精品解析：浙江省职教高考研究联合体2024-2025学年高三上学期12月适应性考试数学试题

2024—2025学年浙江省职教高考研究联合体适应性考试 数学试卷 本试卷共三大题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效． 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．错涂、多涂或未涂均无分． 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各角中，与角的终边相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在边长为1的正六边形中，等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 5. 直线的斜率为（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 6. 将5名大学生分配到四个社区担任志愿者，要求甲、乙必须在同一个社区，且每个社区至少一名志愿者，则不同的分配方式有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 120种 D. 240种 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在三棱锥中，已知，点E，F分别为的中点，，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，且，则角α的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 13. 若角α的终边落在直线上，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 14. 点与圆的位置关系是（ ） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 不确定 15. 二项式的展开式中的第2024项是（ ） A. 1 B. C. D. 16. 已知等差数列前项和为，且，，则等于（ ） A. B. 0 C. 5 D. 10 17. 若二次函数在区间上是增函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 18. 从两双完全相同的鞋中，随机抽取2只鞋，恰好配成一双鞋的概率是（ ） A. B. C. D. 1 19. 若且，则在同一坐标系中，函数与的图像大致为（ ） A. B. C. D. 20. 若椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆上的点，且，则的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 已知函数则______． 22. 函数的最小值为______． 23. 若数列的前n项和为，则______． 24. 函数的最小值为______． 25. 若抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且，则点M到y轴的距离是______． 26. 若某圆柱的侧面展开图为一个矩形，且矩形的长为8，宽为，则这个圆柱的体积为______． 27. 如图所示，已知双曲线的左，右焦点分别，直线l经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线l与另一条渐近线相交于点．若，则双曲线的渐近线方程为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤． 28. 已知和均为锐角，且．求： （1）和的值； （2）的值． 29. 已知圆与直线相切． （1）求实数m的值； （2）若经过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程． 30. 在锐角三角形中，已知. （1）求角C的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 31. 如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且，底面，． （1）若点E为的中点，求三棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 32. 已知数列前n项和为，首项，且． （1）求和的值； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前n项和． 33. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且与x轴不重合的直线交椭圆E于A，B两点，的周长为8． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线与椭圆E相交于C，D两点，求： ①弦的长； ②四边形的面积． 34. 某加工厂收到一批热销产品订单，要求在10天内完成，已知该产品的出厂价为每件160元，第x天（x为正整数）每件产品的生产成本为y元，y与x之间的对应关系如下表（为一次函数或二次函数中的一种）： x 1 2 3 4 5 … y（单位：元） 96 104 112 120 128 … （1）直接写出y关于x的函数解析式； （2）统计发现该厂每天生产的件数，设该厂第x天的利润为ω元． ①该厂第几天的利润最大？最大利润为多少元？ ②若该厂每生产一件产品就捐n元（其中）给“红十字基金会”，且该厂想在第2天获得最大利润，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年浙江省职教高考研究联合体适应性考试 数学试卷 本试卷共三大题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效． 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．错涂、多涂或未涂均无分． 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合，集合， 则. 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零列式即可求解. 【详解】要使函数有意义，则需使， 解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3. 下列各角中，与角的终边相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角的特征可以求得结果. 【详解】由题可得，与终边相同的角是， 当时，， 即与终边相同的角是， 故选：. 4. 如图所示，在边长为1的正六边形中，等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量的模即可得解. 【详解】在正六边形中，，所以， 则， 故选：. 5. 直线的斜率为（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率的定义求解即可. 【详解】直线与x轴平行，所以斜率为0. 故选：A. 6. 将5名大学生分配到四个社区担任志愿者，要求甲、乙必须在同一个社区，且每个社区至少一名志愿者，则不同的分配方式有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 120种 D. 240种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将甲、乙看作一个整体，结合排列数的应用即可得解. 【详解】因为甲、乙必须在同一个社区，所以把甲、乙看作一个整体，此时相当于有4个人， 将这4个人分配到四个社区有种分配方式， 故选：. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式的结果即可选出答案. 【详解】因为可化为， 所以， 解得，用区间表示为， 故选：. 8. 如图所示，在三棱锥中，已知，点E，F分别为的中点，，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，找出即为异面直线与所成角，结合勾股定理即可求解. 【详解】由题意得，取中点，连接. 因为点E，F分别为的中点， 则在中，，且， 在中，，且. 即即为异面直线与所成角. 又中，，所以，即. 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 9. 已知，且，则角α的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数值在各象限的符号即可得解. 【详解】因为， 则角α的终边在第三或四象限或y轴的负半轴上， 因为， 则角α的终边在第一或四象限或x轴的正半轴上， 综上，角α的终边在第四象限. 故选：D. 10. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】在中，设角所对的边分别为， 若，则， 根据正弦定理得： 所以. 若，由正弦定理得： ，所以. 所以是的充要条件. 故选：C 11. 下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】选项，函数为在上的增函数，所以，故正确； 选项，函数为在上的减函数，所以，故错误； 选项，函数为在上的减函数，所以，故正确； 选项，函数为在上的增函数，所以，故正确； 故选：. 12. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值代入法和作差比较法求解即可. 【详解】对于选项：取，满足，但，故错误； 对于选项：若，则，故错误； 对于选项：取，满足，但，故错误； 对于选项：因为，所以，所以，即，故正确. 故选：. 13. 若角α的终边落在直线上，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义分和两种情况讨论即可求解. 【详解】在直线上任取一点为， 则， 当时，， 当时，. 故选：C. 14. 点与圆的位置关系是（ ） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】将点到圆心的距离与圆的半径比较大小求解即可. 【详解】.所以圆心为，半径 点到圆心的距离为， 故点A在圆外. 故选：C. 15. 二项式的展开式中的第2024项是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式展开式的第2024项为 ， 即. 故选：B. 16. 已知等差数列前项和为，且，，则等于（ ） A. B. 0 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和的性质求解. 【详解】等差数列前项和为， 根据等差数列的前项和性质知： ，，成等差数列， 因为，，， 整理得， 解得. 故选：B. 17. 若二次函数在区间上是增函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的对称轴，若函数在区间上是增函数，则，即可求解． 【详解】由题意得：二次函数图像开口向上，对称轴为：， 又因为函数在区间上是增函数， 即有，解得：. 故实数k的取值范围是. 故选：D. 18. 从两双完全相同的鞋中，随机抽取2只鞋，恰好配成一双鞋的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的公式及组合数的计算即可得解. 【详解】从两双完全相同的鞋中，随机抽取2只鞋有种可能， 两只鞋子恰好配成一双鞋有种可能， 所以概率为， 故选：. 19. 若且，则在同一坐标系中，函数与的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出，结合指数函数及对数函数的图像的性质即可得解. 【详解】因为且，所以， 则函数为在上的增函数，且过点， 函数为在上的减函数，且过点， 故只有C选项的图象满足题意. 故选：. 20. 若椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆上的点，且，则的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，余弦定理，三角形的面积公式，椭圆的定义，即可求解. 【详解】由椭圆得，， 则，. 在中，，则. 由余弦定理得， . 解得， 则的面积为：. 故选：D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 已知函数则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据即可得解. 【详解】函数， 则，， 故答案为：. 22. 函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式得到函数最小值. 【详解】因为， 由基本不等式可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 故答案为：. 23. 若数列的前n项和为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列前n项和与的关系求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以. 故答案为：. 24. 函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式将函数进行化简，结合正弦型函数的性质即可得解. 【详解】函数，其中， 所以的最小值为， 故答案为：. 25. 若抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且，则点M到y轴的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】设点M的坐标为，因为， 由抛物线的定义可知， 因为抛物线，则有， 所以， 所以点M的横坐标为5，即点M到y轴的距离是5. 故答案为：5. 26. 若某圆柱的侧面展开图为一个矩形，且矩形的长为8，宽为，则这个圆柱的体积为______． 【答案】或. 【解析】 【分析】分类讨论圆柱底面周长为和底面周长为的情况，结合圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面半径为， 由题意可知，当底面周长为时，，此时圆柱高为，圆柱体积， 当底面周长为时，，此时高为，圆柱体积， 故答案为：或. 27. 如图所示，已知双曲线的左，右焦点分别，直线l经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线l与另一条渐近线相交于点．若，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，计算出、点坐标，利用已知条件和双曲线的性质求解 【详解】设双曲线的左焦点为，渐近线方程为，且. 则直线的斜率为，直线的方程， 联立方程组求解得点的坐标为 联立方程组求解得点的坐标为 ， ， 又因，，又因，解得， 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共7小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤． 28. 已知和均为锐角，且．求： （1）和的值； （2）的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系即可求解； （2）根据同角三角函数的关系结合两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 根据同角三角函数的关系可知， ， 因为为锐角， 所以， ； 【小问2详解】 根据同角三角函数的关系可知， ， 因为， 所以， 根据两角差的余弦公式， . 29. 已知圆与直线相切． （1）求实数m的值； （2）若经过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径时圆与直线相切，列方程求解即可； （2）先设出直线l的方程，再利用经过点的直线l被圆O所截得的弦长为4列方程，即可求出直线l的方程． 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 因为圆与直线相切， 所以 ，. 【小问2详解】 因为直线l过点，当直线l的斜率不存在时，此时直线l：，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线l：， 由直线l被圆O所截得的弦长为4得：， 解得：，因此直线l的方程：. 因此直线l的方程：或. 30. 在锐角三角形中，已知. （1）求角C的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式化简计算即可求解. （2）根据正弦定理和余弦定理，分别解出a和c即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为为锐角三角形，所以， 故. 【小问2详解】 因为，且的面积为， 所以. 由（1）可知，，所以， 解得. 在中由余弦定理，得， 所以，解得， 所以的周长为. 31. 如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且，底面，． （1）若点E为的中点，求三棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）1. （2） 【解析】 【分析】（1）利用题干中的信息求出底面的面积，即可求出三棱锥的体积. （2）利用二面角的三锤线法，找点到面的垂线、两平面交线的垂线，即可找到二面角所对的平面角，根据几何关系即可求解. 【小问1详解】 由题，底面， 底面，故为三棱锥的高， ，点E为的中点， ，故面为矩形， ，连接， 既是中线也是高线， 是等腰三角形，腰为和， ， 为等边三角形 ， ， ， ， . 【小问2详解】 由题易得，由题底面，面 ， 因为平面， 所以平面,又因为平面, 所以， 即为二面角的平面角， 由（1）可得，， 由题， 在直角三角形中，， 故二面角为. 32. 已知数列前n项和为，首项，且． （1）求和的值； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，代入数列的递推公式，计算即可得解； （2）推导出，从而数列是首项为4，公比为2的等比数列，由此求出数列的通项公式； （3）由，利用分组求和法求出数列的前n项和即可. 【小问1详解】 ∵首项，且， ∴当时，； 当时，. 【小问2详解】 由得， 又， ∴数列是首项为4，公比为2的等比数列， ∴， ∴. 【小问3详解】 由（2）得， ∴ = . 33. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且与x轴不重合的直线交椭圆E于A，B两点，的周长为8． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线与椭圆E相交于C，D两点，求： ①弦的长； ②四边形的面积． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可得的值，再由离心率可得的值，进而求出的值，求出椭圆的方程. （2）①将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，代入弦长公式可得弦长的值； ②由①可得的纵坐标的差的绝对值，代入四边形的面积公式可得其面积. 【小问1详解】 由题意可得， 解得：， 所以椭圆方程：. 【小问2详解】 ①设， 联立整理可得：， ，所以 ②由①可得： 所以， 34. 某加工厂收到一批热销产品订单，要求在10天内完成，已知该产品的出厂价为每件160元，第x天（x为正整数）每件产品的生产成本为y元，y与x之间的对应关系如下表（为一次函数或二次函数中的一种）： x 1 2 3 4 5 … y（单位：元） 96 104 112 120 128 … （1）直接写出y关于x的函数解析式； （2）统计发现该厂每天生产的件数，设该厂第x天的利润为ω元． ①该厂第几天的利润最大？最大利润为多少元？ ②若该厂每生产一件产品就捐n元（其中）给“红十字基金会”，且该厂想在第2天获得最大利润，求n的取值范围． 【答案】（1）. （2）①在第天或第天时，利润最大为元. ②. 【解析】 【分析】（）根据题意和表格里的数据判断出函数关系，用待定系数法即可得解. （）根据题意写出的表达式，利用二次函数的图象和性质即可得解. 【小问1详解】 观察表格数据发现：每增加，增加，所以与满足一次函数关系， 设，将，和，代入可得 ， 所以函数关系为. 【小问2详解】 ①由题意可知， 因为，图像开口向下，所以当时，最大， 因为，所以当或时，此时元， 所以在第天或第天时，利润最大为元. ②由题意可知，， 因为，图像开口向下，对称轴为， 因为该厂想在第2天获得最大利润，所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $