10.3分式的乘除法同步练习 2024-2025学年北京版数学八年级上册

10.3分式的乘除法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．计算的正确结果为（　　） A． B．1 C．2 D．﹣ 2．下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 5．若x为正整数，则计算的结果是（    ） A．正整数 B．负整数 C．非负整数 D．非正整数 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．原子的直径一般是0.00000001厘米，数据0.00000001用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．的结果是（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 10．图①②中涂色部分的面积分别为S1，S2，a＞b＞0，设k=，则有（   ） A．0＜k＜ B．＜k＜1 C．1＜k＜2 D．k＞2 11．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 12．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13． 14．计算：= . 15．计算： ． 16．计算： ． 17．计算: (-2a3c)·(- = ． 三、解答题 18．先化简再求值：，其中x=2． 19．阅读下面例题的分析与解答，再回答问题： 例：已知，求的值． 分析：问题中有和，但已知条件中并没有平方项，因而需要从已知条件中变形出和才行，联想到完全平方公式，若将第一等式分别平方则可出现和，再将第二个等式代入即可解决这个问题． 解：，， 即， ， ， ， 作出什么样变形或者需要求出什么式子的值才能进行下一步，这需要我们联想相关的公式和类似的已经会做的题型． 问题一： （1）若已知，求和的值； （2）若已知则________． 问题二：若，求． 20．某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 21．甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为亩，乙地的种植面积为亩，最后两块土地收获的水稻重量都是请问甲地每亩水稻的产量是乙地的多少倍？你能根据计算结果直接写出哪一块土地每亩水稻产量更高吗？ 22．小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； (2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ (3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 23．观察下列等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： ····· 根据上述规律解决下列问题： （1）按以上规律写出第个等式： （2）用含有的式子表示第个等式： 并证明(为正整数)． 24．观察以下等式： ，，，， (1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______； (2)请利用分式的运算证明你的猜想． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C B B B B C 题号 11 12 答案 B B 1．B 【分析】先分解因式，然后把除法变乘法，再约分，最后算减法． 【详解】原式＝ =1 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的化简，分式化简之前一定要先因式分解，约分之后再进行求解，熟练掌握这一方法是解决本题的关键. 2．B 【分析】任何非零的数的零次幂均为1，由负整数指数幂的定义可知0的负整数指数幂无意义． 【详解】解：，故A错误，B正确；无意义，故C、D均错误， 故选择B 【点睛】本题考查了零次幂和负整数指数幂的概念，熟悉相关概念是解题关键． 3．B 【分析】此类题目难度不大，可用验算法解答． 【详解】解：A、a12÷a6 =a6，A错误； B、，B正确； C、，C错误； D、，D错误. 【点睛】同底数幂的除法：底数不变，指数相减； 二次根式的除法：； 二次根式的乘法：； 分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 4．C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 5．C 【分析】先化简分式，再由x为正整数即可判断； 【详解】解：原式= = ∵x为正整数， ∴， ∴， ∴计算的结果是非负整数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的化简，正确理解题意是解本题的关键． 6．B 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法和分式的计算规则来计算即可； 【详解】解：A、-m5，故本选项错误； B、，本选项正确； C、a6÷a3=a3，本选项错误； D、，本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和分式的计算；熟练掌握运算的计算法则是解决本题的关键． 7．B 【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000001=1×10-8． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 8．B 【分析】首先把每一项因式分解，然后根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】 = = = 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是先对每一项因式分解，然后再根据分式的混合运算法则求解． 9．B 【分析】先进行因式分解，然后再根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解和分式的运算法则，熟悉相关法则是解题的关键． 10．C 【分析】根据图形表示出S1，S2，再根据k= ，求出k的范围即可． 【详解】解：根据题意得：S1=a2-b2，S2=a（a-b）， 则k= == =1+ ∵a>b>0，∴0< <1，即1<1+ <2， 则1<k<2， 故选C 【点睛】1、分式混合运算时，要注意运算顺序，（1）在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减.（2）有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意：最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.2利用平方差公式． 11．B 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】解：原式， 故选：B． 【点睛】此题考查分式的乘除法和乘方运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．B 【分析】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式乘除法的运算法则，先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ， 故选：B． 13． 【分析】先计算乘方，然后计算分式乘法进行约分，即可得到答案. 【详解】解：； 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题. 14．. 【分析】将除法化成乘法，约去分子与分母中的公因式即可得到答案. 【详解】 故填：. 【点睛】此题考查分式的除法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，再将结果化为最简分式即可. 15． 【分析】根据分式的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘方运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方运算，本题属于基础题型． 16． 【分析】分子分母先乘方，再约分即可得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17． 【分析】根据分式的乘法法则计算即可. 【详解】原式= 2a3c =. 故答案为 . 【点睛】题考查了分式的乘法运算，两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并把分子、分母分解因式约分，把结果化成最简分式或整式． 18．-1 【分析】首先对第一项进行约分化简，然后再按照分式加减法法则计算，最后代入数值即可. 【详解】解：原式=， 当x=2时，原式=-1. 【点睛】此类题型的关键是先运用约分、通分等方式将分式化为最简，然后再代入具体数值计算. 19．问题一：（1），；（2）23；问题二：81． 【分析】问题一：（1）将两边平方可求的值，将两边平方可求的值； （2）将两边同时除以x求出，然后将两边平方可求的值； 问题二：逆用同底数幂的除法求出，然后根据积的乘方法则和同底数幂的除法法则进行计算． 【详解】解：问题一：（1）将两边平方可得：， 所以， 将两边平方可得： 所以：； （2）∵， ∴， ∴ ∴ 将两边平方可得： ∴， 故答案为：23； 问题二：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了分式的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 21．甲地每亩水稻的产量是乙地的倍，乙地每亩水稻的产量高 【分析】先表示出甲地、乙地每亩水稻的产量得到甲地每亩水稻的产量为，乙地每亩水稻的产量为，然后计算即可． 【详解】解：甲地每亩水稻的产量为，乙地每亩水稻的产量为， ， ， ， ， 乙地每亩水稻的产量高． 故甲地每亩水稻的产量是乙地的倍，乙地每亩水稻的产量高． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，注意运算顺序是解题的关键． 22．(1) (2)①，②方案C (3) 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答； （3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ② 解：=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． （3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位， ∴第一次净水后，杂质含量为：， ∴第二次净水后，杂质含量为：， ∵ ， ∵， ∴， 当，即时，有最大值为， ∴此时分数有最小值， 即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少， 故答案为：． 23．（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）观察给定的三个等式，括号内被减数分母与序号相同；除数的分母是平方数，底数与序号相同，分子的被减数是平方数，底数比序号大2，减数是这个底数的2倍，利用该关系可写出第5个等式； （2）结合（1）找出规律“第n个等式为”，利用通分、提公因式分解因式、合并同类项等方式来证明结论成立． 【详解】（1）观察给定的三个等式，知： 第5个等式为； （2）第n个等式为， 证明如下： ∵左边右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查了探究数字的规律及分式的化简．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系． 24．(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据题目中给出的等式，即可写出第5个等式，并写出第的等式； （2）根据分式的乘法和加法可以证明猜想的正确性． 【详解】（1）解：由题目中的等式可得， 第5个等式为：，第个等式是， 故答案为：，； （2）证明：左边， 右边， 左边右边， 故猜想正确． 【点睛】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 学科网（北京）股份有限公司 $$