专题10 特殊三角形常考选择填空题分类训练（16种类型80道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版）

专题10 特殊三角形常考选择填空题分类训练 （16种类型80道） 目录 【题型1 轴对称图形】 1 【题型2 轴对称解决光的反射】 2 【题型3 折叠问题求线段长】 3 【题型4 等腰三角形求角度】 5 【题型5等腰三角形求周长或线段长】 5 【题型6 三线合一】 5 【题型7 等边三角形性质】 7 【题型8 等腰三角形个数】 8 【题型9 等腰三角形的判定】 9 【题型10 坐标系与等腰三角形】 10 【题型11 等边三角形的判定】 11 【题型12 含30度的直角三角形】 11 【题型13 直角三角形斜边上的中线】 12 【题型14 勾股定理】 13 【题型15 勾股定理实际问题】 14 【题型16 直角三角形全等判定】 16 【题型1 轴对称图形】 1．年是甲辰龙年，龙常用来象征祥瑞，是中华民族最具代表性的传统文化之一．下面龙的图案是轴对称图形的是（ ） A．B． C． D． 2．京剧是我国的国粹，下列京剧脸谱构成轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 4．以下新能源汽车标志是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．剪纸是我国古老的民间艺术，下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 轴对称解决光的反射】 6．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 8．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线CB平行于α，则角θ等于（　　） A．45° B．60° C．30° D．不能确定 10．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型3 折叠问题求线段长】 11．如图，将沿直线折叠后，使点B与点A重合．已知，的周长为，则的长（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（   ） A． B． C． D． 13．如图，将沿直线折叠后，点B与点A重合，已知，的周长为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 14．如图， 中，，，沿过 B 点的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，的周长为15，则长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 15．如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D．   【题型4 等腰三角形求角度】 16．若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 17．已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（    ）． A． B． C． D．或 18．已知等腰三角形顶角为，则这个等腰三角形底角为（   ） A．或 B． C． D． 19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 20．一个等腰三角形的顶角是，则它的底角是（   ） A． B． C． D． 【题型5等腰三角形求周长或线段长】 21．一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D． 22．等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 23．若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 24．如果等腰三角形的两边长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（   ） A．17 B．22 C．25 D．17或22 25．若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【题型6 三线合一】 26．如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 27．我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在中，，若是边上的一点，则下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 28．如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 29．如图，中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 30．如图，在中，，是边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型7 等边三角形性质】 31．如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（） A． B． C． D． 32．如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 33．如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 34．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 35．如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【题型8 等腰三角形个数】 36．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 37．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 38．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．   39．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形 ． 40．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 个． 【题型9 等腰三角形的判定】 41．如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是 （把所有正确的序号都填在横线上）． ①；②；③． 42．在中，若，，则 等腰三角形．（填“是”或“不是”） 43．如图，在中，平分，，则是 三角形．    44．如图，是的边上的高，下列条件中能推出是等腰三角形的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①；②；③． 45．在中，，当 度时，是等腰三角形． 【题型10 坐标系与等腰三角形】 46．平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ． 47．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 个． 48．如图，已知A（1，3），在坐标轴上找点B，使△AOB为等腰三角形，符合条件的点有 个． 49．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有 个． 50．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ． 【题型11 等边三角形的判定】 51．若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是 三角形． 52．在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 53．在中，已知，再添加一个条件 ，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 54．已知a，b，c是的三边长，且满足，判断此三角形的形状为 三角形． 55．在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【题型12 含30度的直角三角形】 56．如图，在中，，点D为边上一点，于，则的面积为 ． 57．如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ． 58．如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 59．如图，在中，，则 ． 60．如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，，则长为 cm． 【题型13 直角三角形斜边上的中线】 61．如图，在中，是斜边的中线，，则的长为 ． 62．如图，在中，是斜边上的中线，，则 ． 63．如图中，，过点作交于，若，则的长为 ． 64．如图，，，，延长至D，使，连接，则 ． 65．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    【题型14 勾股定理】 66．如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 67．在中，，D为斜边的中点，则 ． 68．如图，在中，，平分，，，则 ． 69．如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ． 70．如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为 ． 【题型15 勾股定理实际问题】 71．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 72．如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 73．如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面处向地面拉一条长的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了． 74．如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 75．为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 米． 【题型16 直角三角形全等判定】 76．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 77．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，若，，则的长为 ． 78．如图，中，，平分，交于点D，于点E，且，则的周长为 ． 79．如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接，．若，且的面积为7，则的面积为 80．如图，在中，，的角平分线，过点D作于E，且的周长为，其中，则的周长为 ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 特殊三角形常考选择填空题分类训练 （16种类型80道） 目录 【题型1 轴对称图形】 1 【题型2 轴对称解决光的反射】 3 【题型3 折叠问题求线段长】 7 【题型4 等腰三角形求角度】 11 【题型5等腰三角形求周长或线段长】 13 【题型6 三线合一】 15 【题型7 等边三角形性质】 18 【题型8 等腰三角形个数】 22 【题型9 等腰三角形的判定】 25 【题型10 坐标系与等腰三角形】 29 【题型11 等边三角形的判定】 36 【题型12 含30度的直角三角形】 38 【题型13 直角三角形斜边上的中线】 42 【题型14 勾股定理】 46 【题型15 勾股定理实际问题】 48 【题型16 直角三角形全等判定】 52 【题型1 轴对称图形】 1．年是甲辰龙年，龙常用来象征祥瑞，是中华民族最具代表性的传统文化之一．下面龙的图案是轴对称图形的是（ ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2．京剧是我国的国粹，下列京剧脸谱构成轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3．以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形，进行逐项判断即可. 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故答案为：C. 4．以下新能源汽车标志是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的意义，熟练掌握轴对称图形的性质，寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合，是解答本题的关键．根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此得到答案． 【详解】解：A、选项不是轴对称图形，不符合题意； B、选项不是轴对称图形，不符合题意； C、选项不是轴对称图形，不符合题意； D、选项是轴对称图形，符合题意； 故选：D； 5．剪纸是我国古老的民间艺术，下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，本选项不符合题意； B．是轴对称图形，本选项符合题意； C．不是轴对称图形，本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，本选项不符合题意． 故选：B． 【题型2 轴对称解决光的反射】 6．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 7．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 8．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 9．如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线CB平行于α，则角θ等于（　　） A．45° B．60° C．30° D．不能确定 【答案】B 【分析】如图，由镜面反射原理可知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，而由平行线的性质可知：∠1＝∠θ＝∠3，这样即可把相应的角转移到一个三角形中，再利用三角形的内角和求解即可． 【详解】解：如图，由题意得：AO∥平面镜β，CB∥平面镜α， ∴∠θ＝∠3，∠1＝∠θ， ∴∠1=∠θ=∠3， 由镜面反射原理可知：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＝∠θ＝∠4， ∴∠θ＝60°． 故选：B．    【点睛】本题考查了镜面反射、平行线的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是利用反射的性质和平行线的性质把相应的角转化到一个三角形中求解． 10．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 【题型3 折叠问题求线段长】 11．如图，将沿直线折叠后，使点B与点A重合．已知，的周长为，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠知，由的周长即可求得结果． 【详解】解：由折叠知， ∵的周长为， ， ， ∴； 故选：A． 12．如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、角平分线的性质定理、三角形面积公式，作于，于，由折叠的性质可得：，，再由角平分线的性质定理可得，再结合面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图：作于，于， ， ∵在中，， ∴由折叠的性质可得：，， ∵，， ∴， ∵将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 13．如图，将沿直线折叠后，点B与点A重合，已知，的周长为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠后对应线段相等、对应角相等；由折叠知，由的周长即可求得结果． 【详解】解：由折叠知； ∵的周长为， ∴， 即， ∴； 故选：B． 14．如图， 中，，，沿过 B 点的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，的周长为15，则长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题考查三角形的折叠问题，依据折叠可得，，进而得出，再根据的周长为，可得，即可得到长． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， 又∵的周长为， ∴， ∴， 故选：C． 15．如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题、垂线段最短，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据将边沿翻折，点B落在点F处，可得，即知当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案． 【详解】解：如图：    ∵将边沿翻折，点B落在点F处， ∴， ∴， 当最小时，最大，此时， ∵ ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【题型4 等腰三角形求角度】 16．若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论． 【详解】解：当角为顶角，顶角度数即为； 当为底角时，顶角； 综上，若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是或， 故选：C． 17．已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是熟知相关概念； 等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和等于；要注意分情况讨论； 【详解】解：本题可分两种情况：①为顶角；②为底角，则顶角为：； 故选：D 18．已知等腰三角形顶角为，则这个等腰三角形底角为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据等腰三角形的两个底角相等结合三角形内角和是求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形顶角为， ∴这个等腰三角形底角为， 故选：C． 19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当高在三角形的内部时： 由题意，得：，， ∴； 当高在三角形的外部时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 故选D． 20．一个等腰三角形的顶角是，则它的底角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，首先设这个等腰三角形的底角是，则它的另一个底角的度数也是，根据三角形内角和定理可得：，解一元一次方程可以求出底角的度数． 【详解】解：设这个等腰三角形的底角是， 根据三角形内角和定理可得：， 解得：， 故选：A． 【题型5等腰三角形求周长或线段长】 21．一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①为腰，为底，能构成三角形，此时周长为； ②为底，为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去． ∴该三角形的周长是． 故选：A． 22．等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或，根据三角形的三边关系确定第三边的长，然后求周长即可． 【详解】解：由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或， 当等腰三角形的第三边的长为6时， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的第三边的长为时，满足三角形三边关系， ∴它的周长为， 故选：C． 23．若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．由题意分该等腰三角形的腰长分别为4和9两种情况，结合三角形三边间的关系进行讨论，然后再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下两种情况进行讨论： （1）当该等腰三角形的腰长为4时，因为，不组成三角形，所以这种情况不成立； （2）当该等腰三角形的腰长为9时，因为，组成三角形，此时该等腰三角形的周长． 综上所述，该等腰三角形的周长为22． 故选：B． 24．如果等腰三角形的两边长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（   ） A．17 B．22 C．25 D．17或22 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①若4为腰长，9为底边长， 由于，则三角形不存在； ②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：B． 25．若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据题意其中一边长为，没有明确该边的名称，所以长为3的边可能为腰，也可能为底边，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：由题意知，应分两种情况：当腰长为时，则另一腰也为， 底边为， ∵， ∴边长分别为3，3，9不能构成三角形； 当底边长为时，腰的长， ∴边长为3，6，6，能构成三角形， 则该等腰三角形的底边长是． 故选A． 【题型6 三线合一】 26．如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据三线合一性质直接能得到点D是线段的中点，即可求解． 【详解】解∶∵，，， ∴， 故选：B． 27．我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在中，，若是边上的一点，则下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合解答即可．本题考查了等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形“三线合一”是解此题的关键． 【详解】解：A、，，，故选项不符合题意； B、，，故选项不符合题意； C、，，，故选项不符合题意； D、，∴是等腰三角形，∵，∴该条件不能说明，故选项符合题意． 故选：D． 28．如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，掌握此性质是关键；由，得，则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选：D． 29．如图，中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质及角平分线的定义是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，最后根据角平分线的定义结合三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵，是的中线，且， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴． ∴， 故选：C． 30．如图，在中，，是边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， 故选：C． 【题型7 等边三角形性质】 31．如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解，求解的度数是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的中线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 32．如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质．先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∴， 故选：C． 33．如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 34．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质；由等边三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由平行线的性质得，即可求解；掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 35．如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型8 等腰三角形个数】 36．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 37．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 38．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．   【答案】3 【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 由题图可知，平分， ∴， ∴，， ∴,， ∴是等腰三角形，， ∴是等腰三角形． 综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键． 39．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形 ． 【答案】△ABD，△BDC，△ABC． 【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断． 【详解】∵∠A＝36°，∠C＝72°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，即：∠ABC＝∠C＝72°， ∴△ABC为等腰三角形， ∵∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴△BDC为等腰三角形， ∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝72°－36°＝36°， ∴∠ABD＝∠A， ∴△ABD为等腰三角形． 故答案为：△ABD，△BDC，△ABC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 40．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】5 【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∠A=36°， ∴， 又∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴，， ∴、是等腰三角形； 并且：， ， ∴， ， ∴，是等腰三角形， ∴图中的等腰三角形有5个． 故答案为5． 【题型9 等腰三角形的判定】 41．如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是 （把所有正确的序号都填在横线上）． ①；②；③． 【答案】①② 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，注意充分利用所学知识求解． 可根据全等三角形的性质和判定判断①②③是否正确； 【详解】解：①当时，且是的边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②当时， 过点作，， ∴， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ③∵，是的边上的中线， ∴， ∴不能证明和全等，无法判定； 故答案为：①②． 42．在中，若，，则 等腰三角形．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得的度数，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：是 43．如图，在中，平分，，则是 三角形．    【答案】等腰 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则 ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 44．如图，是的边上的高，下列条件中能推出是等腰三角形的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①；②；③． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的判定和三角形全等的判定，解题关键是结合图形灵活解决问题．由无法确定是等腰三角形；根据证明可判定是等腰三角形；延长至点E，使，延长至点F，使，连接．先证明，再证明，可判定是等腰三角形． 【详解】解：①无法判定是等腰三角形； ②当时， 是的平分线， ∴． ∵是边上的高， ∴． ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形； ③如答图，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． ， ． 又， ∴是的垂直平分线， ∴， ． ， ． 同理， ， ∴， 是等腰三角形． 故答案为：②③． 45．在中，，当 度时，是等腰三角形． 【答案】45 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，熟知等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴当，是等腰三角形 ∴当度时，是等腰三角形， 故答案为：． 【题型10 坐标系与等腰三角形】 46．平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ． 【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3) 【分析】根据等腰直角三角形中直角顶点的不同情况进行分类讨论，并结合全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：①如图所示，点C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC时， 作CP⊥y轴于P点，则∠CPB=∠BOA=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠PBC+∠OBA=90°， ∵∠PBC+∠PCB=90°， ∴∠OBA=∠PCB， 在△OBA和△PCB中， ∴OB=PC，OA=PB， 由题意，OB=4，OA=2， ∴PC=4，PB=2， ∴OP=2+4=6， ∴此时，C点坐标为(4，6)； ②如图所示，点C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC时， 作CQ⊥x轴于Q点，则∠AQC=∠BOA=90°， 同①理，可证得△BOA≌△AQC， ∴OB=AQ=4，CQ=OA=2， ∴OQ=2+4=6， ∴此时，C点坐标为(6，2)； ③如图所示，点C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC时， 作BM⊥CN，交CN延长线于M点，则∠BMC=∠CNA=90°， 同①理，可证得△BMC≌△CNA， ∴AN=MC，CN=BM， 则， 即：， 解得：， ∴ON=2+1=3， ∴此时，C点坐标为(3，3)； 综上，点C的坐标为(4，6)、(6，2)或(3，3)； 故答案为：(4，6)、(6，2)或(3，3) ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的确定，掌握等腰直角三角形的基本性质，熟练运用全等三角形的判定与性质求解是解题关键． 47．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 个． 【答案】4 【分析】分为三种情况：①OA=OP，②AP=OP，③AO=AP，分别画出即可． 【详解】解：以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个； 以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个； 作OA的垂直平分线交x轴于一点P1， 则AP1=OP1， 此时三角形是等腰三角形，即1个； 2+1+1=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解啊． 48．如图，已知A（1，3），在坐标轴上找点B，使△AOB为等腰三角形，符合条件的点有 个． 【答案】8 【分析】题目中没有指明AO，BO，AB是底还是腰，故应该分情况进行讨论，注意不但要考虑到AO，BO，AB是底还是腰，而且要考虑到A，B是在正半轴还是在负半轴； 【详解】先假设点B在x轴上，可设B点的坐标为， 当OA=AB时， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴点B的坐标是； 当OA=OB时， ∴ ∴ ∴， ∴点B的坐标为，； 当OB=AB时， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 综上所述，B点的坐标为，，，； 同理可得当点B在y轴上时，点B的坐标是，，，； ∴符合条件的点B有8个； 故答案是8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和坐标图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 49．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(0，3)，以AB为边作等腰三角形，则在坐标轴上的另一个顶点有 个． 【答案】8 【分析】根据等腰三角形的性质作图即可； 【详解】解：如图， 以AB为腰的三角形有6个， 分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4，△ABP5，△ABP6； 以AB为底的三角形有两个， 分别是△ABP7，△ABP8． 因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，位置与坐标，准确分析判断是解题的关键． 50．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ． 【答案】 【分析】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可． 【详解】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝； ∴D（0，）； ②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×yA=4， ∴P（0，4）； ③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC， 由勾股定理得：OC＝AC＝， ∴OC＝， ∴C（0，）； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 【题型11 等边三角形的判定】 51．若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查偶次方的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴这个三角形一定是等边三角形， 故答案为：等边． 52．在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的判定等知识．熟练掌握绝对值的非负性，等边三角形的判定是解题的关键． 由题意知，，可求，进而可得是等边三角形，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边． 53．在中，已知，再添加一个条件 ，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）． ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 54．已知a，b，c是的三边长，且满足，判断此三角形的形状为 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查了完全平方公式，三角形的分类，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 首先移项，然后利用完全平方公式得到，，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴此三角形的形状为等边三角形． 故答案为：等边． 55．在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定条件是解题关键．由等边三角形的定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．据此即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 要使是等边三角形，只需添加、的夹角即可． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型12 含30度的直角三角形】 56．如图，在中，，点D为边上一点，于，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了三角形的面积，含角的直角三角形的性质，能够求出、的长是解题的关键． 过点作于点，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再根据，，求出、的长，即可得出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：20． 57．如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键． 首先根据等边三角形的性质得到，，求出 可得，从而可得答案． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ∴ ∴． 故答案为：2． 58．如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点P作于点E，由题意易得，，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示： ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 59．如图，在中，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵，是高， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 故答案为：20． 60．如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，，则长为 cm． 【答案】12 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握角所对的直角边等于斜边的一半成为解题的关键． 如图：连接,由、可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得，即得、，再说明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵，， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：12． 【题型13 直角三角形斜边上的中线】 61．如图，在中，是斜边的中线，，则的长为 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，因为在中，是斜边的中线，所以，即可作答． 【详解】解：∵在中，是斜边的中线，， ∴， 故答案为：． 62．如图，在中，是斜边上的中线，，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可解得的值，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，可证明，即可获得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：． 63．如图中，，过点作交于，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形外角和的性质，等角对等边的运用，构造直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，取中点，连接，则是的中线，可得，即，有三角形的外角和性质可得，结合题意可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解． 【详解】解：如图所示，取中点，连接，则是的中线， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 64．如图，，，，延长至D，使，连接，则 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明出和的形状是解题关键．过点作交于点，连接，根据直角三角形斜边中线，得到，进而得到，证明出是等边三角形，再证明出是等腰直角三角形，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作交于点，连接， ，， ， ，即点为中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为： 65．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，由，则，故有，再根据垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型14 勾股定理】 66．如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理， 由正方形面积公式得到，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形的面积为14，正方形的面积为19， ，. ， ， 的面积． 故答案为：5． 67．在中，，D为斜边的中点，则 ． 【答案】6.5 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质解答． 【详解】解：， 为斜边的中点， 故答案为：6.5． 68．如图，在中，，平分，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理计算． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 69．如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 70．如图，已知直角三角形，，，．将沿着折叠，使得点落在边上的处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用勾股定理求出，再根据折叠可得，，，即得，，设，则，最后在中利用勾股定理列出方程即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型15 勾股定理实际问题】 71．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 72．如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 【答案】南偏西 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故答案为：南偏西． 73．如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面处向地面拉一条长的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了． 【答案】6 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理即可得到结论，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 【详解】解：标记点如下图： 要使得这根电线杆便与地面垂直，即， 则只需保证， 由题意可知： ∴， ∴当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为时，这根电线杆便与地面垂直了． 故答案为：6． 74．如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．利用平移的性质知，当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 75．为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 米． 【答案】14 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 故答案为：14． 【题型16 直角三角形全等判定】 76．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 77．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由为角平分线，利用角平分线定理得到，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，即可求解． 【详解】解：是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， 故答案：． 78．如图，中，，平分，交于点D，于点E，且，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．首先证明，由全等三角形的性质可得，，进而可计算的周长． 【详解】 平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的周长为， ， ∴的周长为． 79．如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接，．若，且的面积为7，则的面积为 【答案】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形面积计算，解题的关键是证明三角形全等． 证明，得出，再根据计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 80．如图，在中，，的角平分线，过点D作于E，且的周长为，其中，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等． 根据角平分线的性质可得，证明，得出，根据周长为，得出，进而即可解答． 【详解】解：是的平分线，，， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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