专题06 函数的基本性质（考点清单，3考点&3题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期北师大版

专题06 函数的基本性质 【清单01】函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 【清单02】二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 【清单03】函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 【考点题型一】常见函数的单调性 【例1】.函数是增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】.函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】.如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】.已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】.已知在上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】.（多选）下列函数中，当时，函数是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】二次函数的最值 【例2】.设函数，. (1)若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； (2)若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 【变式2-1】.若函数的表达式为，且存在最小值，则a的取值范围为 ． 【变式2-2】.已知二次函数.    (1)画出它的图象并指出图象的开口方向、顶点坐标； (2)写出函数的单调增区间和减区间. (3)求函数在时的值域 【变式2-3】.已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若，当时，的最小值为1，求的值． 【变式2-4】.已知二次函数，若不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)当时，求的值域： (3)当时，求的最小值. 【考点题型三】函数的奇偶性 【例3】.已知函数，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 【变式3-1】.若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】.已知是定义在上的偶函数，且，则（    ） A． B． C．4 D．9 【变式3-3】.已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3-4】.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】.若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式3-6】.（多选）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 【变式3-7】.（多选）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 【变式3-8】.已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 1.已知函数是减函数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6.函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7.函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 8.已知函数的定义域为，且.有下列四个结论： ① ②为偶函数 ③ ④在区间上单调递减 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 9.（多选）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是“函数为奇函数”．易知为奇函数，则的图象的对称中心为 ；的解集为 ． 11.已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数. (1)若，求函数的最值； (2)若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围； (3)若对于，，使得成立，求实数m的取值范围. 12.已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数的基本性质 【清单01】函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 【清单02】二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 【清单03】函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 【考点题型一】常见函数的单调性 【例1】.函数是增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，解得． 故选：C． 【变式1-1】.函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，函数在上是减函数，则有，解得， 故选：B． 【变式1-2】.如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式1-3】.已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数对称轴为， 函数在上单调递减，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，， 即,则， 若对任意的，都有， 则只要 即可，即 ，解得：， 又因为，则 . 故选：D. 【变式1-4】.已知在上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由在上满足， 设，则，即在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 【变式1-5】.（多选）下列函数中，当时，函数是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A选项，在R上单调递减，当时，是减函数，A正确； B选项，对称轴为，开口向上， 故在上单调递减，B正确； C选项，对称轴为轴，开口向上，故在上单调递增，C错误； D选项，在上单调递减，D正确. 故选：ABD 【考点题型二】二次函数的最值 【例2】.设函数，. (1)若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； (2)若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 【答案】(1) (2)①；②. 【详解】（1）法1：由题知，任意有，即当，只需， 由的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 此时，即； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，与前提矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减， 此时，即，与前提矛盾，舍去. 综上所述：a的取值范围. 法2：由题，得对任意都成立，即， 令，则， 令，则在上单调递增， 则在上单调递减，故，即， 所以a的取值范围. （2）①，即的解集为， 则有，解得， ②由于 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，在单调递减，所以； 综上所述，所以 【变式2-1】.若函数的表达式为，且存在最小值，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】若，，∴，符合题意； 若，当时，单调递增，当时，， 故没有最小值，不符合题目要求； 若，当时，单调递减，， 当时，， ∴或，解得. 综上所述，a的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-2】.已知二次函数.    (1)画出它的图象并指出图象的开口方向、顶点坐标； (2)写出函数的单调增区间和减区间. (3)求函数在时的值域 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3). 【详解】（1）， 故函数的图象的开口向下，顶点坐标为，与轴的交点坐标为， 其图象如图所示：    （2）由函数图象可知， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）因为， 结合函数的图象可得函数的值域为. 【变式2-3】.已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若，当时，的最小值为1，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）不等式，即， 当时，，解得； 当时，， ①若时，则，解得或， ②若时，则，解得， ③若时，则，解得， ④若时，则，解得. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （2），，对称轴， 当时，即，此时在上单调递增， 所以，即； 当时，即，此时在上单调递减，在单调递增， 所以，即（舍去）. 综上所述，． 【变式2-4】.已知二次函数，若不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)当时，求的值域： (3)当时，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）因为的解集为， 所以，解得， 所以的值为1； （2）由（1）可得，所以， 二次函数的图像开口向上，对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域为； （3）因为，二次函数的图像开口向上，对称轴为， 当，即时，在单调递减， 所以； 当，即时，； 当时，在单调递增， 所以， 所以的最小值. 【考点题型三】函数的奇偶性 【例3】.已知函数，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2) 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 对，， 所以函数为奇函数； 当时，的定义域为， 对，， 此时， 此时，函数是奇函数； （2）设， 则， ， 因为，所以，， 若为上的增函数，则成立， 则成立，所以成立，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式3-1】.若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 【变式3-2】.已知是定义在上的偶函数，且，则（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】D 【详解】因是上的偶函数，且， 用替换，得 用 替换 ，可得，即函数的一个周期为4， 在中，令，得， 因，代入整理，解得或，因，故， 于是，， 则 故选：D. 【变式3-3】.已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】因为的定义域为, 所以, 解得, 经验证满足题意， 故选：B. 【变式3-4】.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故A错误； B选项，的定义域为，且，故为奇函数，故B错误； C选项，设，因为， 所以在上不单调递增，故C错误； D选项，的定义域为，且，故为偶函数， 又当时，，在上单调递增，故满足要求，故D正确． 故选：D． 【变式3-5】.若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】设，则，即，即 所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 所以， 故选： A. 【变式3-6】.（多选）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 【答案】ACD 【详解】把的图象向右平移2个单位得的图象，因此直线是图象的对称轴，A正确； 在上单调递增，则的符号不确定，所以无法确定，的大小，B错误； 在上单调递减，所以，C正确； 在上单调递减，由，得，所以在上单调递减，D正确. 故选：ACD. 【变式3-7】.（多选）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 【答案】ABD 【详解】A.两个单调区间中间要用和分开，故A错误； B. 因为是定义在R上的偶函数，所以， 又在上单调递减，则，故B错误； C.当时，，最大值为4， 又因为是偶函数，所以的最大值为4，故C正确； D. 如图所示：的解集为，故D错误． 故选：ABD． 【变式3-8】.已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得解得 当时，函数是奇函数，所以. 在上单调递减，证明如下： ，且. 因为，所以. 所以，即， 所以在上单调递减. （2）由（1）得在上单调递减. 因为为奇函数，所以在上单调递减， 所以在上单调递减. ， 故在上的值域为. 1.已知函数是减函数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是减函数，则有， 解得，则a的取值范围为. 故选：B. 2.已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，令， 则，因此函数在上单调递增，由，得， 由，得，即， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：C 3.函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的对称轴为：， 由题意可得，解得. 故选：D 4.已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 6.函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于是定义在上的递减函数，故命题等价于在上单调递增且取值恒为正. 若，则，从而在上取值不恒为正，不满足条件； 若，则对任意都有， 且由知对任意都有. 故在上单调递增且取值恒为正，满足条件. 所以使得原命题成立的充分必要条件是，从而观察选项可知A是充分不必要条件，B是充要条件，C，D是既不充分也不必要条件. 故选：A. 7.函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 8.已知函数的定义域为，且.有下列四个结论： ① ②为偶函数 ③ ④在区间上单调递减 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【详解】令，则，则，故①错误； 令，则，所以为偶函数，故②正确； 令，则，即， 则，故， 则，故，故③正确； 由为偶函数，可知的图像关于对称，由，可知的图像关于对称，故在区间上不单调，故④错误； 故选：B 9.（多选）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故B是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故C是偶函数； 令，则，所以是奇函数，故D是奇函数． 故选：ABC. 10.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是“函数为奇函数”．易知为奇函数，则的图象的对称中心为 ；的解集为 ． 【答案】 【详解】因为为奇函数， 而，即为奇函数， 由题意知，的图象的对称中心是； 所以，从而可化为，即， 由为上单调递减函数，所以为上单调递增函数， 所以，即． 故的解集为． 故答案为：①；②. 11.已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数. (1)若，求函数的最值； (2)若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围； (3)若对于，，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)最小值为，最大值为3 (2) (3) 【详解】（1）由题意，函数在上单调递减，在区间上单调递增， 且，，， 所以函数的最小值为，最大值为3. （2）由题意，关于x的不等式的解集为， 即不等式对于恒成立， 当时，不等式为，即不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. （3）由题意，对于，，使得成立， 则. 对于函数，，由（1）知，. 对于函数，， 若，，则，而，不符合题意. 若，当，即，所以当时，恒成立， 所以， 则，即，不符合题意； 若，当，即时，， 则，即，所以； 当，即时，， 则，即，所以此种情况不合题意； 当时，， 所以； 综上所述，实数m的取值范围为. 12.已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设二次函数解析式为， 由题意可得，所以， 又函数是偶函数，则其函数图像关于轴对称， 所以的图像关于对称，即，所以， 故，所以. （2）由（1）可得，则， 当时，单调递增，则， 若，使成立， 即，即， 令， 当时，，不符合； 当时，在单调递减，则， 即，解得； 当时，在单调递增，， 即，解得，且，则； 综上所述，，即实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$