第4章 三角函数（单元小结）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2023修订版·基础模块上册）

第四章 三角函数 知识点一 任意角的概念 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角称为逆角 零角：如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角 例题1 下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于90°的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 例题2 下列说法正确的是（      ） A．最大的角是180° B．最大的角是360° C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小 例题3 把快了10分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（    ） A． B． C． D． 例题4 将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于 ． 知识点二 象限角 角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限。特殊的，当角的终边落在坐标轴上，把这个角叫做界限角。 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 界限角的表示： 终边在y轴正半轴，； 终边在x轴负半轴， 终边在y轴负半轴， 终边在x轴正半轴， 例题1 给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③小于180°的角是钝角或直角或锐角. 其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上) 例题2若是第四象限角，则一定是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例题3 已知为第二象限角，则是第几象限角？ 例题4 已知为第一象限角，则是第几象限角？ 知识点三 终边相同的角 一般地,与角α终边相同的所有角构成的集合为即，所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和。 例题1 下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ） A．41° B．129° C．219° D．﹣231° 例题2 在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角是（ ） A．330° B．210° C．150° D．30° 例题3 下列与412°角的终边不相同的角是（ ） A．52° B778° C．-308° D．1132° 例题4 出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来． 知识点四 角度制与弧度制的互换 规定，弧长等于半径 的圆弧所对的圆心角称为１弧度的角. 记作“1rad” 读作“1 弧度”。 以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制 . 1、正角的弧度数是正数 2、负角的弧度数是负数 3、零角的弧度数是零 角度制 0° 1° 30° 45° 60° 90° 弧度制 0 角度制 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度制 2 例题1 -300°化为弧度是（ ） A． B． C． D． 例题2 化为角度是 。 例题3 将-315°化为弧度制，正确的是（    ） A． B． C． D． 例题4 将弧度化成角度为（    ） A． B． C． D． 知识点五 扇形的弧长和面积公式 扇形弧长公式 扇形面积公式 例题1 一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ） A．4 B．1 C． D．2 例题2 已知某扇形的半径为4cm，圆心角为2rad，则此扇形的面积为（ ） A．32 B．16 C．8 D．4 例题3 一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 例题4 半径为3的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是（ ） A. B. C. D.270 知识点六 任意角的三角函数 对任意角α，有如下定义： 称为角α的正弦，记作，记作， 称为角α的余弦，记作，记作， 称为角α的正切，记作，记作 我们把以为自变量的函数和分别称为正弦函数和余弦函数； 则，也是以为自变量的函数，叫做正切函数。 正弦函数、余弦函数和正切函数都叫做三角函数。 正弦函数中解析式： ，定义域：R，值域：[-1,1] 余弦函数中解析式：，定义域：R，值域：[-1,1] 正切函数中解析式：，定义域：，值域：R。 例题1 已知角α终边过点P(1，-1)，则tan α的值为（ ） A．1 B．-1 C． D． 例题2 若角终边经过点,则（ ） A. B. C. D. 例题3 若角的终边上有一点，且，则a的值为 ； 例题4已知角的终边上有一点，则 。 知识点七 各象限的三角函数值符号 例题1 若，则在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 例题2 若，则点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题3 给出的下列函数值中符号为正的是（ ） A． B． C． D． 例题4 已知，，则所在得象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 知识点八 同角三角函数基本关系式 变形01、= 02、= 变形01、 02、 例题1 已知是第三象限的角,若,则（ ） A. B. C. D. 例题2 已知，，则等于（ ） A. B. 或 C. 或 D. 例题3 已知点是角终边上的一点，则______，_______. 例题4已知是第一象限角，若，则______________. 知识点九 诱导公式 1、 2、 3、 4、 口诀：奇变偶不变，符号看象限 例题1 已知，那么 ( ) A． B． C． D． 例题2 已知，则（ ）． A． B． C． D． 例题3若，且，则（ ） A． B． C． D． 例题4 已知，则________. 知识点十 正弦函数的图像和性质 五点法作图的五个重要点：、、 、 、 性质1：周期性，最小正周期。 性质2：定义域 R。 性质3：值域 。 性质4：单调性：单调递增区间为，单调递减区间是。 性质5：奇偶性：正弦函数是奇函数。 性质6：对称轴： 。 性质7：最值：当时，函数有最大值1,当时，函数有最小值-1。 性质8：对称中心： 。 例题1 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 例题2 例题1 函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇，又偶函数 例题3 关于正弦函数，下列说法正确的是（    ） A．值域为R B．最小正周期为2π C．在(0，π)上递减 D．在(π，2π)上递增 例题4已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C ． D． 知识点十一 余弦函数的图像和性质 五点法作图的五个重要点：、、 、 、 性质1：周期性，最小正周期。 性质2：定义域 R。 性质3：值域 。 性质4：单调性：单调递增区间为，单调递减区间是 性质5：奇偶性：余弦函数是偶函数。 性质6：对称轴： 。 性质7：最值：当时，函数有最大值1,当时，函数有最小值-1。 性质8：对称中心： 。 例题1 函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题2下列区间中，使得成立的x的取值区间为（ ） A. B. C. D. 例题3 已知函数的图象如图所示，则它的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 例题4 直线与函数的图象的交点个数是（    ） A． B． C． D．无数个 知识点十二 已知三角函数值求角 角度制 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度制 0 0 0 1 -1 0 角度制 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度制 根据计算器求角的步骤： 1、将计算器设置为弧度制 2、根据三角函数值求角 3、将角转化为符合条件的角 可以根据诱导公式将角转化为符合题目范围的角。 例题1 在的范围内，正弦值等于的角为 。 例题2 设，且，则=（ ） A. B. C. D. 例题3 若，，则 . 例题4已知，则x的解集为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数 知识点一 任意角的概念 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角称为逆角 零角：如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角 例题1 下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于90°的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 【答案】A 【解析】锐角是指大于0°小于90°的角，故其在第一象限，即A正确； 选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差360°整数倍，故错误； 选项C．小于90°的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误； 选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误。故选：A 例题2 下列说法正确的是（      ） A．最大的角是180° B．最大的角是360° C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小 【答案】D 【解析】由任意角的定义可得角可以是任意大小，所以ABC错误，D正确，故选：D。 例题3 把快了10分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为周角的六分之一， 所以该手表分针转过的角为：.故选：B. 例题4 将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于 ． 【答案】60° 【解析】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为90°-30°=60°． 知识点二 象限角 角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限。特殊的，当角的终边落在坐标轴上，把这个角叫做界限角。 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 界限角的表示： 终边在y轴正半轴，； 终边在x轴负半轴， 终边在y轴负半轴， 终边在x轴正半轴， 例题1 给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③小于180°的角是钝角或直角或锐角. 其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上) 【答案】② 【解析】①锐角的范围为是第一象限的角，命题①正确； ②第一象限角的范围为，故第一象限角可以为负角，故②错误； ③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误； 例题2若是第四象限角，则一定是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】∵是第四象限角，∴. ∴. ∴在第二象限，故选B. 例题3 已知为第二象限角，则是第几象限角？ 【答案】第一或第三象限角 【解析】∵是第二象限角，∴， ∴ .当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角． 所以第一或第三象限角. 例题4 已知为第一象限角，则是第几象限角？ 【答案】第一象限或第二象限 【解析】用特征值法∵是第一象限角，∴可能是30°或者-300°， 则可能是60°（第一象限）或者-600°（第二象限）。 知识点三 终边相同的角 一般地,与角α终边相同的所有角构成的集合为即，所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和。 例题1 下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ） A．41° B．129° C．219° D．﹣231° 【答案】C 【解析】因为2019°=5×360°+219°，所以219°与2019°角的终边相同，故选C。 例题2 在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角是（ ） A．330° B．210° C．150° D．30° 【答案】B 【解析】因为-510°= -720°+210°，则在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角式210°。故选：B。 例题3 下列与412°角的终边不相同的角是（ ） A．52° B778° C．-308° D．1132° 【答案】B 【解析】因为412°=360°+52°， 所以与412°角的终边相同角为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，故选B。 例题4 出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来． 【答案】；-470°，-110°，250° 【解析】与终边相同的角的集合为． ∵，即， ∴故取 时，β＝4×360°－1910°＝－470°； 时，β＝5×360°－1910°＝－110°； 时，β＝6×360°－1910°＝250°. 知识点四 角度制与弧度制的互换 规定，弧长等于半径 的圆弧所对的圆心角称为１弧度的角. 记作“1rad” 读作“1 弧度”。 以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制 . 1、正角的弧度数是正数 2、负角的弧度数是负数 3、零角的弧度数是零 角度制 0° 1° 30° 45° 60° 90° 弧度制 0 角度制 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度制 2 例题1 -300°化为弧度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】-300°=，故选B。 例题2 化为角度是 。 【答案】420° 【解析】 例题3 将-315°化为弧度制，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】-315°=-315×.故选：C. 例题4 将弧度化成角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选：D 知识点五 扇形的弧长和面积公式 扇形弧长公式 扇形面积公式 例题1 一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ） A．4 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】圆心角为，设扇形的半径为R， ， 解得R=2。故选D。 例题2 已知某扇形的半径为4cm，圆心角为2rad，则此扇形的面积为（ ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【解析】由题意，某扇形的半径为4cm，圆心角为2rad， 根据扇形的面积公式，可得 所以此扇形的面积为.故选：B. 例题3 一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】 【解析】设扇形的所在圆的半径为r，圆心角为， 因为扇形的面积为1，弧长也为1， 可得，即，解得。 例题4 半径为3的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是（ ） A. B. C. D.270 【答案】B 【解析】60°=，扇形面积公式，故选B。 知识点六 任意角的三角函数 对任意角α，有如下定义： 称为角α的正弦，记作，记作， 称为角α的余弦，记作，记作， 称为角α的正切，记作，记作 我们把以为自变量的函数和分别称为正弦函数和余弦函数； 则，也是以为自变量的函数，叫做正切函数。 正弦函数、余弦函数和正切函数都叫做三角函数。 正弦函数中解析式： ，定义域：R，值域：[-1,1] 余弦函数中解析式：，定义域：R，值域：[-1,1] 正切函数中解析式：，定义域：，值域：R。 例题1 已知角α终边过点P(1，-1)，则tan α的值为（ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】B 【解析】∵ 角α终边过点P(1，-1)， ∴ ，故选：B. 例题2 若角终边经过点,则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】, ,故选D. 例题3 若角的终边上有一点，且，则a的值为 ； 【答案】或 【解析】根据三角函数的定义，，，所以根据已知条件，，所以解得：或。 例题4已知角的终边上有一点，则 。 【答案】 【解析】，所以 知识点七 各象限的三角函数值符号 例题1 若，则在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【解析】因为，所以或者，得到是第一象限角或者第三象限角，故选B。 例题2 若，则点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由知： ∴， 所以P位于第三象限,故选：C 例题3 给出的下列函数值中符号为正的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A为正，∵-1000°=-3×360°+80°，∴1000°是第一象限角，∴；B为负，，∴是第三象限角，∴；C为负，∵，是第二象限角，∴；D为负，∵，5弧度是第四象限角，∴。故选：A 例题4 已知，，则所在得象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】因为，所以是第三、四象限，又因为，所以是第二、四象限，综上是第四象限角，故选D。 知识点八 同角三角函数基本关系式 变形01、= 02、= 变形01、 02、 例题1 已知是第三象限的角,若,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,,解方程组得：，选B. 例题2 已知，，则等于（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】∵，， ∴平方可得，即， ∴，， ∵可得：，解得：，或（舍去）， ∴，可得：．故选：A． 例题3 已知点是角终边上的一点，则______，_______. 【答案】-2 4 【解析】根据题意知：，. 例题4已知是第一象限角，若，则______________. 【答案】 【解析】∵，则， ∴解得或者即，又∵为第一象限的角，∴， ，从而. 知识点九 诱导公式 1、 2、 3、 4、 口诀：奇变偶不变，符号看象限 例题1 已知，那么 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由诱导公式得，故选C． 例题2 已知，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴， ．故选D. 例题3若，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，所以，则， 由于，则.故选A 例题4 已知，则________. 【答案】 【解析】因为，所以. 知识点十 正弦函数的图像和性质 五点法作图的五个重要点：、、 、 、 性质1：周期性，最小正周期。 性质2：定义域 R。 性质3：值域 。 性质4：单调性：单调递增区间为，单调递减区间是。 性质5：奇偶性：正弦函数是奇函数。 性质6：对称轴： 。 性质7：最值：当时，函数有最大值1,当时，函数有最小值-1。 性质8：对称中心： 。 例题1 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当取最大值1时，有最小值-1，当取最小值-1时，有最大值3，所以函数的值域为，故选B。 例题2 例题1 函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇，又偶函数 【答案】A 【解析】由题意知，，关于原点对称， 设，则， 所以函数为奇函数.故选：A. 例题3 关于正弦函数，下列说法正确的是（    ） A．值域为R B．最小正周期为2π C．在(0，π)上递减 D．在(π，2π)上递增 【答案】B 【解析】函数的图象如图所示： 函数的定义域为R，值域为，所以A错误； 的最小正周期为2，所以B正确； 在上单调递增，在上单调递减，所C、D错误；故选：B 例题4已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C ． D． 【答案】C 【解析】，所以， 因为在单调递增， 所以，即。故选：C 知识点十一 余弦函数的图像和性质 五点法作图的五个重要点：、、 、 、 性质1：周期性，最小正周期。 性质2：定义域 R。 性质3：值域 。 性质4：单调性：单调递增区间为，单调递减区间是 性质5：奇偶性：余弦函数是偶函数。 性质6：对称轴： 。 性质7：最值：当时，函数有最大值1,当时，函数有最小值-1。 性质8：对称中心： 。 例题1 函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为， 所以的最大值为2， 故选：C． 例题2下列区间中，使得成立的x的取值区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据图像，做出正弦函数和余弦函数在同一区间的图像，观察图像的上下得出结论。 如图所示，时，余弦函数图像在正弦函数图像上方，即，故选A. 例题3 已知函数的图象如图所示，则它的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察图象知，函数在区间上的的单调递减区间是. 故选：A 例题4 直线与函数的图象的交点个数是（    ） A． B． C． D．无数个 【答案】A 【解析】因为，故直线与函数的图象没有公共点，故选：A. 知识点十二 已知三角函数值求角 角度制 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度制 0 0 0 1 -1 0 角度制 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度制 根据计算器求角的步骤： 1、将计算器设置为弧度制 2、根据三角函数值求角 3、将角转化为符合条件的角 可以根据诱导公式将角转化为符合题目范围的角。 例题1 在的范围内，正弦值等于的角为 。 【答案】，或者 【解析】因为，所以是第一、二象限角，又因为，故，或者。 例题2 设，且，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据特殊角的三角函数值， ，且，。故选C。 例题3 若，，则 . 【答案】 【解析】则，又，故. 例题4已知，则x的解集为 ． 【答案】或者 【解析】因为,所以或者 。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$