专题04 函数的性质-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题04函数的性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断函数的单调性、奇偶性的方法 · 了解函数周期性 · 熟练掌握一次函数、二次函数的图像性质 · 了解反比例函数的图像和性质 考点预测 · 函数的单调性 · 函数的奇偶性 · 函数解析式的求解 · 函数值域的求解 要点自测 （一）函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为D，区间，任意 当时，都有__________，那么就说函数在区间I上是增函数 当时，都有__________，那么就说函数在区间I上是减函数 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 要点提醒 （1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，单调区间是定义域的子集。若一个函数在其整个定义域内都是单调的，则称该函数为单调函数；（2）判断函数单调性有图像法和定义法。定义法判断函数单调性可以分为以下几步：一设，二作差，三变形，四定号，五结论；（3）若函数，在区间（）上都是增（减）函数，则在区间上为增（减）函数；（4）复合函数的单调性遵循口诀“同增异减”. （二）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数的定义域D内任意一个，都有. 若______________，那么函数是偶函数 若_______________，那么函数是奇函数 图像特征 关于______对称 关于___________对称 要点提醒 （1）利用定义判断函数奇偶性时，要优先考虑函数定义域。函数的定义域关于原点对称是前提。判断函数奇偶性可分为以下几步：第一步求函数定义域，第二步观察定义域是否关于原点对称，第三步求出，判断与关系；（2）如果奇函数在处有定义，那么一定有；（3）奇函数在对称区间单调性相同，偶函数在对称区间单调性相反. （三）函数的最值 前提 设函数的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 （1）对于任意，都有；（2）存在，使得 （1）对于任意，都有；（2）存在，使得 结论 M为最大值，符号表示为 M为最小值，符号表示为 要点提醒 函数有无最值要结合函数的单调性，不要误认为函数最值都是在自变量取值范围的端点取得. （四）函数的周期性 对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数都是它的周期。并且周期函数的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 （五）几种常见的函数 1、一次函数 解析式 一次项系数 图像 性质 定义域 ________ 值域 ________ 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 时，是非奇非偶函数，时，是奇函数. 2、反比例函数 解析式 系数 图像 性质 定义域 ________________ 值域 ________________ 单调性 在________和________上都是减函数 在________和________上都是增函数 奇偶性 函数 3、二次函数 解析式 二次项系数 图像 性质 定义域 ________ 值域 ________________ ________________ 对称轴 方程 ________________ 顶点 坐标 ________________ 最值 单调性 在________上是减函数，在________上是增函数 在________上是增函数，在________上是减函数 奇偶性 时，是非奇非偶函数，时，是偶函数. 要点 提醒 （1）二次函数顶点式为；（2）理解二次函数图像、一元二次方程、一元二次不等式解集之间关系. 考点突破 考点1 函数单调性考查 【例1】证明函数在上是减函数. 【例2】已知函数是定义在上的减函数，且，求不等式的解集. 【突破训练】1、若函数在R上是增函数，对任意实数，若， 证明：＞. 2、解不等式. 考点2 函数奇偶性考查 【例3】已知函数是定义在的奇函数，则___________，___________， ___________. 【例4】已知函数为偶函数，求的值. 【突破训练】1、已知是定义在的奇函数，则___________. 2、函数是定义在上的奇函数，并且当时，，求当时，的解析式. 考点3 函数周期性考查 【例5】已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，若，则___________. 【例6】函数对任意满足，成立，且当时，，当时，求的解析式. 【突破训练】1、若定义在上的周期为5的奇函数，且满足，则___________. 2、已知定义在上的奇函数满足，则 ____________. 考点4 函数性质综合题 【例7】下列函数中，既是偶函数，又在区间上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【例8】奇函数在上具有单调递增，若，则实数的取值范围是____________. 【突破训练】1、已知定义在上的偶函数在上单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、若偶函数在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 不能确定与的大小 模拟演练 一、选择题 1.下列函数中在上是增函数的是……………………………………………………（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是上的减函数，若，则有……………………………………（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，令，，，则之间的大小关系是…………………………………………………………………………………………………（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是上的奇函数，且周期是3，则………….（ ） A. 18 B. 3 C. 0 D. 1 5. 奇函数在区间上是增函数，且有最小值为5，则以下关于函数在上单调性和最值得说法中，正确的是……………………………..…………………………..…（ ） A．增函数且最小值为-5 B．增函数且最大值为-5 C．减函数且最小值为-5 D．减函数且最大值为-5 二、填空题 6. 函数的增区间是_______________； 7. 已知函数满足，则函数的周期是_______________； 8. 已知函数，若，则 ______________； 9. 已知函数是奇函数，当时，，求时，函数_______________； 10.若二次函数在区间上是增函数，则实数的范围是_______________；若二次函数在区间上是减函数，则实数的范围是_______________. 三、解答题 11. 若函数)是定义在上的周期为的奇函数，当时，，求. 12. 已知函数在定义域上奇函数，，已求的表达式. 13. 已知定义在上的函数满足，且，求. 14. 已知函数定义域为，且满足. （1）求函数的表达式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由. 15.已知奇函数. (1) 试确定的值；(2) 判断的单调性, 并简单说明理由. $$专题04函数的性质 ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断函数的单调性、奇偶性的方法 · 了解函数周期性 · 熟练掌握一次函数、二次函数的图像性质 · 了解反比例函数的图像和性质 考点预测 · 函数的单调性 · 函数的奇偶性 · 函数解析式的求解 · 函数值域的求解 要点自测 （一）函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为D，区间，任意 当时，都有，那么就说函数在区间I上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间I上是减函数 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 要点提醒 （1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，单调区间是定义域的子集。若一个函数在其整个定义域内都是单调的，则称该函数为单调函数；（2）判断函数单调性有图像法和定义法。定义法判断函数单调性可以分为以下几步：一设，二作差，三变形，四定号，五结论；（3）若函数，在区间（）上都是增（减）函数，则在区间上为增（减）函数；（4）复合函数的单调性遵循口诀“同增异减”. （二）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数的定义域D内任意一个，都有. 若，那么函数是偶函数 若，那么函数是奇函数 图像特征 关于轴对称 关于原点对称 要点提醒 （1）利用定义判断函数奇偶性时，要优先考虑函数定义域。函数的定义域关于原点对称是前提。判断函数奇偶性可分为以下几步：第一步求函数定义域，第二步观察定义域是否关于原点对称，第三步求出，判断与关系；（2）如果奇函数在处有定义，那么一定有；（3）奇函数在对称区间单调性相同，偶函数在对称区间单调性相反. （三）函数的最值 前提 设函数的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 （1）对于任意，都有；（2）存在，使得 （1）对于任意，都有；（2）存在，使得 结论 M为最大值，符号表示为 M为最小值，符号表示为 要点提醒 函数有无最值要结合函数的单调性，不要误认为函数最值都是在自变量取值范围的端点取得. （四）函数的周期性 对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数都是它的周期。并且周期函数的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 （五）几种常见的函数 1、一次函数 解析式 一次项系数 图像 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 时，是非奇非偶函数，时，是奇函数. 2、反比例函数 解析式 系数 图像 性质 定义域 值域 单调性 在和上都是减函数 在和上都是增函数 奇偶性 奇函数 3、二次函数 解析式 二次项系数 图像 性质 定义域 值域 对称轴 方程 顶点 坐标 最值 单调性 在上是减函数，在上是增函数 在上是增函数，在上是减函数 奇偶性 时，是非奇非偶函数，时，是偶函数. 要点 提醒 （1）二次函数顶点式为；（2）理解二次函数图像、一元二次方程、一元二次不等式解集之间关系. 考点突破 考点1 函数单调性考查 【例1】证明函数在上是减函数. 【答案】见“解析” 【解析】设是上的两个任意实数，且，则， ，， 又，，即 函数在上是减函数. 【例2】已知函数是定义在上的减函数，且，求不等式的解集. 【答案】 【解析】，不等式可化为， 又函数是定义在上的减函数， ，解得， 故不等式的解集为. 【突破训练】1、若函数在R上是增函数，对任意实数，若， 证明：＞. 【答案】见“解析” 【解析】证明：，， 又函数在R上是增函数， ， . 2、解不等式. 【答案】 【解析】，函数在定义域上是减函数， 不等式等价于，解得，故原不等式解集为. 考点2 函数奇偶性考查 【例3】已知函数是定义在的奇函数，则___________，___________， ___________. 【答案】；；. 【解析】奇偶函数定义域关于原点对称，由，得； 奇函数在有意义，则； 所以，而， 【例4】已知函数为偶函数，求的值. 【答案】 【解析】由得，的定义域为， 又为偶函数，， 即，解得. 【突破训练】1、已知是定义在的奇函数，则___________. 【答案】 【解析】因为函数是奇函数，所以 再由定义域区间关于原点对称，所以得， 所以. 2、函数是定义在上的奇函数，并且当时，，求当时，的解析式. 【答案】 【解析】设，则，又时 ，即 又是定义在上的奇函数， ，即 即. 考点3 函数周期性考查 【例5】已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，若，则___________. 【答案】 【解析】由得函数周期. 又是奇函数， 【例6】函数对任意满足，成立，且当时，，当时，求的解析式. 【答案】 【解析】设，则， 时， 又，时， 由及可得， 所以函数的周期为2， 当时，， . 【突破训练】1、若定义在上的周期为5的奇函数，且满足，则___________. 【答案】 【解析】周期为5的奇函数 ， . 2、已知定义在上的奇函数满足，则 ____________. 【答案】 【解析】由， ， 函数周期， ， 又是上的奇函数，，故. 考点4 函数性质综合题 【例7】下列函数中，既是偶函数，又在区间上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四个选项都是基本初等函数，结合基本初等函数性质可知B选项正确． 【例8】奇函数在上具有单调递增，若，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】不等式可变形为 又为奇函数，， 又在上增函数，，解得， 故实数的取值范围是. 【突破训练】1、已知定义在上的偶函数在上单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以不等式等价于，解得，故选A. 2、若偶函数在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 不能确定与的大小 【答案】B 【解析】有题意可知，自变量离轴越近，函数值越小，故选B 模拟演练 一、选择题 1.下列函数中在上是增函数的是……………………………………………………（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以增区间为，依题意故选B. 2. 已知函数是上的减函数，若，则有……………………………………（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，并且函数是上的减函数， ，故选C. 3. 已知函数，令，，，则之间的大小关系是…………………………………………………………………………………………………（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】为偶函数且在上是增函数，而， ，故选B. 4. 已知函数是上的奇函数，且周期是3，则………….（ ） A. 18 B. 3 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】因为函数是周期为3的函数，所以，，，又因为是上的奇函数，所以，故选C. 5. 奇函数在区间上是增函数，且有最小值为5，则以下关于函数在上单调性和最值得说法中，正确的是……………………………..…………………………..…（ ） A．增函数且最小值为-5 B．增函数且最大值为-5 C．减函数且最小值为-5 D．减函数且最大值为-5 【答案】B 【解析】结合奇函数的图像关于原点对称，在其对称区间上为增函数，且最大值为-5，故选B. 二、填空题 6. 函数的增区间是_______________； 【答案】 【解析】由于，所以函数图像的对称轴为，又，所以函数图像开口向上的抛物线，因此函数的增区间为. 7. 已知函数满足，则函数的周期是_______________； 【答案】 【解析】由，得，所以的周期. 8. 已知函数，若，则 ______________； 【答案】 【解析】易知，而所以. 9. 已知函数是奇函数，当时，，求时，函数_______________； 【答案】 【解析】设，则，又时 ，即 又是定义在上的奇函数， ，即 即. 10.若二次函数在区间上是增函数，则实数的范围是_______________；若二次函数在区间上是减函数，则实数的范围是_______________. 【答案】； 【解析】由于且二次项系数大于零，所以函数的增区间为可得，若二次函数在区间上是增函数，则，，函数的减区间为可得，若二次函数在区间上是减函数，则， 三、解答题 11. 若函数)是定义在上的周期为的奇函数，当时，，求. 【答案】 【解析】函数是定义上的奇函数 ，又函数是周期为的函数 ， 而时，，， 故. 12. 已知函数在定义域上奇函数，，已求的表达式. 【答案】 【解析】函数在定义域上奇函数，，， 则，又，，解得， 13. 已知定义在上的函数满足，且，求. 【答案】 【解析】由，得， ，即函数的一个周期为4， . 14. 已知函数定义域为，且满足. （1）求函数的表达式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）（2）偶函数 【解析】（1）由可得 ，解得 （2）函数 的定义域为 对于任意的，都有， 又 函数为偶函数. 15.已知奇函数. (1) 试确定的值；(2) 判断的单调性, 并简单说明理由. 【答案】（1）（2）在上增函数 【解析】（1）是定义在上的奇函数， ，则，解得. （2）由（1）可得，函数在上是增函数，理由如下： 任取，且， 则 ， 又，由，， 即， 因此在上是增函数. $$