4．3．1 等比数列的概念（八大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

4．3．1 等比数列的概念 目录 【题型归纳】 2 题型一：等比数列的判断 2 题型二：等比数列的通项公式及其应用 3 题型三：等比数列的证明 5 题型四：等比中项及应用 6 题型五：等比数列的实际应用 7 题型六：等比数列通项公式的推广及应用 8 题型七：等比数列性质的应用 10 题型八：灵活设元求解等比数列问题 11 【重难点集训】 12 【高考真题】 20 【题型归纳】 题型一：等比数列的判断 1．（2024·高二·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 2．（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 【答案】D 【解析】因为数列是等差数列，设其通项公式为， 所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确; 因为数列为等比数列，设其通项公式为， 所以是定值， 所以数列一定是等比数列，选项正确; 因为，所以， 所以数列一定是等差数列，选项正确; 当时，，则不是等比数列，选项错误， 故选:. 3．（2024·高二·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的公比为，的公比为， 对于A，令，则， 显然不是等比数列； 对于B，，故是等比数列； 对于C，，故是等比数列； 对于D，，故是等比数列. 故选：A. 4．（2024·高三·山东济宁·开学考试）“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若数列都是等比数列，设其公比分别为为常数)， 则， 所以当时，，为常数， 由等比数列的定义知，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故充分性成立； 若数列是等比数列，设， 当，时，满足， 但都不是等比数列，故必要性不成立. 所以“数列、都是等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件. 故选：A 题型二：等比数列的通项公式及其应用 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知，是等比数列图象上的两点，则 ． 【答案】 【解析】由题意知，，∴，∴， ∴． 故答案为： 6．（2024·高二·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 【解析】（1）设公比为，则，所以， 解得，由， 所以可知或； （2）设公比为q，由题意得：， 两式相除得：，所以， 又因为，所以， 解得. 7．（2024·高二·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【解析】（1）因为，则，解得， 当时，； 当时，． 综上所述：或. （2）因为，则，即． 又因为，则，即． 两式相除得，所以． 题型三：等比数列的证明 8．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 【解析】（1）由得． 结合可猜想数列的通项公式为． （2）因为， 所以为正项递增数列，所以， 所以， 故数列是等比数列． 9．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 【解析】（1）∵且，∴，． 假设存在一个实数，使数列是等比数列， 则，即，即，得，矛盾． 故对任意实数，数列不是等比数列． （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，，此时数列不是等比数列； 当时，，此时，数列是等比数列． 10．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列. 【解析】由，，可得． 因为，，所以，， 所以是首项为1，公比为3的等比数列． 题型四：等比中项及应用 11．（2024·高二·四川绵阳·期中）已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（    ） A．或 B．3或 C． D．9或 【答案】B 【解析】不妨设这三个数分别为，且， 三个数的乘积为， 由三个数的平方和为91， 所以，解得，或， 又，所以，或， 故选：B 12．（2024·高二·福建厦门·期末）已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】因为数列是等比数列，所以， 所以或，因为，， 所以. 故选：C. 13．（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知，，以下结论中错误的是（    ） A．若三个数成等差数列，则 B．若五个数成等差数列，则 C．若三个数成等比数列，则 D．若三个数成等比数列，则 【答案】C 【解析】对于A，若三个数成等差数列，则，故A不符合题意； 对于B，若五个数成等差数列，则， 且当时，即成等差数列，故B不符合题意； 对于CD，若三个数成等比数列，则，即，故C符合题意，D不符合题意. 故选：C. 题型五：等比数列的实际应用 14．（2024·高二·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【答案】C 【解析】第一种可以领取报酬元； 第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列， 则第二种可以领取报酬元； 第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列， 则第三种可以领取报酬元， 因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬． 故选：C． 15．（2024·高二·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设小明每个月所要还款的钱数为元， 根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：， 第二个月末所欠银行贷款数为：； ．．．， 第12个月末所欠银行贷款为： ； 由于分12次还清所有的欠款，所以， 解得. 故选：D． 16．（2024·高二·广东湛江·期中）某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【答案】B 【解析】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低， 所以6年后，价格降低为（元）， 故选：B 题型六：等比数列通项公式的推广及应用 17．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，，则且q＝2，则， 而. 故选：B 18．（2024·高二·浙江·期末）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上， 如图所示当时，如下图所示， 当公差时，如下图所示， 如图可知当时，，，，. 故选：D 19．（2024·高一·湖北·阶段练习）等比数列为递减数列，若，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【解析】，可得与为方程的两个根，又，解得，，再利用通项公式即可得出.∵等比数列为递减数列，，， ∴与为方程的两个根， 解得，或，， ∵，∴，， ∴， 则， 故选:A. 题型七：等比数列性质的应用 20．（2024·高二·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则 . 【答案】 【解析】，可得， 所以，数列是公比为的等比数列， 因为，且，则，所以. 故答案为：. 21．（2024·高二·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 . 【答案】 【解析】由已知数列为等比数列， 则， 即， 所以， 又，所以， 故答案为：. 22．（2024·高二·贵州贵阳·竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为数列为正项等比数列，， 设，则，则， 由于是等比数列，所以也成等比数列， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 23．（2024·高二·河南周口·阶段练习）若等比数列满足，，则 ． 【答案】112 【解析】，故，解得， 故． 故答案为：112 24．（2024·高二·江苏扬州·期中）已知数列1，,9是等比数列，数列1, 9是等差数列，则=______． ． 【答案】 【解析】数列1,,9是等比数列，可得=1×9， 解得， 由于1，，9均为奇数项，可得，即， 数列1, 9是等差数列，可得, 则=． 故答案为． 25．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则 . 【答案】 【解析】设等比数列的公比为， 因为是与的等差中项， 所以， 所以，解得， 所以 故答案为：. 题型八：灵活设元求解等比数列问题 26．（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，且最后一个数是25，求此四个数． 【解析】设前三个数为. 所以前三个数为 因为后三个数成等比数列， 所以， 所以或. 当时，不满足题意，所以舍去. 所以这四个数为. 27．（2024·高二·陕西延安·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为36，后三数成等比数列，其积为108.求这四个数. 【解析】设四个正数分别为a，b，c，d，根据等差数列和等比数列的性质可得， 解得， 所以这四个数分别为，12，，. 28．（2024·高二·全国·专题练习）已知三个数成等比数列，它们的积为，它们的平方和为，求这三个数． 【解析】不妨设这三个数分别为、、，则这三个数的乘积为， 这三个数的平方和为，整理可得，解得或. 若，则这三个数分别为、、； 若，则这三个数分别为、、； 若，则这三个数分别为、、； 若，则这三个数分别为、、. 综上，这三个数分别为、、或、、或、、或、、. 【重难点集训】 1．已知数列,均为正项等比数列，,分别为数列,的前项积，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列均为正项等比数列，设公比分别为；,分别为数列,的前项积， ， , 则. 故选：A 2．等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 【答案】B 【解析】由和可得， 故， 故选：B 3．等比数列中，已知，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解析】因为数列是等比数列， 所以，，，成等比数列， 且公比为，所以． 故选：A 4．在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，因为，所以， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，即，所以， 所以或或 所以的值为或或，所以的最小值为． 故选：A． 5．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”已知是“和差等比数列”，，，则满足使不等式的的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解析】依题意，，化简得， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 令，即，又，则， 即，所以满足使不等式的的最小值是8. 故选：A. 6．高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 【答案】C 【解析】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故选：C 7．数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【解析】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 8．已知数列，，，则（   ） A．8 B．16 C．24 D．64 【答案】D 【解析】因为， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列为等比数列，（），所以. 故选：D. 9．（多选题）下列说法正确的有（   ） A．若数列为等差数列，其公差，则数列是递增数列 B．若数列为等比数列，其公比，则数列是递减数列 C．若数列为等差数列，则数列为等比数列 D．若数列的前n项和为，且，则数列是等差数列 【答案】ACD 【解析】对于A，由，可得，故单调递增，正确； 对于B，取，此时，由于，此时数列是递增数列，错误； 对于C：等差数列公差为，由，为常数，故数列为等比数列，正确； 对于D：由，令，可得：， 可得： 即：， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，正确， 故选：ACD 10．（多选题）已知数列是等差数列，是等比数列，.（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】设等差数列的公差为， 当时，，故A正确； 当公差时，是常数列，，但与不一定相等，故B不正确； 设等比数列的公比为， 若“”，则，故C正确； 当公比时，是常数列，，但与不一定相等，故D不正确. 故选：AC. 11．（多选题）已知等比数列中，，，则（    ） A．公比为 B． C．当时， D．的前10项积为1 【答案】ABD 【解析】对于A项，设等比数列的公比为， 由，得，解得，故A正确； 对于B项，，则，故B正确； 对于C项，，当时，，则，故C错误； 对于D项，由，可得的前10项积为，故D正确． 故选：ABD. 12．如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 【答案】 / 【解析】设级雪花曲线的边长为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边长为； 设级雪花曲线的边数为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边数为，则级雪花曲线的周长为， 故答案为：；． 13．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 【答案】 【解析】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为：. 14．已知数列满足，若，则的通项公式为 . 【答案】 【解析】当时，，因为，所以， 当时，， 则，即，， 所以是从以首项公比为3的等比数列， 则， 此时，令，， 所以， 故答案为：. 15．已知数列满足且成等比数列， (1)求的通项公式： (2)设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值． 【解析】（1）由知为等差数列，设的公差为，则， 成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； （2）由（1）得， 所以当时，取得最小值，最小值为 16．已知数列是递增的等比数列，并且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，是数列的前n项和，证明：． 【解析】（1）设数列的公比为， 由，，得，两式相除， 得，即， 解得或（舍去）， 所以，所以． （2）证明：， 所以， 所以， 所以． 因为，所以，所以． 17．1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分．第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了．第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了．以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理．问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？ 【解析】设最初的桃子数为，5只猴子分剩的桃子数依次为， 由题意得     ①， 设， 即， 对照①式，得，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以， 所以，即． 由于为整数，所以的最小值为， 所以的最小值为． 即最初至少有3121个桃子，从而最后至少剩下（个）桃子． 18．已知数列的各项均为正实数，，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列的前项和的最小值. 【解析】（1）∵，∴，其中， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，， ∴， ∵，∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴，数列为递增数列， ∴当时，有最小值，最小值为. 【高考真题】 1．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【解析】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【解析】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 3．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 5．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 【解析】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． （2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4．3．1 等比数列的概念 目录 【题型归纳】 2 题型一：等比数列的判断 2 题型二：等比数列的通项公式及其应用 2 题型三：等比数列的证明 3 题型四：等比中项及应用 3 题型五：等比数列的实际应用 4 题型六：等比数列通项公式的推广及应用 4 题型七：等比数列性质的应用 5 题型八：灵活设元求解等比数列问题 5 【重难点集训】 6 【高考真题】 8 【题型归纳】 题型一：等比数列的判断 1．（2024·高二·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 3．（2024·高二·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·山东济宁·开学考试）“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：等比数列的通项公式及其应用 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知，是等比数列图象上的两点，则 ． 6．（2024·高二·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 7．（2024·高二·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 题型三：等比数列的证明 8．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 9．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 10．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列. 题型四：等比中项及应用 11．（2024·高二·四川绵阳·期中）已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（    ） A．或 B．3或 C． D．9或 12．（2024·高二·福建厦门·期末）已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 13．（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知，，以下结论中错误的是（    ） A．若三个数成等差数列，则 B．若五个数成等差数列，则 C．若三个数成等比数列，则 D．若三个数成等比数列，则 题型五：等比数列的实际应用 14．（2024·高二·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 15．（2024·高二·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 16．（2024·高二·广东湛江·期中）某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 题型六：等比数列通项公式的推广及应用 17．（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（    ） A． B． C． D． 18．（2024·高二·浙江·期末）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·高一·湖北·阶段练习）等比数列为递减数列，若，，则（    ） A． B． C． D．6 题型七：等比数列性质的应用 20．（2024·高二·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则 . 21．（2024·高二·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 . 22．（2024·高二·贵州贵阳·竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 23．（2024·高二·河南周口·阶段练习）若等比数列满足，，则 ． 24．（2024·高二·江苏扬州·期中）已知数列1，,9是等比数列，数列1, 9是等差数列，则=______． ． 25．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则 . 题型八：灵活设元求解等比数列问题 26．（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，且最后一个数是25，求此四个数． 27．（2024·高二·陕西延安·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为36，后三数成等比数列，其积为108.求这四个数. 28．（2024·高二·全国·专题练习）已知三个数成等比数列，它们的积为，它们的平方和为，求这三个数． 【重难点集训】 1．已知数列,均为正项等比数列，,分别为数列,的前项积，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 3．等比数列中，已知，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 5．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”已知是“和差等比数列”，，，则满足使不等式的的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 7．数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 8．已知数列，，，则（   ） A．8 B．16 C．24 D．64 9．（多选题）下列说法正确的有（   ） A．若数列为等差数列，其公差，则数列是递增数列 B．若数列为等比数列，其公比，则数列是递减数列 C．若数列为等差数列，则数列为等比数列 D．若数列的前n项和为，且，则数列是等差数列 10．（多选题）已知数列是等差数列，是等比数列，.（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）已知等比数列中，，，则（    ） A．公比为 B． C．当时， D．的前10项积为1 12．如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 13．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 14．已知数列满足，若，则的通项公式为 . 15．已知数列满足且成等比数列， (1)求的通项公式： (2)设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值． 16．已知数列是递增的等比数列，并且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，是数列的前n项和，证明：． 17．1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分．第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了．第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了．以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理．问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？ 18．已知数列的各项均为正实数，，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列的前项和的最小值. 【高考真题】 1．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则 . 3．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 5．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$