第35讲 空间中直线、平面的平行（考点精练）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第35讲 空间中直线、平面的平行 1. 如图所示，用符号语言可表示为(　　) A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 2．已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法不正确的是(　　) A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β B．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l C．若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l 3.下列命题正确的是（ ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行 B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线 C．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 D．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行 4．已知直线，平面.下述命题中，真命题的个数是（    ） （1）若与是异面直线，与是异面直线，则与是异面直线； （2）若，，则； （3）若，，则； （4）若，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) A．EF∥PA B．EF∥PB C．EF∥PC D．以上均有可能 6．设，为两个平面，则∥的充要条件是　　 A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 7．在如图所示的三棱柱ABC －A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 8．如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为点 O，M 为 PB 的中点，下面结论中不正确的是( ) A．OM∥PD B．OM∥平面 PCD C．OM∥平面 PDA D．OM∥平面 PBA 9．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是( ) A.MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面 BB1D1D D．MN∥平面 BDP 10．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线 a，在β内总存在直线 b∥a，则α与β的位置关系是 (填“平行”或“相交”). 11．已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题 . ①，； ②，； ③，； ④，；  ⑤，，． A． B．①② C．②④ D．③⑤ 12． 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______． 13．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 14．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形； (2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形． 15． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与截面AD1C的位置关系是________，A1B与平面DD1C1C的位置关系是________． 16．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M，N 分别是AB，PC的中点，则MN （填“平行”、“不平行”）平面PAD 17．如图，在正方体中，为棱的中点，找出可以推导出//平面的那条直线，并在图中画出该直线． 18．如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面 19．如图，在三棱锥中，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，G为AD的中点，求证：平面BDE 20.在直三棱柱中，E，F分别是，的中点， 求证：平面 21．如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 22．如图，在长方体中，，，，分别为的中点，求证：平面平面． 23．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H. 求证：PA∥GH. 24.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行? 25．如图，在圆柱中，，分别是上、下底面圆的直径，且，，分别是圆柱轴截面上的母线. （1）若，圆柱的母线长等于底面圆的直径，求圆柱的表面积. （2）证明：平面平面. 1．已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m； ③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 3.在三棱锥中，点，分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定 4. 如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中不正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 5. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为(　　) A. B．2 C．2 D．2 6.如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则______． 7．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8. 如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________． 9．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个． ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD； ④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角． 10．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________. 11．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．已知，若平面平面，则的值________. 12． 如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面 13．如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 14．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)． (1)求证：BC∥GH； (2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 15．如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l.证明： (1)DF∥平面PBE； (2)DF∥l. 16．已知在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q为PC的中点. (1)求证：BQ∥平面PAD； (2)若PD＝3，BC＝，BC⊥BD，试在线段PC上确定一点S，使得三棱锥S－BCD的体积为. 17． 如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2. (1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值； (2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$第35讲 空间中直线、平面的平行 1. 如图所示，用符号语言可表示为(　　) A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 【答案】A 【解析】很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A. 2．已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法不正确的是(　　) A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β B．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l C．若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l 【答案】B 【解析】对于A，若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，A正确； 对于B，若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，B错误； 对于C，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，C正确； 对于D，由线面平行的性质知正确． 3.下列命题正确的是（ ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行 B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线 C．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 D．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行 【答案】C 【解析】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，故A错误； 对于B，若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故B错误； 对于C，根据平面的基本性质可知若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故C正确； 对于D，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故D错误. 4．已知直线，平面.下述命题中，真命题的个数是（    ） （1）若与是异面直线，与是异面直线，则与是异面直线； （2）若，，则； （3）若，，则； （4）若，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】（1）若与是异面直线，与是异面直线，则与可能是异面直线，也可能不是异面直线，故命题错误； （2）由线线平行关系的传递性可知，命题正确； （3）由线面平行的判断定理可得或者，命题错误； （4）由线面平行的概念可知，与相交，或者平行或者与异面，故命题错误. 综上所述，真命题的个数是1. 5．如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) A．EF∥PA B．EF∥PB C．EF∥PC D．以上均有可能 【答案】B 【解析】由线面平行的性质定理可知EF∥PB. 6．设，为两个平面，则∥的充要条件是　　 A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 【答案】B 【解析】对于A，内有无数条直线与平行，或∥∥； 对于B，内有两条相交直线与平行，∥； 对于C，，平行于同一条直线，或∥； 对于D，，垂直于同一平面，或∥． 7．在如图所示的三棱柱ABC －A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 【答案】B 【解析】在三棱柱ABC －A1B1C1中，AB∥A1B1， ∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC， ∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. 8．如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为点 O，M 为 PB 的中点，下面结论中不正确的是( ) A．OM∥PD B．OM∥平面 PCD C．OM∥平面 PDA D．OM∥平面 PBA 【答案】D 【解析】因为矩形ABCD 的对角线AC与BD交于点O，所以 O为BD的中点。在△PBD中，M是PB的中点，所以OM∥PD，因为OM⊄平面PCD，PD⊂平面 PCD，所以OM∥平面 PCD，同理OM∥平面PDA。因为M∈PB，所以OM 与平面 PBA、平面PBC都相交。 9．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是( ) A.MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面 BB1D1D D．MN∥平面 BDP 【答案】C 【解析】由题意，取 B1C1的中点 E，连接 EM，NE，B1D1，BD，如图．M，N，P 分别是 C1D1，BC，A1D1的中点，所以 BB1∥NE，B1D1∥EM，EM∩NE＝E，BB1∩B1D1＝B1，所以平面 EMN∥平面 BB1D1D，那么 MN∥平面 BB1D1D. 10．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线 a，在β内总存在直线 b∥a，则α与β的位置关系是 (填“平行”或“相交”). 【答案】平行 【解析】若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线 b，若b过点 A，则 a 与 b 相交，若 b 不过点 A，则 a 与 b 异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾，故α∥β. 11．已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题 . ①，； ②，； ③，； ④，；  ⑤，，． A． B．①② C．②④ D．③⑤ 【答案】①⑤ 【解析】由题意， ①，，故，故正确； ②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误； ③，则或，故错误； ④，；则与可能平行或相交，故错误； ⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确. 12． 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______． 【答案】平行四边形 【解析】　∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形. 13．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确． 14．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形； (2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形． 【答案】(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD 【解析】(1)由题意知，EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，∴四边形EFGH为平行四边形， ∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD. (2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD. 15． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与截面AD1C的位置关系是________，A1B与平面DD1C1C的位置关系是________． 【答案】相交　平行 【解析】A1B1与截面AD1C相交，由题意得A1B∥D1C，而A1B⊄平面DD1C1C，D1C⊂平面DD1C1C， 所以A1B∥平面DD1C1C. 16．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M，N 分别是AB，PC的中点，则MN （填“平行”、“不平行”）平面PAD 【答案】平行 【解析】如图，取PD的中点 G，连接 GA，GN. ∵G，N 分别是△PDC的边PD，PC 的中点，∴GN∥DC，GN＝DC. ∵M 为平行四边形 ABCD 的边AB的中点， ∴AM＝ DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN， ∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG. 又 MN⊄平面 PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD. 17．如图，在正方体中，为棱的中点，找出可以推导出//平面的那条直线，并在图中画出该直线． 【解析】连接交于，并连接，如图，为所求直线，证明如下：，故为中位线，故//，又平面，平面，根据线面平行的判定，//平面. 18．如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面 【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面. 19．如图，在三棱锥中，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，G为AD的中点，求证：平面BDE 【解析】取EC中点M，连接FM，GM，见图: 由已知得∴平面BDE，平面BDE，∴平面BDE． ∵M，F分别是EC，BC的中点，∴，又平面BDE，平面BDE， ∴平面BDE∴， ∴平面平面BDE，又平面GFM，∴平面BDE． 20． 在直三棱柱中，E，F分别是，的中点， 求证：平面 【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面； 21．如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴．∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG．∵，且，∴四边形是平行四边形，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，∴平面平面BCHG． 22．如图，在长方体中，，，，分别为的中点，求证：平面平面． 【解析】证明：因为E是的中点，Q是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．又因为F是的中点，所以，因为平面平面，所以平面．因为平面平面，所以平面平面． 23．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H. 求证：PA∥GH. 证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点， 又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD， ∴PA∥平面BMD， 又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH. 24.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行? 【解析】如图,设平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,点M在AA1上,平面D1BQ∩平面BCC1B1=BQ,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M. 假设平面D1BQ∥平面PAO,由平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,平面PAO∩平面ADD1A1=AP,可得AP∥D1M,所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点, 所以M为AA1的中点,Q为CC1的中点, 故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 25．如图，在圆柱中，，分别是上、下底面圆的直径，且，，分别是圆柱轴截面上的母线. （1）若，圆柱的母线长等于底面圆的直径，求圆柱的表面积. （2）证明：平面平面. 【解析】（1）连接CF、DF， 因为CD为直径，记底面半径为R，EF=2R。则 又解得R=圆柱的表面积. （2） 连接、、、由圆柱性质知且 且四边形为平行四边形又平面CDE，平面CDE 平面CDE。同理，平面CDE又，平面ABH，平面ABH 平面平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 1．已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m； ③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误； 对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误； 对于③，因为l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确， 因此真命题的个数为1. 2．已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过作交于，连接，因为，∴，故共面，因为 平面 ，平面平面 ，平面，所以，又，∴四边形为平行四边形，又，∴，所以. 3.在三棱锥中，点，分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定 【答案】A 【解析】因为，所以．又平面平面，所以平面． 4. 如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中不正确的是(　　) A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值 【答案】B 【解析】由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG， 所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的； 因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝(定值)，即D是正确的． 5. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为(　　) A. B．2 C．2 D．2 【答案】C 【解析】　∵PD与平面CEF交于点H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，如图所示． ∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，∴平面AEF∥平面CHM. ∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM.又BC∥AM，∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中点，则H为PD的中点，∴CH＝＝＝2. 6.如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则______． 【答案】 【解析】由题意，平面平面，所在的平面与，分别交于和，根据面面平行的性质，可得，所以，因为，，，所以. 7．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确． 8. 如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________． 【答案】　矩形 【解析】因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF. 同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形． 又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四边形EFGH为矩形． 9．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个． ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD； ④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角． 【答案】4 【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确． 因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确． 因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确． 因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确． 10．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________. 【答案】　①④ 【解析】①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B， ∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图). ④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP. 在②③中不能判定AB∥平面MNP. 11．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．已知，若平面平面，则的值________. 【答案】． 【解析】若面面，面面，面面，由面面平行的性质定理知：，于是，由为的中点知：为的中点，故，所以. 12． 如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面 【解析】取的中点，连接CG、GF、EO． ∵，则， ∵点是的中点，故，且平面，故平面． 又，故是的中点，是的中点， 则，且平面，故平面，且， 故平面平面．又平面，故平面． 13．如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 【解析】证明　(1)如图，设DF与GN的交点为O，连接AE，则AE必过点O， 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG. 又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG， 又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG. 14．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)． (1)求证：BC∥GH； (2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 【解析】证明　(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1， 又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG， ∴由面面平行的性质定理得BC∥GH. (2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G∥EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG. 15．如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l.证明： (1)DF∥平面PBE； (2)DF∥l. 【解析】证明　(1)取PB中点G，连接FG，EG， 因为点F为PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝BC， 因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD， 所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形， 所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE； (2)由(1)知DF∥平面PBE， 又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l， 所以DF∥l. 16．已知在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q为PC的中点. (1)求证：BQ∥平面PAD； (2)若PD＝3，BC＝，BC⊥BD，试在线段PC上确定一点S，使得三棱锥S－BCD的体积为. 【解析】(1)证明　取PD的中点G，连接AG，GQ， 因为Q为PC的中点，所以GQ∥DC，且GQ＝DC， 又因为AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB， 所以四边形ABQG是平行四边形， 所以BQ∥AG， 又BQ⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以BQ∥平面PAD. (2)解　因为在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB， 所以点B在线段CD的垂直平分线上， 又因为BC＝，BC⊥BD， 所以BD＝BC＝， 所以△BCD的面积S＝××＝1. 设点S到平面ABCD的距离为h， 所以×1×h＝，所以h＝2， 又PD⊥平面ABCD，PD＝3， 所以点S在线段PC上靠近点P的三等分点处. 17． 如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2. (1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值； (2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值． 【解析】(1)取AD中点N，连接CN，MN，OM，ON，如图， 因为ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD中点，所以AO∥CN， 所以∠MCN(或其补角)就是异面直线AO与CM所成角， 因为平面ABCD⊥平面BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC， 在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO⊂平面ABCD， 所以NO⊥平面BCM， 又OM⊂平面BCM，所以NO⊥OM， 在△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1，所以MN＝， 又M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，所以CM＝1， 在△MCN中，CN＝， 由余弦定理的推论可得cos∠MCN＝＝， 所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为. (2)如图，连接PB，PD，连接BD交AC于点Q，连接PQ， 因为直线CM∥平面BPD，直线CM⊂平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ， 所以CM∥PQ， 因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点， 所以PQ为△AMC的中位线， 所以P为AM中点，AP＝PM， 又AP＝λPM，所以λ的值为1. $$