热点08 三角函数的图象和性质-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点08 三角函数的图象和性质 考点1正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增;在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 温馨提示：（1）正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调． （2）正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． 考点2正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 注意： （1）正切函数的单调性:正切函数在每一个开区间上,都是从增大到,故正切函数在每一个开区间上是增函数,但不能说函数在定义域内是增函数. （2）正切函数的对称性:由函数的奇偶性和周期性以及图象可知,正切函数的每支图象关于点对称,两支图象关于点对称,所以正切函数的对称中心为 （3）画正切函数 图象常用“三点两线法”，找三个关键点,两条平行线 考点3的图象经变换得到的图象 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 热点一 三角函数的定义域、值域(最值)问题 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例2．的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．函数的值域为 ． 变式1-3．已知函数，则函数的值域为 . 热点二 三角函数的周期性 例3．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 变式2-1．设函数．已知，且的最小值为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 变式2-3．函数的最小正周期是 ． 热点三 三角函数的单调性 例5．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 例6．函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 变式3-1．设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是 . 变式3-2．若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 变式3-3．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 热点四 三角函数的奇偶性 例7．已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 例8．已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 变式4-1．若函数为偶函数，则实数 ． 变式4-2．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-3．已知函数满足：，函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 热点五 三角函数的对称性 例9．已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 例10．已知函数的最小正周期为，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 变式5-1．已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数与的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 变式5-3．已知函数的最小正周期为．若是的一条对称轴，写出满足条件的的一个值为 ． 热点六 三角函数的零点问题 例11．当时，函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12．设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式6-1．已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ． 变式6-2．已知函数在上有且仅有1个零点，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式6-3．已知函数在上无零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 热点七 三角函数的图象变换 例13．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 例14．要得到的图象，只需把图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 变式7-1．已知函数的图像经过点，且相邻两个零点的距离为，为得到的图像，可将图像上所有（    ） A．先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 B．先向左平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．先向左平移个单位，再将所得图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位，再将所得图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 变式7-2．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 变式7-3．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 热点八 由三角函数图象确定三角函数解析式 例15．如图， 函数的图象经过点和， 则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若， 则 D．函数的图象关于直线对称 例16．函数部分图象如图所示，是等边三角形，其中两点为函数图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递减 D．关于对称 变式8-1．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．点是图象的一个对称中心 变式8-2．函数在一个周期内的图象如下图所示，则 ．    变式8-3．函数的部分图象如图所示，则 ． 热点九 三角函数的图象和性质的综合 例17．已知函数，若在区间上单调，在处取得最大值，且.将曲线向左平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例18．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标保持不变，得到函数的图象． (1)求在区间内的最大值和最小值； (2)记，若，求的取值范围． 变式9-1．已知函数，若，，且的最小正周期大于等于，则（    ） A． B． C． D． 变式9-2．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象； (1)求的单调递增区间； (2)已知函数，若存在，使得，求实数的取值范围． 变式9-3．已知函数，由下列四个条件中选出三个： ①最大值为2；    ②最小正周期为； ③；    ④． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)设．当时，的值域为，求的取值范围． 一、单选题 1．（2023-24高一下·安徽亳州·阶段练习）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2018·江苏南通·模拟预测）下列各值中，比大的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高一上·江西吉安·期末）函数（，）的部分图象如图所示，则 A． B． C． D．1 4．（2023-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2023-24高一上·河北衡水·期中）已知，把的图象向右平移φ个单位长度后，恰好得到函数的图象，则φ的值可以为（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 7．（2023-24高一下·辽宁锦州·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 10．（2023-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（    ） A． B．函数的单调增区间为 C．函数的图象关于中心对称 D．函数的图象关于直线对称 11．（2023-24高一下·陕西安康·期中）已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）函数的最小正周期为 ． 13．（2023-24高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向 (左、右、上、下)平移 个单位长度 14．（2023-24高一上·天津·期末）如图为函数的部分图象，且当时，恰有5条对称轴，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2023-24高一上·河南·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求的值域. 16．（2023-24高二上·河南·阶段练习）已知函数. (1)求的值域； (2)求在上所有实数根的和. 17．（2023-24高一下·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 18．（2023-24高一下·河南驻马店·期末）已知函数的图象过，两点，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数的单调区间. 19．（2023-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点08 三角函数的图象和性质 考点1正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增;在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 温馨提示：（1）正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调． （2）正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值． 考点2正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 注意： （1）正切函数的单调性:正切函数在每一个开区间上,都是从增大到,故正切函数在每一个开区间上是增函数,但不能说函数在定义域内是增函数. （2）正切函数的对称性:由函数的奇偶性和周期性以及图象可知,正切函数的每支图象关于点对称,两支图象关于点对称,所以正切函数的对称中心为 （3）画正切函数 图象常用“三点两线法”，找三个关键点,两条平行线 考点3的图象经变换得到的图象 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 热点一 三角函数的定义域、值域(最值)问题 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数有意义，则，于是， 即，因此， 所以原函数的定义域为. 故选：A 例2．的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 函数的定义域为：， 函数的定义域：，则，即， 所以的定义域为 故选：A 变式1-1．已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为在上单调递增，且，所以， 又在上单调递减，且，所以， 即的值域是. 故选：C. 变式1-2．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，可得，则，． 由于在内单调递增，在内单调递减， 则，故函数的值域为． 故答案为：. 变式1-3．已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 易知 当时，， 当时，， 可得函数的值域为. 故答案为： 热点二 三角函数的周期性 例3．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的最小正周期， 故对于函数，其最小正周期为． 故选：A. 例4．已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由题可知，则，又，则． 故选：B. 变式2-1．设函数．已知，且的最小值为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意， 因，且的最小值为，则，解得. 故选：B. 变式2-2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 【答案】A 【详解】定义域是，关于原点对称， 因为， 所以函数为偶函数， 又， 所以是最小正周期为的偶函数. 故选：A. 变式2-3．函数的最小正周期是 ． 【答案】 【详解】函数的最小正周期是：. 故答案为：. 热点三 三角函数的单调性 例5．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为． 故选：B 例6．函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．当时，单调递减，单调递减，故A正确； B．当时，单调递减，单调递增，故B错误； C．当时，单调递增，单调递增，故C错误； D．当时，单调递增，单调递减，故D错误； 故选：A. 变式3-1．设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数为偶函数，则，得到， 又，则，所以，得到， 因为，由，得到， 因为函数在上是减函数，令，得到， 由，得到，所以的取值范围是， 故答案为：. 变式3-2．若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】对于函数，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 当时函数的一个单调递增区间为， 又函数在上单调递增，所以， 则的最大值为. 故选：B 变式3-3．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：由，可知不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误； 对于B：，其最小正周期为，故错误； 对于C：满足，以为周期， 当时，，由正切函数的单调性可知在区间上单调递减，故错误； 对于D，满足，以为周期， 当时，，由余弦函数的单调性可知，在区间上单调递增，故正确； 故选:D 热点四 三角函数的奇偶性 例7．已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为， 所以． 故选：B. 例8．已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则，， 所以，则为奇函数. 若为奇函数，则一定有. 则“”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：A. 变式4-1．若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】0 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以，即，所以． 当时，，为偶函数， 所以. 故答案为：0 变式4-2．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】函数，当时， ， 则为奇函数，所以充分性不成立， 当为偶函数时，，所以必要性不成立， 故“，”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 变式4-3．已知函数满足：，函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】依题意， 所以 所以. 故选：B 热点五 三角函数的对称性 例9．已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为，且，故函数为偶函数，图象关于轴对称， 函数的图象为函数的图象向右平移1个单位长度得到，故函数的图象关于直线对称， 而函数的图象为函数的图象向左平移1个单位长度得到，故函数的图象关于直线对称，则可排除B,D选项； 又函数的图象关于直线对称，因此函数的图象关于直线对称. 而又函数的图象关于点对称，故排除A选项. 故选：C. 例10．已知函数的最小正周期为，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 因为，所以AC错误； ，所以B错误，D正确. 故选：D 变式5-1．已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，易知的图象关于点对称， 设为的最小正周期，则，又，得， 当时，，，得到，， 又，可得， 故选：C. 变式5-2．已知函数与的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以， 由三角函数的诱导公式可得，， 所以， 故当时，的最小值为 故选：C． 变式5-3．已知函数的最小正周期为．若是的一条对称轴，写出满足条件的的一个值为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】， 则或， 又，所以，则， 则，解得， 所以可取 故答案为：2 热点六 三角函数的零点问题 例11．当时，函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 函数有两个零点， 即函数的图象与直线有两个交点， 作出，的图象，如图所示， 由图象可知，，解得， 故选：D． 例12．设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在区间内恰有6个零点， 又最多有两个零点， 当时，至少有四个根， ， 令，即，，， 又，，即， 令，解得或， ①若且，解得， 此时在有2个零点， 只需要在有4个零点， 这4个零点分别为 故且，解得，此时有6个零点，满足题意， ②当且时，解得， 此时在有1个零点， 只需要在有5个零点， 这5个零点分别为， 故且，解得，此时有6个零点，满足题意， ③当且时，解得， 此时在有1个零点， 只需要在有5个零点， 这5个零点分别为， 故且，解得不存在， 综上可得或， 故选：D 【点睛】关键点点睛：的零点为，根据，解得或，分三种情况讨论求解. 变式6-1．已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，， 由，得； 由，得， 因此函数， 在上单调递增，函数值从增大到， 在上单调递减，函数值从减小到， 且， 由函数在上有两个零点，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 变式6-2．已知函数在上有且仅有1个零点，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为的定义域为，且，可知为偶函数， 若函数在上有且仅有1个零点，由对称性可知的唯一零点为0，则，解得； 若，则， 因为，即，当且仅当时，等号成立， 且，即，当且仅当时，等号成立， 可知，当且仅当时，等号成立， 所以有且仅有一个零点0，符合题意； 综上所述：. 故选：A. 变式6-3．已知函数在上无零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上无零点， 当时， ， 由题设可得存在整数，使得成立， 解得， 而，故且，故. 当时，；当时，． 结合可得的取值范围为． 故选：D． 热点七 三角函数的图象变换 例13．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】因为， 所以将其图象向左平移个单位长度，可得. 故选：C. 例14．要得到的图象，只需把图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【详解】因为， 所以要得到的图象， 只需把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变. 故选：A. 变式7-1．已知函数的图像经过点，且相邻两个零点的距离为，为得到的图像，可将图像上所有（    ） A．先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 B．先向左平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．先向左平移个单位，再将所得图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位，再将所得图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】B 【详解】因为相邻两个零点的距离为，所以函数的最小正周期，则， 又点在函数图像上，所以， 解得，，即，， 又，所以当时，， 所以， 则将先向左平移个单位可得， 再横坐标缩小为原来的，纵坐标不变， 故选：B 变式7-2．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可得， 若单调递减，则， 解得； 观察选项可知，只需写出在上的单调递减区间即可， 易知当时，单调递减区间为，只有， 可得为函数单调递减区间. 故选：C 变式7-3．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到； 再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象； 可知，故CD错误， 对于A：显然符合题意； 对于B：，故B错误； 故选：A. 热点八 由三角函数图象确定三角函数解析式 例15．如图， 函数的图象经过点和， 则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若， 则 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【详解】解：，所以，所以，则A正确； ，由的图象过点，且在附近单调递增，所以，结合，可得，则B正确； 所以， 由，得，所以，则C错误； ，当时，，所以函数的图象关于直线对称，则D正确. 故选：C 例16．函数部分图象如图所示，是等边三角形，其中两点为函数图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递减 D．关于对称 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以， 又因为是等边三角形，所以，则， 又因为，所以，则，解得， 因为，所以， 故，所以A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，当时，，故单调递减，C正确； 对于D，因为，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：关键在于求得，结合三角函数性质即可顺利得解. 变式8-1．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．点是图象的一个对称中心 【答案】ABD 【详解】解：由图象知：， 函数的最小正周期为， ，则，故A正确， 即， 又，得， 由，可知，故C错误， 从而， ， 点是图象的一个对称中心，故D正确， ， ， 故在上单调递增，故B正确； 故选：ABD． 变式8-2．函数在一个周期内的图象如下图所示，则 ．    【答案】1 【详解】由图象可知，最小正周期，所以， 故， 将点代入得，所以， 即，所以． 故答案为：1 变式8-3．函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【详解】由图象可得，，，，则， 当时，，所以，且， ∴，． 故答案为：. 热点九 三角函数的图象和性质的综合 例17．已知函数，若在区间上单调，在处取得最大值，且.将曲线向左平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】设函数的最小正周期为， 因为在区间上单调，在处取得最大值，且. 所以，所以. 又， 所以，. 又，所以，， 所以. 求函数在区间上的零点个数， 当时，； 当时，问题转化为求曲线与曲线的交点个数. 当时，取，得，， 所以曲线与曲线在区间上有2个交点，区间上无交点； 当时，取，得，结合图象， 知曲线与曲线在上有2个交点， 所以函数在区间上的零点个数为4. 故选：A. 例18．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标保持不变，得到函数的图象． (1)求在区间内的最大值和最小值； (2)记，若，求的取值范围． 【答案】(1)最大值1，最小值 (2) 【详解】（1）由题意得，由于，则， 所以当即时，函数单调递增； 当即时，函数单调递减， 则，又，，则． （2）， 因为，所以，则，， 即，所以的取值范围为． 变式9-1．已知函数，若，，且的最小正周期大于等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由题意，又， 可知直线为函数的一条对称轴，点为函数的一个对称中心， 又最小正周期大于等于，即， 又，故，所以， 则， 故，又， 则有，解得， 又，则． 故选：B. 变式9-2．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象； (1)求的单调递增区间； (2)已知函数，若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，， 令，故， 所以的单调递增区间为． （2）因为，得， 则，即； 同理，因为，得， 则，即， 因为存在，使得， 所以且，解得， 所以的取值范围为． 变式9-3．已知函数，由下列四个条件中选出三个： ①最大值为2；    ②最小正周期为； ③；    ④． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)设．当时，的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）对于条件③，有， 因为，则，， 显然不成立，因此只能选择条件①②④， 则，， 所以，此时； 令，解之得； （2）由上可知 ， 当时，， 因为此时的值域为，则， 则， 故. 一、单选题 1．（2023-24高一下·安徽亳州·阶段练习）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用正弦函数图象性质求出全部对称轴，即得结果. 【详解】由正弦函数图象性质知，得对称轴. 时取，故B正确，ACD都不成立. 故选：B. 2．（2018·江苏南通·模拟预测）下列各值中，比大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 对于，，而，故． 对于，，，． 对于，，． 对于，，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质，属于基础题． 3．（2023-24高一上·江西吉安·期末）函数（，）的部分图象如图所示，则 A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】结合函数图像，求得函数的解析式，再计算函数的函数值. 【详解】由图可知函数的周期， 故； 又函数过点，求得： 解得，又， 故可得：， 故， 则. 故选：C. 【点睛】本题考查由函数图像求解三角函数解析式，以及求三角函数值. 4．（2023-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为函数与函数的图象有1个交点， 所以中有1个元素. 故选：B. 5．（2023-24高一上·河北衡水·期中）已知，把的图象向右平移φ个单位长度后，恰好得到函数的图象，则φ的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， . 且. 所以将的图象向左平移个单位可得的图象. 又函数与的周期均为. 所以将的图象向右平移个单位可得的图象. 故选：D 6．（2023-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【答案】B 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 7．（2023-24高一下·辽宁锦州·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度，得， 再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得 ， 所以， 由， 得， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以（）， 即（）， 解得， 因为，所以，所以. 故选：B 8．（2023-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦函数的对称轴可知： ，，又因为， 所以的最小值为，即. ，则，令， 则有，，函数图像如图所示： 由于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根， 根据的图像有实数a的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9．（2023-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 【答案】ABD 【详解】的最小正周期为，A正确. 当时，， 在上单调递增，B正确. ，的图象不关于直线对称，C错误. 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到，D正确. 故选：ABD. 10．（2023-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（    ） A． B．函数的单调增区间为 C．函数的图象关于中心对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】BD 【详解】因为， 对于A，由图象可知，所以，所以，故A正确； 对于B，由A得， 令得， 故的单调增区间为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误； 故选：BD． 11．（2023-24高一下·陕西安康·期中）已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】作出函数的图象，如图： 令，得或或， 由存在实数满足， 得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确； 由与关于对称，得，B正确； 由，得， 即，则， 整理得，C正确； ，由图象得，于是， 即，因此，A错误. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等. 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【详解】，所以函数的周期， 故答案为：. 13．（2023-24高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向 (左、右、上、下)平移 个单位长度 【答案】 右 / 【详解】由于函数， 故为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 故答案为：右； 14．（2023-24高一上·天津·期末）如图为函数的部分图象，且当时，恰有5条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，根据函数的部分图象， 可得，，所以，又， 则，即， 又由，即， 解得，即， 又因为，所以，所以， 由时，恰有5条对称轴， 即函数在上恰有5条对称轴， 则有，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（2023-24高一上·河南·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 令， 得， 所以的单调递增区间为. （2）函数， 当时，， 结合正弦函数的性质可得： 当时，即，函数； 当时，即，函数. 所以， 故的值域为. 16．（2023-24高二上·河南·阶段练习）已知函数. (1)求的值域； (2)求在上所有实数根的和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 因为的值域为，所以的值域为. （2）由，得， 画出在上的图象如图，   与有4个交点，4个交点中有两对交点均关于对称， 令，解得， 故4个实数根之和为. 17．（2023-24高一下·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 【答案】(1) (2)秒 【详解】（1）由题意，得风机的角速度每秒，当时． 解得 ． （2）令，则，即， ，解得，． 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 18．（2023-24高一下·河南驻马店·期末）已知函数的图象过，两点，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2) 答案见详解 【详解】（1）因为函数的图象过，两点， 所以，即，解得， 又因为，则. 所以， 所以，则， 又因为，所以，即， 所以将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 再向右平移个单位长度得. （2）由（1）知，， 因为，所以，即， 解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 19．（2023-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【详解】（1）由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得， ； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 可得，； （3）因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点.    由图象可知符合题意的的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$