2.1.2基本不等式的应用（2）　教案-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

教案标题：基本不等式的应用 【教学目标】 1.通过应用基本不等式解决实际问题，让学生进一步掌握基本不等式，会应用此不等式求某些函数的最值． 2.通过对实际问题的探究，培养学生分析问题、解决问题及归纳的能力． 3.通过解决实际问题，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度． 【教学重点】 利用基本不等式求实际问题的最值． 【教学难点】 拆项、凑项构造基本不等式的形式以及基本不等式等号成立的条件． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机，PPT． 【核心素养】 数学抽象，逻辑推理，数学运算． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 我们已经学习了基本不等式及其变形，接下来，我们将要研究一下如何运用基本不等式来解决一些实际问题．在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省，利润最高，成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决． 首先，我们来复习一下相关知识： 定理：对任意，必有，当且仅当时等号成立． 推论：对任意必有，当且仅当等号成立． 下面我们来看问题一： 问题一：（1）把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 二、思辨论证，归纳总结 思辨：对于第一个小问题我们可以把它转化为已知两个正数，且，求的最小值． 过程：设两个正数为，则，且． 思辨：我们不难发现，由于“积定和最小”，所以由基本不等式我们就可以求得的最小值． 过程： ，，当且仅当时等号成立，此时． 所以，把12写成两个的乘积时，它们的和最小，最小和为，解决第一个小问题我们利用了“积定和最小”这个条件．下面我们再来看第二个小问题。同样的我们将这个问题简化为以下这样一个问题． 过程：设两个正数为，则，且，求的最大值． 思辨：我们不难利用基本不等式的“和定积最大”这个条件，我们就可以求得的最大值． 过程：由可得，当且仅当． 所以，把25写成两个的和时，它们的积最大，最大积为。刚才这两个小问题蕴含了基本不等式的一个非常重要的应用模型，那就是“和定积最大”，“积定和最小” ． 归纳：已知都为正数，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，和有最小值； （2）如果和是定值，那么当且仅当时，积有最大值． 三、掌握证法，适当延展 下面我们再来看这样一个实际的应用题： 问题一：某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12的背景靠墙的小屋，房屋正面的造价为1200元/，侧面的造价为800元/，屋顶的造价为5200元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 思辨：拿到一个实际应用的问题，首先我们要仔细阅读题干，提取有用的信息，并且将这些信息数学化． 我们可以假设房屋正面的长为，侧面长为，房屋的总造价为元，根据题意，有，且总造价的表达式如下． 过程：设房屋正面的长为，侧 面长为，房屋的总造价为元，根据题意，有，且 ． 思辨：由于，所以我们可以利用基本不等式和不等式性质，求得这个问题的最小值． 过程：，， ． 思辨：最后在验证当且仅当时等号成立，此时，所以将房屋设计成正面长为4m，侧面长为3m时总造价最低，最低总造价是34000元． 过程：当且仅当时等号成立，此时． 四、归纳小结，提高认识 通过以上两个问题我们发现基本不等式经常运用于求解最值问题，而且在使用基本不等式时大家需要注意使用条件和等号成立的条件． 归纳：在解决实际问题时，我们需要把实际问题数学化，同时在使用基本不等式时有时需要将原函数进行适当的变形或拆分，以适合基本不等式使用的条件，而且需要验证等号成立的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$