　　） A．12π B．15π C．20π D．24π 【分析】先根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，以直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，母线是5，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵32+42＝52， ∴这个三角形为直角三角形，两直角边为3，4，斜边为5， ∴以直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，母线是5， ∴2π×4×5＝20π． 故选：C． 【点评】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，勾股定理的逆定理和圆锥的计算，解题关键是熟练运用公式． 4．（2023•夏津县二模）如图，一块含30°角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（　　） A．48πcm2 B．72πcm2 C．80πcm2 D．96πcm2 【分析】根据直角三角板可求出斜边长，从而可求圆锥的母线，由直角边可求出底面圆的周长，从而可求解． 【解答】解：由题意得： 斜边为：12cm， ∴R＝12， ∴C＝2πr＝2π×6＝12π， ∴ ． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转体与原图形之间的关系，圆锥的侧面积公式，掌握二者之间的关系和公式是解题的关键． 5．（2023•香洲区校级三模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（　　） A．27cm2 B．54cm2 C．27πcm2 D．54πcm2 【分析】由于锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可计算出蛋筒圆锥部分包装纸的面积 【解答】解：根据题意，圆锥的侧面积2π×3×9＝27（cm2）， 即蛋筒圆锥部分包装纸的面积为27cm2． 故选：C． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 6．一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求： （1）圆锥母线长与底面半径的比； （2）圆锥的全面积． 【分析】（1）设圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr，然后计算出l与r的比值； （2）先根据勾股定理计算出底面圆的半径r，得到母线长，然后计算底面积与侧面积的和． 【解答】解：（1）设圆锥母线长为l，底面圆的半径为r， 根据题意得2πr， 所以l＝2r， 即圆锥母线长与底面半径的比为2：1； （2）因为r2+（3）2＝l2， 即r2+（3）2＝4r2，解得r＝3， 所以l＝6， 所以圆锥的全面积＝π•32•2π•3•6＝27π（cm2）． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 7．如图，已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形．求： （1）圆锥的底面半径； （2）圆锥的全面积． 【分析】（1）设该圆锥底面圆的半径为rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr，然后解方程即可． （2）计算圆锥的侧面积和底面面积，则可得出答案． 【解答】解：（1）设该圆锥底面圆的半径为rcm， 根据题意得2πr， 解得r＝3， 即该圆锥底面圆的半径为3cm． （2）∵该圆锥的侧面面积27π（cm2）， 圆锥的底面面积＝π•32＝9π（cm2）， ∴圆锥的全面积为27π+9π＝36π（cm2）． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形面积公式． 题型九 求圆锥的高或底面圆的半径 解题技巧提炼 1、根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得半径，列出方程求解即可． 2、圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形， 1．（2023•娄星区一模）已知圆锥的母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面半径长为（　　） A．4πcm B．5πcm C．12cm D．15cm 【分析】根据展开图的扇形弧长是圆锥底面圆的周长进行求解即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径长为rcm， ∵圆锥的母线长为20cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形， ∴， 解得：r＝12， ∴圆锥的底面半径长为12cm， 故选：C． 【点评】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，熟知展开图的扇形弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键． 2．已知扇形AOB的半径为3cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为（　　） A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm 【分析】首先利用扇形的弧长公式即可求得扇形，然后根据圆的周长公式即可求解． 【解答】解：扇形的弧长是2π（cm）， 设底面半径是rcm， 则2πr＝2π， 解得：r＝1． 故选：A． 【点评】本题考查圆锥的计算，理解圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长是关键． 3．（2023秋•秦皇岛期末）如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得． 【解答】解：∵⊙O的半径为2， ∴S⊙O＝π×22＝2π， 连接BC、AO， 根据题意知BC⊥AO，AO＝BO＝2， 在Rt△ABO中，AB2， 即扇形的对应半径R＝2， 弧长lπ， 设圆锥底面圆半径为r， 则有2πrπ， 解得：r． 故选：C． 【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 4．（2023•红塔区模拟）将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为13cm，圆锥的侧面积为65πcm2，则该圆锥的高为（　　） A．5cm B．12cm C．13cm D． 【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：设圆锥的底面半径为rcm， 由题意得：2πr×13＝65π， 解得：r＝5， 则圆锥的高为：12（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 5．（2023•上杭县模拟）圆锥的侧面展开图是一个圆心角120°，半径6cm的扇形，则该圆锥的高是（　　） A．1cm B．2cm C．cm D．cm 【分析】利用弧长公式计算得出圆锥的底面周长，继而求得底面圆半径，再利用勾股定理求得高即可． 【解答】解：∵一圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为6cm的扇形， ∴扇形弧长4π（cm）， ∴2πr＝4π， ∴r＝2（cm）， ∴圆锥的高4（cm）， 故选：C． 【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：扇形的弧长公式公式和勾股定理． 6．（2022•西双版纳模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画弧，则由图中阴影部分的扇形围成的圆锥的高为（　　） A． B． C． D．4 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可． 【解答】解：∵正六边形的外角和为360°， ∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°， ∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°． 设这个圆锥底面圆的半径是r， 根据题意得，2πr， 解得，r＝2． ∴圆锥的高为4， 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．此题难度不大． 7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点O、A、B都是格点，若图中扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径． 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，再设该圆锥底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到2πr，然后解方程即可． 【解答】解：∵OA5，OB5，AB5， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°， 设该圆锥底面圆的半径为r， 根据题意得2πr， 解得r， 即该圆锥底面圆的半径为． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8．（1）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为90°，半径为6cm的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，求圆锥的高． 【分析】（1）先利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥的表面积； （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以扇形面积公式计算即可得到圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得•2π•3•R＝15π，解得R＝5，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【解答】解：（1）圆锥的表面积＝π•22•2π•2•4＝12π（cm2）； （2）圆锥的侧面积9π（cm2）； （3）设圆锥的母线长为R， 根据题意得•2π•3•R＝15π，解得R＝5， 所以圆锥的高4． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 题型十 求圆锥的母线长或侧面展开图的圆心角 解题技巧提炼 1、圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥的相关知识是解题的关键． 2、扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长，通过列方程来解答本题的关键． 1．圆锥的底面半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【分析】根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：设圆锥的母线长为l， ∵圆锥的底面半径为4， ∴圆锥的底面周长为8π， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8π， 则8π， 解得：l＝12， ∴圆锥的母线长为12， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 2．（2023秋•河西区校级期末）已知一个圆锥的底面半径是5cm，侧面积是85πcm2，则圆锥的母线长是（　　） A．6.5cm B．13cm C．17cm D．26cm 【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm， 则：85π＝π×5×R， 解得R＝17， 故选：C． 【点评】本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键． 3．若一个圆锥的底面半径为3cm，高为6cm，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（　　） A．150° B．120° C．100° D．80° 【分析】设圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为n°，先利用勾股定理计算出圆锥的母线长为9，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×3，然后解关于n的方程即可． 【解答】解：设圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为n°， 圆锥的母线长为9， 所以2π×3， 解得n＝120， 即圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为120°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 4．（2023秋•枣阳市期末）某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【分析】根据题意可知，圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【解答】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°， 根据题意得，， 解得n＝120， 即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°， 故选：D． 【点评】本题考查圆锥的计算，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长． 5．（2023•温州模拟）已知圆锥的底面半径为2cm，表面积为14πcm2，则该圆锥的母线长 为 　 　cm． 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的表面积的计算公式构建方程求解即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm， 圆锥的底面周长＝2π×2＝4π（cm）， 则4π×R+π×22＝14π， 解得，R＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 6．（2023•盱眙县模拟）若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 　 　． 【分析】利用圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算，即可求解． 【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是n， 根据题意得：2， 解得n＝160， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是160°， 故答案为：160°． 【点评】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长是解答本题的关键． 7．（2024•番禺区校级一模）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽（如图（1））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形． 步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （1）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）如图（2），根据（1）的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系：　 　． 【分析】（1）先计算出底面半径，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面的周长求出侧面展开图的圆心角，再根据比例关系即可求出红色扇形卡纸的圆心角的度数； （2）先计算出底面半径，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面的周长即可得出答案． 【解答】解：（1）圆锥的底面半径为15（cm）， 设侧面展开图的圆心角为n°， 则2π×15， 解得n＝216°， ∴216°24° 答：红色扇形卡纸的圆心角的度数为24°； （2）∵圆锥的底面半径为， ∴2π， ∴n． 故答案为：n． 【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长． 题型十一 圆锥计算与实际应用问题 解题技巧提炼 把实际问题转化成数学问题来解决，明确求的是圆锥的哪个量，在套用公式即可. 1．（2023•海州区二模）如图，一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC长为12分米，伞骨AB长为10分米，那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料为 　 平方分米． 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，根据题意可得该圆锥的母线长为AB，则扇形的直径为AC，根据AC的长度可求出圆锥地面周长，即可得出扇形的弧长，最后根据扇形面积公式即可求解． 【解答】解：∵AC＝12分米， ∴该圆锥底面周长为12π分米， ∴该圆锥侧面积（平方分米）， 故答案为：60π． 【点评】本题主要考查了求圆锥侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为扇形，以及扇形面积公式． 2．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．    【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 【解答】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：， ∴， ∴米堆的体积为：， ∴米堆的斛数为：； 故答案为：22． 【点评】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大． 3．（2023•洪雅县模拟）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（　　） A．米2 B．40π米2 C．米2 D．55π米2 【分析】利用圆的面积得到底面圆的半径为5，再利用勾股定理计算出母线长，接着根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积，最后求它们的和即可． 【解答】解：∵底面圆的半径为5米，高为3米， ∴圆锥的母线长米， 所以圆锥的侧面积•2π•5•5π米； 圆柱的侧面积＝2π•5•3＝30π米2， 所以需要毛毡的面积＝（30π+5π）米2． 故选：A． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 4．如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为3米，母线长为6米，为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价为10元/米2，那么购买油毡所需要的费用是　 　元（结果保留π）． 【分析】根据圆锥侧面积公式S＝πrl，算出油毡的面积，乘以10即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：圆锥侧面积＝π×3×6＝18π（平方米）， 则购买油毡所需要的费用＝10×18π＝180π（元）． 故答案为：180π． 【点评】此题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式是解本题的关键． 5．（2023秋•公安县月考）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． （1）求这个圆锥的母线长； （2）为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 【分析】（1）如图，构造Rt△ABC，AC为圆锥的高，BC为圆锥底面圆的半径，AB为圆锥的母线长，根据勾股定理进而得出结论； （2）先求出顶部圆锥的底面圆周长，再求出圆锥的侧面积即可求出所需油毡的面积． 【解答】解：（1）如图，圆锥的轴截面为△ABC， AC为圆锥的高，BC为圆锥底面圆的半径，AB为圆锥的母线长， 由题意可知，AC＝3m，BC＝4m， ∴母线长m． （2）顶部圆锥的底面圆周长为2π×BC＝8πm， ∴圆锥的侧面积为m2， ∴所需油毡的面积至少是63m2． 【点评】本题考查了圆锥的侧面积和顶部圆锥的底面圆周长，正确掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小． （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【分析】（1）设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论． （2）根据S阴•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可． 【解答】解：（1）设∠BAC＝n°． 由题意得π•DE，AD＝2DE， ∴n＝90， ∴∠BAC＝90°． （2）∵AD＝2DE＝10（cm）， ∴S阴•BC•AD﹣S扇形AEF10×20（100﹣25π）cm2． 【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 题型十二 圆锥与最短距离 解题技巧提炼 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 1．如图，已知圆锥的底面半径为r＝20cm，h＝20cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）cm． A．40 B．40π C．160 D．80 【分析】蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解． 【解答】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶点为B， ∵r＝20cm，h＝20cm， ∴由勾股定理可得母线l80（cm）， 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π， ∴n＝90°， 即△BAA′是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AA'80（cm）． ∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm． 故选：D． 【点评】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解． 2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D．3 【分析】设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出n，然后可判断三角形为等边三角形，再利用等边三角形的性质求出即可得． 【解答】解：由题意知，底面圆的直径，故底面周长等于． 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得， 解得， 所以展开图中， 因为半径， 故三角形为等边三角形， 又∵D为的中点， 所以，在直角三角形中，， 根据勾股定理求得， 所以蚂蚁爬行的最短距离为． 故选：C． 【点评】本题考查了圆锥的相关概念、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确理解题意、掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA′＝120°，OA，则蚂蚁爬行的最短距离是 　 　． 【分析】连接AA′，过O点作OH⊥AA′于H点，如图2，根据等腰三角形的性质得到AH＝A′H，∠OAA′＝30°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出AH，从而得到AA′的长． 【解答】解：连接AA′，过O点作OH⊥AA′于H点，如图2， ∵OA＝OA′，∠AOA′＝120°， ∴AH＝A′H，∠OAA′＝30°， 在Rt△OAH中，∵OHOA， ∴AHOH， ∴AA′＝2AH＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了最短路径问题． 4．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为 ． 【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可． 【解答】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4， 侧面展开的圆心角，n=90º即∠ASC=90º， C为SD的中点SD=4， 线段AC是小虫爬行的最短距离， 在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=， 故答案为：． 【点评】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键． 5．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm． （1）求圆锥形纸杯的侧面积． （2）若在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离． 【分析】（1）根据扇形的面积公式计算即可得到结果； （2）要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，求出EA长即可，在Rt△EOA中，OA＝8，0E＝10，根据勾股定理求出AE，即可得出结果． 【解答】解：（1）S圆锥的侧面积10×10π＝50π； （2）圆锥侧面沿母线OF展开可得下图： 则圆锥底面周长的一半10π， ∴n＝90，即∠EOF＝90°， 在Rt△AOE中，OA＝8cm，OE＝10cm， 根据勾股定理可得：AE＝2cm， 所以蚂蚁爬行的最短距离为2cm． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$