专题06 图形变换与投影视图展开图（考点清单，9个考点梳理+17个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期北京版

专题06 图形变换与投影视图展开图（9个考点梳理+17个题型解读+提升训练） 【清单01】平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【清单02】 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 【清单03】 平行投影与中心投影的区别与联系 1. 联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 注意： 　　在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 【清单04】 正投影投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 注意： (1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. (2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. (3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物 【清单05】 三视图的概念 （1） 视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 【清单06】 三视图之间的关系 （1） 位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 注意： 　物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 【清单07】 画几何体的三视图 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 注意： 　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 【清单08】由三视图想象几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 注意： 　由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 【清单09】 常见立方体的展开图 立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 1.正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 2.长方体的展开图 3.圆柱的展开图 （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 4.圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长 【考点题型一】平移变换 【例1】北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图是中国体育代表团的引导牌．下面四个图案中，可以通过平移图得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -1】如图，边长为2的正六边形的对称中心点P在函数的图象上，边在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（    ） A．左平移2个单位 B．右平移1个单位，上平移个单位 C．右平移2个单位 D．右平移个单位，上平移1个单位 【变式1 -2】如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)点B的坐标是 　 　； (2)在（1）的条件下，画出关于原点O对称的，点坐标是 　 　； (3)在（1）的条件下，平移，使点A移到点，画出平移后的，点的坐标是 　 　，点的坐标是 　 　 【变式1 -3】在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段（其中P，分别是O，M的对应点），延长至，使得，连接，交于点Q，称Q为点P关于线段的关联点． (1)如图，点． ①在图中画出点Q； ②求证：； (2)已知的半径为1，M是上一动点，，点P关于线段的关联点为Q，求的取值范围． 【考点题型二】旋转的概念 【例2】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2 -1】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2 -2】如图，在的方格纸中，A，B两点在格点上，线段绕某点(旋转中心)逆时针旋转角后得到线段，点与A对应，则旋转中心是(    )    A．点B B．点G C．点E D．点F 【变式2 -3】如图，在平面直角坐标系中，将格点绕某点逆时针旋转角（）得到格点，点A与点E，点O与点C，点B与点D是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点M，并写出点M的坐标； (2)直接写出旋转角的度数． 【考点题型三】旋转的性质 【例3】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 【变式3 -1】如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3 -2】如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：    ①当点第一次落在上时，旋转角为45°； ②当第一次与相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（    ） A．② B．均不正确 C．①② D．① 【变式3 -3】如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．9 【变式3 -4】如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到线段． (1)判断与的数量关系并证明； (2)将边绕点顺时针旋转得到线段，连接与边交于点（不与点，重合）． ①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； ②若，，直接写出的长．（用含，的式子表示） 【变式3 -5】已知是等边三角形，点P在的延长线上，以P为旋转中心，将线段逆时针旋转（）得线段，连接．    (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点M为线段的中点，连接．判断和的数量关系，并证明． 【变式3 -6】如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 【变式3 -7】在中，，，点为的延长线上一点，连接，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系． 【变式3 -8】在中，，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的度数； (2)如图2，当时，试判断和的数量关系，并说明理由； (3)当，时，若，，求点到的距离． 【变式3 -9】如图，在三角形中，，，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，．    (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为________； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【考点题型四】画旋转图形 【例4】如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长（结果保留）． 【变式4 -1】如图，在中，，.点D为边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、. (1)依据题意，补全图形； (2)直接写出的度数； (3)若点F为中点，连接交于点P，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. 【变式4 -2】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)记线段与线段的交点为，直接写出的大小． 【考点题型五】旋转对称 【例5】图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后，能与自身重合，则的值至少是（    ）    A．144 B．120 C．72 D．60 【变式5 -1】勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ）    A． B． C． D． 【变式5 -2】把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型六】旋转综合问题 【例6】[证明体验]（1）如图1，在△ABC和△BDE中，点A，B、D在同一直线上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求证：△ABC∽△DEB． （2）如图2，图3，AD＝20，点B是线段AD上的点，AC⊥AD，AC＝4，连结BC，M为BC中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE，连结DE． [思考探究]（1）如图2，当时，求AB的长． [拓展延伸]（2）如图3，点G过CA延长线上一点，且AG＝8，连结GE，∠G＝∠D，求ED的长． 【变式6 -1】在正方形中，点E在射线上（不与点B、C重合），连接，，将绕点E逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，点E在边上． ①依题意补全图1； ②若，，求的长； (2)如图2，点E在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式6 -2】如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式6 -3】在平面直角坐标系中，对于点P和，给出如下定义：若上存在一点T，使点P绕点T逆时针旋转的对应点在上，则称P为的旋转点．下图为的旋转点P的示意图． (1)已知：的半径为2． ①在点，，中，的旋转点是 ； ②点P在直线上，若点P为的旋转点，求点P的横坐标的取值范围． (2)设⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若在直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的旋转点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 　 　　 　　 【变式6 -4】已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 【考点题型七】成中心对称 【例7】在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式7 -1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)画出与关于原点中心对称的，点的坐标是________； (2)画出将绕着点逆时针方向旋转得到的． 【变式7 -2】如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段； （3）连接，求出四边形的面积． 【考点题型八】中心对称图形 【例8】下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式8 -1】下图中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】关于原点对称的点的坐标 【例9】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A． B． C． D． 【变式9 -1】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为 ． 【变式9 -2】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ． 【变式9 -3】在平面直角坐标系中，已知点．对于点P的变换线段给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N，称线段为点P的变换线段． 已知线段是点P的变换线段． (1)若点，则点M的坐标为______，点N的坐标为______； (2)若点P到点的距离为1 ①的最大值为______； ②当点O到直线的距离最大时，点P的坐标为______． 【变式9 -4】平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【变式9 -5】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ， ． 【考点题型十】轴对称图形 【例10】下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【变式10 -1】北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式10 -2】在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型十一】成轴对称 【例11】如图，矩形中，点E是边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则．上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式11 -1】已知：如图,在半径为4的⊙O中,AB为直径,以弦（非直径）为对称轴将折叠后与相交于点,如果,那么的长为 A． B． C． D． 【变式11 -2】如图，AD是的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上—点（不与点E重合），． （1）比较与的大小； （2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明. （3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明． 【变式11 -3】在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”． （1）如图2，的横、纵坐标都是整数． ①在线段中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______； ②若线段中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ； （2）已知直线交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长． 【变式11 -4】如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【变式11 -5】在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和点C给出如下定义：若点C在弦的垂直平分线上，且点C关于直线的对称点在上，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点，．在点，，，中，弦的“关联点”是______； (2)若点是弦的“关联点”，直接写出的长； (3)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围． 【考点题型十二】位似变换 【例12】视力表用来测量一个人的视力．如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是 A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【变式12 -1】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 【变式12 -2】如图，与位似，点O是它们的位似中心，相似比为，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12 -3】2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）    A．四边形与四边形的相似比为 B．四边形与四边形的相似比为 C．四边形与四边形的周长比为 D．四边形与四边形的面积比为 【变式12 -4】如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A(1，0)，O(0，0)，B(2，2)． （1）画出A1OB1，使A1OB1与AOB关于点O中心对称； （2）以点O为位似中心，将AOB放大为原来的2倍，得到A2OB2，画出一个满足条件的A2OB2． 【变式12 -5】在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：在图形，上找到任意两点，，使得在射线上存在点，使得，为正数，则称点为图形，图形的倍长点． (1)已知点，直线； ①点为点，直线的 -倍长点． ②点为点，直线的 -倍长点． (2)图形是圆心为，直径为的圆，图形为点，，所围成的三角形，若点为图形，图形的倍长点，请画出所有满足题意点所围成的图形，并求该图形的面积． (3)图形为圆心为，直径为的圆，图形为点，，所围成的三角形，若存在，，线段上任意点均为圆形，图形的倍长点，请直接写出的范围． 【变式12 -6】放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点，，，处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，为固定点，，，在点，处分别装上画笔． 画图：现有一图形，画图时固定点，控制点处的笔尖沿图形的轮廓线移动，此时点处的画笔便画出了将图形放大后的图形． 原理： 连接，，可证得以下结论： ①和为等腰三角形，则，（180°-∠_____）； ②四边形为平行四边形（理由是________）； ③，于是可得，，三点在一条直线上； ④当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的______倍得到的． 【变式12 -7】如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出与的位似中心点的位置； (2)若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为； (3)在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 投影视图展开图 未命名 【考点题型十三】平行投影 【例13】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸． 【变式13 -1】某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为，小李测得一棵树的影长为，那么这棵树的高是 ． 【变式13 -2】如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米． 【考点题型十四】中心投影 【例14】如图，小芸用灯泡O照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成影子A′B′C′D′．现测得OA＝20cm，OA′＝50cm，相框ABCD的面积为80cm2，则影子A′B′C′D′的面积为 cm 【变式14 -1】如图，小亮从一盏9米高的路灯下处向前走了米到达点处时，发现自己在地面上的影子CE是米，则小亮的身高DC为 米． 【考点题型十五】正投影 【例15】一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【变式15 -1】下列关于投影与视图的说法正确的是（　　　） A．平行投影中的光线是聚成一点的 B．线段的正投影还是线段 C．三视图都是大小相同的圆的几何体是球 D．正三棱柱的俯视图是正三角形 【变式15 -2】当投影线由物体的左方射到右方时，如图所示几何体的正投影是(      ) A． B． C． D． 【考点题型十六】几何体的三视图 【例16】某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：）．          (1)图中的立体图形的名称是：_________． (2)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 【变式16 -1】下列立体图形中，俯视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式16 -2】图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）    A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 【考点题型十七】基本几何体的平面展开图 【例17】下列图形中，正方体展开后得到的图形不可能是 A． B． C． D． 【变式17 -1】如图是某一正方体的展开图，那么该正方体是    A． B． C． D． 【变式17 -2】如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（    ） A． B．   C．   D．   【变式17 -3】如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 图形变换与投影视图展开图（9个考点梳理+17个题型解读+提升训练） 【清单01】平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【清单02】 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 【清单03】 平行投影与中心投影的区别与联系 1. 联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 注意： 　　在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 【清单04】 正投影投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 注意： (1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. (2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. (3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物 【清单05】 三视图的概念 （1） 视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 【清单06】 三视图之间的关系 （1） 位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 注意： 　物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 【清单07】 画几何体的三视图 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 注意： 　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 【清单08】由三视图想象几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 注意： 　由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 【清单09】 常见立方体的展开图 立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 1.正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 2.长方体的展开图 3.圆柱的展开图 （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 4.圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长 【考点题型一】平移变换 【例1】北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图是中国体育代表团的引导牌．下面四个图案中，可以通过平移图得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小、方向解答． 【详解】解：能通过平移得到的是A选项图案． 故选：A． 【变式1 -1】如图，边长为2的正六边形的对称中心点P在函数的图象上，边在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（    ） A．左平移2个单位 B．右平移1个单位，上平移个单位 C．右平移2个单位 D．右平移个单位，上平移1个单位 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质可得，因为点P在函数的图象上，因此可求出函数解析式，利用正六边形平移设，，根据平移后点B、C恰好都落在该函数的图象上，将这两个点代入函数解析式即可求出m、n的值，即可得出答案． 【详解】过点P作轴于点G，连接， 由题意可知，G是的中点， ， ， 点P在函数的图象上， ， ， 正六边形中， ， 在中，， ，， ，， 设正六边形向右平移m个单位，向上平移n各单位，则， 使点B、C恰好都落在该函数的图象上， ， 解得或， 又， ， 即正六边形右平移1个单位，上平移个单位， 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正六边形的性质，反比例函数的图像和性质，将正六边形的边角关系和反比例函数上点的坐标结合起来是解题的关键． 【变式1 -2】如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)点B的坐标是 　 　； (2)在（1）的条件下，画出关于原点O对称的，点坐标是 　 　； (3)在（1）的条件下，平移，使点A移到点，画出平移后的，点的坐标是 　 　，点的坐标是 　 　 【答案】(1) (2)见解析， (3)见解析，， 【分析】本题考查了中心对称作图，平移作图，中心对称与坐标的关系，平移与坐标的关系，属于基础题，解题的关键是正确作出变换后的图形． （1）根据点B的位置直接写出坐标，在轴上的点，其纵坐标是0； （2）先找出三点关于原点的对称点，再连接对称点即可，结合图形写出的坐标； （3）先找出三点平移后的对应点，再连接对应点即可，结合图形写出的坐标． 【详解】（1）解：点B的坐标是； 故答案为：； （2）解：如图所示： 点坐标是； 故答案为：； （3）解：如图所示： 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：，． 【变式1 -3】在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段（其中P，分别是O，M的对应点），延长至，使得，连接，交于点Q，称Q为点P关于线段的关联点． (1)如图，点． ①在图中画出点Q； ②求证：； (2)已知的半径为1，M是上一动点，，点P关于线段的关联点为Q，求的取值范围． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【分析】（1）①按要求画出图形即可，②连接，由平移的性质得四边形是平行四边形，则由得，证，即可得到结论； （2）由题意点的坐标是，分别求出当点M运动到点时，，当点M运动到点时，，由当点M运动到点时，有最小值，当点M运动到点时，有最大值，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：①如图所示， ②连接， ∵线段平移得到线段， ∴， ∴四边形是为平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示， 点的坐标是， 当点M运动到点时，点，，， 当点M运动到点时，点，，， ∵当点M运动到点时，有最小值，当点M运动到点时，有最大值， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质等知识，读懂题意，正确画图是解题的关键． 【考点题型二】旋转的概念 【例2】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心． 【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图： 故选∶A． 【变式2 -1】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式2 -2】如图，在的方格纸中，A，B两点在格点上，线段绕某点(旋转中心)逆时针旋转角后得到线段，点与A对应，则旋转中心是(    )    A．点B B．点G C．点E D．点F 【答案】C 【分析】本题考查旋转的定义和旋转的性质，根据对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，由此即可得出答案，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题． 【详解】解：由网格图可知： 垂直平分，垂直平分， ∴交点E就是旋转中心． 故选：C． 【变式2 -3】如图，在平面直角坐标系中，将格点绕某点逆时针旋转角（）得到格点，点A与点E，点O与点C，点B与点D是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点M，并写出点M的坐标； (2)直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)画图见解析， (2) 【分析】（1）画出对应点连线段和的垂直平分线的交点M，即为旋转中心，从而得到坐标； （2）根据对应点A和E与旋转中心M的连线所成的角即为旋转角，由图像可直接得出． 【详解】（1）解：如图，旋转中心M即为所求， ； （2）∵逆时针旋转， ∴旋转角为． 【点睛】本题考查了旋转画图，旋转中心和旋转角，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【考点题型三】旋转的性质 【例3】如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角；由旋转的性质得，由等边对等角得，则有，从而得证． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， 而点在的延长线上，， ∴， ∴， ∴． 【变式3 -1】如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得． 【详解】解：，， ， 由旋转得，，， ， ， 故选：B． 【变式3 -2】如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：    ①当点第一次落在上时，旋转角为45°； ②当第一次与相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（    ） A．② B．均不正确 C．①② D．① 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． ①当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得； ②当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，先求出，，，即可得出结论． 【详解】解：①当点C第一次落在上时， 连接，   ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 三点共线， ， ， ， ， ，故①不正确； 当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，   是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当第一次与相切时，旋转角为，故②正确， 故选：A． 【变式3 -3】如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质．连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长． 【详解】解：如图所示，连接，    由旋转可得，， ∴，， 又∵， ∴H为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵，，∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：B． 【变式3 -4】如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到线段． (1)判断与的数量关系并证明； (2)将边绕点顺时针旋转得到线段，连接与边交于点（不与点，重合）． ①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； ②若，，直接写出的长．（用含，的式子表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）由旋转可知，再由，可得，即可证明； （2）①在上取点使得，先证明，再证明，即可求解； ②由①可知，，则，即可求出． 【详解】（1）证明：，理由如下： 由旋转可知， ， ， ， ； （2）解：①，理由如下： 在上取点使得， ，， ， ， ，， 又， ， ， ， ； ②由①可知，，， ， ． 【变式3 -5】已知是等边三角形，点P在的延长线上，以P为旋转中心，将线段逆时针旋转（）得线段，连接．    (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点M为线段的中点，连接．判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1)图见解析， (2)，证明见解析 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得； （2）以为边作等边三角形，连接，证明，可得，由旋转的性质和三角形中位线定理可得． 【详解】（1）解：由题意，作图如图1，    ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：，证明如下； 如图2，以为边作等边三角形，连接，    ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴点H， P， Q三点共线， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，中位线等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【变式3 -6】如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②，见解析 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得． 【详解】（1）， 证明：是等边三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ； （2）①当时， 则， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下： 延长到，使，连接，， 为的中点， ， 四边形为平行四边形， 且， ，， 又， ， ， 又，， △， ， 又为正三角形， ， ． 【变式3 -7】在中，，，点为的延长线上一点，连接，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意画出图形，即可求解； （2）由余角的性质可求解； （3）由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】（1）补全图形如图所示； （2）， ， 以为中心，将线段顺时针旋转 得到线段， ， ， ； （3）线段，，之间的数量关系是， 理由如下：过点作交的延长线于点． ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在 与 中， ， ． ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式3 -8】在中，，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的度数； (2)如图2，当时，试判断和的数量关系，并说明理由； (3)当，时，若，，求点到的距离． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）①根据旋转的性质可得，根据可得，是等边三角形，利用得出即可得结论；②根据全等三角形及等边三角形的性质可得，根据邻补角的定义及角的和差关系即可得答案； （2）过点作于，根据等腰三角形的性质求出，利用的三角函数得出，进而得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得出； （3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N，利用的三角函数及勾股定理可求出的长，利用（2）的结论可得的长，利用三角形内角和定理得出，利用含角的直角三角形的性质求出的长即可得答案． 【详解】（1）①证明：∵将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，， ∴， ∵，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴（）， ∴． ②∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （2）（2）解：结论：．理由如下： 如图，过点作于 ∵，，， ∴，， ∴，， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴是锐角三角形， 过点作于，过点作于N． 在中，∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故点到的距离为． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形及含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质及判定定理并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 【变式3 -9】如图，在三角形中，，，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，．    (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为________； ②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)'，证明见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质． （1）由得到，由旋转可得，，从而，又，证得，得证； （2）①当时，，又，因此，再根据， 得到，从而． ②延长到N，使，连接、，易证四边形为平行四边形，因此且，从而，，因此，从而证得，故，在等腰直角中，，因此． 【详解】（1），    证明：∵，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）（2）①当时， 则， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： ②，理由如下： 延长到N，使，连接、， ∵M为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵'为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【考点题型四】画旋转图形 【例4】如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析，； (2)． 【分析】（1）将点分别绕点顺时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可； 本题主要考查了作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式． 【详解】（1）如图所示，即为所求， 点的坐标为； （2）由图知， ，， ∴点在旋转过程中所走过的路径长为． 【变式4 -1】如图，在中，，.点D为边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、. (1)依据题意，补全图形； (2)直接写出的度数； (3)若点F为中点，连接交于点P，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题关键， （1）依题意，补全图形即可； （2）根据角的和差计算即可； （3）作，交延长线于点M，证明，得出，即可证出结论． 【详解】（1）解：依题意，补全图形，如下： （2）解：由题意得：， ； （3）解：，理由如下： 如下图：作，交延长线于点M， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式4 -2】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)记线段与线段的交点为，直接写出的大小． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查旋转作图、由图形写坐标和求角度，涉及旋转性质、图形与坐标、三角形全等的判定与性质、对顶角相等和三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质及图形与坐标是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质作出三个顶点绕点顺时针旋转90°的对应点，连线即可得到； （2）由（1）中作出的即可得到答案； （3）过作轴于、过作轴于，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而，再由对顶角相等、等量代换及三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）解：作图如下： 即为所求； （2）解：由（1）中图形，如图所示： ； （3）解：在（1）的图形中，过作轴于、过作轴于，如图所示： ， ， ， ， 在中，，则， 在中，由三角形内角和定理可知， ． 【考点题型五】旋转对称 【例5】图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后，能与自身重合，则的值至少是（    ）    A．144 B．120 C．72 D．60 【答案】C 【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合， 旋转的度数至少为， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念是解题的关键． 【变式5 -1】勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴． ∴该角度可以为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，图形的旋转，等边三角形的性质，熟练掌握弧，弦，圆心角的关系是解题的关键． 【变式5 -2】把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，即可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度； B、最小旋转角度； C、最小旋转角度； D、最小旋转角度； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是D． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键． 【考点题型六】旋转综合问题 【例6】[证明体验]（1）如图1，在△ABC和△BDE中，点A，B、D在同一直线上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求证：△ABC∽△DEB． （2）如图2，图3，AD＝20，点B是线段AD上的点，AC⊥AD，AC＝4，连结BC，M为BC中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE，连结DE． [思考探究]（1）如图2，当时，求AB的长． [拓展延伸]（2）如图3，点G过CA延长线上一点，且AG＝8，连结GE，∠G＝∠D，求ED的长． 【答案】（1）见解析 （2）①AB＝16，② 【分析】（1）、由同角的余角相等，即可证出两三角形相似． （2）、①由旋转性质和中点可以得到BE＝DE，再由等腰三角形三线合一及相似列方程求解即可，②过点M作AD的垂线交AD于点H，过点E作AD的垂线交AD于点F，过D作DP⊥AD，过E作NP⊥DP，交AC的延长线于N，再由三角形全等和三角形相似列方程求出． 【详解】解：（1）证明  ∵∠A＝90°，∠CBE＝90°， ∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°， ∴∠C＝∠DBE（同角的余角相等）． 又∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABC∽△DEB； （2）①∵M绕点B顺时针旋转90°至点E，M为BC中点， ∴△BME为等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴BE＝DE． 如图，过点E作EF⊥AD，垂足为F，则BF＝DF， ∵∠A＝∠CBE＝∠BFE＝90°， ∴由（1）得：△ABC∽△FEB， ∴， ∵AC＝4， ∴BF＝2， ∴AB＝AD－BF－FD＝20－2－2＝16； ②如图，过点M作AD的垂线交AD于点H，过点E作AD的垂线交AD于点F，过D作DP⊥AD，过E作NP⊥DP，交AC的延长线于N， ∵M为BC中点，MH∥AC， ， ∴，BH＝AH， ∵∠MHB＝∠MBE＝∠BFE＝90°， 由（1）得： ， ∵MB＝EB， ∴△MHB≌△BFE， ∴BF＝MH＝2，EF＝BH， 设EF＝x，则DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20－2－2x＝18－2x，GN＝x＋8，NE＝AF＝2x＋2， 由(1)得△NGE∽△PED， ∴即， 解得，（舍去）， ∴FD＝18－2x＝6， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等知识，牢固掌握所有知识点，并通过分析题目做出辅助线，通过三角形相似列出方程是本题的关键． 【变式6 -1】在正方形中，点E在射线上（不与点B、C重合），连接，，将绕点E逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，点E在边上． ①依题意补全图1； ②若，，求的长； (2)如图2，点E在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)，证明见解析 【分析】（1）①根据题意作图即可； ②过点F作，交的延长线于H，证明得到，，则，在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点F作，交的延长线于H，证明得到，，则，和都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①如图所示，即为所求； ②如图所示，过点F作，交的延长线于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． （2）结论：，理由如下： 过点F作，交的延长线于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形． 【变式6 -2】如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据条件证出，即可得证． （2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可． 【详解】（1） 解：证明：∵绕点B按逆时针方向旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴． （2） 解：由旋转可得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键． 【变式6 -3】在平面直角坐标系中，对于点P和，给出如下定义：若上存在一点T，使点P绕点T逆时针旋转的对应点在上，则称P为的旋转点．下图为的旋转点P的示意图． (1)已知：的半径为2． ①在点，，中，的旋转点是 ； ②点P在直线上，若点P为的旋转点，求点P的横坐标的取值范围． (2)设⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若在直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的旋转点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 　 　　 　　 【答案】(1)①M，N；②或 (2)或 【分析】（1）①画出图形，结合“旋转点”的定义即可解答；②如图，点T是上的任意一点，将点P绕点T逆时针旋转得到点R，连接，．将点P绕点C逆时针旋转得到点F，连接，，设交于点K．结合等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定和性质即可证明，说明点R的运动轨迹为以F为圆心为半径的圆．即当时，与有交点，说明当时，P为的旋转点．最后再由这个结论即可求解； （2）由图易知与直线平行且与相切的直线解析式为，过点C作该直线的垂线，垂足为H，设该直线与x轴交于点E．由（1）可知，当时，在直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的旋转点，进而可求出点C的横坐标取值范围．再根据圆的对称性求出点C在y轴左侧满足条件的点C的横坐标取值范围即可． 【详解】（1）①如图1， ∵点绕点逆时针旋转的对应点在上， ∴M为的旋转点； ∵点绕点逆时针旋转的对应点在上， ∴N为的旋转点； ∵点绕圆上任意点逆时针旋转的对应点不在上， ∴O不是的旋转点． 故答案为：M，N； ②如图2中，点T是上的任意一点，将点P绕点T逆时针旋转得到点R，连接，．将点P绕点C逆时针旋转得到点F，连接，，设交于点K． ∴和都为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴点R的运动轨迹为以F为圆心为半径的圆． 当时，与有交点， ∴当时，P为的旋转点．   如图3， 结合前面所得结论和的半径为2，即得出： 当，即和当，即时，点P为的旋转点， ∴当时，点P为的旋转点， 结合圆的对称性可知当时，点P也为的旋转点． 综上可知点P的横坐标的取值范围为或； （2）如图4，由图易知与直线平行且与相切的直线解析式为，过点C作该直线的垂线，垂足为H，设该直线与x轴交于点． 由（1）可知，当时，在直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的旋转点， ∴圆心C的横坐标的取值范围是， 根据圆的对称性可知当时也满足． 综上可知圆心C的横坐标的取值范围是或． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查点与圆的位置关系，两圆的位置关系，相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似三角形解决问题，学会取特殊点解决问题，属于中考压轴题． 【变式6 -4】已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）依题意即可补全图形， 连接，由题意得，即，，推出，由旋转的性质得到，进而得到，易得，根据F为的中点，得到，易证，，推出，即可求解； （2）延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：补全图1，如图，连接， ， ，即， ， ， ， ， ， ， F为的中点， ， ，， ， 同理， ， ， ， ； （2）， 证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．    是的中点， ． ，， ． ． ． ． 在中， ． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 【点睛】本题是一道几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 【考点题型七】成中心对称 【例7】在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征对B进行判断；根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断． 【详解】解：A、与关于y轴对称，所以A选项不符合题意； B、与关于x轴对称，所以B选项不符合题意； C、与关于对称，所以C选项不符合题意； D、与关于原点对称，所以D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 【变式7 -1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)画出与关于原点中心对称的，点的坐标是________； (2)画出将绕着点逆时针方向旋转得到的． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】（1）分别找到点、点、点关于原点对称的点、点、点，顺次连接即可，根据坐标系写出点的坐标； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点、即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；点的坐标是； （2）解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 【变式7 -2】如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段； （3）连接，求出四边形的面积． 【答案】作图见解析；（2）作图见解析；（3）24． 【分析】（1）连接AO并延长一倍即可得到； （2）由于是一个正方形对角线，再找一个以为顶点的正方形，与相对的点即为，连接线段； （3）连接，由求出四边形面积． 【详解】如图所示 （1）作出点A关于点O的对称点； （2）连接，画出线段； （3）连接，过点A作于点E，过点作于点F；                  ． ∴四边形的面积是24． 【点睛】此题主要考查了图象的旋转以及中心对称，同时考查在网格中的面积计算问题，熟练掌握旋转变换和中心对称变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键． 【考点题型八】中心对称图形 【例8】下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式8 -1】下图中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：A． 【考点题型九】关于原点对称的点的坐标 【例9】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 【变式9 -1】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标系上点的坐标的规律，熟练掌握关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 【变式9 -2】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 【变式9 -3】在平面直角坐标系中，已知点．对于点P的变换线段给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N，称线段为点P的变换线段． 已知线段是点P的变换线段． (1)若点，则点M的坐标为______，点N的坐标为______； (2)若点P到点的距离为1 ①的最大值为______； ②当点O到直线的距离最大时，点P的坐标为______． 【答案】(1)， (2)）①；②或 【分析】（1）根据中心对称及点的平移即可得出结果； （2）①根据题意作出相应图象，然后得出当点P，M，N三点共线时，取得最大值为，结合平移即可得出结果； ②令点，连接，点P在以点E为圆心，1为半径的圆上，作直线使得且直线与圆E相切，连接，，过点E作，根据等腰直角三角形的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵P关于原点O的对称点为M，， ∴点M的坐标为， 将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N， ∴点N的坐标为， 故答案为：，； （2）①∵点P到点的距离为1， ∴点P在如图所示的圆上， ∵，点P关于原点O的对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N， ∴当点P，M，N三点共线时，取得最大值为， 由图得：， 故答案为： ②令点，连接，点P在以点E为圆心，1为半径的圆上，作直线使得且直线与圆E相切，连接，，过点E作， ∴点O到直线的最大距离即为， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得：， 综上可得：点P的坐标为或． 【点睛】题目主要考查中心对称及平移求点的坐标，点到直线的距离，勾股定理解三角形等，理解题意，利用树形结合思想求解是解题关键． 【变式9 -4】平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】解：已知点与点关于原点对称， 则，即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 【变式9 -5】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：2；2． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键． 【考点题型十】轴对称图形 【例10】下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念依次判定即可． 【详解】A．该图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意； B．该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故不符合题意； C．该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故不符合题意； D．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 【变式10 -1】北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义与判断，根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 【变式10 -2】在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有圆、正六边形，共两个． 故选：B． 【考点题型十一】成轴对称 【例11】如图，矩形中，点E是边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则．上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 由四边形是矩形，得到，进一步得到，即可判断①；假设成立，因为与不平行，所以，由可推导出，则，所以，可知，矩形是特殊矩形，与已知条件不符，即可判断②；由，得到，，再证明，得到，则，可判断③． 【详解】 解：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点D关于直线的对称点点F在边上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； 假设成立， ∵与不平行， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，则， ∴， 显然，矩形是特殊矩形，与已知条件不符， ∴不成立，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， 故选：B． 【变式11 -1】已知：如图,在半径为4的⊙O中,AB为直径,以弦（非直径）为对称轴将折叠后与相交于点,如果,那么的长为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：如图，AC为折叠线，把折叠线看作对称轴，折叠后得到的弧AC所在的⊙P与⊙O关于AC对称，如图，连接DF,CF,BC,根据直径所对的圆周角是直角，可知:点B、C、F三点共线，即△ABF是等腰三角形，且AC⊥BF，FD⊥AB，由AO=4，AD=3DB可得：AD=6，BD=2，AB=8，由轴对称可知：AF=8，所以，；根据可以求出,故选A. 考点：1、轴对称的性质；2、圆周角定理；3、勾股定理. 【变式11 -2】如图，AD是的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上—点（不与点E重合），． （1）比较与的大小； （2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明. （3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明． 【答案】（1），理由见详解；（2），理由见详解；（3）DH⊥AC． 【分析】（1）过点A作AG⊥CE，然后利用HL证明Rt△ABD≌Rt△AFG，即可得到结论成立； （2）连接AE，则AE=AF，则AG垂直平分EF，则，即可得到答案； （3）连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H，由等腰三角形的性质知∠BAM+∠ABM=90°，再利用四边形内角和定理说明∠ACB+∠BAM=90°，则∠ACD=∠ABM，由∠AMB=∠ADB=90°，由四点A、B、D、M共圆解决问题． 【详解】解：（1）； 理由如下：过点A作AG⊥CE，如图： 根据题意，点B关于直线AC的对称点为E， ∴AC平分∠BCE， ∵AD⊥BC，AG⊥CE， ∴AD=AG， ∵AF=AB， ∴Rt△ABD≌Rt△AFG（HL）， ∴； （2）； 理由如下：连接AE，如图： ∵Rt△ABD≌Rt△AFG， ∴， ∵点B关于直线AC的对称点为E， ∴AB=AE， ∴AE=AF， ∴AG垂直平分EF， ∴， ∴， ∴； （3）DM⊥AC，理由如下： 连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H， ∵AB=AF，点M为BF的中点， ∴AM⊥BF， ∴∠BAM+∠ABM=90°， ∵点B关于直线AC的对称点为E， ∴∠ACB=∠ACF， ∵∠ABC=∠AFE， ∴∠ABC+∠AFC=180°， ∴∠BAF+∠BCF=180°， ∴∠ACB+∠BAM=90°， ∴∠ACD=∠ABM， ∵∠AMB=∠ADB=90°， ∴四点A、B、D、M共圆， ∴∠ABM=∠ADM， ∴∠ADM+∠HDC=90°， ∴∠ACD+∠HDC=90°， ∴DH⊥AC． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 【变式11 -3】在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”． （1）如图2，的横、纵坐标都是整数． ①在线段中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______； ②若线段中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ； （2）已知直线交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长． 【答案】（1）① A1B1；②2或3；（2）b的最大值为，此时BC＝；b的最小值为，此时BC＝ 【分析】（1）①根据题意作出图象即可解答；②根据“关联线段”的定义，可确定线段A2B2存在“关联线段”，再分情况解答即可； （2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小；然后分别画出图形求解即可； 【详解】解：（1）①作出各点关于直线y=x+2的对称点，如图所示，只有A1B1符合题意； 故答案为：A1B1； ②由于直线A1B1与直线y=-x+m垂直，故A1B1不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”； 由于线段A3B3=，而圆O的最大弦长直径=2，故A3B3也不是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”； 直线A2B2的解析式是y=-x+5，且，故A2B2是⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”； 当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，1）与（1,0）时，m=3， 当A2B2是⊙O的关于直线y＝-x＋m对称的“关联线段”，且对应两个端点分别是（0，-1）与（-1,0）时，m=2， 故答案为：2或3． （2）设与AB对应的“关联线段”是A’B’，由题意可知：当点A’（1，0）时，b最大，当点A’（-1，0）时，b最小； 当点A’（1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M， ∴CA’=CA=3， ∴点C坐标为（4，0）， 代入直线，得b=； ∵A’B’=OA’=OB’=1， ∴△OA’B’是等边三角形， ∴OM=，， 在直角三角形CB’M中，CB'=，即； 当点A’（-1，0）时，如图，连接OB’，CB’，作B’M⊥x轴于点M， ∴CA’=CA=3， ∴点C坐标为（2，0）， 代入直线，得b=； ∵A’B’=OA’=OB’=1， ∴△OA’B’是等边三角形， ∴OM=，， 在直角三角形CB’M中，CB'=；即 综上，b的最大值为，此时BC＝； b的最小值为，此时BC＝． 【点睛】本题是新定义综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特点、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，正确理解新定义的含义、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 【变式11 -4】如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式11 -5】在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和点C给出如下定义：若点C在弦的垂直平分线上，且点C关于直线的对称点在上，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点，．在点，，，中，弦的“关联点”是______； (2)若点是弦的“关联点”，直接写出的长； (3)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）由点坐标可知弦的垂直平分线为轴，根据新定义求出各点关于弦对称的点坐标，然后根据是否在上，进行判断作答即可； （2）由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心，则为弦的垂直平分线，点关于直线的对称点为或，然后作图，构造直角三角形，利用勾股定理，垂径定理求解即可； （3）根据点，，结合“关联点”的定义和垂径定理，分别求得的极值即可得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴弦的垂直平分线为轴， ∴关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”； 关于直线对称的点坐标为，不在上，即不是“关联点”； 不在弦的垂直平分线上，即不是“关联点”； 关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”； 故答案为：，； （2）解：由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心， ∵点是弦的 “关联点”， ∴为弦的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为或， 当对称点为时，直线为，如图1，线段， 则，， 由勾股定理得，， ∴； 当对称点为时，直线为，如图1，线段， 则，， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述，的长为或； （3）如图，设交于K，当于S时，设交于，作线段的垂直平分线交于P，Q，交于E，连接， 在中，， E是的中点， ， 半径 ， 当点S沿线段运动到接近上时，逐渐减小， 当点S与M重合时，则 与互相垂直平分，如图，连接， ， 在中，， 当点S运动到点K时，如图，经过点O，与互相垂直平分， ， 综上所述，t的取值范围为或； 【点睛】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理，理解题意联系所学知识是解题的关键． 【考点题型十二】位似变换 【例12】视力表用来测量一个人的视力．如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是 A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【答案】D 【分析】开口向下的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A． 【详解】根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换， 故选D． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形． 【变式12 -1】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点O B．点P C．点M D．点N 【答案】B 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上． 【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键． 【变式12 -2】如图，与位似，点O是它们的位似中心，相似比为，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，利用位似的性质判断解答即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∴， ∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； ∴， ∴． ∴， 故ACD正确，B错误， 故选：B． 【变式12 -3】2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）    A．四边形与四边形的相似比为 B．四边形与四边形的相似比为 C．四边形与四边形的周长比为 D．四边形与四边形的面积比为 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．先利用位似的性质得到，然后根据相似的性质进行判断． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点， ， ∴， 四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为． 故选：D． 【变式12 -4】如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A(1，0)，O(0，0)，B(2，2)． （1）画出A1OB1，使A1OB1与AOB关于点O中心对称； （2）以点O为位似中心，将AOB放大为原来的2倍，得到A2OB2，画出一个满足条件的A2OB2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）分别找到A(1，0)，B(2，2)关于原点中心对称的点A1，B1，再连接O、A1，B1即可； （2）以点O为位似中心，根据相似比为1：2找到点A2，B2再连接A2，B2，O即可． 【详解】解：（1）如图：A1OB1即为所求作的图形． （2）如图：A2OB2即为所求作的图形． 【点睛】本题考查作位似图形、中心对称图形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式12 -5】在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：在图形，上找到任意两点，，使得在射线上存在点，使得，为正数，则称点为图形，图形的倍长点． (1)已知点，直线； ①点为点，直线的 -倍长点． ②点为点，直线的 -倍长点． (2)图形是圆心为，直径为的圆，图形为点，，所围成的三角形，若点为图形，图形的倍长点，请画出所有满足题意点所围成的图形，并求该图形的面积． (3)图形为圆心为，直径为的圆，图形为点，，所围成的三角形，若存在，，线段上任意点均为圆形，图形的倍长点，请直接写出的范围． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】（1）①根据题意画出图形，根据新定义，即位似的性质，结合平行线分线段成比例，即可求解； ②根据平行线分线段成比例，结合新定义，即可求解； （2）根据题意，画出位似图形，进而求组合图形的面积即可求解； （3）根据（2）的图形，类比可得线段在圆形，图形的倍长点围成的图形内部，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，连接交于点，过点作轴于点，与轴交于点，    ∴ ∴, 即， ∴为点，直线的-倍长点． 故答案为：． ②如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，设直线与交于点， 则 ∴ ∴ ∴点为点，直线的-倍长点．    故答案为：，． （2）解：∵图形为点，，所围成的三角形，点为图形，图形的倍长点， ∴满足题意点所围成的圆形是,,为圆心为半径的圆以及圆的六条切线所构成的图形，如图所示阴影部分    则直线为：，直线，则是等腰直角三角形， 标记字母如图所示，    设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，则直线与坐标轴的夹角为，即， ∵是切线， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 根据垂径定理，可得, ∴的解析式， 当时，，则， ∴， ∴， 如图所示，    同理可得直线的解析式， 则， ∴， ∵是的切线，， ∴， ∴四边形的面积， ∴阴影部分的面积为 ， （3）解：如图所示，∵，， 设为，的中点，则，， 过点作直径，且与轴平行，则， 过点分别作的垂线，垂足分别为，则，，    根据（2）可得，当的直线对应时，取得较小值，则， 当的直线对应时，取得较大值，则， ∴， 如图所示，过点作的切线，交轴于点，    ∴，即， 同理可得和， 则， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了新定义，位似图形的性质，平行线分线段成比例，圆与直线的位置关系，扇形面积公式，勾股定理，一次函数，熟练掌握新定义是解题的关键． 【变式12 -6】放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点，，，处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，为固定点，，，在点，处分别装上画笔． 画图：现有一图形，画图时固定点，控制点处的笔尖沿图形的轮廓线移动，此时点处的画笔便画出了将图形放大后的图形． 原理： 连接，，可证得以下结论： ①和为等腰三角形，则，（180°-∠_____）； ②四边形为平行四边形（理由是________）； ③，于是可得，，三点在一条直线上； ④当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的______倍得到的． 【答案】①②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④ 【分析】①由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得结论； ②根据平行四边形的判定定理进行判定即可； ③根据位似图形的性质求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ①∵， ∴ ∴△OAD和△OEC是等腰三角形， ∴∠，∠ ∴∠，∠ ②∵， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ③∵ ∴，，三点在一条直线上； ④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形， ∴其倍数比为三角形的边长比即：， 又，且 ∴ 即：当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的倍得到的． 故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 【点睛】此题考查了平行四边形的判定以及位似图形的性质，掌握位似比等于相似比是解答此题的关键． 【变式12 -7】如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出与的位似中心点的位置； (2)若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为； (3)在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了位似的性质． 连接、、，、、的交点就是位似中心； 连接、、，分别取、、的中点、、，连接、、得到，即为所求； 因为与的位似比为，点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为． 【详解】（1）解：如下图所示，连接、、， 、、的交点就是位似中心； （2）解：如下图所示，连接、、， 分别取、、的中点、、， 连接、、得到， 即为所求； （3）解：与的位似比为，点的坐标为， 则点在上的对应点的坐标为． 投影视图展开图 未命名 【考点题型十三】平行投影 【例13】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸． 【答案】450 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x寸， ∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸， ∴， 解得． 答：竹竿长为450寸， 故答案为：450． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【变式13 -1】某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为，小李测得一棵树的影长为，那么这棵树的高是 ． 【答案】 【分析】根据同一时刻，物高与影长的比对应成比例，列式求解即可． 【详解】解：设树高为：，则由题意，得： ， 解得：； ∴这棵树的高是； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用影长求物高．熟练掌握同一时刻，物高与影长的比对应成比例，是解题的关键． 【变式13 -2】如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米． 【答案】6.4 【分析】根据平行投影,同一时刻物长与影长的比值固定即可解题. 【详解】解：由题可知：, 解得：树高=6.4米. 【点睛】本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念,列比例式是解题关键. 【考点题型十四】中心投影 【例14】如图，小芸用灯泡O照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成影子A′B′C′D′．现测得OA＝20cm，OA′＝50cm，相框ABCD的面积为80cm2，则影子A′B′C′D′的面积为 cm 【答案】500cm2． 【分析】易得对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方，据此求解可得． 【详解】解：∵OA：OA′=2：5， 可知OB：OB′=2：5， ∵∠AOB=∠A′OB′， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴AB：A′B′=2：5， ∴矩形ABCD的面积：矩形A′B′C′D′的面积为4：25， 又矩形ABCD的面积为80cm2，则矩形A′B′C′D′的面积为500cm2． 故答案为500cm2． 【点睛】本题考查中心投影与位似图形的性质，用到的知识点为：位似比为对应点到对应中心的比值，面积比为位似比的平方． 【变式14 -1】如图，小亮从一盏9米高的路灯下处向前走了米到达点处时，发现自己在地面上的影子CE是米，则小亮的身高DC为 米． 【答案】1.8 【分析】同一时刻下物体高度的比等于影长的比，构造相似三角形计算即可． 【详解】如图，由题意知米，米，米，且， ∴米， ∵， ∴ 又∵ ∴， ∴，即， 解得（米），即小亮的身高为1.8米； 故答案为：1.8. 【点睛】本题考查平行投影的相关知识点，能够根据题意构造相似是解题关键点． 【考点题型十五】正投影 【例15】一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可． 【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是 故选：B． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同． 【变式15 -1】下列关于投影与视图的说法正确的是（　　　） A．平行投影中的光线是聚成一点的 B．线段的正投影还是线段 C．三视图都是大小相同的圆的几何体是球 D．正三棱柱的俯视图是正三角形 【答案】C 【分析】根据排除法判断即可； 【详解】平行投影中的光线是是平行的，而不是聚成一点的，故A错误； 线段的正投影不一定是线段，比如光线平行于线段时，正投影是一点，故B错误； 三视图都是大小相同的圆的几何体是球，故C正确； 正三棱柱的俯视图不一定是正三角形，要看它如何放置，如水平放置，它是矩形，故D错误； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了投影的相关知识点，准去判断是解题的关键． 【变式15 -2】当投影线由物体的左方射到右方时，如图所示几何体的正投影是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题解析：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形. 故选A． 【考点题型十六】几何体的三视图 【例16】某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：）．          (1)图中的立体图形的名称是：_________． (2)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体，计算圆柱的表面积： （1）根据左视图和主视图是长方形，则该几何体是柱体，再由俯视图为圆可知该几何体是圆柱； （2）根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，则该立体图形是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：， ， ∴制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为． 【变式16 -1】下列立体图形中，俯视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意； B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意； C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意； D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 【变式16 -2】图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）    A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 【答案】B 【分析】根据主视图和左视图确定为矩形判断出是柱体，根据俯视图判断出这个几何体是三棱柱，即可得． 【详解】解：∵主视图和左视图是矩形 ∴该几何体是柱体， ∵俯视图是三角形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单立体图形的三视图，解题的关键是根据三视图还原几何体． 【考点题型十七】基本几何体的平面展开图 【例17】下列图形中，正方体展开后得到的图形不可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题解析：根据分析可得：A、B、C这三个图属于正方体展开图，能够折成一个正方体；而D图不是正方体展开图． 故选D． 【变式17 -1】如图是某一正方体的展开图，那么该正方体是    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，训练了学生的观察能力和空间想象能力．根据正方体展开图的基本形态作答即可． 【详解】根据正方体的展开图可得：含圆的面与有横线的面相邻，而且横线与含圆的面平行，正确答案为B． 故选B． 【变式17 -2】如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图的特点是解题的关键．根据展开图，从相对面的特点出发，判断即可． 【详解】解：根据展开图，可得有两个空白面是相对面，故A不符合题意； 三角形符号的相对面是空白面，可得3个空白面两两相邻，没有相对面，故C不符合题意； 星号与圆是相对面，故D不符合题意； 只有B符合题意， 故选B． 【变式17 -3】如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的定义，求代数式的值，由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“”与“”是对面，“”与“”是对面，由相反数的定义可得，，代入进行计算即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “”与“”是对面，“”与“”是对面， 相对面上的两数互为相反数， ，， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$