24.1.1圆 课时作业2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册数学24.1.1圆 课时作业 一、单选题 1．如图，在中，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的最大值是（    ） A．7 B．6 C． D． 2．如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（　　） A．﹣2π B．1﹣2π C．﹣π D．1﹣π 3．如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子，猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图．∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动试程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（    ）． A．圆有无数条对称轴 B．在同一个圆内，直径的长度是半径长度的2倍 C．圆的位置由圆心决定 D．在圆中，连接圆心和圆上任意一点的线段都相等 6．有四个命题：①等弧所对的圆周角相等；②圆周角相等，相对的弧也相等；③在同一个圆中，如果弧相等，那么连接弧两端的弦也相等；④在同一个圆中，如果弦相等，那么以弦的两端为端点的弧也相等，其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列说法正确的是（ ） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是弧 C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 D．直径的长度是半径的倍 8．如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，过点作于点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（4，6）、点B（6，8）为圆心，以2、6为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为 ． 10．圆是轴对称图形，它的对称轴是 11．如图，点E是边长为6的正方形的边上一动点，F是以为直径的半圆上的一动点，连接，则的最小值是 .    12．一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝5.2，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和3．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 ． 13．如图，在中，点A、B在圆上，且，则的度数为 °． 三、解答题 14．如图，在中，AB，CB为弦，OC交AB于点D．求证： （1）； （2）． 15．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=50°，求∠EBC的度数． 16．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是Rt△ABC斜边AC上一动点（不与A，C重合），连接BP，分别过点A、C作直线BP的垂线，垂足分别为点E、F，Q是AC的中点，连接QF． (1)如图①，当点P在线段AC上，且APAC时，若BF＝5，CF＝9，求EF的长； (2)在（1）的条件下，求证：EFQF； (3)如图②，连接BQ，当点P在线段CA的延长线上时，若QF＝2，请直接写出四边形AEBQ的面积． 17．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C D B B A 1．A 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，如图，取的中点，连接，．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出，，再利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． ，，， ， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， ， 即的最大值是7． 故选：A． 2．B 【分析】因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知AB＝2π，再根据数轴的特点及π的值即可解答． 【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周， ∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示1的点的左边． ∴A点对应的数是1﹣2π． 故选B． 【点睛】本题考查的是数轴的特点及圆的周长公式．圆的周长公式是：L＝2πr． 3．D 【分析】如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，则，，先证明点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧），故当点O在线段上时，最大，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接， ∴，， ∵， ∴点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧）， ∴当点O在线段上时，最大， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最大值， 故选D． 【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定点B的轨迹是解题的关键． 4．C 【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，判断得出点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接BE，BD． 由题意BD==， ∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE， ∴BE=MN=2， ∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧， ∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小， ∴DE的最小值为-2． 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5．D 【分析】根据圆的对称轴概念，可判断A，根据圆的直径和半径概念，可判断B，根据圆心和半径概念，可判断C，根据同一个圆中，半径的长度相等，即可判断D． 【详解】A选项：圆直径所在的直线均为圆的对称轴，有无数条，故A正确． B选项：在同一个圆内，直径长度为长度半径的2倍，故B正确． C选项：圆的位置由圆心决定，大小由半径决定，故C正确． D选项：连接圆心和圆上任一点得半径，而半径的长度均相等，而不是线段相等，故D错误． 故选D． 【点睛】本题主要考查圆的相关概念，熟练掌握圆的对称轴，直径，半径，圆心等概念，是解题的关键． 6．B 【分析】根据圆周角定理,圆心角与弧和弦的关系即可判断真假. 【详解】解：①等弧所对的圆周角相等,正确 ②在同圆或等圆中圆周角相等，相对的弧也相等,所以②错误, ③在同一个圆中，如果弧相等，那么连接弧两端的弦也相等,正确, ④在同一个圆中，如果弦相等，那么以弦的两端为端点的优弧或劣弧对应相等，所以④错误, 综上,选B 【点睛】本题考查了圆的基本知识,属于简单题,熟悉圆的概念是解题关键. 7．B 【分析】根据圆的有关知识进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A．直径是圆中特殊的弦，但弦不一定是直径，故错误； B．半圆是特殊的弧，故正确； C．过圆心有无数条直径，故错误； D．直径的长度是同一个圆的半径的2倍，故错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查学生对弦和弧的定义，半圆与弧的关系等知识点的理解． 8．A 【分析】取中点，连接、．易得点在以长为直径的圆周上上运动，当点、、在同一直线上时，最短．据此计算即可． 【详解】解：如图，取中点，连接、． ，， 点在以长为直径的圆周上上运动，当点、、在同一直线上时，最短． ，， ， ， ， 即的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点到点到这点的线段长是解题的关键． 9． 【分析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值． 【详解】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图， 则此时PM+PN最小， ∵点A坐标（4，6）， ∴点A′坐标（4，﹣6）， ∵点B（6，8）， ∴A′B10， ∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝102﹣6＝108， ∴PM+PN的最小值为108． 故答案为：108． 【点睛】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质． 10．过圆心的直线． 【详解】试题分析：根据对称轴的概念，知圆的对称轴是过圆心的一条直线． 试题解析：圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线． 考点：1.轴对称的性质；2.圆的认识． 11．/ 【分析】本题考查了正方形的性质，线段和最小原理，圆的最值性质．延长到点G，使得，设半圆的圆心为点O，连接交于点M，交半圆于点N，则的最小值是，根据用勾股定理计算即可． 【详解】解：延长到点G，使得，设半圆的圆心为点O，连接交于点M，交半圆于点N， ∵E是边长为6的正方形的边上的一个动点，F是以为直径的半圆上的一个动点， ∴，， 过点O作于H，    ∵边长为6的正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 当点F与点N重合，点E与点M重合时，最小，最小值是， 且． 故答案为：． 12． 【分析】连接BE，DB，根据勾股定理求出BD，根据直角三角形斜边中线的性质求出BE，根据点与圆的位置关系得到点E落在线段BD上时，DE的值最小，计算即可． 【详解】：连接BE，DB，如图所示： 点D到BA，BC的距离分别为4和3，由勾股定理得：， 在Rt△MBN中，点E是MN的中点， ∴BE＝MN＝， ∴点E的运动轨迹是以B为圆心，为半径的弧上， ∴根据点圆模型的最值情况可知，当点E落在线段BD上时，DE的值最小， ∴DE的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及到点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是确定DE最小时，点E的位置． 13．60 【分析】连接，证明是等边三角形，可得结果． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是连接半径，构造等边三角形． 14．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据等边对等角以及外角的性质得出即可； （2）根据等边对等角以及外角的性质得出即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴ ∵ ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了圆的性质以及三角形外角的性质，根据已知得出，是解题关键． 15．25°． 【详解】试题分析：先根据圆周角定理得到∠AEB=90°，再利用互余计算出∠ABE=40°，由于AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=65°，然后利用∠EBC=∠ABC-∠ABE进行计算． 试题解析：∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=（180°-∠BAC）=65°， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=25°． 考点: 圆周角定理． 16．(1)4； (2)证明见解析； (3)4 【分析】（1）由“AAS”可证，可得CF＝BE＝9，即可求解； （2）由“ASA”可证EQ＝QK，CK＝AE，由等腰直角三角形的性质可得结论； （3）由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，可证，即可求解． 【详解】（1）∵AE⊥BE，CF⊥BE， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴∠ABE+∠CBE＝90°＝∠ABE+∠BAE， ∴∠BAE＝∠CBE， 又∵AB＝BC，∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴（AAS）， ∴CF＝BE＝9，AE＝BF， ∴EF＝BE﹣BF＝9﹣5＝4； （2）如图①，连接EQ，并延长交CF于K， ∵点Q是AC的中点， ∴AQ＝CQ， ∵AE⊥BE，BF⊥BE， ∴， ∴∠EAQ＝∠KCQ， 又∵∠AQE＝∠CQK，AQ＝CQ， ∴（ASA）， ∴EQ＝QK，CK＝AE， ∴AE＝BF＝CK， ∴EF＝FK， 又∵∠EFK＝90°，EQ＝QK， ∴FQ＝EQ，FQ⊥EK， ∴EFQF； （3）如图②，过点Q作QH⊥BE于H，QN⊥CF于N， 同理可证（AAS）， ∴， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，点Q在AC的中点， ∴BQ＝AQ＝CQ，∠AQB＝∠CQB＝90°，∠ACB＝∠CBQ＝45°， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∵QH⊥BE，QN⊥CF，∠CFB＝90°， ∴四边形FNQH是矩形， ∵∠CFB＝∠BQC＝90°， ∴点B，点Q，点C，点F四点共圆， ∴∠QFC＝∠QBC＝45°，∠QCB＝∠QFB＝45°， ∴∠QFB＝∠QFC＝45°， 又∵QH⊥BE，QN⊥CF， ∴QH＝QN， ∴四边形FNQH是正方形， ∴QFQN＝2， ∴QN＝2， ∵∠CFB＝∠BQC＝90°， ∴∠QCF+∠QBF＝180°， 又∵∠QBE+∠QBF＝180°， ∴∠QCF＝∠QBH， 又∵QH＝QN，∠QHB＝∠QNC＝90°， ∴（AAS）， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．见解析 【分析】本题考查了圆的半径相等．利用半径相等得到，则利用等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理得到，同理可得，则，然后根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$