1.1菱形的性质与判定课时作业 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册数学1.1菱形的性质与判定 课时作业 一、单选题 1．如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别是（2，2），（﹣1，﹣），点D在第一象限，且AD∥x轴，则点D的坐标是（　　） A．（6，2） B．（8，2） C．（6，） D．（8，） 2．如图：分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和BD．则四边形ABCD的形状是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 3．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5．点E是CD的中点，连接OE，则OE的长是（    ） A．2 B． C．3 D．4 5．观察图中用尺规作菱形的作图痕迹，下面说法正确的是（　　）    A．弧①与弧②的半径长不相等 B．弧②与弧③的半径长不相等 C．弧②的半径长为任意长度 D．弧③与弧①的半径长相等 6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 7．如图3，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，若PC=4，则PD等于（   ） A．1 B．3 C．4 D．2 8．菱形的两条对角线分别为和，则它的高为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，连接、，则的最小值是 ． 10．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ． 11．如图，菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝45°，点E是线段AD上的一个动点，连接对角线BD，点P是线段BD上的一个动点，连结PA、PE，则PA+PE的最小值是 ． 12．如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的长度为 ． 13．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH= ． 三、解答题 14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G． （1）若AB＝2，求四边形ABFG的面积； （2）求证：BF＝AE+FG． 15．如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若直线分别交于E，F两点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 16．如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，，过点B作，交DE的延长线于点F．求证：四边形BCEF是菱形． 17．如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的大小． （3）在第（2）问的基础上，且，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D B D C D D 1．B 【分析】由A，B两点的坐标可得AB的长，即AD的长，进而可得点D的横坐标，点D的纵坐标则与点A的纵坐标相等，可得点D的坐标． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别是（2，2），（﹣1，﹣）， ∴AB＝＝6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB=6， ∴点D的横坐标为2+6＝8， ∵AD∥x轴， ∴点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为2， 故点D的坐标是（8，2）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，坐标与图形的性质，关键是能够熟练求解坐标与图形的结合问题． 2．D 【分析】根据菱形的判定解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，AC与BD互相垂直平分 ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， 故选：D． 【点睛】本题主要考查尺规作图和菱形的判定，掌握线段垂直平分的作法和菱形的判定定理是解题的关键． 3．D 【分析】根据菱形的性质可知，过点E作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据求解即可． 【详解】图1连接，    菱形中，， ， 是等边三角形， 对角线， ， ， 图3过点E作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ∴， ， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 4．B 【分析】根据菱形的性质可得，，由点E是CD的中点，根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 点E是CD的中点， ， 故选:B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，掌握菱形的性质以及三角形中位线的性质是解题的关键． 5．D 【分析】利用菱形的性质对各项逐一分析判断即可． 【详解】解：、题目中画的是菱形的作图痕迹，画弧①与弧②是为了画菱形相邻的两条边，故弧①与弧②的半径长应相等，本选项错误，不符合题意； 、题目中画的是菱形的作图痕迹，画弧②与弧③是为了画菱形相邻的两条边，故弧②与弧③的半径长应相等，本选项错误，不符合题意； 、题目中画的是菱形的作图痕迹，菱形四条边都相等，故弧②的半径长应等于弧①的半径长，本选项错误，不符合题意； 、题目中画的是菱形的作图痕迹，菱形四条边都相等，故弧③与弧①的半径长相等，正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质及对尺规作图的理解，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 6．C 【分析】由矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，易证得四边形CODE是菱形，又由AB＝4，BC＝3，可求得AC的长，继而求得OC的长，则可求得答案. 【详解】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90° ∴OC＝OD， ∴四边形CODE是菱形 ∵AB＝4，BC＝3 ∴OC＝ ∴四边形CODE的周长＝4×＝10 故选：C. 【点睛】本题考查菱形的判定，运用勾股定理解三角形，掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键. 7．D 【详解】过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD． 解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO ∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA ∴四边形COMP为菱形，PM=4 PM∥CO ∴∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°， 又∵PD⊥OA ∴PD=PC=2． 故选Ｄ． 8．D 【分析】根据等面积法求解即可，由勾股定理求得边长，进而根据菱形的面积等于底边乘以高，也等于对角线乘积的一半即可求得它的高． 【详解】如图，四边形是菱形， 设， ，， 则菱形的边长为：， 设菱形边上的高为：， 菱形的面积为， 即， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 9． 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及菱形性质的运用．作点关于的对称点，则在上，连接，则，过作于，当，，在同一直线上且时，的最小值等于的长，求得的长即可得到的最小值． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，则在上，连接，则，过作于， 当，，在同一直线上且时，的最小值等于的长， ，， ，， ， 中，， 的长为， 的最小值是， 故答案为：． 10．（，）． 【分析】点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可． 【详解】解：连接ED，如图， ∵点B的对称点是点D， ∴DP=BP， ∴ED即为EP+BP最短， ∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°， ∴点D的坐标为（1，）， ∴点C的坐标为（3，）， ∴可得直线OC的解析式为：， ∵点E的坐标为（﹣1，0）， ∴可得直线ED的解析式为：， ∵点P是直线OC和直线ED的交点， ∴点P的坐标为方程组的解， 解方程组得：， 所以点P的坐标为（，）， 故答案为（，）． 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题． 11． 【分析】由于A、C两点关于BD对称，P在BD上，则过C作CE⊥AD于E交BD于P，则此时PA+PE=CP+EP=CE，值最小．根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点A和点C关于BD对称， 过C作CE⊥AD于E交BD于P， 则此时PA+PE＝CP+EP＝CE，值最小． ∵∠ABC＝∠ADC＝45°， ∴△CED为等腰直角三角形， ∵CD＝AB＝3， ∴CECD， ∴PA+PE的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，难度适中，确定点P的位置是解题的关键． 12．/ 【分析】根据作图依据可知：直线是线段的垂直平分线，得到，由四边形是菱形，，，推出，，利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：如图，设所作直线交边于点F， 由作图依据可知：直线是线段的垂直平分线， ， 四边形是菱形，，， ， ，， 在中，， ， （负值已舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的作法及性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 13．4.8 【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，求出OA，OB，由勾股定理求出AB，再利用菱形的面积公式得到AC•BD=AB•DH，由此求出答案． 【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵AC=8，BD=6， ∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3， 在Rt△AOB中，AB==5， ∵DH⊥AB， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=AB•DH， 即×6×8=5DH， 解得DH=4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的性质并熟练应用解决问题是解题的关键． 14．（1） ；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据菱形的性质和垂线的性质可得∠ABD＝30°，∠DAE＝30°，然后再利用三角函数及勾股定理在Rt△ABF中，求得AF，在Rt△AFG中，求得FG和AG，再运用三角形的面积公式求得四边形ABFG的面积； （2）设菱形的边长为a，根据（1）中的结论在Rt△ABF、Rt△AFG、Rt△ADE 中分别求得BF、FG、AE，然后即可得到结论. 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，BD平分∠ABC， 又∵AE⊥CD，∠ABC=60°， ∴∠BAE＝∠DEA＝90°，∠ABD＝30°， ∴∠DAE＝30°， 在Rt△ABF中，tan30°＝，即，解得AF＝， ∵FG⊥AD， ∴∠AGF=90°， 在Rt△AFG中，FG＝AF＝， ∴AG=＝1． 所以四边形ABFG的面积=S△ABF+S△AGF＝； （2）设菱形的边长为a，则在Rt△ABF中，BF＝，AF＝， 在Rt△AFG中，FG＝AF＝， 在Rt△ADE中，AE＝， ∴AE+FG＝，     ∴BF＝AE+FG． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、利用三角函数值解直角三角形等知识，熟练掌握基础知识是解题的关键. 15．(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定： （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：四边形是菱形，理由如下： 设与交于点O． 由作图可知，垂直平分线段， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 16．证明见解析 【分析】由题意知是的中位线，则，，进而可证四边形BCEF是平行四边形，由，可得，进而结论得证． 【详解】证明：∵D、E分别是AC、AB的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形BCEF是平行四边形， ∵， ∴， ∴是菱形． 【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定，菱形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．（1）见解析；（2）30°；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质得到，再由BE=AB，得到一组对边平行且相等，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到，从而得到，再由菱形的对角线互相垂直，即可得到∠BAO的大小； （3）过点作交于，利用30°直角三角形的性质以及勾股定理分别求出CE，AC，CF的值即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， 又， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ， 又四边形是菱形， ， ； （3）过点作交于， ， ，AE=4， 又， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题综合考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理的运用．熟悉平行四边形的判定、菱形的性质以及直角三角形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$