2025年九年级中考数学一轮复习教材梳理课件：第8讲一元一次不等式（组）及应用

第二章　方程（组）与不等式（组） 第8讲　一元一次不等式（组）及应用 一元一次不等式(组)及应用： 不等式的有关概念： 不等式：用符号“＜”或“＞”或“≤”或“≥”表示大小关系的式子 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，组成这个不等式 的解集 解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式 不等式的基本性质： 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向① ⁠，若a＞b，则a±c＞b±c 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向② ⁠， 若a＞b，c＞0，则ac＞bc或 ＞ 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向③ ⁠， 若a＞b，c＜0，则ac＜bc或 ＜ 一元一次不等式 定义：只含有④ 未知数，且未知数的次数是1且系数不等于0的不等式 基本步骤：去分母、⑤ 、移项、⑥ 、系数化为1 不变　 不变　 改变　 一个　 去括号　 合并同类项　 解集在数轴上的表示： 解集 在数轴上的表示 x＜a ⑦ ⁠ x≤a ⑧ ⁠ x＞a　 x≥a　 一元一次不等式组： 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次 不等式组 解集的确定方法： 不等式组 在数轴上表示解集 解集 口诀 x＞a，x＞b（a＜b） ⑨ ⁠ 同大取大 x＜a，x＜b（a＜b） ⑩ ⁠ 同小取小 x＞b　 x＜a　 解集的确定方法： 不等式组 在数轴上表示解集 解集 口诀 x＞a，x＜b （a＜b） ⑪ ⁠ ⁠ 大小小大中间找 x＜a，x＞b （a＜b） ⑫ ⁠ 大大小小找不到 a＜x ＜b　 无解　 一元一次不等式(组)及应用： 一元一次不等式组： ◆名师点拨：1.解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，若不等式 两边同时乘（或除以）一个负数，要改变不等号的方向. 2. 解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等 式的公共部分.解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相 减，否则可能出现错误. 3. 在把两个不等式的解集表示在数轴上时，要特别注意是“点”还是“圈”，方 向是“向左”还是“向右”. 【随手一练1】（2023·石家庄二模）课堂上，老师给出了这样一道题目："求关 于x的一元一次不等式组 的解集，并在数轴上表示出解 集.“甲计算完之后，说：”老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴 上表示.“乙看了看甲的计算过程，说：”你把第2个式子抄错了，是数字3，不 是你这个."通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（　D　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 D 一元一次不等式(组)及应用： 1. 列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如 “至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多” 等.这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号 2. 列不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）找 出能够包含未知数的不等关系；（4）列出不等式（组）；（5）求出不等式 （组）的解；（6）检验解是否符合实际情况；（7）写出答案（包括单位名称） 【随手一练2】如图所示，用40 m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形 ABCD菜园，若6 m≤AB≤10 m，则BC的取值范围为 ⁠. 20 m≤BC≤28 m　 1　一元一次不等式（组）的解法 　　解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤一样，有五步，注意系数化为1 时，若系数是负数，不等号的方向一定要改变. 解一元一次不等式组的步骤：解各个不等式；写出不等式组的解集（利用数 轴或口诀确定不等式组的解集）. 【例1】（2024·聊城东昌府区三模）解不等式组：2x＋5≥3（x＋1）①， ＞ ②，并将其解集表示在如图所示的数轴上. 【自主解答】 解：解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞－3， 则不等式组的解集为－3＜x≤2. 将解集表示在数轴上如图所示. 【变式训练1】（2023·宜昌中考）解不等式 ＞x－1，下列在数轴上表示的解 集正确的是（　D　） D 【变式训练2】 运算能力（2024·扬州中考）解不等式组2x－6≤0， x＜ ，并求出它的所有整数解的和. 解：解不等式2x－6≤0，得x≤3， 解不等式x＜ ，得x＞ ， 则不等式组的解集为 ＜x≤3， 所以整数解为1，2，3，整数解的和为6. 2　根据不等式（组）的解集情况求　字母的取值（范围） 　　解答此类题需要灵活求解不等式（组），能根据不等式（组）解的情况将不 等式（组）的解集在数轴上表示出来，借助数轴的直观性确定字母或字母所在代 数式的取值范围，注意空心圆圈与实心圆点的区别. 【例2】（2024·黑龙江中考）关于x的不等式组4－2x≥0， x－a＞0恰有3个整数解，则a的取值范围是 　－ ≤a＜0　. － ≤a＜0　 【变式训练3】 推理能力（2024·济南模拟）已知关于x的不等式组5－3x≥－1， a－x＜0无解，则a的取值范围是（　D　） A. a＜2 B. a≤2 C. a＞2 D. a≥2 D 【变式训练4】（2023·聊城中考）若不等式组 ≥ ，2x－m≥x的解集为 x≥m，则m的取值范围是 ⁠. m≥－1　 3　一元一次不等式（组）的应用 　　用不等式（组）解应用题需注意的三点： （1）设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”等不能出现，应给出肯 定的未知数的设法. （2）依据题中的不等关系和所设未知数列一元一次不等式（组）. （3）在最后写答时，应把原问题中表示不等关系的文字补上. 【例3】 模型观念（2024·东营模拟）为拓宽学生视野，某校组织师生开展研学活 动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客 车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车，它们的载客量 和租金如下表所示： 车型 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 60 租金/（元/辆） 250 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？ （2）若该校计划租用甲、乙两种客车共12辆，且每人都有座位，则有哪几种租 车方案？请你帮助计算本次研学应该怎样租车才最合算，最少租金是多少？ 【自主解答】 解：（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆， 依题意得45y＋15＝x，60（y－3）＝x，解得x＝600，y＝13. 答：参加此次研学活动的师生有600人. （2）设租用45座客车a辆，则租用60座客车（12－a）辆. ∵要使每位师生都有座位，∴45a＋60（12－a）≥600，12－a≥0，a≥0， 解得0≤a≤8.又∵a是整数，∴a的值为0，1，2，3，4，5，6，7，8， ∴12－a的值为12，11，10，9，8， 7，6，5，4，∴共有9种租车方案：租用12辆60座客车， 租用1辆45座客车，11辆60座客车， 租用2辆45座客车，10辆60座客车， 租用3辆45座客车，9辆60座客车， 租用4辆45座客车，8辆60座客车， 租用5辆45座客车，7辆60座客车， 租用6辆45座客车，6辆60座客车， 租用7辆45座客车，5辆60座客车， 租用8辆45座客车，4辆60座客车. 设租金为w元，则w＝250a＋300（12－a）＝－50a＋3 600. ∵－50＜0，∴w随着a的增大而减小，∴当a＝8时，w最小，为－50×8＋ 3 600＝3 200（元），∴租用8辆45座客车，4辆60座客车较合算，最少租金是3 200元. 【变式训练5】（2024·威海环翠区模拟）春到人间，绿化争先.为增强师生的环 境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色 理想”为主题的植树活动，决定用不超过4 200元购买甲、乙两种树苗共100颗， 已知甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至少可以购买乙种树苗（　B　） A. 42颗 B. 43颗 C. 57颗 D. 58颗 B 【变式训练6】 应用意识 （2024·泸州中考）某商场购进A，B两种商品，已知购 进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为 620元. （1）求A，B两种商品的进价各为多少元/件. 解：（1）设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件， 根据题意，得3x－4y＝60，5x＋2y＝620，解得x＝100，y＝60. 答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件. （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A 商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足 销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数 最多为多少？ 解：（2）设购进m件A商品，则购进（60－m）件B商品， 根据题意，得60－m≥2m，（150－100）m＋（80－60）（60－m）≥1 770， 解得19≤m≤20，∴m的最大值为20. 答：购进A商品的件数最多为20件. 　　一元一次不等式（组）的解法 1. （2023·烟台中考，5，3分）不等式组3m－2≥1， 2－m＞3的解集在同一条数轴上表示正确的是（　A　） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. （2024·滨州中考，5，3分）若点P（1－2a，a）在第二象限，那么a的取值 范围是（　A　） A. a＞ B. a＜ C. 0＜a＜ D. 0≤a＜ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. （2022·济宁中考，8，3分）若关于x的不等式组x－a＞0， 7－2x＞5仅有3个整数解，则a的取值范围是（　D　） A. －4≤a＜－2 B. －3＜a≤－2 C. －3≤a≤－2 D. －3≤a＜－2 4. 结论开放（2024·山东中考，12，3分）写出满足不等式组x＋2≥1， 2x－1＜5的一个整数解： ⁠. D  　－1（答案不唯一）　 解： 5. 结论开放（2024·烟台中考，12，3分）关于x的不等式m－ ≤1－x有正数 解，m的值可以是 （写出一个即可）. 0（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. （2023·临沂中考，17（1），6分）解不等式5－2x＜ ，并在数轴上表 示解集. 解：去分母，得2（5－2x）＜1－x.去括号，得10－4x＜1－x. 移项，得－4x＋x＜1－10.合并同类项，得－3x＜－9. 系数化为1，得x＞3. 该不等式的解集在数轴上表示如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. （2022·济南中考，20，6分）解不等式组： ＜ ①，2x－5≤3（x－2） ②，并写出它的所有整数解. 解：解不等式①，得x＜3. 解不等式②，得x≥1. ∴原不等式组的解集为1≤x＜3， ∴整数解为1，2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　　　一元一次不等式（组）的应用 8. 模型观念（2023·聊城中考，21，8分）今年五一小长假期间，我市迎来了一 个短期旅游高峰.某热门景点的门票价格规定见下表： 票的种类 A B C 购票人数/人 1～50 51～100 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）.在打算购买门 票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （1）求两个旅游团各有多少人. 解：（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 根据题意，得x＋y＝102， 45x＋50y－40×102＝730， 解得x＝58，y＝44. 答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比 购买A种门票节省？ 解：（2）设游客人数为m人，根据题意，得50m＞45×51， 解得m＞45.9. 又∵m为正整数，∴m的最小值为46. 答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. （2020·菏泽中考，21，8分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校 为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买 跳绳和毽子作为活动器材.已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和 3个毽子共需36元. （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元. 解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元， 依题意，得2x＋5y＝32，4x＋3y＝36，解得x＝6，y＝4. 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元， 若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案. 解：（2）设购买m根跳绳，则购买（54－m）个毽子， 依题意，得6m＋4（54－m）≤260，m＞20，解得20＜m≤22. 又∵m为正整数，∴m可以为21，22. ∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子； 方案2：购买22根跳绳，32个毽子. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$