复数的概念和意义导学案-2025届高三中职数学一轮复习

复数的概念和意义 【学习目标】 1.理解虚数单位和复数的概念； 2.了解复数的代数形式与复数的几何意义； 3.理解共轭复数，初步掌握两个复数相等的条件． 【知识梳理】 知识点一　复数的概念 1．复数的概念 (1)形如Z＝________________的数称为复数，a称为复数Z的____，b称为复数Z的____． (2)虚数单位i，i2＝－1，i4＝1，i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝0(n∈N). 2．复数的分类 若z＝a＋bi(a，b∈R)，当虚部b＝0时，z是实数；当虚部b≠0时，z是虚数；当a＝0，b≠0时，虚数bi称为纯虚数． 3．复数相等 两个复数相等的充要条件是实部与实部相等，虚部与虚部相等． 知识点二　复数的几何意义 1．复数的坐标表示 复数z＝a＋bi(a，b∈R)和有序实数对(a，b)一一对应，有序实数对(a，b)和平面直角坐标系内点Z(a，b)一一对应，所以复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用复平面内的点Z(a，b)表示． 2．复数的向量表示 复数a＋bi(a，b∈R)可以与平面直角坐标系内点Z(a，b)和平面向量＝(a，b)一一对应；因而复数a＋bi(a，b∈R)和平面向量＝(a，b)一一对应．所以复数a＋bi(a，b∈R)可以用向量来表示． 3．复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模＝＝. 4．共轭复数 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi. 两个复数互为共轭复数的条件是实部相等且虚部互为相反数． [典例1]　 “a＝0且b＝1”是“复数z＝a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [变式训练] 1．已知i为虚数单位，复数z＝5－4i，则z的虚部是(　　) A．4　　　　　　　 B．－4 C．4i D．－4i [典例2]　 在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为坐标原点． (1)求向量＋和对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数． [变式训练] 2．在复平面内，向量＝(2，－3)对应的复数为(　　) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．－3－2i 3．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [典例3]　 [典例3]　若复数z1，z2满足z1＝2，则z1，z2在复平面内对应的点Z1，Z2(　　) A．关于实轴对称 B．关于虚轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 [变式训练] 4．已知复数(2a－1)＋6i是复数3＋(a＋4b)i的共轭复数，求实数a与b的值． [当堂检测] 1．已知i为虚数单位，若z＝，则＝(　　) A． B． C． D． 2．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　) A．1或3　 B．1　 C．3　 D．2 4．已知m∈R，复数z＝＋(m2－3m－18)i. (1)当m为何值时，复数z为实数？ (2)当m为何值时，复数z为虚数？ (3)当m为何值时，复数z为纯虚数？ 【课堂小结】 你本节课的收获 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复数的概念和意义 【学习目标】 1.理解虚数单位和复数的概念； 2.了解复数的代数形式与复数的几何意义； 3.理解共轭复数，初步掌握两个复数相等的条件． 【知识梳理】 知识点一　复数的概念 1．复数的概念 (1)形如Z＝_a＋bi(a，b∈R)的数称为复数，a称为复数Z的_实部___，b称为复数Z的_虚部___． (2)虚数单位i，i2＝－1，i4＝1，i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝0(n∈N). 2．复数的分类 若z＝a＋bi(a，b∈R)，当虚部b＝0时，z是实数；当虚部b≠0时，z是虚数；当a＝0，b≠0时，虚数bi称为纯虚数． 3．复数相等 两个复数相等的充要条件是实部与实部相等，虚部与虚部相等． 知识点二　复数的几何意义 1．复数的坐标表示 复数z＝a＋bi(a，b∈R)和有序实数对(a，b)一一对应，有序实数对(a，b)和平面直角坐标系内点Z(a，b)一一对应，所以复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用复平面内的点Z(a，b)表示． 2．复数的向量表示 复数a＋bi(a，b∈R)可以与平面直角坐标系内点Z(a，b)和平面向量＝(a，b)一一对应；因而复数a＋bi(a，b∈R)和平面向量＝(a，b)一一对应．所以复数a＋bi(a，b∈R)可以用向量来表示． 3．复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模＝＝. 4．共轭复数 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi. 两个复数互为共轭复数的条件是实部相等且虚部互为相反数． [典例1]　 “a＝0且b＝1”是“复数z＝a＋bi是纯虚数”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [变式训练] 1．已知i为虚数单位，复数z＝5－4i，则z的虚部是(　B　) A．4　　　　　　　 B．－4 C．4i D．－4i [典例2]　 在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为坐标原点． (1)求向量＋和对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数． [解]　(1)由已知得，，所对应的复数分别为1＋4i， －3i，2， 则＝(1，4)，＝(0，－3)，＝(2，0)， 所以＋＝(1，1)，＝－＝(1，－4)， 故＋对应的复数为1＋i，对应的复数为1－4i. [变式训练] 2．在复平面内，向量＝(2，－3)对应的复数为(　A　) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．－3－2i 3．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [典例3]　 [典例3]　若复数z1，z2满足z1＝2，则z1，z2在复平面内对应的点Z1，Z2(　A　) A．关于实轴对称 B．关于虚轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 [变式训练] 4．已知复数(2a－1)＋6i是复数3＋(a＋4b)i的共轭复数，求实数a与b的值． [解]　根据共轭复数的定义，得解方程组， 得a＝2，b＝－2. [当堂检测] 1．已知i为虚数单位，若z＝，则＝(　B　) A． B． C． D． 2．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　C　) A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　A　) A．1或3　 B．1　 C．3　 D．2 4．已知m∈R，复数z＝＋(m2－3m－18)i. (1)当m为何值时，复数z为实数？ (2)当m为何值时，复数z为虚数？ (3)当m为何值时，复数z为纯虚数？ [解]　(1)要使z＝＋(m2－3m－18)i为实数， 只需解得m＝6. (2)要使z＝＋(m2－3m－18)i为虚数， 只需解得m≠－3且m≠6. 【课堂小结】 你本节课的收获 共轭复数的特点 (1) 在复平面内，共轭复数表示的两个点关于实轴对称； (2)共轭复数的模相等，即|z|＝||. 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$