2025年九年级中考数学一轮复习教材梳理课件：第26讲 图形的相似

第七章　图形的变化 第26讲　图形的相似 图形的相似: 比例线段: 定义：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的 比，即① ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段， 简称② ⁠ 性质：基本性质： ＝ ⇔ad＝③ .当b＝c时，b2＝ad，那么b是a，d 的④ ⁠ 合比性质： ＝ ⇔ ＝ （b，d不为0） a∶b＝c∶d　 比例线段　 bc　 比例中项　 等比性质： ＝ ＝…＝ ＝k（b，d，…，n都不等于0）⇔ ＝k （b＋d＋…＋n≠0） 黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果AC是线 段AB和BC的比例中项，且 ＝ ＝⑤  　 　≈0.618，则点C叫做线段AB 的黄金分割点 平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 ⑥ ⁠ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线 段成比例 ◆温馨提示：求两条线段的比时，对这两条线段要统一长度单位. 　 成比例　 相似多边形: 定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对 应边的比叫做⑦ ，相似比为1的两个多边形全等 性质：1.相似多边形的对应角⑧ ，对应边⑨ ⁠ 2. 相似多边形周长的比等于⑩ ⁠ 3. 相似多边形面积的比等于⑪ ⁠ 相似比　 相等　 成比例　 相似比　 相似比的平方　 相似三角形： 定义：各角对应⑫ ，各边对应⑬ ⁠的两个三角形叫做相似三 角形 判定：1.两角对应⑭ ⁠的两个三角形相似 2. 两边对应⑮ 且夹角⑯ ⁠的两个三角形相似 3. 三边对应⑰ ⁠的两个三角形相似 4. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 ⁠ 相等　 成比例　 相等　 成比例　 相等　 成比例　 性质：1.相似三角形的对应角⑱ ，对应边⑲ 2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ⑳ ⁠ 3. 相似三角形周长的比等于㉑ ⁠ 4. 相似三角形面积的比等于㉒ ⁠ 相似比　 相似比　 相似比的平方　 相等　 成比例　 ◆名师点拨：判断两个三角形是否相似首先看是否存在平行线或能否作出相关的 平行线，再看是否存在两组对应角相等.若只有一对对应角相等，再看夹这个角 的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例. 图形的相似相似三角形 应用: 步骤: 1.将实际问题转化为相似三角形问题 2. 找出一对相似三角形 3. 根据相似三角形的性质，表示出相应的量，并求解 常考类型: 1.利用光的反射定律求物体的高度 2. 利用影子计算建筑物的高度，同一时刻，物高与影长成正比例 3. 构造相似三角形计算不能直接测量的物体的高度或宽度 【随手一练1】（2023·郑州二模）凸透镜成像的原理如图所示，AG∥l∥HC. 若缩小的实像是物体的 ，则物体到焦点F1的距离与焦点F2到凸透镜的中心线 GH的距离之比为（焦点F1和F2关于O点对称）（　A　） A. B. C. 2 D. A 位似变换与位似图形： 定义：如果两个图形不仅是㉓ 图形，而且对应顶点的连线相交于㉔ ⁠ ，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似㉕ ，这时的 相似比又称为㉖ ⁠比 性质：1.两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图 形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于㉗ ⁠ 2. 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上 的对应点的坐标的比等于㉘ ⁠ 相似　 一 点　 中心　 位似　 相似比　 k或－k　 画位似图形的步骤： 1.确定位似㉙ ⁠ 2. 连接图形各顶点与位似中心的线段（或延长线） 3. 按位似比进行取点 4. 顺次连接各点，所得的图形就是所求图形 ◆温馨提示：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，利用位 似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.位似图形所有对应点的连线相交于位 似中心. 中心　 【随手一练2】（2023·重庆模拟）如图所示，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位 似，点O是它们的位似中心，若OA∶OA'＝2∶3，则CD∶C'D'的值为（　B　） A. 1∶2 B. 2∶3 C. 2∶5 D. 4∶9 B 1　平行线分线段成比例 　　应用平行线分线段成比例解决问题的方法： （1）若已知条件中有平行，求两条线段的比时，常考虑应用平行线分线段 成比例求解； 　　（2）应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边. 【例1】（2024·菏泽三模）如图所示，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8， DE＝3，则DF的长是（　C　） A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 12 【变式训练1】（2023·北京中考）如图所示，直线AD，BC交于点O， AB∥EF∥CD. 若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值为  　 　. C 　 2　相似三角形的判定及性质 　　1. 常见的相似三角形的基本类型有以下几类： 　　2.判定三角形相似常按以下思路进行： 判定三角形相似的思路 有平行截线——用平行线的性质，找等角 有一对等角，找另一对等角、这个角的两边对应成比例 有两边对应成比例，找夹角相等、第三边也对应成比例、有一对直角 直角三角形，找一对锐角相等斜边、直角边对应成比例 等腰三角形，找顶角相等、一对底角相等、底和腰对应成比例 　　3. 对于利用相似三角形性质的计算问题，通常利用相似三角形的性质通过比 值或比例关系式求解. 【例2】（2024·泰安中考）如图所示，AB是☉O的直径，AH是☉O的切线，点 C为☉O上任意一点，点D为 的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH 相交于点F. 若DF＝1，tan B＝ ，则AE的长为 　 　. 　 【变式训练2】（2023·辽宁中考）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB 于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为 ⁠. 　 3　平面直角坐标系中的位似变换 　　在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一 个数k（k≠0，1），所 对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k. 　　以坐标原点为位似中心的位似变换，若没有限定方向或象限，则通常有两种 情况，相应地，对应点的坐标也有两种情况. 【例3】 几何直观（2024·浙江中考）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC与 △A'B'C'是位似图形，位似中心为点O. 若点A（－3，1）的对应点为A'（－ 6，2），则点B（－2，4）的对应点B'的坐标为（　A　） A. （－4，8） B. （8，－4） C. （－8，4） D. （4，－8） 例3图 A 【变式训练3】（2024·枣庄市中区三模）如图所示，已知矩形OABC与矩形 ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为 （－1，2），则点P的坐标为 ⁠. 变式训练3图 （－2，0）　 相似的性质与判定 1. （2023·东营中考，7，3分）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，E分别 在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为 （　C　） A. 1.8 B. 2.4 C. 3 D. 3.2 第1题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. （2023·威海中考，9，3分）如图所示，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按 如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使 CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF. 若矩形HEFG与原矩形 ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　C　） A. －1 B. －1 C. ＋1 D. ＋1 第2题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 推理能力（2024·威海中考，9，3分）如图所示，在▱ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交 AC于点G. 下列结论错误的是（　D　） A. 若 ＝ ，则EF∥BD B. 若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD C. 若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC D. 若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD 第3题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 结论开放（2024·滨州中考，13，3分）如图所示，在△ABC中，点D，E分 别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以 是 .（写出一种情况即可） 第4题图 ∠ADE＝∠C（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. （2024·济宁中考，15，3分）如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ 90°，AD是△ABC的角平分线. （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F. （2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G. （3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H. （4）画射线AH. （5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M. （6）连接MC，MB. MB分别交AC，AD于点N，P. 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 .（只填序号） ①②⑤　 ①BD＝CD；②∠ABM＝15°；③∠APN＝∠ANP；④ ＝ ；⑤MC2＝ MN·MB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 推理能力如图所示，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE ＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作 EH⊥BD，垂足为点H，交BC于点G. （1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数. 解：（1）∵△ABC，△CDE均是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°， ∴∠CFE＝180°－∠ACB－∠CED＝90°. ∵CE＝CD，∴EF＝DF＝ DE. ∵BH＝DH，EH⊥BD，∴BE＝DE，∴EF＝ BE， ∴ cos ∠BED＝ ＝ ，∴∠BED＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）求证：△EFG∽△BFD. （2）证明：由（1）得∠CFE＝90°，∴CF⊥DE， ∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°. ∵∠BGH＝∠EGF，∴∠DBF＝∠FEG， ∴△EFG∽△BFD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：（3）证明：如图所示，作BQ∥AC，交EH的延长线于点Q， ∴△BGQ∽△CGE，∴ ＝ ，∠Q＝∠CEH， ∠QBE＝∠AEB，∴ ＝ . 设∠FEG＝∠DBF＝α，由（1）知BC是DE的垂直平分线，∴BE＝BD， ∴∠EBF＝∠DBF，∴∠AEB＝∠ACB＋∠EBF＝45°＋α，∠CEH＝ ∠CED＋∠FEG＝45°＋α，∴∠AEB＝∠CEH，∴∠Q＝∠QBE， ∴BE＝EQ，∴ ＝ . 解：（3）求证： ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 位似图形　　　　 7. （2021·东营中考，9，3分）如图所示，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的 上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位 似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则 点B的对应点B'的横坐标是（　A　） A. －2a＋3 B. －2a＋1 C. －2a＋2 D. －2a－2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. （2023·烟台中考，10，3分）如图所示，在平面直角坐标系中，每个网格小正 方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形 PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 PA1A2A3的顶点坐标分别为P（－3，0），A1（－2，1），A2（－1，0），A3 （－2，－1），则顶点A100的坐标为（　A　） A. （31，34） B. （31，－34） C. （32，35） D. （32，0） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. （2022·潍坊中考，15，3分）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之 方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图所示，正方形ABCD的面积为4，以它的 对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'∶AB＝2∶1，则四 边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ⁠. 4 π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$