期末易错必刷题型专项训练（96题40个考点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

期末易错必刷题型专项训练（96题40个考点） 【易错必刷一 三角形的相关概念】 1．现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（    ） A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个 【易错必刷二 三角形中线有关计算】 1．如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ．    3．如图，在中，点为中点，E为上一点，，若与四边形的周长相等，求的值．    【易错必刷三 与三角形的高有关的计算】 1．如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到的距离是（    ） A．3 B．4 C． D． 2．如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ． 3．如图，在与中，与相交于点E，交于点F． (1)中边上的高是___________；中边上的高是___________； (2)若，，，求的面积． 【易错必刷四 三角形角度计算】 1．如图，在中，，，平分，交于点，，交于点，则（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，内角和外角的平分线交于点，则 ． 3．探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 【易错必刷五 定义、命题与证明】 1．已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【易错必刷六 全等三角形】 1．下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【易错必刷七 全等三角形的性质】 1．如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是 ． 3．如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【易错必刷八 全等三角形的判定与性质】 1．如图，已知点在一条直线上，，为了使则下列添加的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，为的中点，若，，则 ． 3．如图，点在同一直线上，点在直线的同侧， (1)证明：． (2)若，求的度数． 【易错必刷九 角平分线的判定与性质】 1．如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，平分，，，，，则的长度是 ． 3．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【易错必刷十 线段垂直平分线的判定与性质】 1．如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 2．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【易错必刷十一 尺规作图】 1．如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点． 小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则． 小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则 小瑞：小安，你的作法有问题． 小安：哦…我明白了! (1)指出小安作法中存在的问题． (2)证明：． 【易错必刷十二 轴对称的性质】 1．如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 3．如图，在的正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，请你用四种不同的方法在方格纸中画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形． 【易错必刷十三 等腰三角形的判定与性质】 1．如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（  ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，，点在线段上，过作于点，延长到点，，若，则图中阴影部分面积之和为 ． 3．如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长； (2)若，则的度数为 ． 【易错必刷十四 等边三角形的判定与性质】 1．如图，已知，点是上一点，． （1）在射线上找一点，如果，那么这样的点有 个； （2）当的取值范围是 时，在射线上找的点是唯一的． 2．如图，中，，现有两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，同时停止运动． (1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ (2)当点在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间． 【易错必刷十五 直角三角形】 1．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 2．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 3．已知：如图，在四边形中，，点E是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当__________°时，是等边三角形． (3)当时，若，取中点F，求的长． 【易错必刷十六 勾股定理】 1．《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（    ） A．寸 B．寸 C．99寸 D．101寸 2．如图，、为等边三角形，点为延长线上一点， (1)求证：； (2)当，时，求的面积． 【易错必刷十七 勾股定理的逆定理】 1．在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（   ） A．5，12，13 B．9，40，41 C．2，3， D．，， 【易错必刷十八 勾股定理的应用】 1．如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（    ）      A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 2．如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，一只蜗牛从树顶端的处出发，以的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处所需的时间为 ． 3．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【易错必刷十九 直角三角形全等判定】 1．如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 【易错必刷二十 不等式的基本性质】 1．若，则下列式子中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式的解集是，则m的取值范围是 ． 3．解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质3） _______（不等式的基本性质2） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【易错必刷二十一 一元一次不等式的解集】 1．解下列不等式： (1) (2) 2．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，m的值． 3．解下列不等式组． (1)； (2)． 【易错必刷二十二 一元一次不等式的整数解】 1．若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 2．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 3．已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足． (1)求 k 的取值范围； (2)在 (1) 的条件下，若不等式的解为，请写出符合条件的 k 的整数值． 【易错必刷二十三 一元一次不等式组的解集】 1．不等式组的解集为（ ） A． B． C． D． 2．不等式组的解为 ． 【易错必刷二十四 由一元一次不等式组的解集求参数】 1．已知命题“关于x的不等式组的解集为无解”，说明这个命题是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ． 【易错必刷二十五 不等式组与方程相结合的问题】 1．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 2．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 3．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【易错必刷二十六 一元一次不等式组的应用】 1．生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 2．为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 3．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【易错必刷二十七 平面直角坐标系】 1．在平面直角坐标系中，，，若点在直线上，且，则点的坐标为 A． B．或 C． D．或 2．在平面直角坐标系中，已知点，点B到y轴的距离为3，若线段与x轴平行，则线段的长为 ． 3．已知点． (1)若P点在第二象限，求m的取值范围． (2)点P在过点，且与x轴平行的直线上，求P点的坐标． 【易错必刷二十八 坐标平面内图形的轴对称和平移】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现将线段平移至，且点，的坐标分别为，，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 2．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．将沿射线平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ． 3．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点落在格点上，以B为原点建立平面直角坐标系，将关于y轴对称得到． (1)在网格中建立以B为原点的平面直角坐标系，并画出； (2)点C关于轴的对称点的坐标为_______； (3)若点在轴上，且，求点的坐标． 【易错必刷二十九 常量与变量】 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 2．如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122    根据以上信息，可以得到与之间的关系式为 ． 3．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的关系．    (1)甲、乙两地之间的距离是___________千米． (2)求慢车和快车的速度． 【易错必刷三十 函数】 1．下列曲线不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．如图1，一个圆柱体铁块放置在圆柱体水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，32秒时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将圆柱体铁块取出，再经过 秒恰好将水槽注满． 3．双休日，张老师从家出发，骑自行车去南街碳水王国游玩，途中仅在经过大佛城路口时遇到红灯，他本次骑自行车所经过的路程y米与所用时间x分钟的函数图象如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：    (1)张老师家到南街碳水王国的路程是______米；在大佛城路口遇红灯停留了______分钟． (2)如果骑车速度超过300米/分钟就存在安全隐患，那么张老师从通过大佛城红绿灯后到南街碳水王国，这段时间的平均速度是否存在安全隐患？请说明理由． 【易错必刷三十一 正比例函数的图象与性质】 1．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点 B．在第二、四象限 C．关于轴成轴对称 D．随的增大而增大 2．已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而 ．（填“增大”或“减小” ） 3．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【易错必刷三十二 一次函数的图象与性质】 1．在平面直角坐标系中，函数的图象经过一系列的平移得到一次函数的图象，且经过点，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 2．如果函数的图象与函数的图象恰好有一个交点，则 ． 3．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 【易错必刷三十三 一次函数解析式】 1．一次函数的图象经过点和点 (1)求k和b； (2)图象上有一点p到x轴的距离为4，求点P的坐标． 【易错必刷三十四 已知函数经过的象限求参数范围】 1．已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3． (1)若函数的图象是经过原点的直线，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，求m的取值范围； (3)若函数图象不经过第四象限，求m的取值范围． 【易错必刷三十五 一次函数的平移问题】 1．已知一次函数，当时，y的值为，当时，y的值为． (1)求一次函数的解析式； (2)将一次函数的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【易错必刷三十六 一次函数与方程】 1．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是（　　）    A． B． C． D．都不对 【易错必刷三十七 一次函数与不等式】 1．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P．下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，经过点)的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 3．已知一次函数（k、b是常数，）的图象过，． (1)求函数的表达式． (2)若函数（m，n是常数，）的图象过，当时，x的取值范围为______． 【易错必刷三十八 分配方案问题】 1．根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案 素材1 某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上每份均打9折； 方案二：套餐满12份及以上每份均打8折； 方案三：总费用满850元立减90元． （方案三不可与方案一、方案二叠加使用） ：面食套餐 25元 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 已知确定套餐的20人中，有_________人选择套餐，___________人选择套餐． 任务2 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 2．五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示： 收费方案 月使用费（元） 包时上网时间（小时） 超时费（元/小时） 无限 方案和方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系图象如下图所示： (1)填空：表中的____________，____________； (2)请在图中画出方案的图象，并写出当上网时间不少于小时方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； (3)当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱． 【易错必刷三十九 最大利润问题】 1．某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． (1)若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ (2)若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 2．某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． (1)试确定种类型的店面的数量范围； (2)通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金． 【易错必刷四十 一次函数与几何综合】 1．在直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点，直线上的点在第一象限内，设的面积是． （1）写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当时，求点的坐标； （3）若直线平分的面积时，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点C的坐标为．点A在x轴的负半轴上，连接，三角形的面积为5． (1)求点A的坐标； (2)动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P的运动时间为t，连接，三角形的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，t为何值时，把三角形的面积分成两部分？ 3．如图，，分别是轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内．直线交轴于点，直线交轴于点，且．    (1)求； (2)求点的坐标及的值； (3)若，求直线的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末易错必刷题型专项训练（96题40个考点） 【易错必刷一 三角形的相关概念】 1．现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（    ） A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，故①正确； ②三角形的两边之差小于第三边，故②错误； ③三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形，的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形），故③错误 ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确 ∴上述说法中正确的有2个. 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的分类，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的分类是解题的关键． 【易错必刷二 三角形中线有关计算】 1．如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中线的性质：平分三角形的面积． 根据三角形中线的性质得到的面积的面积，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， 的面积的面积， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据中线的意义可得等底同高，即，同理可得，进而求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴等底同高，即， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 3．如图，在中，点为中点，E为上一点，，若与四边形的周长相等，求的值．    【答案】 【分析】由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得，进而解题． 【详解】解：由图可知：三角形的周长，四边形的周长， 又∵三角形的周长与四边形的周长相等，是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴cm， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 【易错必刷三 与三角形的高有关的计算】 1．如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到的距离是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积； 根据三角形面积的不同计算方法列式求解即可． 【详解】解：因为 所以，即， ∴，即点C到的距离是， 故选：D． 2．如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查三角形的面积，解题关键在于作辅助线和利用面积公式计算．连接，根据列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，，，的面积为， ， 即， 解得：， 故答案为：． 3．如图，在与中，与相交于点E，交于点F． (1)中边上的高是___________；中边上的高是___________； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)； (2)8 【分析】本题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； 故答案为：，. （2）解：∵在中， ，，， 的面积为． 【易错必刷四 三角形角度计算】 1．如图，在中，，，平分，交于点，，交于点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据两直线平行，内错角相等可得．本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ． 故选：B． 2．如图所示，在中，内角和外角的平分线交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及角平分线定义、三角形外角性质等知识，现有角平分线定义得到，，设，，再由三角形外角性质得到①；②，由①即可得到答案，熟练掌握角平分线定义、三角形外角性质是解决问题的关键． 【详解】解：平分、平分， ，， 设，， ，即①； ，即②； 由①得， 与②比较可得， 故答案为：． 3．探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 【答案】(1)D (2)240 (3) (4) 【分析】（1）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案 （2）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案 （3）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案 （4）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 故选：D． （2）解：，， ， 故答案为：240． （3）解：，， ， 故答案为：． （4）解：连接， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角，关键是掌握三角形的外角的性质． 【易错必刷五 定义、命题与证明】 1．已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【分析】（1）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如下图，      ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【易错必刷六 全等三角形】 1．下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【分析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确； B、两个全等三角形的面积一定相等，故本选项错误； C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误； D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误． 故选：A． 【易错必刷七 全等三角形的性质】 1．如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是 ． 【答案】14或12.5 【分析】本题考查的是全等三角形的性质及解二元一次方程组、求代数式的值，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等，分与7对应和与7对应两种情况计算，得到答案． 【详解】解∶两个三角形全等， ，或，， 解得∶，或，， 或12.5． 故答案为∶14或12.5． 3．如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【答案】(1)，见解析 (2)，速度为厘米/秒 【分析】本题借助动点问题，考查了全等三角形的性质，熟记相关性质定理的内容是解题关键． （1）根据运动时间，可得出，，据此即可求证； （2）由点的运动速度与点的运动速度不相等可得出且时，与全等，据此即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： （秒） ，点为的中点 在和中， ∴ （2）解： 若与全等，则 故 所以点、的运动时间： 此时（厘米/秒） 【易错必刷八 全等三角形的判定与性质】 1．如图，已知点在一条直线上，，为了使则下列添加的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 运用边边边，边角边，角边角，角角边的方法进行判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴，且， A、添加， ∴，即，可以运用边角边证明，不符合题意； B、添加，不能运用边边角证明三角形全等，符合题意； C、添加，可以运用角边角证明，不符合题意； D、添加， ∴，可以运用角角边证明，不符合题意； 故选：B ． 2．如图，已知，为的中点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，点在同一直线上，点在直线的同侧， (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过证明，即可作答． （2）先由三角形内角和性质得出，再结合得出，最后运用三角形内角和性质得出，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ． （2）解：， ． ， ． ． 【易错必刷九 角平分线的判定与性质】 1．如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴的度数为 故选：C． 2．如图所示，平分，，，，，则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据线段的和差求出，再根据角平分线性质定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 故答案为：2. 3．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 【易错必刷十 线段垂直平分线的判定与性质】 1．如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，进而由三角形的 周长可得，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握这些几何性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，然后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【易错必刷十一 尺规作图】 1．如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点． 小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则． 小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则 小瑞：小安，你的作法有问题． 小安：哦…我明白了! (1)指出小安作法中存在的问题． (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识． （1）根据不能判定三角形全等可得结论； （2）根据证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结， 此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等． （2）证明：如图2中，∵， ， 由作图可得， 在和中， ， ． 【易错必刷十二 轴对称的性质】 1．如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，与交于点，由轴对称的性质可得也是等边三角形，于是可得，，进而可得，，于是推出点与点关于对称，因而当点与点重合时的值最小，于是得解． 【详解】解：如图，连接，与交于点， 是等边三角形，且与关于直线对称， 也是等边三角形， ，， ， ， ，， 点与点关于对称， 即：点与点关于对称， 当点与点重合时，的值最小， 此时， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（轴对称中的最短线路问题），轴对称的性质，等边三角形的性质，三线合一等知识点，利用作对称点找到使的值最小的点是解题的关键． 2．如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】度或 【分析】依据题意，连接，先证明，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 3．如图，在的正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，请你用四种不同的方法在方格纸中画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握成轴对称的图形的性质是解题的关键．利用成轴对称的图形的性质分别得出符合要求的答案即可． 【详解】解：如图： 【易错必刷十三 等腰三角形的判定与性质】 1．如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，可得，，再进一步解题即可． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．如图，在等边中，，点在线段上，过作于点，延长到点，，若，则图中阴影部分面积之和为 ． 【答案】7 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键： 先过点D作交于点H，先根据等边三角形的性质及三线合一得到，证明，推得，求出的长，再根据面积公式求出阴影部分面积． 【详解】解：过点D作交于点H， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴是等边的中线， ∴， ∵和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴ 故答案为：7． 【点睛】本题考查的知识点平行线的性质、等边三角形的性质与判定、三线合一、全等三角形的性质与判定，解题关键是合理设置辅助线转化相等线段位置． 3．如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长； (2)若，则的度数为 ． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据对顶角相等、直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线，     ， 周长； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 【易错必刷十四 等边三角形的判定与性质】 1．如图，已知，点是上一点，． （1）在射线上找一点，如果，那么这样的点有 个； （2）当的取值范围是 时，在射线上找的点是唯一的． 【答案】 2 或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，尺规作图，掌握相关性质是解题的关键． （1）根据所给的数值与临界值比大小即可判断； （2）过点作交于点，此时点是唯一的，以点为圆心，以大于长为半径画弧交于点，此时此时点是唯一的，据此解答即可． 【详解】解：（1）过点作交于点， 在直角中，，， ， ， 如图所示， 这样的点有2个； （2）以点为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，或以点为圆心，以为半径画弧交于点D，此时点是唯一的，如图所示， 要使在射线上找的点是唯一的， 只需或． 故答案为：；或． 2．如图，中，，现有两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，同时停止运动． (1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ (2)当点在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间． 【答案】(1)M、N运动12秒时，M、N两点重合 (2)存在；M、N运动16秒时，为等腰三角形 【分析】此题主要考查了等边三角形和全等三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，找到线段之间的数量关系． （1）设点运动秒时，根据、两点重合时，N运动的路程比M运动的路程多列出方程，解方程即可； （2）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点运动秒时，M、N两点重合，根据题意得： , 解得：， ∴点运动12秒时，M、N两点重合． （2）解：当点在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 根据解析（1）可知，当点运动12秒时，M、N两点重合，此时，但不是等腰三角形； 如图，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设当点在边上运动时运动的时间y秒时，是等腰三角形， ∴，， ，即， 解得：． 综上所述，当点在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时运动的时间为16秒． 【易错必刷十五 直角三角形】 1．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选D． 2．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．连接，先根据线段垂直平分线的性质得到的长，再判定是斜边边上的中线，得到的长，最后根据勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴是直角三角形，且． ∵是边上的中线， ∴是斜边边上的中线， ∴， ∴． ∴． 故答案为：6． 3．已知：如图，在四边形中，，点E是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当__________°时，是等边三角形． (3)当时，若，取中点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)150 (3) 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到； （2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，由得到，，继而，即可证明等边三角形； （3）由，，则，由上可知，而为中点，故． 【详解】（1）证明：，点是边的中点， ，， ， 是等腰三角形； （2）解：当时，是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形， 故答案为：150； （3）解：如图： 由（2）可知，， ∵， ∴， 由上可知， ∵为中点 ∴． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出是解题关键． 【易错必刷十六 勾股定理】 1．《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（    ） A．寸 B．寸 C．99寸 D．101寸 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取的中点，过作于，如下图 由题意得：； 设寸， 则寸，寸，寸， 寸， 在中， ， 即， 解得：, ∴， ∴寸， 故答案为：． 故选：D． 2．如图，、为等边三角形，点为延长线上一点， (1)求证：； (2)当，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的 性质与判定，勾股定理； （1）根据等边三角形的性质得出，，，进而得出，即可证明； （2）根据全等三角形的性质以得出，，进而得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出，然后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵，为等边三角形   ∴，，   ∴   ∴   ∴ （2）解：∵等边三角形   ∴， ∵   ∴， ∴   过点作于点， ∴ ∴ ∴ 所以的面积为． 【易错必刷十七 勾股定理的逆定理】 1．在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（   ） A．5，12，13 B．9，40，41 C．2，3， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理判定三角形是否是直角三角形． 【详解】解：A、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、，根据勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故本选符合题意． 故选：D． 【易错必刷十八 勾股定理的应用】 1．如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（    ）      A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长． 【详解】解：在中， （米）， 在中，， （米）， ∴（米）， 故选：A． 2．如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，一只蜗牛从树顶端的处出发，以的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处所需的时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键． 由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：在中，，， ， ， 即爬到折断处所需的时间为， 故答案为： 3．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米． （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒． 【易错必刷十九 直角三角形全等判定】 1．如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键． 连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分， ， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ． 故选：A． 2．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据，，得到，根据平分，平分得到，，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴()， ∴， 同理可得：， ， ∴四边形的面积， 故答案为： ． 3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点P在的垂直平分线上， ， 是的平分线，于D，于E， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵平分，于D，于 ∴， 在和中， ， ， ， ，，且， ， 即， 解得 【易错必刷二十 不等式的基本性质】 1．若，则下列式子中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、若，而，故该选项不符合题意； B、若，而，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，故该选项不符合题意； D、∵， ∴，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2．已知关于x的不等式的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等式符号改变，即由的解集是，得出，则可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵的解集是， ∴不等号的方向已改变， ∴， 故答案为：． 3．解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质3） _______（不等式的基本性质2） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)＜，＜； (2)见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质2） 故答案为：＜，＜； （2）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质1）． 【易错必刷二十一 一元一次不等式的解集】 1．解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）移项合并同类项进行计算即可； （2）先去分母再移项合并同类项进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式： （1）先解方程得到，再根据题意得到，解不等式即可得到答案； （2）先按照去括号，移项， 合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，进而求出不等式的最小整数解，再结合（1）列出方程求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵该方程的解满足， ∴， ∴； （2）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解为4， ∴， 解得． 3．解下列不等式组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先分别解不等式组中两个不等式，然后求两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式：， 得，， 解不等式：， 得， ∴原不等式组的解集是：． （2）解：解不等式：， 得，， 解不等式：， 得， ∴原不等式组的解集是：． 【易错必刷二十二 一元一次不等式的整数解】 1．若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解．解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x的不等式的最小整数解是， ∴， ∴， ∴实数的值可能是． 故选：C． 2．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 3．已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足． (1)求 k 的取值范围； (2)在 (1) 的条件下，若不等式的解为，请写出符合条件的 k 的整数值． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）观察方程两式相见即可得到，再根据代入求解即可得到答案； （2）分类解出不等式的解集，再根据求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 得， ， ∵， ∴ ， 解得； （2）解：不等式移项可得， 当 时， ，不符合题意舍去； 时，，解得 ， 由（1）得， ∴符合的k值有 ，． 【点睛】本题考查含参方程组的解的问题及不等式含参解的问题，解题关键是正确解方程组及不等式． 【易错必刷二十三 一元一次不等式组的解集】 1．不等式组的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，再求出两解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得． 不等式组的解集为， 故选：B． 2．不等式组的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：， 所以：原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【易错必刷二十四 由一元一次不等式组的解集求参数】 1．已知命题“关于x的不等式组的解集为无解”，说明这个命题是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组无解得出k的取值范围，进而解答即可． 此题考查命题问题，关键是根据不等式组无解得出k的取值范围． 【详解】解：解不等式 可得：， ∵关于x的不等式无解， 所以：， 解得：， 故这个命题是假命题的反例是， 故选：A． 2．已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与不等式组有关的整数解问题．先表示出不等式组的解集，再由整数解的个数，可得b的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为不等式组的整数解共有4个，所以整数解为，6，7，8， ∴， 故答案为：． 【易错必刷二十五 不等式组与方程相结合的问题】 1．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 2．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 3．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可. （1）方程组，得：，进而得，即可求解； （2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可． 【详解】（1）解：方程组，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：解方程组得：， 可知x，y不可能是等腰三角形的两腰； 若x是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形； 若是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形； 综上所述： 【易错必刷二十六 一元一次不等式组的应用】 1．生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；（2）作差后，找出；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）根据甜度公式计算即可得到含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度； （2）二者作差后，可得出，结合，进而可证出加糖后确实变甜了； （3）根据加糖后的甜度不低于又不超过，可列出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为； （2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴加糖后确实变甜了； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴a的取值范围为． 2．为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 3．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 【易错必刷二十七 平面直角坐标系】 1．在平面直角坐标系中，，，若点在直线上，且，则点的坐标为 A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质的知识，根据、两点的横坐标相同，可得出与轴平行，结合，进而得出的纵坐标，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点B到y轴的距离为3，若线段与x轴平行，则线段的长为 ． 【答案】8或 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键． 先根据线段与x轴平行得出点B的纵坐标为2，再由点B到y轴的距离为3可得出其横坐标，进而得出结论． 【详解】解：线段与x轴平行，且点， 点B的纵坐标为2， 点B到y轴的距离为3， 点B的横坐标为3或， 或， 或． 故答案为：8或 3．已知点． (1)若P点在第二象限，求m的取值范围． (2)点P在过点，且与x轴平行的直线上，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标内点的坐标， 对于（1），根据第二象限内的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式组，解之即可； 对于（2），令纵坐标为，求得m的值，代入点P的坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵P点在第二象限， ∴，     解得：； （2）令， 解得， ∴， ∴． 【易错必刷二十八 坐标平面内图形的轴对称和平移】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现将线段平移至，且点，的坐标分别为，，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点的坐标的变化分析出的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值． 【详解】解：由题意知，将线段先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度至， ， ， ， 故选：A． 2．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．将沿射线平移，当点A的对应点与点C重合时，点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质以及图形与坐标，掌握平移的性质是解题关键． 根据点A和对应点C的坐标，得到平移方式，即可求解． 【详解】解：∵点的对应点与点重合， ∴平移方式为向左平移两个单位， ∴点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 3．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点落在格点上，以B为原点建立平面直角坐标系，将关于y轴对称得到． (1)在网格中建立以B为原点的平面直角坐标系，并画出； (2)点C关于轴的对称点的坐标为_______； (3)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了轴对称、坐标与图形： （1）根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，再根据关于y轴的对称点的坐标的特点即可求解； （2）根据关于轴的对称点的坐标的特点即可求解； ②依题意可设点，则，进而可得，则可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． ； （2）解：点C关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； （3）解：依题意可设点， 则， 解得：， 点的坐标为或． 【易错必刷二十九 常量与变量】 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．物体质量每增加，弹簧长度增加 【答案】C 【分析】本题考查的是函数的表示方法，理解一次函数的表示方法是解题的关键．根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 【详解】解：A．与都是变量，且是自变量，是因变量，本选项正确，不符合题意； B．所挂物体质量为时，弹簧长度为，本选项正确，不符合题意； C．弹簧不挂重物时的长度为，本选项错误，符合题意； D．物体质量每增加，弹簧长度增加，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122    根据以上信息，可以得到与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】根据表格可知每增加，增加，当时，，即可确定与的函数关系式． 【详解】解：根据表中的对应关系，可知， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，找出表格中的数据之间的关系是解题的关键． 3．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的关系．    (1)甲、乙两地之间的距离是___________千米． (2)求慢车和快车的速度． 【答案】(1) (2)慢车速度是，快车速度是； 【分析】（1）根据快慢车相距即可得到答案； （2）根据慢车内行驶得到速度，结合图像得到4小时两车相遇求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由图像可得，快慢车相距， 故答案为：； （2）解：由图像可得，慢车总的走了， ∴慢车的速度为：， 快车速度是：， 答：慢车速度是，快车速度是； 【点睛】本题考查行程问题中的相遇问题，解题的关键是看懂图像． 【易错必刷三十 函数】 1．下列曲线不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义逐一判断即可求解，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应． 【详解】解：根据函数的定义可得： A、B、D都符合函数的定义，故不符合题意； C、对x的一个值y的值不是唯一的，则不能表示y是x的函数，故符合题意； 故选：C． 2．如图1，一个圆柱体铁块放置在圆柱体水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，32秒时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将圆柱体铁块取出，再经过 秒恰好将水槽注满． 【答案】8 【分析】根据函数图象和图象中的数据，可以求得如果将圆柱体铁块取出，又经过多少秒恰好将水槽注满．本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答． 【详解】解：由图形可知， 圆柱体水槽的高是，圆柱体铁块的高是，注满水需要（秒， 故如果将圆柱体铁块取出，又经过（秒恰好将水槽注满， 故答案为：8． 3．双休日，张老师从家出发，骑自行车去南街碳水王国游玩，途中仅在经过大佛城路口时遇到红灯，他本次骑自行车所经过的路程y米与所用时间x分钟的函数图象如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：    (1)张老师家到南街碳水王国的路程是______米；在大佛城路口遇红灯停留了______分钟． (2)如果骑车速度超过300米/分钟就存在安全隐患，那么张老师从通过大佛城红绿灯后到南街碳水王国，这段时间的平均速度是否存在安全隐患？请说明理由． 【答案】(1)2000；1 (2)不存在安全隐患，理由见解析 【分析】本题考查函数的图象，从函数图像获取信息是解答本题． （1）根据函数图象可以直接写出张老师家到南街碳水王国的路程，以及等待红绿灯所用的时间； （2）根据函数图象可以得到在这段时间段内张老师骑车的速度，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，南街碳水王国的纵坐标为2000，张老师家的纵坐标为0，张老师家到南街碳水王国的路程是2000米； 张老师在大佛城路口遇红灯停留为从3分到4分 故在大佛城路口遇红灯停留了1分钟． 故答案为2000；1 （2）不存在安全隐患．理由如下： 这段时间的平均速度 ∵． ∴不存在安全隐患． 【易错必刷三十一 正比例函数的图象与性质】 1．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点 B．在第二、四象限 C．关于轴成轴对称 D．随的增大而增大 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数的性质．根据一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可． 【详解】解：A、当时，．所以图象不过，故错误； B、因为，所以一次函数的图象在第一、三象限，故错误； C、关于原点成中心对称，故错误； D、因为，所以随的增大而增大，故正确． 故选：D． 2．已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而 ．（填“增大”或“减小” ） 【答案】减小 【分析】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且的值随的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且的值随的值增大而减小．根据正比例函数的性质进行解答即可． 【详解】解：函数的图象经过第二、四象限，那么的值随的值增大而减小， 故答案为：减小． 3．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的取值范围为 【分析】本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法求解析式，正比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设，把时，代入计算即可； （2）根据正比例函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵与成正比例关系， ∴设， 当时，， ∴， 解得，， ∴，整理得，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）可得，与之间的函数解析式为， ∴， ∴随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，的取值范围为． 【易错必刷三十二 一次函数的图象与性质】 1．在平面直角坐标系中，函数的图象经过一系列的平移得到一次函数的图象，且经过点，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数与几何变换，熟练掌握待定系数法求解析式是本题的关键． 把代入，解方程即可． 【详解】解：把点代入得，，解得． 故选：A． 2．如果函数的图象与函数的图象恰好有一个交点，则 ． 【答案】/-0.5 【分析】本题考查了函数图象的交点问题，画出函数和的图象，由图象可知，当把直线向下平移，使直线经过点时，两函数图象恰好有一个交点，把代入函数解析式即可求解，画出函数图象利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：画函数和图象如下： 由图象可知，当直线经过点时，两函数图象恰好有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． 3．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②1或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②先求出，然后分两种情况，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得：，     ∴的表达式为； （2）解：①把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②根据题意得：， ∵当时，函数有最大值6， 若，随的增大而增大， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 若，y随x的增大而减小， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 综上所述，a的值为1或． 【易错必刷三十三 一次函数解析式】 1．一次函数的图象经过点和点 (1)求k和b； (2)图象上有一点p到x轴的距离为4，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点和点分别代入，计算即可作答． （2）点纵坐标，代入，计算即可作答． 【详解】（1）解：将和代入，可得 解得 ∴一次函数 （2）解：由题意得点纵坐标， ∴， ∴或2， ∴或． 【易错必刷三十四 已知函数经过的象限求参数范围】 1．已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3． (1)若函数的图象是经过原点的直线，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，求m的取值范围； (3)若函数图象不经过第四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将原点的坐标代入y=（2m+1）x+m-3，得到关于m的方程，解方程即可求出m的值； （2）根据一次函数的增减性可得2m+1＜0，解不等式即可求出m的取值范围； （3）根据一次函数图象与系数的关系可得，解不等式组即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：由已知得，m﹣3＝0， 解得m＝3； （2）解：由已知得，2m+1＜0， 解得m； （3）解：由已知得，， 解得， 即m≥3． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是需熟练掌握相关知识点． 【易错必刷三十五 一次函数的平移问题】 1．已知一次函数，当时，y的值为，当时，y的值为． (1)求一次函数的解析式； (2)将一次函数的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）依据一次函数图象平移的规律，即可得到新的函数及其图象与x轴，y轴的交点坐标． 【详解】（1）将，;，分别代入一次函数解析式得： ， 解得：， 一次函数解析式为． （2）一次函数的图象向上平移2个单位长度，可得， 令，则；令，则， ∴与x轴，y轴的交点坐标分别为和． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键． 【易错必刷三十六 一次函数与方程】 1．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是（　　）    A． B． C． D．都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握两直线交点解方程，图形结合分析是解题的关键． 根据两直线的交点为，即可求解． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴根据图象可得方程的解集是， 故选：． 【易错必刷三十七 一次函数与不等式】 1．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P．下面有四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：因为正比例函数经过二、四象限，所以，故①正确； 一次函数经过一、二、三象限，所以，即，故②错误； 由图象可得：当时，，故③错误； 当时，，故④正确； 综上分析可知：①④正确，共2个． 故选：B． 2．如图，经过点)的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，此题得解． 【详解】∵直线经过点， 将代入，则， ∴与的交点为， 又 ∴观察图形可知，使的x的值为． 故答案为： 3．已知一次函数（k、b是常数，）的图象过，． (1)求函数的表达式． (2)若函数（m，n是常数，）的图象过，当时，x的取值范围为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，利用图象求不等式的解； （1）利用待定系数法求解即可； （2）画出和的图象，根据图象求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得：，解得：， ∴函数的表达式为 （2）解：和的图象如图所示， 当时，x的取值范围为， 故答案为：． 【易错必刷三十八 分配方案问题】 1．根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案 素材1 某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上每份均打9折； 方案二：套餐满12份及以上每份均打8折； 方案三：总费用满850元立减90元． （方案三不可与方案一、方案二叠加使用） ：面食套餐 25元 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 已知确定套餐的20人中，有_________人选择套餐，___________人选择套餐． 任务2 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 【答案】任务一：13，7；任务二：；任务三：订购套餐13份，订购套餐18份时，订餐总费用最低750元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用： 任务一：设20人中有x人选择A套餐，则有人选择B套餐，根据总费用为565元列一元一次方程，解方程即可； 任务二：先判断选择套餐人数是否满足优惠方案二的条件，再根据优惠方式列函数关系式即可； 任务三：先计算出以及时，与之间的函数关系式，计算出所需的低费用，再计算出按照优惠方案三所需的最低费用，最后比较大小即可． 【详解】解：任务一： 设20人中有x人选择套餐， 由题意知，， 解得， ， 即20人中有13人选择A套餐，7人选择B套餐， 故答案为：13，7； 任务二：∵两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ∴当套餐人数不少于20人时，， ∴， 则选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件， ∴订餐总费用为：； 任务三：∵两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ①当时，由（2）得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时总费用最小为（元）， ②当时，， ∴订餐总费用， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，最小为750元， ③若选择优惠方案三，订餐总费用为， ∵总费用满850元立减90元，且， ∴当时，订餐费用最小为（元）， 综上所述，当订购套餐13份，订购套餐18份时，订餐总费用最低750元． 2．五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示： 收费方案 月使用费（元） 包时上网时间（小时） 超时费（元/小时） 无限 方案和方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系图象如下图所示： (1)填空：表中的____________，____________； (2)请在图中画出方案的图象，并写出当上网时间不少于小时方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； (3)当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱； 当每月使用的时间在什么范围时，选择方案最省钱． 【答案】(1)，； (2)当时，方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； (3)当或时，该用户选择收费方式；当时，该用户选择收费方式；当时，该用户选择收费方式． 【分析】（）根据图象求出和的值； （）根据表中数据写出与的函数解析式，再分段画出函数图象即可； （）根据题意可以分别写出、、关于的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围，然后根据题意可以帮助用户选择较省钱的收费方式，通过计算可以说明理由； 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 【详解】（1）解：由图象知：，， 故答案为：，； （2）解：由表中数据可知，当时，， 当时，， 当时，， 图象如图所示： ∴当时，方案每月所需的费用（元）与每月使用的时间（时）之间的函数关系式； （3）解：由题意知： ， ， ， 令或， 解得或， 令， 解得， ∴当或时，该用户选择收费方式； 当时，该用户选择收费方式； 当时，该用户选择收费方式． 【易错必刷三十九 最大利润问题】 1．某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． (1)若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ (2)若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)A型45只，B型15只． (2)A型44只，B型16只获利最大：最大利润是34400元 【分析】本题考查一元一次方程的运用，一元一次不等式的实际运用，一次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立等量或不等关系求解． （1）设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，根据“该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，”建立方程求解，即可解题； （2）设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，根据题意建立不等式求解，得到的取值范围，再根据题意表示出利润，结合的取值范围求解，即可解题． 【详解】（1）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 由题意可得：， 解得， （只）， 答：购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只； （2）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元， ， 解得， A型号的智能手表不得超过44只． ， ， 利润， ， 根据式子可知，当取值越大，利润越大， 当时，利润最大为（元）， （只） 答：该商店应进A型号的智能手表只，B种型号智能手表只，才能使得获利最大，最大利润是元． 2．某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． (1)试确定种类型的店面的数量范围； (2)通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金． 【答案】(1)种类型店面的数量为，且为整数 (2)应建造种类型的店面40间，最高租金24960 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及所求量的等量关系．注意本题的不等关系为：建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的；并会根据函数的单调性求最值问题． （1）关键描述语为：全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的．关系式为：种类型店面面积种类型店面面积；种类型店面面积种类型店面面积，进而列出不等式组求解即可； （2）店面的月租费种类型店面间数种类型店面间数，然后按取值范围来求解． 【详解】（1）解：设种类型店面的数量为间，则种类型店面的数量为间， 根据题意得， 解之得， 种类型店面的数量为，且为整数； （2）设应建造种类型的店面间，则店面的月租费为 ， 又， ∴时，W最大为． 为使店面的月租费最高，应建造种类型的店面40间，最高租金24960． 【易错必刷四十 一次函数与几何综合】 1．在直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点，直线上的点在第一象限内，设的面积是． （1）写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当时，求点的坐标； （3）若直线平分的面积时，求点的坐标． 【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为 【分析】（1）根据点、的坐标求得的底边与高线的长度，然后根据三角形的面积公式即可求得与之间的函数关系式，根据点在第一象限内，即可求出的取值范围； （2）将代入（1）中所求的式子，即可求出点的坐标； （3）若直线平分的面积，则点为的中点，据此可以求出点的坐标． 【详解】（1）∵直线交轴于点，交轴于点， ∴，， ∵， ， ∴， ∵点在第一象限内， ∴， 解得：； （2）当时，， 解得：， 此时， ∴点的坐标为； （3）若直线平分的面积，则点为的中点， ∵，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，三角形的面积，三角形中线的性质，中点坐标公式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点C的坐标为．点A在x轴的负半轴上，连接，三角形的面积为5． (1)求点A的坐标； (2)动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P的运动时间为t，连接，三角形的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，t为何值时，把三角形的面积分成两部分？ 【答案】(1) (2) (3)1或1.5 【分析】本题考查一次函数的几何应用、坐标与图形、三角形的面积，数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）设点A坐标为，利用坐标与图形性质求解即可； （2）分当点P在上运动时和当点P在射线上运动时两种情况，利用三角形的面积求解关系式即可； （3）分当点P在上运动时和当点P在线段上运动时，利用面积关系求解t值即可． 【详解】（1）解：设点A坐标为， 由题意可知：，，， ∴， 解得， ∵点A在x轴的负半轴上， ， 点A坐标为； （2）解：当点P在上运动时，即， 由题意可知，，， ∴， 当点P在射线上运动时，即， 由题意可知，，， ∴， 综上所述，． （3）解：当点P在上运动时， 由题意可知，，， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∵，， ∴当点P在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分， 综上所述，或． 3．如图，，分别是轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内．直线交轴于点，直线交轴于点，且．    (1)求； (2)求点的坐标及的值； (3)若，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数得解析式，涉及到三角形的面积，函数图像上点的坐标特征．解题的关键是数形结合． （1）直接利用三角形面积公式计算； （2）先计算出，则，于是求出得到点坐标，然后在利用可求出的值； （3）根据三角形面积公式，利用得到，则可求出，所以，然后利用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）（1），， ； （2）， ， 即， ， ， ， ； （3）， ， 即， ， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！68 学科网（北京）股份有限公司 $$