5.1.1变化率问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1变化率问题 第五章 一元函数的导数及其应 1 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。 一、激趣导入 学习目标 1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． 二、自主学习 请阅读课本59-60页，梳理以下知识点。 1.平均变化率 2.瞬时速度与瞬时变化率 3.曲线的切线的斜率 问题1 高台跳水运动员的速度 高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对 于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在 函数关系 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11. 如何描述用运动员从起跳到入水的过程中运动的 快慢程度呢？ 三、提出问题 直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似的描述它的运动状态。 例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里， 在 1≤ t ≤2这段时间里， 一般地，在 ≤ t ≤这段时间里， 三、提出问题 探究1： 计算运动员在0 ≤ t ≤这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 四、合作探究与展示 探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员 在t=1是的瞬时速度吗？ 四、合作探究与展示 某一时刻 8 问题2. 抛物线的切线的斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究. 四、合作探究与展示 探究3. 你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？ 与研究瞬时速度类似为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近取一点考察抛物线的割线 的变化情况。 四、合作探究与展示     斜率 切线 11 四、合作探究与展示 11 四、精讲解疑 12 四、精讲解疑 13 四、精讲解疑 14 五、达标检测 15 五、达标检测 16 f (x2)－f (x1) eq \f(fx2－fx1,x2－x1) eq \f(fx1＋Δx－fx1,Δx) 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝ . eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) 1．平均变化率：对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝_____.(2)函数值的改变量：Δy＝________． (3)平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝ ＝ . x2－x1 eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) 3．曲线的切线斜率 (1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率eq \f(fx－fx0,x－x0)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为割线P0P的_____． (2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率 就是y＝f (x)在x0处的____的斜率即 k＝ . 例1．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． [思路探究]　eq \x(计算物体在[1，1＋Δt]内的平均速度\f(Δs,Δt)) eq \o(――――→,\s\up18(令Δt→0))eq \x(计算\o(lim,\s\do14(Δt→0)) \f(Δs,Δt))―→eq \x(得t＝1 s时的瞬时速度) 求运动物体瞬时速度的三个步骤 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝st，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下： 1写出时间改变量Δt，位移改变量ΔsΔs＝st0＋Δt－st0. 2求平均速度：eq \x\to(v)＝eq \f(Δs,Δt). 3求瞬时速度v：当Δt→0时，eq \f(Δs,Δt)→v常数. 例2.已知函数y＝x－eq \f(1,x)，则该函数在点x＝1处的切线斜率为? 解析：∵Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1))) ＝Δx＋1－eq \f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)， ∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx)， ∴斜率k＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝1＋1＝2. 1．物体自由落体的运动方程为s(t)＝eq \f(1,2)gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 C　[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．] 4．求函数y＝eq \f(4,x2)在x＝2处的切线的斜率． 2．已知函数f (x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f (1＋Δx))，则eq \f(Δy,Δx)等于________． 3．已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． $$