期末重难点真题特训之易错必刷题型（132题39个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版2024)

期末重难点真题特训之易错必刷题型（139题35个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、正负数的定义与应用 1．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）在，，，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查负数的概念，解答本题的关键是明确负数的定义，根据小于零的数是负数求解即可． 【详解】解：在，，，，，中，负数有，，，共3个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作： ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，根据水位升高记为正，则水位下降记为负，由此即可得解． 【详解】解：∵水位升高时水位变化记作， ∴水位下降时水位变化记作：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 【答案】(1)4；3； (2) 【分析】本题考查了正负数，掌握正负数的意义是关键． （1）步数超出最多的量为最多的一天，步数不足最多的量为最少的一天； （2）用每天8000步加上每天的出入量，得出总和即可． 【详解】（1）∵， ∴从9月2日到9月5日这四天中， 步数最多的是9月4日，步数最少的是9月3日． 故答案为：4；3； （2）（步）， 答：小李这四天走的步数一共是步． 易错必刷题二、有理数的分类 1．（24-25七年级上·广东茂名·期中）在下列数，，，，0，中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类，与0比较，负有理数小于0是解本题的关键．根据负有理数是小于0的有理数，可判断负有理数的个数． 【详解】解：在数，，，，0，中， 负有理数有，，一共2个． 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列语句： ①不带“”号的数都是正数； ②一个正数的前面加上负号就是负数； ③数7没有符号； ④不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数． 其中错误的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了正负数的认识，有理数的分类，注意数7的符号为“”，不是没有符号；0不是正数，也不是负数．本题易因对正数、负数的认识不正确而出错．根据正、负数的定义，以及有理数的分类逐项进行判断即可． 【详解】解：①不带“”号的数不一定都是正数，例如0，前面没有“”，但0不是正数，故原说法错误； ②一个正数的前面加上负号就是负数，正确； ③数7前面的符号为“”，故原说法错误； ④0不是正数，也不是负数，因此不是正数的数不一定是负数，不是负数的数不一定是正数，故原说法错误． 综上分析可知：其中错误的有①③④． 故答案为：①③④． 3．（24-25七年级上·天津滨海新·期中）把下列各数填入相应的大括号里： ，，0，，，2005， 整数集合：{ …}；正数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查正数，负数概念，以及有理数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用整数，正数，负分数，以及负有理数的定义判断即可． 【详解】解：根据相关概念有： 整数集合：{， 0， 2005， …}； 正数集合：{ ，2005，…}； 负分数集合：{ ，， ， …}； 负有理数集合：{，，，， …}． 易错必刷题三、利用数轴比较有理数的大小 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，比较有理数的大小， 根据数轴可知，再逐项判断即可． 【详解】根据题意，得， 则，，， 所以正确的结论是C． 故选：C． 2．（2024七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为， 点A2表示的数为， 点A3表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）已知有理数：，0，，5，，． (1)画出数轴，在数轴上表示这些有理数； (2)用“<”把这些有理数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴，有理数的比较大小，用数轴上右边的数总比左边的数大来比较大小是解题的关键． （1）在数轴上表示这些数即可； （2）根据数轴上右边的数总比左边的数大即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，    （2）解：． 易错必刷题四、相反数与绝对值 1．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如果和互为相反数，那么表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是；掌握相反数的定义是解答本题的关键． 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案． 【详解】解：和互为相反数， ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若m、n为相反数，且满足，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】由、为相反数得出，再根据即可求出的值．本题考查了相反数，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：、为相反数， 则， ， ∴ 解得， 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·山东临沂·期中）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重(单位：)的计算方式为：标准体重（年龄)2．下表是七年级某小组6位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 (1)表中哪几位同学的体重超出标准体重？分析该小组同学的体重超出或少于标准体重的情况． (2)表中哪位同学的体重最符合标准体重？要想了解同学的体重情况，除了判断正负数，还要考虑什么？据此进一步分析该小组同学的整体体重情况． 【答案】(1)表中六位同学有三位同学的体重超出标准体重，三位同学的体重少于标准体重 (2)前三位同学的体重比较符合标准体重，其中3号同学的体重最符合标准体重；后三位同学与标准体重相差过多，其中4号、5号同学肥胖严重，6号同学太瘦 【分析】本题主要考查正负数的应用，绝对值的意义． （1）根据表格中数据结合正负数的意义即可解答； （2）根据表正负数的意义即可得到哪位同学的体重最符合标准体重，再根据绝对值的意义即可解答． 【详解】（1）解：， 则表中有2号、4号、5号三位同学的体重超出标准体重；表中六位同学有三位同学的体重超出标准体重，三位同学的体重少于标准体重； （2）解：由于， 则3号同学的体重离标准体重最近，最符合标准体重； 要想了解同学的体重情况，除判断正负外，还要考虑绝对值的大小，绝对值越大，离标准体重越远，越不符合标准体重．因此，前三位同学的体重比较符合标准体重，其中3号同学的体重最符合标准体重；后三位同学与标准体重相差过多，其中4号、5号同学肥胖严重，6号同学太瘦． 易错必刷题五、有理数大小比较的实际应用 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）立冬是冬季的第一个节气，通常标志着气温逐渐下降，进入冬季．如图记录了某地连续5天的日最低气温，则这5天中日最低气温中最低的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期五 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，根据题意比较大小，即可求解． 【详解】解： ∴这5天中日最低气温中最低的一天是星期二， 故选：B． 2．（2024七年级上·黑龙江·专题练习），2，三个数中最小的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，掌握”两个负数绝对值大的反而小“是解决问题的关键．由“负数一定小于正数和零“和”两个负数绝对值大的反而小“即可得到答案． 【详解】解：∵负数一定小于正数和零， ， 且， ∴， ∴在，2，三个数中最小的数为， 故答案为：． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较，，，的大小． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，理解正数大于负数，0大于一切负数，两个负数绝对值大的反而是解答关键． 每个分数都加1，分别得，，，，再比较它们的大小，根据正数大的它的相反数反而小来求解． 【详解】解：根据题意可得 每个分数都加1，分别得，，，． 因为， 所以． 易错必刷题六、有理数的加减混合运算 1．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）将写略号和式为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减运算法则去掉括号，即可求解． 【详解】解： 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）去掉绝对值符号． 计算．得 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，化简绝对值，先根据题意化简绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算； （1）根据有理数的加减进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 易错必刷题七、有理数乘除混合运算 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）对于有理数x，y，若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘除法，绝对值的计算，正确确定，的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键．先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【详解】解：， ，异号． 当，时，则； 当，时，则； 综上，的值是． 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算括号里面的，再按照有理数的混合运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）计算下面各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)36 (3) 【分析】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算． （1）利用乘法运算律求解即可； （2）先将除法转化成乘法，然后按照乘法分配律计算； （3）变除法为乘法，再按照乘法运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 易错必刷题八、有理数加减乘除混合运算的应用 1．（24-25七年级上·广东佛山·期中）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．为响应国家政策，何老师新换了一辆新能源纯电汽车，如表所示．以为标准，多于的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程                0                (1)最多的一天比最少的一天多走 ；这7天一共行驶 千米． (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，何老师的爱车在这7天里一共花费多少元的电费？ 【答案】(1)49；400； (2)30元 【分析】本题考查正数和负数，有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： ， 即最多的一天比最少的一天多走； 千米， 即这7天一共行驶400千米； 故答案为：49；400； （2）解：元， 即何老师的爱车在这7天里一共花费30元的电费． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）某股票上周五的收盘价为元，本周此股票每日的涨跌情况如下表： 某股票一周涨跌情况表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 （当天的收盘价高出前一个交易日的收盘价元记作元；当天的收盘价低于前一个交易日的收盘价1.5元记作元．） (1)本周星期四此股票的收盘价是多少？ (2)若本周星期五此股票的收盘价为元，求的值，并说明星期五此股票是涨了还是跌了，涨或跌了多少元？ 【答案】(1)元 (2)星期五此股票跌了，跌了元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减法运算的应用； （1）根据题意将星期一到星期四的涨跌情况相加再加上上周五的收盘价，即可求解； （2）根据（1）的结论加上等于，根据有理数的减法计算，结合正负数的意义即可求解． 【详解】（1）解：上周五的收盘价为元， 周四收盘价：元． （2）由（1）中求出的周四收盘价，及周五收盘价得： ， 故星期五此股票跌了，跌了元． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律可以使得运算更加简单．下面是计算主要过程，请在如表的方框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中． ①有理数加法法则；②加法交换律；③加法结合律； ④分配律；⑤有理数乘法法则；⑥有理数除法法则． （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） 依据：______） （依据：______） ． 【答案】⑥④⑤②③① 【分析】根据有理数的运算法则，运算律解答即可． 【详解】解： （依据：有理数的除法法则） （依据：分配律） （依据：有理数乘法法则） （依据：加法交换律） 依据：加法结合律） （依据：有理数加法法则） ． 故答案为：⑥④⑤②③①． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，加减法，有理数的除法，有理数的运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 易错必刷题九、含乘方的有理数混合运算 1．（2024·云南保山·模拟预测）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），二进制是逢2进1的计数制，两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：，按此方式，则（） A．8 B．4 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是弄清二进制数转化为十进制数的计算方法．根据题意可知，再计算出结果即可． 【详解】解：由题意得： 故选D 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b规定．如：．则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，正确理解运算法则是解题的关键．根据新定义列出算式，按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如我们可以利用下面的图形计算得出的结果．方法如下： 如图示，与把正方形分割成了四个部分，其中是边长分别为10和2的正方形的面积，则是两个长宽分别为10和2的长方形的面积．由可列式计算：．    （1）请仿照此方法，直接列式计算； 列式计算： （2）利用数形结合的思想方法，计算； 画示意图： 列式计算： 【答案】（1）；（2）画图见解析， 【分析】本题考查的是利用数形结合进行有理数的简便运算； （1）先根据题干信息列式：，再计算即可； （2）先画图形，构建边长为的正方形，再在里面构建边长为的正方形，再利用图形面积差进行简便运算即可． 【详解】解：（1）； （2）如图，   ； 易错必刷题十、代数式的概念 1．（24-25七年级上·山东·期末）在式子，，，，中，代数式的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据代数式的定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，单个数字和字母也是代数式，进行判断即可． 【详解】解∶ 在式子，，，，中，代数式有，，，共三个， 故选∶B． 2．（24-25七年级上·广西柳州·期中）对代数式“”赋予实际意义：如果一个篮球的价格是元，那么表示6个篮球的总价，请你再对代数式“”赋予一个实际意义 ． 【答案】每斤苹果的价格为a元，6斤苹果的总价为元（答案不唯一） 【分析】本题考查代数式，根据实际情景解答是解题的关键． 利用代数式的意义即可得出答案． 【详解】解：如果每斤苹果的价格为a元，那么表示6斤苹果的总价． 故答案为：每斤苹果的价格为a元，6斤苹果的总价为元． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期中）某校餐厅计划购买12张餐桌和若干把餐椅，先从甲、乙两个商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为60元，甲商场规定：购买一张餐桌赠送一张餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八折销售． (1)若学校计划购买把餐椅，则到甲商场购买所需的费用为_______；到乙商场购买所需的费用为_______； (2)若学校计划只在一家商场购进12张餐桌和30把餐椅，请通过计算说明，到哪个商场购买合算？ 【答案】(1)元；元； (2)到乙商场购买划算． 【分析】考查了代数式求值，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意表示出甲乙两商场的费用即可； （2）计算出甲乙两个商场的费用，比较即可． 【详解】（1）解：则到甲商场购买所需的费用为：元； 到乙商场购买所需的费用为：元； 故答案为：元；元； （2）到甲商场购买所需的费用为：元， 到乙商场购买所需的费用为：元， 元元， 答：到乙商场购买划算． 易错必刷题十一、代数式的求值计算 1．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）如果、互为相反数，、互为倒数，则等于（    ） A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是求已知式子的值求代数式的值，化简绝对值，倒数的定义，相反数的定义，由题意得到、是解题的关键．依据相反数和倒数的定义得到，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，． ∴原式． 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示．例如，把x等于某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如时多项式的值记为．已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由，则，再代入，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）为了绿化校园，学校决定修建一块长方形空地，空地长，宽，并在空地上修建如图所示的三面宽都相等的小路．余下的长方形（阴影部分）做草坪（草坪长为b）． (1)用含有b的代数式表示小路的宽； (2)请用含b的代数式表示草坪三面临路的总长（图中深色加粗长度），并算出当时总长的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合图形特征，得小路的宽，即可作答． （2）根据小路的宽计算出草坪的宽，再求出草坪三面临路的边长的和即可． 【详解】（1）解：依题意，结合图形特征，得小路的宽； （2）解：草坪的宽为， 则草坪三面临路的总长为， 当时，则， ∴当时总长的值为． 易错必刷题十二、单项式的系数、次数 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（   ） A．单项式的系数是0，次数也是0 B．单项式的系数是，次数是3 C．单项式的系数是，次数是7 D．单项式的系数是，次数是5 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的定义；根据单项式的定义以及单项式的系数、次数定义判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是1，次数也是1，故本项错误； B、单项式的系数是，次数是2，故本项错误； C、单项式的系数是，次数是5，故本项错误； D、单项式的系数是，次数是5，正确， 故选D． 2．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，第n个单项式是 ．（n为正整数） 【答案】 【分析】此题考查单项式规律题．通过已知的四个单项式的系数、次数的变化规律推出通式直接求解即可． 【详解】解：设单项式有n个， 符号的规律为：， 分母的规律为：， 分子的系数规律为：， 字母的规律为：， ∴第n个单项式是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1)是单项式，系数是，次数是4． (2)是单项式，系数是，次数是6． (3)是单项式，系数是，次数是4． (4)是单项式，系数是，次数是5． (5)是单项式，系数是，次数是1． (6)不是单项式． (7)不是单项式． 【分析】本题主要考查了单项式．熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，这是解答本题的关键． （1）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （2）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （3）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （4）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （5）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可，其中π是表示圆周率，是数字不是字母； （6）是多项式，不是单项式； （7）不是单项式． 【详解】（1）是单项式，系数是，次数是4． （2）是单项式，系数是，次数是6． （3）是单项式，系数是，次数是4． （4）是单项式，系数是，次数是5． （5）是单项式，系数是，次数是1． （6）不是单项式． （7）不是单项式． 易错必刷题十三、多项式的项、项数或次数 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据多项式的相关概念逐项判断即可得解． 【详解】解：A、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是5，故不符合题意； B、是一个五次三项式，故不符合题意； C、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是，故不符合题意； D、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）在整式中，次数最高项是 ；一次项系数是 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了多项式中项的系数和多项式的次数 ．组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项，这一项中的数字部分就是这一项的系数；多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 ． 【详解】解：在整式中， 的次数为， 的次数为， 的次数为， 的次数为， 这四项中次数最高为次， 次数最高的项是； 一次项是，一次项的系数为． 故答案为：； ． 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）有下列一组式子：，，，m，，，，，；将上述符合要求的式子分别填入下面的圈中．      【答案】见详解 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，单项式是指数字与字母或字母与字母乘积的形式，单独的字母或数字也是单项式．多项式：几个单项式和的形式．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， 易错必刷题十四、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1．（24-25七年级上·重庆·期中）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按照哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）把按照字母b降幂排列 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的降幂排列，熟记多项式的降幂排列的含义是解本题的关键．先把多项式按照字母b的指数由高到低排列，从而可得答案． 【详解】解：多项式按字母降幂排列后为：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 【答案】(1)升幂 (2) (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式升幂、降幂排序的定义． （1）根据升幂排列和降幂排列的定义，观察字母x、y的指数即可求解； （2）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列的定义排列； （3）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的升幂排列的定义排列． 【详解】（1）解：将其重新排列为，则该排列方式是按照x的升幂排列的， 故答案为：升幂； （2）解：多项式按照y的降幂重新排列为； （3）解：多项式按照y的升幂重新排列为． 易错必刷题十五、用代数式表示数、图形的规律 1．（24-25七年级上·四川南充·期中）如图，数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6， 10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第n个数记为，则第30个数的值为 （      ）    A．240 B．285 C．435 D．465 【答案】D 【分析】此题考查了数字变化规律问题，通过归纳出第n个数记为，再进行求解即可． 【详解】解：根据题意知 ， ， ， ， 则， ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第①个图案用了11根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了21根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律下去，第⑨个图案用的木棍根数是 【答案】51 【分析】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案． 【详解】解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第5个图案用了根木棍， 第6个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了， 第个图案用了， 当时，解得， ∴第9个图案用的木棍根数是根， 故答案为：51． 3．（24-25七年级上·天津河西·期中）我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的小钢管的横截面图： (1)当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； (2)若按照这个规律继续堆砌小钢管，计算第25个图的钢管总数，并写出你的分析过程． 【答案】(1)3；9；18；30 (2)第25个图的钢管总数为975个，过程见解析 【分析】本题主要考查了图形规律探索，解题的关键是根据已知图形得出规律． （1）根据已知图形得出对应n的值即可； （2）根据已知图形得出一般规律，然后令，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据图形可知：当时，钢管总数为3； 当时，钢管总数为9； 当时，钢管总数为18； 当时，钢管总数为30； （2）解：设钢管总数为， 因为； ； ； ， 所以， 将代入，得， 所以第25个图的钢管总数为975个． 易错必刷题十六、合并同类项 1．（24-25七年级上·广西梧州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了合并同类项，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．根据合并同类项法则进行求解即可得出答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、与不是同类项，不能合并，故D选项错误． 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）合并同类项： ． 【答案】/ 【分析】本题考查合并同类项，根据系数想加减做系数，字母及字母指数不变求解即可得到答案； 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）把下列多项式合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟知合并同类项的法则是解题的关键． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 易错必刷题十七、去括号、添括号 1．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添括号，去括号，根据括号和去括号法则逐项分析即可得出答案 【详解】解：A．，故此选项不符合题意 B．，故此选项不符合题意 C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C 2．（2024七年级上·全国·专题练习）去括号： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减去括号，根据去括号法则计算即可得解，熟练掌握去括号法则是解此题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南周口·期中）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将 合并的结果为 　　． (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)56 (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，去括号和添括号： （1）仿照题意把看作一个整体，根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 易错必刷题十八、整式的加减运算与应用 1．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项的方法是解答本题的关键．先计算，然后对比题干中的式子，即可得到被墨水遮住的一项． 【详解】解： ∴被墨水遮住的一项应是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内、使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用．根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为，，（不计打结处丝带长度）． (1)用含a、b、c的代数式分别表示，，； (2)请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)最节省丝带的打包方式为③． 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减． （1）观察分析可得，可把该题看作与长，宽，高平行的丝带分别有几条，再求和即可； （2）通过比较（1）中计算出来的三种方式所用的丝带总长来判断． 【详解】（1）解：丝带的长度为：； 丝带的长度为：； 丝带的长度为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴； ， ∴； ∴最节省丝带的打包方式为③． 易错必刷题十九、常见的几何体 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，下列四个几何体中，按照有无曲面的分类标准可以分成（   ） A．①和②③④ B．①②和③④ C．①③和②④ D．①2③和④ 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形，根据①长方体是由平面组成的图形，②圆柱、③圆锥、④球是由曲面组成的图形，即可得解． 【详解】解：①长方体是由平面组成的图形，②圆柱、③圆锥、④球是由曲面组成的图形， 故按照有无曲面的分类标准可以分成①和②③④， 故选：A． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）将如图所示的长方体用过的平面切割，得到的两个几何体是 ． 【答案】三棱柱 【分析】本题考查截一个几何体．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．要利用本题中截面的特殊性求解．解题的关键是根据棱柱的定义进行分析． 【详解】解：如图，如图所示的长方体用过的平面切割，得到两个几何体的两个底面都是三角形，三个侧面都是长方形， ∴得到的两个几何体都是三棱柱． 故答案为：三棱柱． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，至少找出下列几何体的四个共同点． 【答案】见解析，答案不唯一 【分析】本题考查了几何体的定义．熟练掌握几何体的定义是解题的关键． 根据几何体的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，三个几何体都由平面组成，侧面都是长方形，都有上下底面，都有侧棱． 易错必刷题二十、几何体中的点、棱、面 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（    ） A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可． 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）一个正棱锥有六个顶点，所有侧棱长的和为，则每条侧棱的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了棱锥的相关性质，熟练掌握棱锥的性质是解题的关键； 棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥；棱锥的性质：棱锥有条棱，有个面，个侧面，条侧棱； 【详解】解：有六个顶点的正棱锥为正五棱锥，正五棱锥有条侧棱，它的每条侧棱长都相等，所以每条侧棱的长是． 故答案为：． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【答案】(1)三角形； (2)3，长方形； (3)相等； (4)6；3，9； (5)45 【分析】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （2）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （3）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （4）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （5）根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【详解】（1）解：这个棱柱的底面是三角形； 故答案为：三角形； （2）解：这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； 故答案为：3，长方形； （3）解：依题意，侧面的个数是3，底面的边数是3 ∴侧面的个数与底面的边数相等； 故答案为：相等． （4）解：这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； 故答案为：6；3，9； （5）解：， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为： 45． 易错必刷题二十一、平行投影、中心投影、正投影 1．（2024北京海淀·二模）一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可． 【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是 故选：B． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同． 2．（23-24七年级上·甘肃白银·期末）如图，这是三个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，属于同一种投影是 ．    【答案】 【分析】根据平行投影和中心投影的特点和规律，进行判断即可． 【详解】由图可知“L”是中心投影，“K”是中心投影，“C”是平行投影， 属于同意投影的是， 故答案为：． 【点睛】本题考查投影的定义，能正确区分平行投影和中心投影的特点是解题的关键． 3．（23-24七年级上·福建三明·期末）如图是两根木杆及其影子的图形． (1)这个图形反映的是中心投影还是平行投影？答： ． (2)请你在图中画出表示小树影长的线段AB． 【答案】(1)中心投影 (2)图见详解 【分析】（1）根据木杆和影子画出投影线，根据投影线是否平行即可判断是中心投影还是平行投影； （2）根据路灯的位置，与小树顶端连线即可得到小树的影长AB． 【详解】（1）解：如图，分别过两根木杆的顶端与各自影子的顶端画两条直线，相交于点O， ∴这个图形反映的是中心投影； （2）解：如图，连接点O与小树的顶端，与水平线相交于点B，小树底端为A， 线段AB即小树影长． 【点睛】本题考查了平行投影和中心投影，根据投影线之间的关系判断出是哪一种投影是解题的关键． 易错必刷题二十二、已知三视图求侧面积或表面积 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图为一个立体图形的三视图，根据图示信息，求出这个立体图形的表面积和体积． 【答案】， 【分析】本题主要考查了根据三视图确定几何体的形状，求圆柱的体积和表面积，解题的关键先根据三视图确定圆柱的底面周长为，面积为，高为，再根据圆柱的体积和表面积公式，求出结果即可． 【详解】解：根据三视图可知，这是一个圆柱体，且底圆半径为，周长为，面积为，高为， ∴圆柱的侧面积为：， ∴表面积为 圆柱的体积为：． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）已知下图为一几何体从不同方向看到的图形． (1)写出这个几何体的名称； (2)若长方形的高为8，三角形的边长为3，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，用到的知识点为：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱． （1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱； （2）侧面积为长方形，它的长和宽分别为、8，计算出一个长方形的面积． 【详解】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱； （2）这个几何体的侧面积为（平方厘米）． 3．（2024·辽宁抚顺·三模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，十分巧妙．如图1是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字形几何体，其上下、左右、前后分别对称． (1)图2是这个鲁班锁主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整； (2)请从下列①，②两题中任选一题作答，我选择______题． ①已知这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积； ②已知这些四棱柱木条的高为3m，底面正方形的边长为a，求这个鲁班锁的表面积．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①，这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为20；②，这个鲁班锁的表面积为 【分析】本题主要考查的是三视图，主视图的面积和组合体的表面积， （1）按照主视图、左视图和俯视图的定义补充完整即可． （2）①由两个长方形的面积减去重叠部分的正方形的面积即可； ②先求解从正面看到的图形的面积，再乘以6即可得到表面积， 【详解】（1）解：如图； （2）选择① 这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为 这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为20． ②这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为； 这个鲁班锁的表面积为：． 易错必刷题二十三、由展开图计算几何体的表面积和体积 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)72． 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为直三棱柱； 故答案为：直三棱柱； （2）解：． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，是一个长方体及其展开图，已知展开图阴影部分的面积为． (1)求的值； (2)若用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长和宽至少要多少厘米？ 【答案】(1) (2)长至少，宽至少 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用， （1）根据图形列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据长方体的长、宽、高求出长方体展开图所在长方形的长和宽即可． 【详解】（1）解：∵展开图阴影部分的面积为， ∴， 解得：． （2）解：铁皮的长为：， 铁皮的宽为：， 答：用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长至少，宽至少． 3．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）（1）如图所示的平面图形分别是由哪种几何体展开形成的？ ①______；②______；③______；④______． （2）请你按照所给图形数据计算这个几何体的表面积（结果保留） 【答案】（1）圆柱；圆锥；六棱柱；长方体；（2） 【分析】本题考查几何体的展开图及其表面积，解题的关键是掌握几何体的展开图形，会求展开图的表面积． （1）根据几何体的展开图逐个分析即可； （2）先求出圆柱的底面积，再求出圆柱的表面积，两者相加即可． 【详解】（1）由题意可知，几何体为：①圆柱；②圆锥；①六棱柱；④长方体； 故答案为：圆柱；圆锥；六棱柱；长方体；． （2）解：， ， ． 易错必刷题二十四、直线、射线、线段的联系与区别 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．延长线段和延长线段的含义相同 B．射线和射线是同一条射线 C．两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离 D．延长直线 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质，两点间的距离定义，根据相关知识逐项分析判断即可． 【详解】A. 延长线段和延长线段的含义不同，延长方向不同，则延长后的端点不一样，故该选项错误； B. 射线和射线不是同一条射线，射线是有方向的，故该选项错误； C. 两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离，故该选项正确； D. 直线向两端无限延伸，因此直线不可延长，故该选项错误， 故选：C． 2．（2024七年级上·山东·专题练习）观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义进行判断． 【详解】解：直线是向两个方向无限延伸的，直线和直线是同一条直线，故正确； 线段有两个端点，不延伸，线段和线段是同一条线段，故不正确； 射线有一个端点，向一个方向无限延伸，射线和射线的端点相同，延伸的方向相同，是同一条射线，故正确； 说法正确的有个． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知：点，，在同一条直线上，线段，且线段，画图并计算： (1)若点在线段上，求的长； (2)若点在射线上，点是的中点，求线段的长． 【答案】(1)图见解析，4； (2)图见解析，2或4； 【分析】（1）在线段MN上截取PN=2，再计算线段的差即可； （2）分两种情况讨论：①当点在点左侧时，由线段差求得MP，再由线段中点计算求值即可；②当点在点右侧时，由线段和求得MP，再由线段中点计算求值即可； 【详解】（1）解：如图，点在线段上时， ； （2）解：①当点在点左侧时，如图所示： ， ∵点为的中点， ∴； ②当点在点右侧时，如图所示： 由图形可知：， ∵点为的中点， ∴， 综上所述，的长为2或4； 【点睛】本题考查了线段的和差计算，线段中点的有关计算；根据线段位置关系分情况讨论是解题关键． 易错必刷题二十五、直线相交的交点个数问题 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）同一平面内10条不同的直线，其中有4条直线，它们之间无公共点，另外还有4条直线，它们有一个共同的公共点，则这10条直线的公共点个数最多是（    ） A．31 B．33 C．34 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了直线相交的交点问题，根据10条不同的直线最多有个不同的交点，4条不同的直线最多有个不同的交点，进而可得，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：10条不同的直线最多有个不同的交点， 4条不同的直线最多有个不同的交点， 所以这10条直线的公共点个数最多是个． 故选C． 2．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 【答案】66 【分析】本题考查直线的交点问题，观察图形，可以得到同一平面内条直线，最多有个交点，即可得出结果． 【详解】解：观察图形，可得：同一平面内条直线，最多有个交点， ∴12条线直线相交最多有个交点； 故答案为：66． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ； (2)如图1，画射线； (3)如图1，画直线； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域． 【答案】(1)点M在直线l外 (2)见解析 (3)见解析 (4)9 【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空； （2）根据射线的定义即可画射线； （3）根据直线的定义即可画直线； （4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的不同的区域． 【详解】（1）解：点M与直线l的关系：M在直线l外； 故答案为：M在直线l外； （2）解：如图1，射线即为所求； （3）解：如图1，直线即为所求； （4）解：如图，新增的两条直线使得平面内最多新增9个不同的区域． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． 易错必刷题二十六、线段中点的有关计算 1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点D是线段的中点，若，，则的长度为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查线段中点以及线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点把线段分成两个相等的线段． 根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，线段，点C为线段上一点，，点D、E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义；根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得、的长，根据线段的和差，即可得的长． 【详解】解：∵线段，点C为线段上一点，， ∴， ∵点是的中点， ∴； ∵点是的中点， ∴， ∴． 故答案为： 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，，，为线段的中点．    (1)求线段的长，补全下面过程 ∵ ， ∴ ∵ 为线段的中点 ∴ （理由： ） (2)若点是直线上一点，且，则线段的长为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查线段和差，线段中点的定义，分类讨论思想，理解图示，中点的定义，掌握线段和差的计算方法，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段和差的计算，中点的定义进行计算即可求解； （2）根据点在直线上，分类讨论：当点在点左边时，；当点在点右边时，；由此即可求解． 【详解】（1）解：求线段的长，补全下面过程如图， ∵ ， ∴ ， ∵ 为线段的中点 ∴ （线段中点的定义）； 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∴， 当点在点左边时，； 当点在点右边时，； 故答案为：或． 易错必刷题二十七、与线段有关的动点问题 1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 2．（23-24七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是______； （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别表示出AP，CQ，故可求解； （2）根据中点的性质表示出MN，再根据线段的关系得到，故可得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动， 设运动时间为t ∴CP=t，BQ=2t ∴ ∵ ∴设BC=2a，AC=a ∴AP=AC-CP=a-t，CQ=BC-BQ=2a-2t=2（a-t） ∴AP=CQ ∴= 故答案为：； （2）如图，∵M是PQ中点，N是CQ的中点 ∴MQ=，NQ= ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查线段的和差问题，解题的关键是根据中点的性质表示出线段的长． 易错必刷题二十八、最短路径问题 1．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，小明从处出发沿街道行走，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）条．      A．18 B．16 C．12 D．9 【答案】A 【分析】根据图形，找到从到的最短路径（两长两短），再找到从到的最短路径（两长一短），综合起来即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    从到的最短路径有（两长两短）：，共计6条； 从到的最短路径有（两长一短）：，共计3条； 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数， 故选：A． 【点睛】本题考查数学图形解决实际问题，用列举法找到各个最短路径是解决问题的关键． 2．（23-24七年级上·吉林·期末）从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ． 【答案】 ② 相等 【分析】题目主要考查线段的和差，理解题意，结合图形求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得①、③两条路线的总长度相等； ②路线的长度最短，因为． 故答案为：②；相等． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有 A , B , C , D 四个点，按照下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段，在上取点 P ，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是直线、射线、线段的概念和画法，解题关键是掌握两点之间，线段最短； （1）根据直线的定义画出即可； （2）根据射线的定义画出即可； （3）由两点之间，线段最短可得点P就是和的交点，据此解答． 【详解】（1）解：直线如图； （2）解：射线如图； （3）解：线段及点 P如图． 易错必刷题二十九、与方向角有关的计算题 1．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）若小明看小华的方向是北偏东，则小华看小明的方向是（     ） A．南偏东 B．南偏东 C．南偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查方向角，根据题意画出图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，点A、点B分别表示小华，小明的方向， ∵小明看小华的方向是北偏东， ∴小华看小明的方向是南偏西， 故选：C． 2．（23-24七年级上·湖南永州·期中）在的北偏东度米处，那么在的 ． 【答案】南偏西度米 【分析】本题考查了方向角的概念，根据位置的相对性可知，它们的方向相反，角度相等，距离不变即可求解，正确理解方位角是解题的关键． 【详解】解：在的北偏东度米处，那么在的南偏西度米， 故答案为：南偏西度米． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)射线的方向是___________． (2)求的度数． (3)若射线平分，写出图中所有与互余的角，并说明理由． 【答案】(1)北偏东； (2)； (3)、，理由见解析． 【分析】本题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，余角的定义，解题的关键是掌握方向角的表达方法． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据等量关系，求出的度数； （3）根据射线平分，即可求出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 又射线的方向是北偏东， 与正北方向的夹角为：， 射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； （2）， ， ； （3）、与互余，理由如下： 平分， ， ，． 与互余． 易错必刷题三十、角的大小比较 1．（23-24七年级上·山东聊城·期中）若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，主要考查学生能否正确进行度分秒之间的换算．先把的度数化成度、分、秒，再比较即可，也可把和的度数化成度，再进行比较． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）比较大小： (用>、=、<填空) 【答案】< 【分析】本题主要考查了角度制和角的大小比较，理解并掌握角度制是解题关键．根据可得，将转化为的形式，再与进行比较即可得到答案． 【详解】解：依题意， ∵， ∴． 故答案为：<． 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.2°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、秒的换算1度分，即，1分秒，即．将，，的单位统一，再进行大小的比较． 【详解】解：∵， ，， ∴，即最大， 易错必刷题三十一、三角板中角度计算问题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将三个一样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角和补角，角度的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键． 首先求出和，然后根据求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵，， 又∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则 ． 【答案】/31度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及角的和差计算；关键是设出未知数找出等量关系列方程． 设，则，根据角的和差关系列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵比大 ∴设，则 根据题意得：， 解得：， ∴ 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2） 【分析】本题考查了角的运算，熟练掌握角的和、差的计算方法是解题的关键． （1）只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出； （2）先利用周角及，求出，再利用，求出，，可得，结合即可求解． 【详解】解：（1）因为三角板自带，，，的角， 所以只要，，，的角通过和、差、整数倍运算得出的角都可以画出， 如：，，，，等， 所以用三角板除了画出自带的角外，还能作出、、的角等（不唯一）； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 易错必刷题三十二、角平分线的有关计算 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点A、O、B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据题意得出，是解题的关键． 根据角平分线的概念得出，，从而得出． 【详解】解：∵，分别平分和， ∴，， ∴ ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知O为直线上一点，是直角，平分．若，则的度数为 °． 【答案】40 【分析】本题考查了角度直角的和差关系，角平分线，先求出，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40． 3．（23-24七年级上·天津·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先由平角的定义求出的度数，进而根据角的和差关系求出的度数即可； （2）由角平分线的定义得到，再用分别表示出和，据此可得结论； （3）先由平角的定义和角平分线的定义得到，，再由可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 易错必刷题三十三、求一个角的余角、求一个角的补角 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角和补角的定义，掌握互为锐角的两角和为、互为补角的两角和为是解题的关键． 先根据锐角的定义求得，再求出的补角即可． 【详解】解：由题意可得： ，则锐角的补角是． 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）若的补角是，则的余角的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】根据补角和余角的定义即可直接求解． 【详解】解：∵的补角是， ∴， ∴的余角的度数为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，解题时牢记定义是关键． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图所示，已知，的余角比小． (1)求的度数； (2)过点O作射线，使得，请你求出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，余角的定义： （1）根据余角的定义得到，再由求出，则； （2）先求出，再分当射线在内部时，当射线在外部时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵的余角比小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 当射线在内部时，则； 当射线在外部时，则； 综上所述，的度数为或． 易错必刷题三十四、同(等)角的余(补)角相等的应用 1．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，则图中，，三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查互余的概念，关键是掌握余角的性质．由，得出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 2．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，直线与相交于点O，∴，，∴，在此推理过程中，与相等的理由是 ． 【答案】同角的补角相等 【分析】本题考查了补角的性质，根据同角的补角相等解答即可． 【详解】∵直线与相交于点O， ∴，， ∴， 在此推理过程中，与相等的理由是同角的补角相等． 故答案为：同角的补角相等． 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）已知． (1)写出图中一组相等的角（除直角外）______，理由是______ (2)试猜想和在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)互补，理由见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等解答； （2）表示出，再求出，然后整理即可得解． 【详解】（1） 解：， ， ，； （2） 互补， ， ， ，和互补． 【点睛】本题考查了余角和补角，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 易错必刷题三十五、垂线的定义 1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（   ） A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短，点到一直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，据此可判断A、C、D，根据垂线段最短可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴线段的长是点P到直线的距离，原说法正确，不符合题意； B、∵， ∴由垂线段最短可知，三条线段中，最短，原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，符合题意； D、∵， ∴线段的长是点C到直线的距离，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：解：已知在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 3．（23-24七年级上·全国·期末）噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 【答案】(1)汽车行驶到点 (2)汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越小 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质． （1）过点作的垂线，垂足为，根据垂线段最短可得汽车行驶到此处时，对学校影响最大； （2）根据图象得出点P左侧和右侧对学校影响情况． 【详解】（1）解：如图，根据“垂线段最短”，过点作的垂线，垂足为，所以汽车行驶到点时，与学校距离最近，学校受噪声影响最严重； ； （2）解：如图，汽车行驶在段时，与学校的距离越来越近，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，与学校的距离越来越远，学校受噪声影响越来越小． 易错必刷题三十六、同位角、内错角、同旁内角 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）下图选项中是对同位角的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的知识，解题的关键是熟练掌握同位角的定义．两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．根据同位角的定义分析，即可得到答案． 【详解】解：A.和不是同位角，本选项不符合题意； B. 和是同位角，本选项符合题意； C. 和不是同位角，本选项不符合题意； D. 和不是同位角，本选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）如图，从已经标出的五个角中， （1）直线，被直线所截，与 是同位角； （2）直线，被直线所截，与 是内错角； （3）直线，被直线所截，与 是同旁内角． 【答案】 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形．根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位角． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，与是同位角； （2）直线，被直线所截，与是内错角； （3）直线，被直线所截，与是同旁内角． 故答案为：，， 3．（23-24七年级上·全国·假期作业）如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 【答案】同位角：和和；内错角：和和；同旁内角：和和和和． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．依此即可得出答案． 【详解】解：同位角：和，和； 内错角：和，和； 同旁内角：和，和，和，和． 易错必刷题三十七、平行线的应用 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】 ，， 不是 同一平面 【分析】本题考查了平行线的定义，熟练掌握平行线的定义是解此题的关键． （1）根据平行线的定义即可得解； （2）根据平行线的定义即可得解． 【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，， 故答案为：，，； （2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线 故答案为：不是，同一平面． 3．（23-24七年级上·全国·假期作业）如图，按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）：    (1)过上一点（不与点重合）画的平行线交于点； (2)过点画． 【答案】(1) (2) 【解析】略 易错必刷题三十八、平行线的判定 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：A． 2．（23-24七年级上·广东清远·期中）小泽在课桌上摆放了一副三角板，如图所示，得到，依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 3．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键；先证明，通过等量代换可证，再根据平行线的判定可证． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 易错必刷题三十九、平行线的性质 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由平角定义得到，于是得到． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 2．（2024七年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查平等线的判定与性质，根据题意得，再证明，由平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，是延长线上一点，，求证：． 解：， （________） ， ，（________）， ， ． 【答案】两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查平行线性质及判定的应用，解题关键是要掌握平行线的性质及判定定理，熟练运用它们进行推理和计算．根据平行线的性质及判定填空即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等） ， ，（内错角相等，两直线平行）， ， ． 1．（2024·湖南·模拟预测）2024年湖南省的GDP总额约为5万亿元，将数据5万亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：5万亿， 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知是圆锥（如图1）底面的直径，是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图所示．一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥侧面经过上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么，，S，（均在上）四个点中，它最有可能经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的性质，圆锥的侧面展开图，根据圆锥画出侧面展开图，根据两点之间线段最短可得它最有可能经过的点是N． 【详解】解：如图所示：根据圆锥侧面展开图，此蚂蚁所走的路线最短，那么，，，均在上四个点中，它最有可能经过的点是， ， 故选：B． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，．D是边上的一个动点（点D不与A，B重合），过点D，C作射线，与边，形成夹角分别为，，则与满足数量关系（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，根据与互补，与互余可得，，列式相减即可得出结论． 【详解】解：由图可知与互补，与互余， ∴①，②， 得． 故选：D． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）下列方格图中所有小正方形都是完全一样的，图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的方格纸片，把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由48个小正方形组成的方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有（    ）种不同放置方法． A．240 B．232 C．120 D．44 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确得出在方格纸片中，方格纸片的个数是解题关键． 先计算出方格纸片中共含有多少个方格纸片，再乘以4即可得． 【详解】由图可知，在方格纸片中，方格纸片的个数为（个） 则． 故选：B． 5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25七年级上·全国·期末）的绝对值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的定义，以及绝对值的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 先根据相反数的定义化简，再根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的绝对值是． 故答案为：3． 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： ．（填、或） 【答案】 【分析】本题主要考查了度、分、秒的转化运算，注意以60为进制，比较简单．先进行度、分、秒的转化运算，再对比即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若与是同类项，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同类项的定义，求代数式的值，熟记同类项的定义是解决问题的关键．根据同类项的定义：字母相同且相同字母的指数也相同，可得m，n的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：与是同类项， ， ， ， 故答案为：6． 9．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断是点P到直线l的距离即可． 【详解】解：直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，，垂足为A，， 点P到直线l的距离是， 故答案为：4． 10．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； 故答案为：； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 11．（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）按照从左至右的顺序进行计算即可； （3）把原式化为，再计算乘法，最后计算加法运算即可； （4）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 12．（24-25七年级上·全国·期末）若多项式与的差的值与x所取的值无关，试求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法在等知识． 先化简代数式，根据题意可知含x项的系数为0，进而求得m，n的值，代入化简后的代数式即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，， 解得，， ∴ ． 13．（24-25七年级上·江西吉安·期中）如图1是永新某楼盘户型图，图2是户型图的简图．相当于边长为的正方形纸片，减去两个小长方形（虚线部分）再加上一个小长方形（左上部分）得到一个户型图，设减去的右下角的小长方形的长和宽分别为、2，左下角的小长方形的长和宽分别为、1，左上角的小长方形长和宽分别为，1． (1)用含、的式子表示户型图的面积为__________；（结果必须化简） (2)用米，米时，求该户型图图形面积的值．设小区物业费收费标准是按该户型图图形面积每个月一个平方米1.5元，请问这个户型一年要交多少物业费？ 【答案】(1) (2)面积为106平方米，物业费为元． 【分析】考查了列代数式，代数式求值，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系是解答本题的关键． （1）根据图形，用正方形的面积减去两个长方形的面积加上一个长方形的面积，列式整理即可； （2）把米，米的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：根据图形有：， 故答案为：； （2）米，米时， 平方米， ∴物业费为：元， 即面积为106平方米，物业费为元． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）完成下面的推理填空： 已知：如图，分别在和上，与互余，于． 求证：． 证明：（已知）， （         ）， （已知）， ∴．( 同位角相等，两直线平行)， （_______）， 又， ， 又与互余（已知）， ∴． (___________)， （_______）． 【答案】垂直定义；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，垂直的定义，熟记平行线的判定方法与性质是解本题的关键．先证明，，可得，再利用余角的性质可得，从而可得答案． 【详解】证明∶（已知）， （垂直的定义）， （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又， ， 又与互余（已知）， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 15．（23-24七年级上·天津·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先由平角的定义求出的度数，进而根据角的和差关系求出的度数即可； （2）由角平分线的定义得到，再用分别表示出和，据此可得结论； （3）先由平角的定义和角平分线的定义得到，，再由可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之易错必刷题型（139题35个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、正负数的定义与应用 1．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）在，，，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作： ． 3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 易错必刷题二、有理数的分类 1．（24-25七年级上·广东茂名·期中）在下列数，，，，0，中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列语句： ①不带“”号的数都是正数； ②一个正数的前面加上负号就是负数； ③数7没有符号； ④不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数． 其中错误的有 ．（填序号） 3．（24-25七年级上·天津滨海新·期中）把下列各数填入相应的大括号里： ，，0，，，2005， 整数集合：{ …}；正数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}． 易错必刷题三、利用数轴比较有理数的大小 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）已知有理数：，0，，5，，． (1)画出数轴，在数轴上表示这些有理数； (2)用“<”把这些有理数连接起来． 易错必刷题四、相反数与绝对值 1．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如果和互为相反数，那么表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若m、n为相反数，且满足，则m的值为 ． 3．（24-25七年级上·山东临沂·期中）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重(单位：)的计算方式为：标准体重（年龄)2．下表是七年级某小组6位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 (1)表中哪几位同学的体重超出标准体重？分析该小组同学的体重超出或少于标准体重的情况． (2)表中哪位同学的体重最符合标准体重？要想了解同学的体重情况，除了判断正负数，还要考虑什么？据此进一步分析该小组同学的整体体重情况． 易错必刷题五、有理数大小比较的实际应用 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）立冬是冬季的第一个节气，通常标志着气温逐渐下降，进入冬季．如图记录了某地连续5天的日最低气温，则这5天中日最低气温中最低的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期五 2．（2024七年级上·黑龙江·专题练习），2，三个数中最小的数为 ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较，，，的大小． 易错必刷题六、有理数的加减混合运算 1．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）将写略号和式为(    ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）去掉绝对值符号． 计算．得 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 易错必刷题七、有理数乘除混合运算 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）对于有理数x，y，若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）计算下面各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) 易错必刷题八、有理数加减乘除混合运算的应用 1．（24-25七年级上·广东佛山·期中）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．为响应国家政策，何老师新换了一辆新能源纯电汽车，如表所示．以为标准，多于的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程                0                (1)最多的一天比最少的一天多走 ；这7天一共行驶 千米． (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，何老师的爱车在这7天里一共花费多少元的电费？ 2．（2024七年级上·全国·专题练习）某股票上周五的收盘价为元，本周此股票每日的涨跌情况如下表： 某股票一周涨跌情况表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 （当天的收盘价高出前一个交易日的收盘价元记作元；当天的收盘价低于前一个交易日的收盘价1.5元记作元．） (1)本周星期四此股票的收盘价是多少？ (2)若本周星期五此股票的收盘价为元，求的值，并说明星期五此股票是涨了还是跌了，涨或跌了多少元？ 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律可以使得运算更加简单．下面是计算主要过程，请在如表的方框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中． ①有理数加法法则；②加法交换律；③加法结合律； ④分配律；⑤有理数乘法法则；⑥有理数除法法则． （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） 依据：______） （依据：______） ． 易错必刷题九、含乘方的有理数混合运算 1．（2024·云南保山·模拟预测）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），二进制是逢2进1的计数制，两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：，按此方式，则（） A．8 B．4 C．16 D．15 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b规定．如：．则的值为 ． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如我们可以利用下面的图形计算得出的结果．方法如下： 如图示，与把正方形分割成了四个部分，其中是边长分别为10和2的正方形的面积，则是两个长宽分别为10和2的长方形的面积．由可列式计算：．    （1）请仿照此方法，直接列式计算； 列式计算： （2）利用数形结合的思想方法，计算； 画示意图： 列式计算： 易错必刷题十、代数式的概念 1．（24-25七年级上·山东·期末）在式子，，，，中，代数式的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·广西柳州·期中）对代数式“”赋予实际意义：如果一个篮球的价格是元，那么表示6个篮球的总价，请你再对代数式“”赋予一个实际意义 ． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期中）某校餐厅计划购买12张餐桌和若干把餐椅，先从甲、乙两个商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为60元，甲商场规定：购买一张餐桌赠送一张餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八折销售． (1)若学校计划购买把餐椅，则到甲商场购买所需的费用为_______；到乙商场购买所需的费用为_______； (2)若学校计划只在一家商场购进12张餐桌和30把餐椅，请通过计算说明，到哪个商场购买合算？ 易错必刷题十一、代数式的求值计算 1．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）如果、互为相反数，、互为倒数，则等于（    ） A．0 B．2 C．1 D． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示．例如，把x等于某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如时多项式的值记为．已知，若，则 ． 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）为了绿化校园，学校决定修建一块长方形空地，空地长，宽，并在空地上修建如图所示的三面宽都相等的小路．余下的长方形（阴影部分）做草坪（草坪长为b）． (1)用含有b的代数式表示小路的宽； (2)请用含b的代数式表示草坪三面临路的总长（图中深色加粗长度），并算出当时总长的值． 易错必刷题十二、单项式的系数、次数 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（   ） A．单项式的系数是0，次数也是0 B．单项式的系数是，次数是3 C．单项式的系数是，次数是7 D．单项式的系数是，次数是5 2．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，第n个单项式是 ．（n为正整数） 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 易错必刷题十三、多项式的项、项数或次数 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）在整式中，次数最高项是 ；一次项系数是 ． 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）有下列一组式子：，，，m，，，，，；将上述符合要求的式子分别填入下面的圈中．      易错必刷题十四、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1．（24-25七年级上·重庆·期中）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）把按照字母b降幂排列 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 易错必刷题十五、用代数式表示数、图形的规律 1．（24-25七年级上·四川南充·期中）如图，数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6， 10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第n个数记为，则第30个数的值为 （      ）    A．240 B．285 C．435 D．465 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第①个图案用了11根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了21根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律下去，第⑨个图案用的木棍根数是 3．（24-25七年级上·天津河西·期中）我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的小钢管的横截面图： (1)当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； (2)若按照这个规律继续堆砌小钢管，计算第25个图的钢管总数，并写出你的分析过程． 易错必刷题十六、合并同类项 1．（24-25七年级上·广西梧州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）合并同类项： ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）把下列多项式合并同类项： (1) (2) 易错必刷题十七、去括号、添括号 1．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）去括号： （1） ； （2） ； （3） ． 3．（23-24七年级上·河南周口·期中）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将 合并的结果为 　　． (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 易错必刷题十八、整式的加减运算与应用 1．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内、使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为，，（不计打结处丝带长度）． (1)用含a、b、c的代数式分别表示，，； (2)请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由． 易错必刷题十九、常见的几何体 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，下列四个几何体中，按照有无曲面的分类标准可以分成（   ） A．①和②③④ B．①②和③④ C．①③和②④ D．①2③和④ 2．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）将如图所示的长方体用过的平面切割，得到的两个几何体是 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，至少找出下列几何体的四个共同点． 易错必刷题二十、几何体中的点、棱、面 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（    ） A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 2．（2024七年级上·全国·专题练习）一个正棱锥有六个顶点，所有侧棱长的和为，则每条侧棱的长是 ． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 易错必刷题二十一、平行投影、中心投影、正投影 1．（2024北京海淀·二模）一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·甘肃白银·期末）如图，这是三个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，属于同一种投影是 ．    3．（23-24七年级上·福建三明·期末）如图是两根木杆及其影子的图形． (1)这个图形反映的是中心投影还是平行投影？答： ． (2)请你在图中画出表示小树影长的线段AB． 易错必刷题二十二、已知三视图求侧面积或表面积 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图为一个立体图形的三视图，根据图示信息，求出这个立体图形的表面积和体积． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）已知下图为一几何体从不同方向看到的图形． (1)写出这个几何体的名称； (2)若长方形的高为8，三角形的边长为3，求这个几何体的侧面积． 3．（2024·辽宁抚顺·三模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，十分巧妙．如图1是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字形几何体，其上下、左右、前后分别对称． (1)图2是这个鲁班锁主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整； (2)请从下列①，②两题中任选一题作答，我选择______题． ①已知这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积； ②已知这些四棱柱木条的高为3m，底面正方形的边长为a，求这个鲁班锁的表面积．（用含a的代数式表示） 易错必刷题二十三、由展开图计算几何体的表面积和体积 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，是一个长方体及其展开图，已知展开图阴影部分的面积为． (1)求的值； (2)若用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长和宽至少要多少厘米？ 3．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）（1）如图所示的平面图形分别是由哪种几何体展开形成的？ ①______；②______；③______；④______． （2）请你按照所给图形数据计算这个几何体的表面积（结果保留） 易错必刷题二十四、直线、射线、线段的联系与区别 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．延长线段和延长线段的含义相同 B．射线和射线是同一条射线 C．两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离 D．延长直线 2．（2024七年级上·山东·专题练习）观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 3．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知：点，，在同一条直线上，线段，且线段，画图并计算： (1)若点在线段上，求的长； (2)若点在射线上，点是的中点，求线段的长． 易错必刷题二十五、直线相交的交点个数问题 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）同一平面内10条不同的直线，其中有4条直线，它们之间无公共点，另外还有4条直线，它们有一个共同的公共点，则这10条直线的公共点个数最多是（    ） A．31 B．33 C．34 D．35 2．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点M与直线l的关系： ； (2)如图1，画射线； (3)如图1，画直线； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，将平面最多分成7个不同的区域，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个不同的区域． 易错必刷题二十六、线段中点的有关计算 1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点D是线段的中点，若，，则的长度为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 2．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，线段，点C为线段上一点，，点D、E分别为和的中点，则线段的长为 ． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，，，为线段的中点．    (1)求线段的长，补全下面过程 ∵ ， ∴ ∵ 为线段的中点 ∴ （理由： ） (2)若点是直线上一点，且，则线段的长为 ． 易错必刷题二十七、与线段有关的动点问题 1．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是______； （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 易错必刷题二十八、最短路径问题 1．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，小明从处出发沿街道行走，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）条．      A．18 B．16 C．12 D．9 2．（23-24七年级上·吉林·期末）从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有 A , B , C , D 四个点，按照下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段，在上取点 P ，使的值最小． 易错必刷题二十九、与方向角有关的计算题 1．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）若小明看小华的方向是北偏东，则小华看小明的方向是（     ） A．南偏东 B．南偏东 C．南偏西 D．南偏西 2．（23-24七年级上·湖南永州·期中）在的北偏东度米处，那么在的 ． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)射线的方向是___________． (2)求的度数． (3)若射线平分，写出图中所有与互余的角，并说明理由． 易错必刷题三十、角的大小比较 1．（23-24七年级上·山东聊城·期中）若，，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）比较大小： (用>、=、<填空) 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.2°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 易错必刷题三十一、三角板中角度计算问题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将三个一样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如，，，．小明利用三角板画出了一个的角．小乐利用三角板画出了一个的角．你还能用三角板画出多少度的角？ （2）如图，李老师将两个三角板放置在一起，于是产生了新的数学问题．，，，在，内作射线，，且，．求的度数． 易错必刷题三十二、角平分线的有关计算 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点A、O、B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知O为直线上一点，是直角，平分．若，则的度数为 °． 3．（23-24七年级上·天津·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 易错必刷题三十三、求一个角的余角、求一个角的补角 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）若的补角是，则的余角的度数为 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图所示，已知，的余角比小． (1)求的度数； (2)过点O作射线，使得，请你求出的度数． 易错必刷题三十四、同(等)角的余(补)角相等的应用 1．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，则图中，，三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，直线与相交于点O，∴，，∴，在此推理过程中，与相等的理由是 ． 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）已知． (1)写出图中一组相等的角（除直角外）______，理由是______ (2)试猜想和在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理由． 易错必刷题三十五、垂线的定义 1．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（   ） A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 3．（23-24七年级上·全国·期末）噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 易错必刷题三十六、同位角、内错角、同旁内角 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）下图选项中是对同位角的是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东聊城·开学考试）如图，从已经标出的五个角中， （1）直线，被直线所截，与 是同位角； （2）直线，被直线所截，与 是内错角； （3）直线，被直线所截，与 是同旁内角． 3．（23-24七年级上·全国·假期作业）如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 易错必刷题三十七、平行线的应用 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 2．（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 3．（23-24七年级上·全国·假期作业）如图，按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）：    (1)过上一点（不与点重合）画的平行线交于点； (2)过点画． 易错必刷题三十八、平行线的判定 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 2．（23-24七年级上·广东清远·期中）小泽在课桌上摆放了一副三角板，如图所示，得到，依据是 ． 3．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 易错必刷题三十九、平行线的性质 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 2．（2024七年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，是延长线上一点，，求证：． 解：， （________） ， ，（________）， ， ． 1．（2024·湖南·模拟预测）2024年湖南省的GDP总额约为5万亿元，将数据5万亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知是圆锥（如图1）底面的直径，是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图所示．一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥侧面经过上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么，，S，（均在上）四个点中，它最有可能经过的点是（　　） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，．D是边上的一个动点（点D不与A，B重合），过点D，C作射线，与边，形成夹角分别为，，则与满足数量关系（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）下列方格图中所有小正方形都是完全一样的，图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的方格纸片，把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由48个小正方形组成的方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有（    ）种不同放置方法． A．240 B．232 C．120 D．44 5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·全国·期末）的绝对值是 ． 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： ．（填、或） 8．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若与是同类项，则 ． 9．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    10．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 11．（24-25七年级上·福建漳州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25七年级上·全国·期末）若多项式与的差的值与x所取的值无关，试求多项式的值． 13．（24-25七年级上·江西吉安·期中）如图1是永新某楼盘户型图，图2是户型图的简图．相当于边长为的正方形纸片，减去两个小长方形（虚线部分）再加上一个小长方形（左上部分）得到一个户型图，设减去的右下角的小长方形的长和宽分别为、2，左下角的小长方形的长和宽分别为、1，左上角的小长方形长和宽分别为，1． (1)用含、的式子表示户型图的面积为__________；（结果必须化简） (2)用米，米时，求该户型图图形面积的值．设小区物业费收费标准是按该户型图图形面积每个月一个平方米1.5元，请问这个户型一年要交多少物业费？ 14．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）完成下面的推理填空： 已知：如图，分别在和上，与互余，于． 求证：． 证明：（已知）， （         ）， （已知）， ∴．( 同位角相等，两直线平行)， （_______）， 又， ， 又与互余（已知）， ∴． (___________)， （_______）． 15．（23-24七年级上·天津·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$