第十讲 认识并求解一元一次方程2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第十讲 认识并求解一元一次方程 第10讲 讲 认识并求解一元一次方程 概述 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师大版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、一元一次方程的定义 2、列一元一次方程 3、一元一次方程的解 4、等式的基本性质 5、解一元一次方程 6、一元一次方程的综合运用（含参问题） 教学目标 1、掌握一元一次方程的定义. 2、掌握等式的基本性质 3、掌握一元一次方程的解法. 教学重点 能根据方程的特点灵活地选择解法. 教学难点 灵活运用解一元一次方程的步骤. 教学过程 一、导入 一、情景导入： 我能猜出你们的年龄，相信吗？只要任何一个同学回答我一个问题，我就能马上猜到他的年龄是多少岁，我们来试试吧． 问：你的年龄乘以2加3等于多少？ 学生说出结果，教师猜测年龄，并问：你们知道我是怎么做的吗？ 学生讨论并回答 二、知识探究： 1．方程的教学（投影演示） 小彬和小明也在进行猜年龄游戏，我们来看一看． 找出这道题中的等量关系，列出方程． 大家观察，这两个式子有什么特点． 讨论并回答：什么是方程？方程有哪些特点？ 2．判断下列式子是不是方程？ （1）x＋2＝3（是） （2）x＋3y＝6（是） （3）3x－6（不是） （4）1＋2＝3（不是） （5）x＋3＞5（不是） （6）y－12＝5（是） 三、合作交流 1．如果告诉我们一些实际生活中的问题，大家能够自己列出方程吗？（投影演示） 情景一：小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约10厘米，大约几周后树苗长高到1米？ 你能找出题中的等量关系吗？怎样列方程？由此题你们想到了些什么？ 情景二：第五次全国人口普查统计数据（2001年3月28日新华社公布） 截至2000年11月1日0时，全国每10万人中具有大学文化程度的人数为3611人，比1990年7月1日0时增长了153.94%，1990年6月底每10万人中约有多少人具有大学文化程度？ 情景三：西湖中学的体育场的足球场，其周长为200米，长和宽之差为12米，这个足球场的长和宽分别是多少米？ 下面是刚才根据几道情景题所列的方程，分析下列方程有何共同点？ 2x–5＝21 40＋15x＝100 x（1＋153.94﹪）＝3611 2[x＋(x＋12)]＝200 2[y＋(y–12)]＝200 在一个方程中，只含有一个未知数x（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫一元一次方程． 问：大家刚才都已经自己列出了方程，那个同学能够说一下你是怎样列出方程的，列方程应该分为那几步呢？ 生：分组讨论，回答列方程的步骤：（1）找等量关系；（2）设未知数；（3）列方程． 二、知识讲解 知识点1 方程的有关概念 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 方程的定义的要点：①含有未知数，π不是未知数；②是等式。 知识点2 方程的解 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。 知识点3 一元一次方程 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的三要点：①、只含有一个未知数；②、未知数的次数为“1”；③、整式方程。 知识点5 解方程 解方程：求方程解的过程叫做解方程。 知识点6 等式的基本性质 等式的基本性质一：等式的两边同时加上（或减去）同一个整式，等式还成立。 等式的基本性质二：等式的两边同时乘以（或除以）同一个整式（不为零），等式还成立。 知识点7 求解一元一次方程的步骤及依据 解一元一次方程的步骤及依据： 步骤 注意事项 依据 去分母 等式两边每一项都要乘以分母的最小公倍数 等式的基本性质二 去括号 括号前是负号时要变号 去括号法则 移项 移项要变号 等式的基本性质一 合并同类项 注意系数的符号 合并同类型法则 系数化“1” 两边同时除以系数 等式的基本性质二 三、例题精析 例题1 1、已知下列方程：其中一元一次方程有（ ） ①x﹣2=；②0.2x﹣2=1；③；④x2﹣3x﹣4=0；⑤2x=0；⑥x﹣y=6． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例题2 2、若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ） A．x=0 B．x=3 C．x=﹣3 D．x=2 考点二：列一元一次方程 考点一：一元一次方程的定义 考点一：用正数、负数表示具有相反意义的量 例题1 1、甲数比乙数的还多1，设乙数为，则甲数可表示为 ( ) A． B． C． D． 例题2 2、有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，用下列四个等式表示： ①； ②； ③； ④， 其中正确的是（ ） A、 ①② B、②④ C、②③ D、③④ 例题3 3、比a的3倍大5的数是9，列出方程式是 ． 考点三：一元一次方程的解 意义的量 例题1 1、若x=−2是关于x的方程3x+4= +a的解，则a2020−a的值是______. 例题2 2、写出一个满足下列条件的一元一次方程：①所含未知数的系数是﹣1，②方程的解3．则这样的方程可写为 ． 例题3 3、已知关于x的方程2x＋4=m﹣x的解为负数，则m的取值范围是_______. 考点四：等式的基本性质 用 意义的量 例题1 1、运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ） A．如果a=b，那么a﹣c=b﹣c B．如果a=b，那么a+c=b+c C．如果a=b，那么ac=bc D．如果ac=bc，那么a=b 例题2 2、若a=b，则在①a﹣3=b﹣3；②3a=2b；③﹣4a=﹣3b；④3a﹣1=3b﹣1中，正确的有 ．（填序号） 例题3 3、如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（ ） A．10克 B．15克 C．20克 D．25克 考点五：求解简单的一元一次方程（移项） 的大小 用 意义的量 例题1 1、解下列方程： ①3－2＝4＋5 ②3（x－1）＝5x＋4 ③--[12-4（-1）]＝0 ④+1=2-x 考点六：求解稍复杂的一元一次方程（去分母） 大小 用 意义的量 例题1 1、 例题2 2、． 例题3 3、按要求完成下面题目： 解：去分母，得……① 即 ……② 移项，得 …… ③ 合并同类项，得 ……④ ∴ ……⑤ 上述解方程的过程中，是否有错误？答： ；如果有错误，则错在_________步。如果上述解方程有错误，请你给出正确的解题过程： 考点七：一元一次方程的综合运用 大小 用 意义的量 例题1 1、关于x的方程与的解互为相反数． （1）求m的值； （2）求这两个方程的解． 例题2 2、已知关于x的方程4x+3k=2x+2和方程2x+k=5x+2.5的解相同，求k的值． 例题3 3、若符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出下列等式中的值： =1． 例题4 4、【现场学习】 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：|x|=2，|2x﹣1|=3，||﹣x=1，…都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由|x|=2，可得x=2或x=﹣2． [例]解方程：|2x﹣1|=3． 我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得2x﹣1=3或2x﹣1= ． 解这两个一元一次方程，得x=2或x=﹣1． 检验： （1）当x=2时， 原方程的左边=|2x﹣1|=|2×2﹣1|=3， 原方程的右边=3， ∵左边=右边 ∴x=2是原方程的解． （2）当x=﹣1时， 原方程的左边=|2x﹣1|=|2×（﹣1）﹣1|=3， 原方程的右边=3， ∵左边=右边 ∴x=﹣1是原方程的解． 综合（1）（2）可知，原方程的解是：x=2，x=﹣1． 【解决问题】 解方程：||﹣x=1． 例题5 5、己知：x=3是方程+=2的解，n满足关系式|2n+m丨=1，求m+n的值． 四 、课堂运用 基础 【练习1】 1、下列是一元一次方程的是（ ） A．x﹣y=4﹣2x B． C．2x﹣5=3x﹣2 D．x（x﹣1）=2 2、某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16个或螺栓22个,若分配x名工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下面所列方程中正确的是( ) A. 22x=16(27−x) B. 16x=22(27−x) C. 2×16x=22(27−x) D. 2×22x=16(27−x) 3、若（m+3）x|m|﹣2﹣8=2是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ） A．3 B．﹣3 C．±3 D．不能确定 4、关于x的方程（a﹣1）x2+x+a2﹣4=0是一元一次方程，则方程的解为（ ） A．1 B．2 C．3 D．﹣2 【练习2】 1、写出一个同时满足下列条件的一元一次方程：① 某个未知数的系数是2 ，②方程的解为 ，则这样的方程可写为：_______________________． 2、关于x的方程kx﹣1=2x的解为正实数，则k的取值范围是 ． 3、如果x=6是方程2x+3a=6x的解，那么a的值是（ ） A．4 B．8 C．9 D．-8 4、关于x的方程5x﹣a=0的解比关于y的方程3y+a=0的解小2，则a的值是（ ） A． B．﹣ C． D．﹣ 巩固 1、下列判断错误的是（ ） A．若a=b，则ac﹣3=bc﹣3 B．若x=2，则x2=2x C．若a=b，则= D．若ax=bx，则a=b 2、下列变形正确的是（ ） A．x=0变形得x=3 B．3x=2x﹣2变形得3x﹣2x=2 C．3x=2变形得x= D．变形得2x﹣3=3x 3、已知等式ax=ay，下列变形不正确的是（ ） A．x=y B．ax+1=ay+1 C．2ax=2ay D．3﹣ax=3﹣ay 4、下列方程变形中，正确的是（ ） A．方程，移项，得； B．方程，去括号，得； C．方程，未知数系数化为1，得； D．方程化成. 5、①、8-5x＝x＋2 ②、（x﹣2）=x﹣（7﹣8x）； ③、 ④、 ⑤、2（x﹣2）﹣9（1﹣x）=3（4x﹣1） ⑥、 ⑦、 拔高 1、 2、 3、依据下列解方程=的过程，请在后面括号内填写变形依据． 解：=（ ） 3（3x+5）=2（2x﹣1）．（ ） 9x+15=4x﹣2．（ ） 9x﹣4x=﹣15﹣2．（ ） 5x=﹣17．（ ） x=﹣．（ ） 4、老师在黑板上出了一道解方程的题=1﹣，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的： 4（2x﹣1）=1﹣3（x+2）① 8x﹣4=1﹣3x﹣6 ② 8x+3x=1﹣6+4 ③ 11x=﹣1 ④ ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第 步（填编号），错误的原因是 ；然后，你自己细心地解下列方程：． 5、小乐的数学积累本上有这样一道题： 解方程：﹣=1 解：去分母，得6（2x+1）﹣（5x﹣1）=6…第一步 去括号，得4x+2﹣5x﹣1=6…第二步 移向、合并同类项，得x=5…第三步 方程两边同除以﹣1，得x=﹣5…第四步 在题后的反思中看，小郑总结到：解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误… 小乐的解法从第 步开始出现错误，然后，请你自己细心地解下面的方程： 2﹣（x+2）=（x﹣1） 课堂小结 通过本节课的学习，学生应该掌握能用方程的定义， 方程的定义的要点，解方程，等式的基本性质，解一元一次方程的步骤及依据： 掌握掌握一元一次方程的定义，掌握等式的基本性质，掌握一元一次方程的解法，课后需要通过大量的练习来巩固课上所学的知识，真正做到学以致用。 拓展延伸 基础 1、若的3倍与2的差等于的一半，则可列方程为 ． 2、根据“的倍与的和比的小”，可列方程为 ． 3、根据“x的5倍比它的35％少28”列出方程为 ． 4、小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10min；每小时骑12km，就会迟到5min．问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程为xkm，则根据题意列出的方程是 ． 5、七年级一班有学生53人,二班有学生45人,从一班调x人到二班,这时两个班人数相等，根据题意，列出方程为______________. 巩固 1、已知|a﹣3|+（b+1）2=0，代数式的值比的值多1，求m的值． 2、当x取什么值时，代数式与的差等于5． 3、设P=2a﹣1，Q=a+3，且2P﹣3Q=1，求a的值． 拔高 1、定义一种新运算“*”：a*b=2a－b，比如2*（－3）=2×2－（－3）=7． （1）直接写出（－3）*2的结果是 ；（2分） （2）若3*x=－5，求x的值；（3分） （3）计算：[（x－2y）*（x+y）]*3y．（3分） 2、关于x的方程x﹣2m=﹣3x+4与2﹣m=x的解互为相反数． （1）求m的值； （2）求这两个方程的解． 3、小明在解方程=﹣1去分母时，方程右边的（﹣1）项没有乘3，因而求得的解是x=2，试求a的值，并求出方程正确的解． 4、阅读下面的解题过程： 解方程：|x+3|=2． 解：当x+3≥0时，原方程可化成为x+3=2 解得x=﹣1，经检验x=﹣1是方程的解； 当x+3＜0，原方程可化为，﹣（x+3）=2 解得x=﹣5，经检验x=﹣5是方程的解． 所以原方程的解是x=﹣1，x=﹣5． 解答下面的两个问题： （1）解方程：|3x﹣2|﹣4=0； （2）探究：当值a为何值时，方程|x﹣2|=a， ①无解；②只有一个解；③有两个解． 5、众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高。而数学与古诗词更是有着密切的联系。古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。问两种诗各多少首?设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为___. 学科网（北京）股份有限公司 $$