7.1.1&7.1.2&7.1.3随机现象、样本空间与随机事件（3知识点+4题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

7.1.1随机现象＆7.1.2样本空间＆7.1.3随机事件 课程标准 学习目标 1.了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义.(数学抽象) 2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立,(数学抽象、逻辑推理) 3.能根据具体的实例进行事件间的简单运算.(数学运算) 1.了解随机事件的并 、交与互斥的含义. 2.能结合实例进行随机事件的并、交运 知识点01 随机现象 1.确定性现象：在自然界和人类社会中,普遍存在着两种现象,一类是在一定条件下必然出现的现象称为确定性现象. 2.随机现象：在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象. 3.随机现象有如下两个特点: (1)结果至少有2种; (2)事先并不知道会出现哪一种结果 【即学即练1】（2024高一下·全国·专题练习）下列方法不能产生随机数的是（    ） A．抛掷质地均匀的骰子 B．抛掷质地均匀的硬币 C．计算器 D．抛掷正方体，各面数字是1，2，3，3，4，5 【答案】D 【分析】由随机数的定义即可逐一判断每个选项. 【详解】ABC选项中的方法都可以产生随机数，且产生随机数的概率是等可能的， 选项D中，出现数字3与出现其他数字不是等可能的. 故选：D． 【即学即练2】（21-22高一·全国·课后作业）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象． (1)如果，那么； (2)掷一枚硬币，出现反面； (3)从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签； (4)某电话机在1分钟内收到2次呼叫． 【答案】(1)确定性现象 (2)随机现象 (3)随机现象 (4)随机现象 【分析】根据随机现象与确定性现象的定义逐一判断即可. 【详解】（1）因为则，所以是确定现象 （2）掷一枚硬币，有可能正面，有可能反面，所以是随机现象 （3）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，抽到任意一张都有可能，所以是随机现象 （4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫，有可能发生，所以是随机现象 知识点02样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点 用表示样本点 样本空间 把由所有样本点组成的集合称为样本空间 通常用大写希腊字母表示 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果，，…，则称样本空间Ω={，，…}为有限样本空间 Ω={，，…} 【即学即练3】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合样本空间的概念即可求解． 【详解】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为. 故选：B． 【即学即练4】（24-25高一下·全国·课前预习）写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，然后可列出样本空间； （2）设正品为，次品为，然后根据题意列出样本空间. 【详解】（1）如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ，． （2）设正品为，次品为，样本空间． 知识点03 随机事件 1.不可能事件∶在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果. 2.必然事件∶在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中一定会发生的结果. 3.随机事件∶如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集，而 且∶若试验的结果是A中的元素，则称A发生（或出现等）；否则，称A不发生（或不出现等）. 在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果. 注意： （1）不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件。 （2）任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生。 4.事件的表示∶不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件．通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的韦恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件. 【即学即练5】（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【分析】利用随机事件的定义求解即可. 【详解】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C 【即学即练6】（24-25高一下·全国·课堂例题）在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”，指出下列随机事件的含义： (1)事件； (2)事件； (3)事件． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】运用随机事件概念解析即可. 【详解】（1）事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知，第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3． （2）事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6． （3）事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2 难点：不重不漏思想的运用 示例1：（21-22高一·全国·课后作业），则中： (1)恰含有两个样本点的事件有多少个？ (2)至少含有三个样本点的事件有多少个？ 【答案】(1)21 (2)99 【分析】（1）解集合中的不等式共有7种不同的取值，然后再选两个样本点即可. （2）“利用反向思维”先求出一共有多少个基本事件，减去不可能事件、基本事件、含有两个样本点的事件. 【详解】（1），恰含有两个样本点的事件共（个）. （2）所有事件一共个，其中不可能事件1个，基本事件7个，含有两个样本点的事件21个，则至少含有三个样本点的事件有（个）． 【题型1：随机现象】 例1．（21-22高一下·全国·课后作业）下列变化中是周期现象的是（    ） A．月球到太阳的距离与时间的函数关系 B．某同学每天上学的时间 C．某交通路口每次绿灯通过的车辆数 D．某同学每天打电话的时间 【答案】A 【分析】利用周期性的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】球到太阳的距离与时间的函数关系是周期现象，某同学每天上学的时间是随机现象， 某交通路口每次绿灯通过的车辆数是随机现象，某同学每天打电话的时间也是随机现象， 故选：A. 变式1．（多选）（20-21高一·全国·课后作业）观察下列现象： （1）在标准大气压下水加热到100℃，沸腾； （2）导体通电，发热； （3）同性电荷，相互吸引； （4）实心铁块丢入水中，铁块浮起； （5）买一张福利彩票，中奖； （6）掷一枚硬币，正面朝上； 其中是随机现象的有 【答案】（5）、（6） 【分析】根据随机现象的定义判断即可. 【详解】显然（1）、（2）是必定发生的，（3）、（4）是不可能发生的，从而它们都是确定性现象. （5）、（6）是可能发生也可能不发生的，是随机现象. 故答案为：（5）、（6） 变式2．（21-22高一·全国·课后作业）“从长度分别为15、20、30、40的4根小木条中，任取3根为边拼成一个三角形”是 现象． 【答案】随机 【分析】根据随机现象的概念判断． 【详解】15、20、40不能拼成三角形，而20、30、40能拼成三角形，所以是随机现象． 故答案为：随机． 变式3．（21-22高二·全国·课后作业）在下列现象中，随机现象是 ．（选填序号） ①汽车排放尾气会污染环境； ②实数a、b都不为0，则； ③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面； ④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面； ⑤函数（）在定义域内为严格增函数； ⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球． 【答案】③④⑥ 【分析】根据给定条件，利用随机事件、不可能事件、必然事件的定义逐一判断各个命题作答. 【详解】对于①，汽车排放的尾气一定会污染环境，①是必然事件； 对于②，因实数a、b都不为0，则，，②是不可能事件； 对于③，正方体的4个顶点可能在一个平面内，也可能不在同一平面内，③是随机事件； 对于④，一枚硬币连掷三次，出现的结果有3次反面、2次反面1次正面、1次反面2次正面，3次正面，④是随机事件； 对于⑤，函数（）在定义域内为严格减函数，⑤是不可能事件； 对于⑥，三个小球全部放入两个盒子中，某个盒子中可能有0个球、1个球、2个球、3个球，⑥是随机事件. 所以随机现象是③④⑥. 故答案为：③④⑥ 变式4．（21-22高一·全国·课后作业）已知关于的方程，当时，“该方程有实数解”是随机现象，求的范围． 【答案】． 【分析】先分类讨论得到有实数解时，的取值范围，结合“该方程有实数解”是随机现象即可得到答案 【详解】解： 当时，原方程变成解得，故满足“该方程有实数解”； 当时，要使有实数解， 则，解得，则且； 故要使有实数解， ， 当时，“该方程有实数解”是随机现象， 则与的交集不是空集，且后者不是前者的子集， 所以的范围． 变式5．（21-22高一·全国·课后作业）一个不透明的布袋，袋中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄色，2个是白色，充分摇匀． (1)从袋子里任意取出2个球，取出的2个球都是黄色的是______现象； (2)任意摸出3个乒乓球，会出现哪几种可能的结果？ (3)请自己设计出一个确定性现象和随机现象． 【答案】(1)随机 (2)会出现“黄黄黄”“黄黄白”“黄白白”三种可能的结果； (3)“任取三个球，其中有黄球”是确定性现象；“任取两个球，其中有黄球”是随机现象． 【分析】（1）由随机现象的定义判断； （2）用列举法写出所有结果； （3）由确定性现象和随机现象的概念作答． 【详解】（1）从袋子里任意取出2个球，取出的2个球可能都是黄色，也可能都是白色，还可能是一黄一白，因此“取出的2个球都是黄色的”这是随机现象； （2）由于有4个黄球，只有2个白球，因此任取三个球，所有可能的结果是：黄黄黄，黄黄白，黄白白． （3）由（2）可知“任取3球，必有黄球”是确定性现象．由（1）知“任意取出2个球，取出的2个球黄色”是随机现象． 变式6．（21-22高一·全国·课后作业）分析下面两句话里含有怎样的随机性． (1)有意栽花花不发，无心插柳柳成荫． (2)只在此山中，云深不知处． 【答案】(1)“有意栽花花不发，无心插柳柳成荫”该现象的发生具有随机性 (2)“只在此山中”是确定的，而具体在哪个位置是随机的 【分析】由随机事件的定义即可得出答案. 【详解】（1）“有意栽花花不发，无心插柳柳成荫”该现象的发生具有随机性. （2）“只在此山中”是确定的，而具体在哪个位置是随机的. 【题型2：样本点与样本空间】 例2．（23-24高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ． 【答案】 【分析】按照表示“第枚硬币正面朝上”， 表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上” ，表示“第枚硬币反面朝上”写出即可． 【详解】事件空间： . 故答案为：. 变式1．（22-23高一下·浙江温州·期末）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为 .    【答案】 【分析】由A，B两个元件组成并联电路，至少有一个元件正常，列举出所有的样本点即可得解. 【详解】设元件正常为，失效为， 由A，B两个元件组成并联电路， 则至少有一个元件正常， 故事件包含的样本点为共个. 故答案为：. 变式2．（2024高三下·全国·专题练习）甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点总数； (3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点． 【答案】(1) (2)6 (3)事件“甲、乙相邻”包含4个样本点：，，，．事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3个样本点：，， 【分析】先标记，结合题意列出所有可能的样本点，进而即可得到符合题意的样本点. 【详解】（1）从左到右记这三个位置分别为1，2，3，则这个试验的样本空间为 ， 其中第1个数表示甲坐的位置号，第2个数表示乙坐的位置号． （2）由（1）知这个试验的样本点总数是6． （3）由（1）知， 事件“甲、乙相邻”包含4个样本点：，，，． 事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3个样本点：，，． 变式3．（2024高一下·全国·专题练习）根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数； (3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和． 【答案】(1){红心，方块，黑桃，梅花} (2) (3)答案见解析 (4) 【分析】（1） 一副扑克牌有四种花色，进而写出样本空间即可； （2）由扑克牌的点数1～6写出样本空间即可； （3）用列表表示所有结果，进而可得样本空间； （4）一次抽取2张，计算两张点数之和，进而可得样本空间. 【详解】（1）一副扑克牌有四种花色， 所以样本空间为{红心，方块，黑桃，梅花}． （2）扑克牌的点数是从1～6， 所以样本空间为. （3）依次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示． 1 2 3 4 5 6 1 (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) 故样本空间为 . （4）一次抽取2张，则 ， ， ， ， 所以样本空间为． 变式4．（2024高一下·江苏·专题练习）甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布），用表示结果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳. (1)写出样本空间； (2)用集合表示事件“甲赢”； (3)用集合表示事件“平局”. 【答案】(1){(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)} (2){(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)} (3){(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)} 【分析】列举法得到样本空间和事件. 【详解】（1）＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}． （2）记“甲赢”为事件A，则{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}． （3）记“平局”为事件B，则{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}． 变式5．（23-24高一上·全国·课后作业）连续抛掷一枚均匀的骰子次，观察每次出现的点数． (1)写出对应的样本空间； (2)用集合表示事件：出现的点数之和大于. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）采用列举法或列表法可表示出样本空间； （2）根据事件的含义，结合（1）中样本点可得结果. 【详解】（1）方法一：用表示结果，其中表示骰子第次出现的点数，表示骰子第次出现的点数，则试验的所有结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 试验的样本空间为 . 方法二：用表示抛掷的结果，其中表示第一次掷出的点数，表示第二次掷出的点数，则所有可能的结果如下表： 样本空间为 . （2）事件A表示“出现点数之和大于”， 由（1）可知：事件． 变式6．（23-24高一上·全国·课后作业）下列试验中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间． (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据试验的定义及抛掷硬币的可能结果说明即可； （2）一一列举可能的结果即可； 【详解】（1）一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”， 试验的样本空间为：． （2）一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素”， 试验的样本空间为：. 变式7．（18-19高一·全国·课后作业）指出下列试验的样本空间： (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球； (2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差． 【答案】(1) {红球，白球}，{红球，黑球}，{白球，黑球} (2) 【分析】根据题意利用列举法分析求解. 【详解】（1）由题意可得： {红球，白球}，{红球，黑球}，{白球，黑球}. （2）由题意可知：；； ；； ；； 即试验的样本空间． 变式8．（2023高一·全国·课后作业）从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生． (1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间； (2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）由题意结合列举法即可得解. 【详解】（1）有放回简单随机抽样时，样本空间为： ,共16个样本点. （2）不放回简单随机抽样时，样本空间为： ,共12个样本点. 【方法技巧与总结】1.样本空间只与问题的背景有关，根据问题的背景明确试验的每个可能的基本结果； 2.根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有样本点，用集合表示成样本空间.也可以借助树状图、列表等方法帮助我们列出试验的所有可能结果. 【题型3：事件类型的判断】 例3．（17-18高一·湖南株洲·单元测试）下列事件中，必然事件的个数是（　　） ①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用随机事件的概念直接判断． 【详解】对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下雨， 所以2028年8月18日，北京市不下雨为随机事件，故为随机事件； 对于②，在标准大气压下，水在结冰而不是在时结冰，故为不可能事件； 对于③，因为从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不能确定是否为1号签， 所以从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签，故为随机事件； 对于④，因为向量的模大于等于0， 所以向量的模不小于0，故为必然事件. 综上：①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B. 变式1．（18-19高一下·湖南娄底·期中）从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（    ） A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 【答案】D 【分析】根据题意，由随机事件的定义分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球， 3个都是篮球，至少有1个是排球是随机事件， 3个都是排球是不可能事件，至少有1个是篮球是必然事件； 故选：D． 变式2．（2024高一下·全国·专题练习）下列事件为随机事件的是（　　） A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C．下周日下雨 D．没有水和空气，人也可以生存下去 【答案】C 【分析】根据随机事件的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】A中事件为必然事件；B，D中事件为不可能事件；C中事件为随机事件． 故选：C 变式3．(多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【答案】AC 【分析】根据随机事件的定义分别判断即可． 【详解】对于A，明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意； 对于B，方程的判别式，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合题意； 对于C，明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意； 对于D，根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合题意； 故选：AC． 变式4．(多选)（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 【答案】CD 【分析】运用必然事件的概念判断即可. 【详解】A为随机事件，B为不可能事件，C，D为必然事件． 故选:CD 变式5．(多选)（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·期末）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．2021年8月18日，北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．，则 【答案】AC 【分析】根据随机事件的定义判断即可. 【详解】A与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件. 故选：AC 变式6．(多选)（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 【答案】CD 【分析】根据题意，只需找到不可能事件与必然事件即可. 【详解】对于A，因25件同类产品中，有2件次品，则有23件正品， 故从中任取3件产品，其中3件都是正品是可能的，是随机事件，不符题意； 对于B，当从中任取3件产品中“2正1次”或“1正2次”都表示至少有1件次品， 故是随机事件，不符题意； 对于C，因同类产品中总共只有2件次品，故“3件都是次品”是不可能事件，符合题意； 对于D，因25件同类产品中，有2件次品， 而要从中任取3件产品不可能全是次品，即其中至少1件是正品， 故“至少有1件正品”是必然事件，故符合题意. 故选：CD. 变式7．(多选)（2024高一下·全国·专题练习）下列事件是随机事件的是（　　） A．函数的图象关于直线对称 B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 C．函数是定义在R上的增函数 D．若，则a，b同号 【答案】BCD 【分析】根据随机事件的定义逐个判断即可. 【详解】A选项，此事件为必然事件； B选项，忘记朋友的号码最后一位，随意拨打个号码就是朋友的号码， 这件事情在一次试验中可能发成也可能不发生，所以为随机事件； C选项，由于与的关系不确定，所以函数在R上不一定为增函数，所以此事件为随机事件； D选项，当时，有两种可能，一种可能是a，b同号，即， 另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即，所以为随机事件. 故选：BCD. 变式8．（2024高一下·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件： (1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0； (4)汽车排放尾气会污染环境； (5)明天早晨有雾； (6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)必然事件 (5)随机事件 (6)随机事件 【分析】利用随机事件、必然事件、不可能事件概念的内涵进行判断. 【详解】（1）3条射线可以交于不同的点，具有随机性.故事件“从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点.”为随机事件. （2）故事件“把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5”为必然事件. （3）当时，且，则事件“实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0”为不可能事件. （4）汽车排放尾气必然会污染环境，则事件“汽车排放尾气会污染环境”为必然事件. （5）明天早晨有雾与否具有不确定性. （6）某地明年7月28日的最高气温是否高于今年8月10日的最高气温具有不确定性．故事件“某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．”为随机事件. 【方法技巧与总结】判断一个事件是哪类事件要看两点 一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的； 二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件. 【题型4：随机事件的概率】 例4．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列说法正确的个数是（    ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用事件概率的取值范围，即可判断出命题①②③的真假，即可求解. 【详解】因为必然事件的概率等于，不可能事件的概率是，随机事件的概率取值范围为， 所以命题①③正确，命题②错误， 故选：C. 变式1．（22-23高二下·内蒙古包头·期末）从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是（    ） A．事件发生的概率等于 B．事件发生的概率等于 C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形可得答案． 【详解】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形， 所以事件是必然事件． 故选：D．    变式2．（2023高一·全国·专题练习）通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，即可求解． 【详解】孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51， 前面事件发生的概率不会影响后续事件的发生， 故这次生男孩的概率约是0.51． 故选：C． 变式3．（2023高一·全国·课后作业）随机事件发生的概率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机事件发生的概率范围即可得到答案. 【详解】根据随机事件发生的概率范围可知， 故选：D. 变式4．（22-23高一·全国·课后作业）12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（    ） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 【答案】D 【分析】根据随机事件、不可能事件与必然事件的概念，对选项逐一分析判断是否为必然事件即可. 【详解】因为所求事件的概率是1，所以该事件为必然事件， 对于A，因为可能发生任取出来的3个产品含有次品的情况，所以事件“3个都是正品”是随机事件，故A错误； 对于B，因为可能发生任取出来的3个产品都是正品的情况，所以事件“至少有一个是次品”是随机事件，故B错误； 对于C，因为次品的个数只有2个，所以事件“3个都是次品”是不可能事件，故C错误； 对于D，因为次品的个数只有2个，所以任取出来的3个产品必然至少有一个是正品，即事件“至少有一个是正品”是必然事件，故D正确. 故选：D. 变式5．（多选）（20-21高一上·全国·单元测试）下列说法中错误的是（    ） A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖 C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平 D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2 【答案】ABD 【分析】根据事件发生的随机性，即可判断正误. 【详解】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确. 故选：ABD. 变式6．（21-22高一·全国·课后作业）古代有个国王阴险多疑，一位正直的大臣得罪了他，被判死刑，这个国家有条法规：凡是死囚，在临刑前当众都要抽一次“生死签”．若抽到“死”签，则立即处死；若抽到“生”签，则当场赦免．国王一心想处死大臣，想出一条毒计：暗中把“生死签”上都写成“死”，两死抽一，必死无疑．然而在断头台前，聪明的大臣抽出一张签塞进嘴里，等到执行官反应过来，签纸早已吞下，大臣故作叹息说：“我听天意，将苦果吞下，只要看剩下的签是什么字就清楚了．”剩下的当然写着“死”字，国王无奈只好当众释放了大臣． (1)在法规中，大臣被处死是什么现象？ (2)在国王的阴谋中，大臣被处死是什么现象？ (3)在大臣的计策中，大臣被处死是什么现象？发生的概率为多少？ 【答案】(1)随机现象 (2)确定性现象 (3)确定性现象，发生的概率为0． 【分析】根据随机现象和确定性现象的定义来进行判断. 【详解】（1）在法规中，大臣被处死的概率为，故为随机现象； （2）在国王的阴谋中，大臣被处死的概率为1，为必然事件，确定性现象； （3）在大臣的计策中，大臣被处死为不可能事件，为确定性现象，发生的概率为0. 变式7．（21-22高一·湖南·课后作业）班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生． (1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围； (2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据必然事件的定义得解； （2）根据随机事件的定义得解. 【详解】（1）解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件， 所以. （2）解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件， 所以，. 【方法技巧与总结】 1.概率的性质 （1） 必然事件Ω的概率P（Ω）=1。 （2） 不可能事件∅的概率P（∅）=0。 （3） 随机事件A的概率P（A）∈（0，1）。 2.概率的意义 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，概率意义下的“ 可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“ 可能”“估计”是不同的。 一、单选题 1．（21-22高一下·黑龙江哈尔滨·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．在标准大气压下，水加热到时会沸腾 B．实数的绝对值不小于零 C．某彩票中奖的概率为，则买10000张这种彩票一定能中奖 D．连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上 【答案】B 【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件的概念判断即可． 【详解】因为在标准大气压下，水加热到才会沸腾，所以A不是必然事件； 因为实数的绝对值不小于零，所以B是必然事件； 因为某彩票中奖的概率为，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即C不是必然事件； 抛掷骰子，每一面出现都是随机的，所以D是随机事件． 故选：B． 2．（20-21高一·全国·课后作业）为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】用列举法一一表示出该试验中样本点，从而求出该试验中样本点的个数 【详解】由题意，得样本点为（数学，计算机），（数学，航空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘画），（航空模型，绘画），共6个， 故选：C． 3．（19-20高一下·全国·课后作业）下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据随机现象的概念逐项判断即可得解. 【详解】由随机现象的概念可知①②是随机现象，③④是确定性现象. 故选：B. 【点睛】本题考查了随机现象的概念，属于基础题. 4．（22-23高一下·北京通州·期中）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本事件的定义，列举即可． 【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序， 则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）． 故选：C. 5．（22-23高一·全国·课后作业）掷两个面上分别记有数字至的正方体玩具，设事件为“点数之和恰好为”，则中基本事件个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】直接列举出“点数之和恰好为”的基本事件即可. 【详解】用表示两个正方体玩具的点数分别为，， 则， ∴中基本事件个数为个. 故选：D. 6．（21-22高一·全国·课后作业）体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件，则事件包含的样本点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据样本空间及样本点的定义即可求解. 【详解】由题意可知，事件,共个样本点. 故选：C. 7．（2024高一下·全国·专题练习）将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定 【答案】C 【分析】根据随机事件的定义即可求解. 【详解】将一根长为的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，也可能不发生，但不是必然事件．所以事件是随机事件． 故选：C． 8．（23-24高二下·上海·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（    ）个． ①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为； ③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用随机事件的定义逐个判断，可得出结论. 【详解】对于事件①，某人购买福利彩票一注，中奖万元，该事件为随机事件； 对于事件②，三角形的内角和为，该事件为必然事件； 对于事件③，地球上，没有空气和水，人类可以生存下去，该事件为不可能事件； 对于事件④，同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上，该事件为随机事件. 因此，随机事件的个数为. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一下·黑龙江·期末）学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（    ） A．高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每名学生被抽到的概率相等 【答案】AD 【分析】确定分层抽样的抽样比可得A正确，由分层抽样遵循每个个体被抽到的概率相等的特点可得D正确. 【详解】根据分层抽样比可确定高三学生被抽出的人数为，即A正确； 抽样方法中，每种抽样方式都遵循每个个体被抽到的概率相等的特点， 每个学生被抽到的机会均为，即选项BC错误，D正确. 故选：AD 10．（23-24高一上·陕西汉中·期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（    ） A．5件都是正品 B．至少有1件次品 C．有3件次品 D．至少有3件正品 【答案】AB 【分析】根据题意25件产品中只有两件次品，所以不可能取出3件次品，且至少有3件正品，即可. 【详解】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是随机事件，A、B正确， 在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品， 则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误； 在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误. 故选：AB 11．（21-22高一·全国·课后作业）在名学生中，男生有人．现从这名学生中任选人去参加某项活动，有下列事件：①至少有一个女生；②个男生，个女生；③个男生，个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不可能事件、必然事件和随机事件的概念可确定的范围，进而得到结果. 【详解】若②为不可能事件，则男生人数少于，则同时可保证①为必然事件； 若③为随机事件，则男生人数不少于；或. 故选：BC. 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 【答案】可能 【分析】根据题意，由随机事件的定义即可得到结果. 【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是， 表示刮出500元的可能性是，所以这件事可能发生. 故答案为：可能 13．（21-22高一上·全国·课后作业）下列事件中必然事件为 ，不可能事件为 ，随机事件为 （填序号）. ①13个人中至少有两个人生肖相同； ②车辆随机到达一个路口，遇到红灯； ③函数在定义域内为增函数； ④任意买一张电影票，座位号是2的倍数. 【答案】 ① ③ ②④ 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义判断即可. 【详解】因为共有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故①是必然事件； 车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或者黄灯，故②是随机事件； 因为，所以函数在定义域内为减函数，所以③是不可能事件； 买一张电影票，座位号可能是2的倍数，也可能不是2的倍数，故④是随机事件. 故答案为：①；③；②④. 14．（22-23高一·全国·课后作业）下列事件中，属于随机现象的序号是 . ①明天是阴天；        ②方程有两个不相等的实数根； ③明天吴淞口的最高水位是4.5米；    ④三角形中，大角对大边． 【答案】①③ 【分析】对于①③，根据生活经验判断即可；对于②④，利用数学知识即可判断. 【详解】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象； 对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件； 对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件； 综上：属于随机现象的序号是①③. 故答案为：①③. 四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)． (1)写出这个游戏对应的样本空间； (2)写出这个游戏的样本点总数； (3)写出事件A：“甲赢”的集合表示； (4)说出事件{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义． 【答案】(1){(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)} (2)9 (3)事件{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)} (4)事件B表示“平局” 【分析】（1）根据题意结合样本空间的概念分析求解； （2）根据（1）即可得结果； （3）根据题意结合集合A的定义分析求解； （4）根据题意结合集合B的定义分析求解. 【详解】（1）由题意可知：样本空间为 {(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}. （2）由（1）可知：这个游戏的样本点总数为9. （3）由题意可知：事件{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}. （4）由题意可知：事件B表示“平局”. 16．（2024高一下·全国·专题练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数． (1)求试验的样本空间包含的样本点总数； (2)用集合表示事件C＝“两数之和为30”． 【答案】(1)55个 (2)． 【分析】（1）利用列举法求得样本点点数； （2）直接写出事件C包含的样本点. 【详解】（1）不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机取两个不同的数，可分类如下： 取2， 共有10个样本点； 取3，共有9个样本点； 取5，共有8个样本点； …… 取29，共有1个样本点． 所以共有1＋2＋3＋…＋9＋10＝5×（10＋1）＝55（个）样本点． （2）. 17．（23-24高一下·全国·课后作业）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的两边之和大于第三边； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)随机事件 (5)不可能事件 【分析】（1）根据随机事件的定义可得 （2）根据必然事件定义可得 （3）根据不可能事件定义可得 （4）根据随机事件的定义可得 （5）根据不可能事件定义可得 【详解】（1）购买一注福利彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件. （2）所有三角形的两边之和大于第三边，所以是必然事件. （3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存下去，所以是不可能事件. （4）任意抽取，可能得到1，2，3，4的四张标签中任一张，所以是随机事件. （5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件. 18．（19-20高一下·全国·课后作业）有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序. （1）写出这个试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件：“A在两侧”；“B，C两人相邻”. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【分析】（1）根据树状图写出样本空间；（2）参照（1）中得到的总的样本空间，找出符合事件的样本点，得到相应的样本空间。 【详解】解：（1）该试验的样本点用树状图表示，如图所示：    所以样本空间可表示为 . （2） ； . 【点睛】本题考查样本空间，可用画树状图的方法将样本点逐一写出来。 19．（21-22高一·全国·课后作业）现有编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两名记者的编号分别为，，且”． (1)共有多少个基本事件？并列举出来； (2)列举出抽取的两名记者编号之和小于17，但不小于11的基本事件． 【答案】(1)36个，列举见解析 (2)列举见解析 【分析】（1）共有36个基本事件，列举可得； （2）由（1）可知事件“抽取的两名记者编号之和小于17但不小于11”共含有15个基本事件，一一列举即可. 【详解】（1）解：共有36个基本事件，列举如下：，，，，，，， ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，， ，，，，． （2）解：抽取的两名记者编号之和小于17但不小于11的基本事件有15个， 列举如下：，，，，，，，，，，，，，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1.1随机现象＆7.1.2样本空间＆7.1.3随机事件 课程标准 学习目标 1.了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义.(数学抽象) 2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立,(数学抽象、逻辑推理) 3.能根据具体的实例进行事件间的简单运算.(数学运算) 1.了解随机事件的并 、交与互斥的含义. 2.能结合实例进行随机事件的并、交运 知识点01 随机现象 1.确定性现象：在自然界和人类社会中,普遍存在着两种现象,一类是在一定条件下必然出现的现象称为确定性现象. 2.随机现象：在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象. 3.随机现象有如下两个特点: (1)结果至少有2种; (2)事先并不知道会出现哪一种结果 【即学即练1】（2024高一下·全国·专题练习）下列方法不能产生随机数的是（    ） A．抛掷质地均匀的骰子 B．抛掷质地均匀的硬币 C．计算器 D．抛掷正方体，各面数字是1，2，3，3，4，5 【即学即练2】（21-22高一·全国·课后作业）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象． (1)如果，那么； (2)掷一枚硬币，出现反面； (3)从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签； (4)某电话机在1分钟内收到2次呼叫． 知识点02样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点 用表示样本点 样本空间 把由所有样本点组成的集合称为样本空间 通常用大写希腊字母表示 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果，，…，则称样本空间Ω={，，…}为有限样本空间 Ω={，，…} 【即学即练3】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（24-25高一下·全国·课前预习）写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 知识点03 随机事件 1.不可能事件∶在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果. 2.必然事件∶在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中一定会发生的结果. 3.随机事件∶如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集，而 且∶若试验的结果是A中的元素，则称A发生（或出现等）；否则，称A不发生（或不出现等）. 在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果. 注意： （1）不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件。 （2）任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生。 4.事件的表示∶不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件．通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的韦恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件. 【即学即练5】（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【即学即练6】（24-25高一下·全国·课堂例题）在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”，指出下列随机事件的含义： (1)事件； (2)事件； (3)事件． 难点：不重不漏思想的运用 示例1：（21-22高一·全国·课后作业），则中： (1)恰含有两个样本点的事件有多少个？ (2)至少含有三个样本点的事件有多少个？ 【题型1：随机现象】 例1．（21-22高一下·全国·课后作业）下列变化中是周期现象的是（    ） A．月球到太阳的距离与时间的函数关系 B．某同学每天上学的时间 C．某交通路口每次绿灯通过的车辆数 D．某同学每天打电话的时间 变式1．（多选）（20-21高一·全国·课后作业）观察下列现象： （1）在标准大气压下水加热到100℃，沸腾； （2）导体通电，发热； （3）同性电荷，相互吸引； （4）实心铁块丢入水中，铁块浮起； （5）买一张福利彩票，中奖； （6）掷一枚硬币，正面朝上； 其中是随机现象的有 变式2．（21-22高一·全国·课后作业）“从长度分别为15、20、30、40的4根小木条中，任取3根为边拼成一个三角形”是 现象． 变式3．（21-22高二·全国·课后作业）在下列现象中，随机现象是 ．（选填序号） ①汽车排放尾气会污染环境； ②实数a、b都不为0，则； ③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面； ④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面； ⑤函数（）在定义域内为严格增函数； ⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球． 变式4．（21-22高一·全国·课后作业）已知关于的方程，当时，“该方程有实数解”是随机现象，求的范围． 变式5．（21-22高一·全国·课后作业）一个不透明的布袋，袋中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄色，2个是白色，充分摇匀． (1)从袋子里任意取出2个球，取出的2个球都是黄色的是______现象； (2)任意摸出3个乒乓球，会出现哪几种可能的结果？ (3)请自己设计出一个确定性现象和随机现象． 变式6．（21-22高一·全国·课后作业）分析下面两句话里含有怎样的随机性． (1)有意栽花花不发，无心插柳柳成荫． (2)只在此山中，云深不知处． 【题型2：样本点与样本空间】 例2．（23-24高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ． 变式1．（22-23高一下·浙江温州·期末）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为 .    变式2．（2024高三下·全国·专题练习）甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点总数； (3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点． 变式3．（2024高一下·全国·专题练习）根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数； (3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和． 变式4．（2024高一下·江苏·专题练习）甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布），用表示结果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳. (1)写出样本空间； (2)用集合表示事件“甲赢”； (3)用集合表示事件“平局”. 变式5．（23-24高一上·全国·课后作业）连续抛掷一枚均匀的骰子次，观察每次出现的点数． (1)写出对应的样本空间； (2)用集合表示事件：出现的点数之和大于. 变式6．（23-24高一上·全国·课后作业）下列试验中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间． (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素． 变式7．（18-19高一·全国·课后作业）指出下列试验的样本空间： (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球； (2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差． 变式8．（2023高一·全国·课后作业）从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生． (1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间； (2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间． 【方法技巧与总结】1.样本空间只与问题的背景有关，根据问题的背景明确试验的每个可能的基本结果； 2.根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有样本点，用集合表示成样本空间.也可以借助树状图、列表等方法帮助我们列出试验的所有可能结果. 【题型3：事件类型的判断】 例3．（17-18高一·湖南株洲·单元测试）下列事件中，必然事件的个数是（　　） ①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0. A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（18-19高一下·湖南娄底·期中）从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（    ） A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 变式2．（2024高一下·全国·专题练习）下列事件为随机事件的是（　　） A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C．下周日下雨 D．没有水和空气，人也可以生存下去 变式3．(多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 变式4．(多选)（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 变式5．(多选)（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·期末）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．2021年8月18日，北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．，则 变式6．(多选)（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 变式7．(多选)（2024高一下·全国·专题练习）下列事件是随机事件的是（　　） A．函数的图象关于直线对称 B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码 C．函数是定义在R上的增函数 D．若，则a，b同号 变式8．（2024高一下·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件： (1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0； (4)汽车排放尾气会污染环境； (5)明天早晨有雾； (6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温． 【方法技巧与总结】判断一个事件是哪类事件要看两点 一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的； 二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件. 【题型4：随机事件的概率】 例4．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列说法正确的个数是（    ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 变式1．（22-23高二下·内蒙古包头·期末）从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是（    ） A．事件发生的概率等于 B．事件发生的概率等于 C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件 变式2．（2023高一·全国·专题练习）通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 变式3．（2023高一·全国·课后作业）随机事件发生的概率的范围是（    ） A． B． C． D． 变式4．（22-23高一·全国·课后作业）12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（    ） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 变式5．（多选）（20-21高一上·全国·单元测试）下列说法中错误的是（    ） A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖 C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平 D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2 变式6．（21-22高一·全国·课后作业）古代有个国王阴险多疑，一位正直的大臣得罪了他，被判死刑，这个国家有条法规：凡是死囚，在临刑前当众都要抽一次“生死签”．若抽到“死”签，则立即处死；若抽到“生”签，则当场赦免．国王一心想处死大臣，想出一条毒计：暗中把“生死签”上都写成“死”，两死抽一，必死无疑．然而在断头台前，聪明的大臣抽出一张签塞进嘴里，等到执行官反应过来，签纸早已吞下，大臣故作叹息说：“我听天意，将苦果吞下，只要看剩下的签是什么字就清楚了．”剩下的当然写着“死”字，国王无奈只好当众释放了大臣． (1)在法规中，大臣被处死是什么现象？ (2)在国王的阴谋中，大臣被处死是什么现象？ (3)在大臣的计策中，大臣被处死是什么现象？发生的概率为多少？ 变式7．（21-22高一·湖南·课后作业）班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生． (1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围； (2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围． 【方法技巧与总结】 1.概率的性质 （1） 必然事件Ω的概率P（Ω）=1。 （2） 不可能事件∅的概率P（∅）=0。 （3） 随机事件A的概率P（A）∈（0，1）。 2.概率的意义 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，概率意义下的“ 可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“ 可能”“估计”是不同的。 一、单选题 1．（21-22高一下·黑龙江哈尔滨·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．在标准大气压下，水加热到时会沸腾 B．实数的绝对值不小于零 C．某彩票中奖的概率为，则买10000张这种彩票一定能中奖 D．连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上 2．（20-21高一·全国·课后作业）为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 3．（19-20高一下·全国·课后作业）下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23高一下·北京通州·期中）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（22-23高一·全国·课后作业）掷两个面上分别记有数字至的正方体玩具，设事件为“点数之和恰好为”，则中基本事件个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（21-22高一·全国·课后作业）体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件，则事件包含的样本点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2024高一下·全国·专题练习）将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定 8．（23-24高二下·上海·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（    ）个． ①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为； ③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上． A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·黑龙江·期末）学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（    ） A．高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每名学生被抽到的概率相等 10．（23-24高一上·陕西汉中·期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（    ） A．5件都是正品 B．至少有1件次品 C．有3件次品 D．至少有3件正品 11．（21-22高一·全国·课后作业）在名学生中，男生有人．现从这名学生中任选人去参加某项活动，有下列事件：①至少有一个女生；②个男生，个女生；③个男生，个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 13．（21-22高一上·全国·课后作业）下列事件中必然事件为 ，不可能事件为 ，随机事件为 （填序号）. ①13个人中至少有两个人生肖相同； ②车辆随机到达一个路口，遇到红灯； ③函数在定义域内为增函数； ④任意买一张电影票，座位号是2的倍数. 14．（22-23高一·全国·课后作业）下列事件中，属于随机现象的序号是 . ①明天是阴天；        ②方程有两个不相等的实数根； ③明天吴淞口的最高水位是4.5米；    ④三角形中，大角对大边． 四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)． (1)写出这个游戏对应的样本空间； (2)写出这个游戏的样本点总数； (3)写出事件A：“甲赢”的集合表示； (4)说出事件{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义． 16．（2024高一下·全国·专题练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数． (1)求试验的样本空间包含的样本点总数； (2)用集合表示事件C＝“两数之和为30”． 17．（23-24高一下·全国·课后作业）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的两边之和大于第三边； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 18．（19-20高一下·全国·课后作业）有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序. （1）写出这个试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件：“A在两侧”；“B，C两人相邻”. 19．（21-22高一·全国·课后作业）现有编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两名记者的编号分别为，，且”． (1)共有多少个基本事件？并列举出来； (2)列举出抽取的两名记者编号之和小于17，但不小于11的基本事件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$