14.2.1勾股定理的应用(最短路径问题)　课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

数学家名言分享 树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实而终。 ——华罗庚 请拿出你的课本、彩色笔和练习本等用品，还有你的激情和坐姿。 华师大版 八年级 上册 01 勾股定理的应用——最短路径问题 复习提问： 勾股定理 勾股定理的逆定理 图形 文字语言 几何语言 A 勾b 股a C B ∟ 弦c 直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方。 在Rt△ABC中，∠C=90°： ∴ a2＋b2＝c2 A b a C B c 如果三角形的三边长满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 在△ABC中，a2＋b2＝c2 ∴ △ABC为直角三角形，∠C=90° 复习提问： 一、判断题： 1、在△ABC中：AB＝5，AC＝12，则BC＝13 ( ) 2、直角三角形ABC中：a＝6，b＝8，则c＝10 ( ) 二、填空题： 3、能与3和4围成三角形的数有 个；能与3和4围成直角三角形的有 个；能与3和4组成勾股数的数有 个。 4、三角形三边分别为6、8、10，那么最短边上的高为 ，最长边上的高为 。 × 两边之差＜BC＜两边之和 即：7＜BC＜17 √ 无数 两 1 8 4.8 1、直角三角形斜边上的高等于两直角边之积除以斜边。 2、构造方程：S△＝0.5ab＝0.5ch 前提：Rt△ 情境导入 情境导入 学会用数学的眼光观察事物 1 情景探究一 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？ C B A AC＋CB＞AB(两点之间线段最短) B A 3米 4米 C 2 情景探究二 从前有一只叫小黑的蚂蚁，妈妈不在家，出门前妈妈给小黑准备了好吃的食物，放在了不同的地方，小黑能找到这些食物吗？ 2、AC两点间的距离为 米。 1、食物放在厨房的C处，小黑从房间的A处到厨房的C处，怎样爬行最近？这样爬行的依据是什么？ A 4米 3米 B C 两点之间，线段最短 5 勾股定理 解：线段AB的距离就是蚂蚁爬行的最短路径 在Rt△ABC中，由勾股定理得： 答 ：最短路径是50cm 1 平面图中最短路径问题 知识点 这个问题研究的过程是怎么的呢？ 实际问题 两点之间，线段最短或垂线段最短 数学问题 勾股定理 立体图形又如何解决呢 1 平面图中最短路径问题 知识点 2 立体图形圆柱最短路径问题 知识点 如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。(结果保留根号) 2 立体图形圆柱最短路径问题 知识点 如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。(结果保留根号) A B C D 解：如图所示，由题意可知： BC＝底面周长的一半＝10cm，AB＝4cm 在Rt△ABC中，由勾股定理得： 答：爬行的最短路程约为 cm。 o 变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的中点O，已知底面周长为10，试求出爬行的最短路程。 A A B D C 4 3 O 解：如图，由题意可知： OD=4÷2=2，AD=10÷2=5。 在Rt△ABO中，由勾股定理得： 答：最短路程为 厘米。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3 立体图形正方体最短路径问题 知识点 如图，桌子上有一个边长为10cm且无盖的正方体型盒子，底面不可通行，若妈妈把食物放在正方体的C处，小黑蚂蚁从A点出发，沿着正方体的外表面爬行，则最短的路径的长是多少cm。 A C B 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC= 经过前面和右面 3 立体图形正方体最短路径问题 知识点 如图，桌子上有一个边长为10cm且无盖的正方体型盒子，底面不可通行，若妈妈把食物放在正方体的C处，小黑蚂蚁从A点出发，沿着正方体的外表面爬行，则最短的路径的长是多少cm。 A C B 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC= 经过左面和后面 提炼方法—— 1、将立体图形展开，转化成平面图形。 2、在平面图中找到对应的起点和终点，即对应点位置。 3、在平面图形中，连接起点和终点，得出线段。 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： 4、构建直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度，比较，得最短路径。 5、答题。 展 找 连 求 答 归纳总结：立体图形表面最短路径问题 方法： 立体图形 平面图形 直角三角形 建模 转化分类讨论 勾股定理 两点之间，线段最短 展 找 连 求 答 本节课数学思想 化归转化思想 4 立体图形长方体最短路径问题 知识点 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？ 分析：蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况？ ①经过前面和右面 ②经过前面和上面 ③经过左面和上面 ①经过前面和右面 ②经过前面和上面 ③经过左面和上面 解:(1)当蚂蚁经过前面和右面时，最短路程为： (2)当蚂蚁经过前面和上面时，最短路程为： (3)当蚂蚁经过左面和上面时，最短路程为： ∴ 最短路程为 ㎝。 拓展提高：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm、1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ A B C Ｄ 解: 由题意可知：AC＝5， BC＝3×3＋3×1＝12 在Rt△ABC中，由勾股定理得： 答：从A点爬到B点，最短线路是13cm。 A B C D 应用勾股定理解决实际问题的一般思路： １、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离。 ２、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。 提炼方法—— 立体图形 平面图形 直角三角形 建模 转化 勾股定理 两点之间，线段最短 化归转化思想 知识点 最短路径问题 本节课的数学思想 1.本节课学习了哪些知识？用了什么数学思想方法？ 2.你们有什么收获？ 总结反思 示例 长方体表面上A，B两点间的最短距离 作 业 练习册 谢谢欣赏 THANK YOU FOR LISTENING 如图，一个无盖长方形盒子的长、宽、高分别是4cm、4cm、6cm，一只蚂蚁想从盒底的A点沿盒的表面爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬的最短路程是（　　） A. 5cm B. 8cm C. 10cm D.7cm 解：长方体展开，将长方体展开，进而得出最短路线。 可得：AB2＝62＋82＝100 ∴AB＝10（cm） 故最短路程为10cm。 C B A A B 6 4 4 练习1 不积跬步 无以至千里 意思是：行程千里，都是从一步一步开始；如果做事不从一点一滴中做起， 那就不可能有所成就。 【名人名言】 $$