4.4.2 二项式定理教学设计（2）-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

课题 4.4.2 二项式系数的性质 编号 选择性必修 第一册 第四章 第4节 共2课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 本节是在学习了二项式定理的基础上，探究二项式系数的性质。由于二项式系数组成的数列就是一个离散型函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识前后联系，使学生运用利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想进行思考。研究二项式系数这组特定的性质，对巩固二项式定理，建立知识间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要作用，对后续学习微分方程也具有重要地位. 教学目标 能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数. 核心素养 ●直观想象、●数学运算、●数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、●数学建模 教学重点 用计数原理分析的展开式，得到二项式定理. 教学难点 用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 1、复习：二项式定理 ． (1) 这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2) 二项式系数：各项的系数____ 叫做二项式系数． 2、问题：二项式的系数之间有什么关系呢？ 复习前面所学二项式定理的内容，探讨二项式系数之间的关系. 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 问题：计算展开式的二项式系数并填入下表 通过计算、填表、你发现了什么规律？ n 的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 思考1：对比杨辉三角，能发现什么规律？ 一、二项式系数的递推性和对称性： 递推性： ； 对称性： . 证明： . . 2、 进一步研究了二项式系数的对称性 1、 函数角度：二项式系数关于直线对称，即； 2、几何意义：在二项展开式中，与首末两端 “等距离”的两项的二项式系数相等。 三、二项式系数的增减性和最大值 1、增减性：二项式系数从两端向中间逐渐增大. 2、最大值：当是偶数时，项数是奇数，中间一项的二项式系数取到最大值. 当是奇数时，项数是偶数，中间两项的二项式系数， 相等，且同时取得最大值. 证明： 当即 时，有，二项式系数逐渐增大; 当即 时，有，二项式系数逐渐减小. 四、二项式系数和 二项式定理： 令, 则 . 令,则 . 由①、②得： = = . 所以各二项式系数和为，奇数项和偶数项的和均为 五、应用 例1 当为偶数时，求证： 例2 已知，计算. 例3 若二项式的展开式中含项的系数是135，求二项式系数最大的项及展开式中含的项. 例4 在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有的有理项. 让学生亲身经历了从特殊到一般，获得二项式性质的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 通过典例剖析，让学生体会利用二项式系数的性质，感受数学模型在数学应用中的价值。 课堂练习 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 总结提升 本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？运用了哪些解题方法和数学思想？ 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 必做题 P201习题4.4：第3、4、8题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P201习题4.4：第9题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$