期末考试模拟卷01（考试范围：九年级上下册）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）

期末考试模拟卷01 考试范围：九年级上下册全部内容 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分) 1．（2024·浙江杭州·二模）2023年第十九届亚洲运动会在杭州举行，运动员们赛出了风格，赛出了水平，取得了优异成绩．运动会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．用绿灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案． 【详解】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， 遇到绿灯的概率是， 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点P是线段的黄金分割点，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金分割点是解题的关键． 根据题意可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点， ∴， ， ， ， 解得：或（舍去）， 故选：B． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）二次函数的最小值是0，那么的值等于（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的最值．根据二次函数的顶点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的最小值是0， ∴，解得：． 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，由圆内接四边形可得四边形对角互补可得，结合圆周角定理可得，掌握圆内接四边形的性质是，圆周角定理是解题的关键． 根据四边形内接于，得到，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是， ∴， 故选：A ． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，此类题目，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①利用抛物线与轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④利用时，可进行判断；⑤根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】解：①抛物线与轴有2个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， ，所以③正确； ④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为， 图象与轴的另一个交点为， 当时，， ，故④错误； ⑤二次函数的图象过，， 方程的解是，，故⑤正确． 故选：C． 7．（2024·浙江杭州·一模）如图，过外一点作的切线，点是切点，连接交于点，点是上不与点，重合的点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据切线的性质得到，再根据直角三角形的性质得到，则由圆周角定理得． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，从一块半径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点O作于H．想办法求出圆锥的母线长即的长，进而求出底面圆半径即可解决问题． 【详解】解：连接，过点O作于H． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆锥底面圆的周长， ∴圆锥底面圆的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查圆锥的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理和含度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．（2024·浙江·一模）如图，两个阴影正方形与4个全等的直角三角形拼成正方形，延长交于点F，若，则阴影部分的面积之和用含的代数式表示是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形及勾股定理的综合应用．根据三角形的相似得到和、的关系是解决本题的关键． 先证明阴影部分的面积之和为．根据，可得用表示的的代数式，证出，即可得到的值，整理即可得到阴影部分的面积之和． 【详解】解：阴影部分的面积之和． ， ， ， ∵图中是4个全等的直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A．      10．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平行四边形中，，且，将其沿着直线折叠使得点的对应点恰好落在对角线上，且满足．问：与平行四边形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），解直角三角形，解题的关键是掌握相关的知识．过点作于点，根据平行四边形的性质可得，，在中，设，则，根据勾股定理求出，得到，，，推出，由折叠可得，和均为等腰直角三角形，根据三角函数并结合，需求出的长，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， 在中，设， ， ， 又，即， 解得：（负值舍去）， ，，， 是等腰直角三角形， ，， 由折叠可知，， 和均为等腰直角三角形， 又， ，， ， ， 同理， ． 故选：B． 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）学校组织去宋城秋游，安排给九年级4辆车，小高和小乔都可以从这4辆车中任选一辆搭乘．则小高和小乔不坐同一辆车的概率为 ． 【答案】/0.75 【分析】此题考查了利用树状图求概率，画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键．四辆车分别用1，2，3，4表示，画树状图得出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，再利用概率公式得出答案． 【详解】解：四辆车分别用1，2，3，4表示， 画树状图： 所有等可能的结果数为16种，小高和小乔不坐同一辆车的结果有12种， ∴小高和小乔不坐同一辆车的概率为． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是解题的关键．连接，得到圆心角为，根据弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方，进而得到的的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 的的取值范围为， 故答案为：． 14．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，已知，，垂足为D，，若E是的中点，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明，得，由则可求出结论． 【详解】解： 为的中点， ， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：1． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，把△ABC分别绕直线AC，AB旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则| S2-S1|= （平方单位）． 【答案】 【分析】根据题意可得把△ABC绕直线AC旋转一周得到的是圆锥，绕AB旋转一周得到的是两个圆锥拼接而成的，然后根据圆锥的表面积计算公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°， ∴， 把△ABC绕直线AC旋转一周得到的是圆锥，则有： 以BC为半径的圆的周长为：，底面积为：， 圆锥的侧面积为， ∴； 把△ABC绕直线AB旋转一周得到的是两个圆锥拼接而成的，则有： ∴所得圆锥底面积的半径为：， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查圆锥的表面积及勾股定理，熟练掌握圆锥表面积计算公式及勾股定理是解题的关键． 16．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 三、解答题(本大题共8小题,共66分) 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校要从男生小明、小强和女生小慧、小红中共选取2人参加全区比赛，规定其中女生选名． (1)当_______时，“男生小明参加”是必然事件． (2)当时，小明和小慧同时参加比赛的概率是多少？（要求列出树状图或者表格） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列树状图法或列表法求随机事件的概率，掌握列树状图法或列表法求随机事件的概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）运用列出树状图或者表格把可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：当时，即从男生小明、小强中选取2人参加全区比赛，则小明必然参加， ∴“男生小明参加”是必然事件， 故答案为：； （2）解：当时，选取2人参加全区比赛中有1名女生，把所有等可能结果表示如下， 有1名女生参加的共有4种等可能结果，其中有小明和小慧同时参加的结果有1种， ∴小明和小慧同时参加比赛的概率是． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数． (1)销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ (2)设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)当单价定为元或元时，商场获得的利润恰为元 (2)销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是求出二次函数解析式和一元二次方程． （1）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出方程，然后求出值即可； （2）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：已知成本为每件元，销售量为件，销售单价为元， 则每件的利润为元， 且销售量与销售单价满足，， ， 整理得， 解得， 当单价定为元或元时，商场获得的利润恰为元． （2）已知成本为每件元，销售量为件，销售单价为元， 则每件的利润为元， 且销售量与销售单价满足，， ， 即， 当时，取最大值为， 销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元． 19．（24-25九年级上·浙江·期中）已知抛物线． (1)说出该抛物线的开口方向和对称轴； (2)设该抛物线与x轴交于点A，B，求交点A，B之间的距离． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴是y轴（或直线）； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题． （1）根据二次函数性质即可得出答案； （2）令求出对应的值即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线解析式为中，， 该抛物线开口方向向上，对称轴为轴； （2）解：把代入，得：， 解得：，， ， 即：交点A，B之间的距离． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：，是半径，， ，， ， ； （2）解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是圆O直径，C，D两动点在直径同侧，连接，作射线，交的延长线于点H． (1)求证：． (2)已知， ①若，求的长． ②若，，求y关于x的关系式，并求出四边形周长的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）本题考查了平行线的性质，圆的半径相等的性质，通过，根据等角对等边即可得证； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角证，通过证，根据相似三角形的性质求出即可求解； （3）通过相似的三角形对线段成比例求出y关于x的解析式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）解：①连接， 又∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴.         ②∵， ∴，即， ∴， ∴. 四边形周长，     ， 当时，四边形周长的最大值为.     22．（2024·浙江杭州·一模）图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点在线段上，点在上，支撑点到箱底的距离于点，请根据以上信息，解决下列问题： （1）求水平滑杆的长度； （2）求拉杆端点到水平滑杆的距离的值（结果保留到）． （参考数据：）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）在中解直角三角形得到CD的长，再根据即可求解； （2）过点作，交延长线于点，利用即可解直角三角形，进行求解． 【详解】（1）于点， ∴在中，， ， ． （2）如图，过点作，交延长线于点， ， 在中，， ． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． 23．（2024·浙江·中考真题）图1是一把可折叠的哑铃椅，其侧面可抽象成图2，为支撑杆，M为靠背的中点，点N可在斜支柱上滑动，通过调节螺母可将点N固定在斜支柱上的六个孔位处，靠背随之绕点C转动，当点N位于第一个孔位处时，；当点N位于最后一个孔位处时，．已知，，，坐凳与水平地面l平行． (1)在点N从第一个孔位滑动到最后一个孔位的过程中，求点M所运动的路径长（结果保留π） (2)在转动的过程中，求点H到水平地面l的最大距离． （结果精确到．参考数据：．） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的运动轨迹，弧长公式，解直角三角形等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意求出旋转角，再利用弧长公式求解即可． （2）根据图象可得当时，点H到地面的距离最大．过点D作于T，过点H作于点J，交于点K．则四边形是矩形，得出，在中，求出，在中，求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， ． 点N位于第一个孔位处时，， 当点N位于最后一个孔位处时，． 旋转角为， ， 当点N从第一个孔位滑动到最后一个孔位时， 故点M运动路径长． （2）解：如图，当时，点H到地面的距离最大． 过点D作于T，过点H作于点J，交于点K． 则四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ， 在线段转动过程中，H点到地面l的最大距离为． 24．（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图2的“弦图”中，连结，交于点O，设与，的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流： 吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形是正方形，O是和的中点．”； 小聪：这两个结论都能证明，我还发现“”； 小颖：我发现“已知，的长度，就能确定的长度”，如：“已知，，求的长．” 结合上述师生的交流： (1)请你证明小聪发现的结论； (2)请你解答小颖提出的问题“已知，，求的长．” 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由四边形是正方形，四边形是正方形，可得，再由，可证明； （2）由，可得，由勾股定理得，由正方形得：，由正方形得：，又由O是和的中点，可得，，再由，可得， 即：，求出，再求解可得答案． 【详解】（1）解：由吴老师与小聪的交流可知： 四边形是正方形， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ； （2）， ， ， 由正方形得：， 由正方形得：， 由吴老师与小聪的交流可知：O是和的中点， ，， 由（1）得：， ， 即：， ， ∴由中心对称性，得：． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，正方形的性质及勾股定理等知识点，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质及判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质． ( 21 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试模拟卷01 考试范围：九年级上下册全部内容 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分) 1．（2024·浙江杭州·二模）2023年第十九届亚洲运动会在杭州举行，运动员们赛出了风格，赛出了水平，取得了优异成绩．运动会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点P是线段的黄金分割点，若，则为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）二次函数的最小值是0，那么的值等于（    ） A．2 B．4 C． D．8 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 7．（2024·浙江杭州·一模）如图，过外一点作的切线，点是切点，连接交于点，点是上不与点，重合的点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，从一块半径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的半径是（　　） A． B． C． D． 9．（2024·浙江·一模）如图，两个阴影正方形与4个全等的直角三角形拼成正方形，延长交于点F，若，则阴影部分的面积之和用含的代数式表示是（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平行四边形中，，且，将其沿着直线折叠使得点的对应点恰好落在对角线上，且满足．问：与平行四边形的面积比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）学校组织去宋城秋游，安排给九年级4辆车，小高和小乔都可以从这4辆车中任选一辆搭乘．则小高和小乔不坐同一辆车的概率为 ． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 14．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，已知，，垂足为D，，若E是的中点，则 ． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，把△ABC分别绕直线AC，AB旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则| S2-S1|= （平方单位）． 16．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 三、解答题(本大题共8小题,共66分) 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校要从男生小明、小强和女生小慧、小红中共选取2人参加全区比赛，规定其中女生选名． (1)当_______时，“男生小明参加”是必然事件． (2)当时，小明和小慧同时参加比赛的概率是多少？（要求列出树状图或者表格） 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数． (1)销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ (2)设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 19．（24-25九年级上·浙江·期中）已知抛物线． (1)说出该抛物线的开口方向和对称轴； (2)设该抛物线与x轴交于点A，B，求交点A，B之间的距离． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是圆O直径，C，D两动点在直径同侧，连接，作射线，交的延长线于点H． (1)求证：． (2)已知， ①若，求的长． ②若，，求y关于x的关系式，并求出四边形周长的最大值． 22．（2024·浙江杭州·一模）图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点在线段上，点在上，支撑点到箱底的距离于点，请根据以上信息，解决下列问题： （1）求水平滑杆的长度； （2）求拉杆端点到水平滑杆的距离的值（结果保留到）． （参考数据：）． 23．（2024·浙江·中考真题）图1是一把可折叠的哑铃椅，其侧面可抽象成图2，为支撑杆，M为靠背的中点，点N可在斜支柱上滑动，通过调节螺母可将点N固定在斜支柱上的六个孔位处，靠背随之绕点C转动，当点N位于第一个孔位处时，；当点N位于最后一个孔位处时，．已知，，，坐凳与水平地面l平行． (1)在点N从第一个孔位滑动到最后一个孔位的过程中，求点M所运动的路径长（结果保留π） (2)在转动的过程中，求点H到水平地面l的最大距离． （结果精确到．参考数据：．） 24．（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图2的“弦图”中，连结，交于点O，设与，的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流： 吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形是正方形，O是和的中点．”； 小聪：这两个结论都能证明，我还发现“”； 小颖：我发现“已知，的长度，就能确定的长度”，如：“已知，，求的长．” 结合上述师生的交流： (1)请你证明小聪发现的结论； (2)请你解答小颖提出的问题“已知，，求的长．” ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$