第4章指数函数与对数函数章末复习卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第4章指数函数与对数函数章末复习卷-2024-2025学年高一数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B．1 C． D． 4．已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（    ） A． B． C． D． 5．猪血木又名阳春红檀，原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．猪血木不仅实现了人工繁育，在阳江阳春市储备苗木近10万株，还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（   ） （参考数据：） A．9 B．8 C．7 D．6 6．已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（   ） A． B． C． D． 7．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 10．下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D． 三、填空题 12．已知关于的方程和的根分别为，，则的最小值为 ． 13．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围是 . 14．已知函数，函数，则函数的零点个数为 个． 四、解答题 15．计算求值： (1)； (2). 16．已知函数，. (1)求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 17．设函数． (1)求的值． (2)解关于的不等式． 18．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的值域为，求的值． 19．已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)求函数的值域； (3)若函数，，那么是否存在实数t，使得的最小值为1，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C B A D C CD BC 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据函数定义域的求法来求得正确答案. 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 2．B 【分析】利用根式的运算性质及指数，对数的运算性质即可判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 3．B 【分析】根据对数的运算可得答案. 【详解】由对数的运算可得： ， 故选：B. 4．C 【分析】利用特殊值及函数的单调性排除A、B、D，分析函数的单调性及函数值的特征判断C. 【详解】对于A，因为， 所以，，， 而， 即，，所以在上并不单调递减，故A错误； 对于B，因为， 所以，，， 显然，， 所以在上并不单调递增，故B错误； 对于D，因为， 所以，， 显然，， 所以在上并不单调递减，故D错误； 对于C，因为定义域为， 当时，，由复合函数的单调性易知在上单调递增； 当时，，在上单调递增且， 在上单调递减， 当时，当时，符合题意， 结合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合题意，故C正确. 故选：C. 5．B 【分析】由题可得，然后由对数运算结合参考数据可得答案. 【详解】由题意得，则，解得． 因为，所以． 故选：B 6．A 【分析】由对数函数图象可得，即，再由二次函数图象关于对称，可得，求得可得结果. 【详解】由关于x的方程有4个不同的实根可知函数与图象有4个交点； 作出函数函数与的图象如下图所示：    由图可知，又可得， 易知，可知，则有， 即，所以， 易知二次函数图象关于对称， 即可得关于对称，即，即可得， 令，解得或，所以， 因此. 故选：A 7．D 【分析】作出函数的图像，根据图像得出满足的条件和范围，从而得出答案. 【详解】作出的图像如下图所示， ，不妨设， ，时，， 则由图像可知，，， 所以， 故选：D. 8．C 【分析】根据的定义域为，且是奇函数，得到的图象关于对称，且，再根据的图象也关于对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数， 所以，则的图象关于对称，且， 当时，， 又因为函数， 所以的图象关于对称， 所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和， 和的图象，如图所示：    由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称， 所以5个交点的横坐标之和为， 故选：C 9．CD 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，，则，A错误； 对于B选项，取，，则，B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D选项，因为，当且仅当时， 即当时，等号成立， 所以，，D正确. 故选：CD. 10．BC 【分析】利用函数奇偶性定义及利用解析式直接判断单调性，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，为上的奇函数，在定义域内不单调，A错误； 对于B，的定义域为，，该函数为奇函数， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递增， 函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为R，，是奇函数， 函数，均在上单调递增，则在上单调递增，C正确； 对于D，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：BC 11．BCD 【分析】首先求出函数的定义域判断A，根据对数型复合函数的单调性判断B，根据判断C，根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A错误； 当时，， 因为在上单调递增，且， 又在定义域上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 因为 ， 所以的图象关于点对称，故C正确； 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 12． 【分析】由题意可知点为函数与的图象交点，得；点为函数与的图象交点，得；根据点、关于直线对称，得直线与垂直，由此确定，即可利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得，， 因为，作函数，，的图象如图所示， 点为函数与的图象交点， 则，，且， 同理，点为函数与的图象交点， 则，，且. 又因为函数与的图象关于直线对称， 且函数的图象也关于直线对称， 所以点与点关于直线对称，即直线与垂直， 因为直线斜率为，所以直线斜率为， 所以，即，则． 又因为，，则， 当且仅当时等号成立，即的最小值为． 故答案为： 13． 【分析】由题意可得在上的值域包含于在上的值域，利用基本不等式先求出在上的值域，然后当时，对分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而可求出实数的取值范围. 【详解】设函数，的值域为A，函数，的值域为B， 因为对任意的，都存在唯一的，满足， 则，且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个. 当时，，因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 当时，， ①当时，，，此时， ，解得， ②当时，， 此时在上是减函数，取值范围是， 在上是增函数，取值范围是， ，解得，综合得. 故答案为：. 14．2 【分析】 函数的零点个数问题转化为求函数与直线的交点个数，求的表达式，作图数形结合即可得到结果. 【详解】 由得，函数的零点个数为函数与直线的交点个数. 由题意得，，则， ∴. 如图，在坐标系中画出函数与的图象，观察图象可知，函数只有2个零点． 故答案为：2. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据根式、指数运算来求得正确答案. （2）根据对数运算来求得正确答案. 【详解】（1） . （2） . 16．(1)； (2). 【分析】（1）由题设有，应用换元法，令，将问题化为求二次函数的值域； （2）同（1）换元，问题化为，能成立，结合对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围. 【详解】（1）由， 设，则， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为. （2）由， 令，则 又，能成立， 设，函数在上单调递减，在上单调递增. 又，，所以， 由不等式在上有解，得， 因此，的取值范围是. 17．(1)4 (2)或 【分析】（1）根据分段函数求函数值的方法代入求解即可； （2）根据分段函数的分类来分类讨论，列出各部分不等式分别求解再取并集即可． 【详解】（1）由题意，. （2）①当时，，即， 即，解得； ②当时，，即， 即，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求解函数的定义域，即可求解二次函数的单调性，结合复合函数的单调性原则求解， （2）根据基本不等式可得，进而根据求解， 【详解】（1）令解得 所以的定义域为， 因为在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在上递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）的值域为， 则函数取遍的所有实数， 因为，所以， 所以，所以，即． 19．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由函数的定义域为，根据偶函数的定义即可求解； （2）将函数变形，令，，由基本不等式结合对数函数的单调性即可求解； （3）令，构造新函数，，根据二次函数的性质分情况讨论即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为函数为偶函数，所以，即，得； （2），设， 所以，， 因为，所以，所以，当且仅当，，即，时，等号成立， 所以函数的值域为； （3），，， 令，所以设，， 函数的对称轴， 当，即时，在上单调递增，， 所以，得，成立， 当时，即时，在上单调递减，， 所以，得，舍去， 当时，即，函数的最小值为，所以，得，舍去， 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：第一问利用偶函数的定义求参数，注意函数的定义域，第二问指对型函数的化简，转化为求函数的值域，结合基本不等式，第三问的关键是换元后转化为二次函数的最值问题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$