2.2 一元二次方程的解法及其应用-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 2　 一元二次方程的解法及其应用 考向 1　 解一元二次方程(在二次函数解题过程 涉及考查) 1. (2024 西安名校模拟)一元二次方程 x2 -2x-5 = 0 用配方法解可变形为 (　 　 　 ) A. (x+1) 2 = 6　 　 　 B. (x+2) 2 = 9 C. (x-1) 2 = 6 D. (x-2) 2 = 9 2. (2024 西安名校模拟)若关于 x 的一元二次方程 x2 -bx+3 = 0 有一个根是 3,则 b 的值是 (　 　 　 ) A. 1　 　 　 B. 2　 　 　 C. 3　 　 　 D. 4 3. (变式组合练)用适当的方法解下列方程. (1)x2 +2x+1 = 2 解:(x+1) 2 =2, x+1= 2或 x+1=- 2 , x1 = 2 -1,x2 =- 2 -1. (2)x2 -2x= 3 解:x2-2x+1=3+1, (x-1) 2 =4, x-1=2 或 x-1=-2, 解得 x1 =3,x2 =-1. (3)2x2 -3x-4 = 0. 解:∵ a=2,b=-3,c=-4, ∴ b2-4ac=9+32=41>0, ∴ x= -b± 　 b2-4ac 2a =3± 　 41 4 , ∴ x1 = 3+ 　 41 4 ,x2 = 3- 　 41 4 . (4)x(x-2)= 3(2-x) . 解:x(x-2)+3(x-2)= 0, (x+3)(x-2)= 0, x1 =-3,x2 =2. 考向 2　 一元二次方程根的判别式 4. (2024 兰州)关于 x 的一元二次方程 9x2 -6x+c = 0 有两个相等的实数根,则 c= (　 　 　 ) A. -9 B. 4 C. -1 D. 1 5. (2024 自贡)关于 x 的方程 x2 +mx-2 = 0 根的情 况是 (　 　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 变式 5-1 (2024 吉林)下列方程中,有两个相等实 数根的是 (　 　 　 ) A. (x-2) 2 = -1　 　 B. (x-2) 2 = 0 C. (x-2) 2 = 1 D. (x-2) 2 = 2 变式 5-2 (2024 黑龙江)关于 x 的一元二次方程 (m-2)x2 +4x+2 = 0 有两个实数根,则 m 的取 值范围是 (　 　 　 ) A. m≤4 B. m≥4 C. m≥-4 且 m≠2 D. m≤4 且 m≠2 变式 5-3 (2024 铁一中九上开学考)若实数 b,c 满足 c-b+2 = 0,则关于 x 的方程 x2 +bx+c = 0 根的 情况是 (　 　 　 ) A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 分层作业本·陕西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 考向 3　 一元二次方程根与系数的关系 6. (2024 乐山改编)已知一元二次方程 x2 +2x- 2 3 = 0 的两个根为 m,n,计算下列代数式的值: (1)m+n= 　 -2　 ;mn= 　 　 　 　 ; (2)m2 +3m+n= 　 　 　 　 ; (3) 1 m + 1 n = 　 3　 ;m2 +n2 = 　 　 　 　 . 7. 已知 m2 -4m+3 = 0,n2 -4n+3 = 0,则 mn-(m+n) = 　 -1　 . 8. (2024 绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道 一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常 数项,因而得到方程的两个根是 6 和 1;小冬在 化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方 程的两个根是-2 和-5. 则原来的方程是 (　 　 　 ) A. x2 +6x+5 = 0 B. x2 -7x+10 = 0 C. x2 -5x+2 = 0 D. x2 -6x-10 = 0 考向 4　 一元二次方程的实际应用 9. (2024 内江)某市 2021 年底森林覆盖率为 64%, 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展 理念,该市大力发展植树造林活动,2023 年底 森林覆盖率已达到 69%. 如果这两年森林覆盖 率的年平均增长率为 x,则符合题意得方程是 (　 　 　 ) A. 0. 64(1+x)= 0. 69 B. 0. 64(1+x) 2 = 0. 69 C. 0. 64(1+2x)= 0. 69 D. 0. 64(1+2x) 2 = 0. 69 10. (2024 铁一中八模)如图,在长为 28 米,宽为 10 米的矩形空地上修建如图所示的道路(图中 的阴影部分),余下部分铺设草坪,要使得草 坪的面积为 243 平方米,请列出关于 x 的方 程,并化为一般式 　 x2-38x+37=0　 . 第 10 题图 11. (2024 西工大附中八模)某旅行社为吸引顾客组 团去某风景区旅游,推出了如下收费标准(如 图所示): 第 11 题图 某单位组织员工去该风景区旅游,共支付给 该旅行社旅游费用 27000 元,请问该单位这 次共有多少名员工去该风景区旅游? 解:设该单位这次共有 x 名员工去风景区旅游. ∵27000÷1000=27,27>25, ∴ x>25; 根据题意,列方程 x[1000-20(x-25)] =27000, 整理得:x2-75x+1350=0, 解得:x1 =30,x2 =45, 当 x1 = 30 时,人均旅游费用:1000-20(30 -25) = 900(元),符合题意 当 x2 = 45 时,人均旅游费用:1000 -20(45-25) = 600(元), ∵600<700, ∴ x2 =45 不合题意,舍去. 答:该单位这次共有 30 名员工去风景区旅游. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 x= 16, ∴ 15×(16+1) = 15×17 = 255(m) . 答:这列火车长 255 米. 20. C　 21. B 22.解:(1)李叔叔付车费为 1. 8×12+0. 45×18 = 21. 6+8. 1 = 29. 7(元), 29. 7<30, ∴ 够付车费; (2)设王老师上班用时约 x 分钟, 根据题意得,1. 8×8+0. 45x= 21. 6, 解得 x= 16, 答:王老师上班用时约 16 分钟. 23.解:设用 x 张制盒身,则(36-x)张制盒底, 根据题意,得到方程:2×25x= 40(36-x), 解得:x= 16, 36-x= 36-16 = 20. 答:用 16 张制盒身,20 张制盒底,可使盒身与盒底正好 配套. 24.解:设小兰配置的溶液质量有 x 克,则小明配置的溶液质 量有(x+7)克,根据题意得, 25%x+20%(x+7)= 22%(x+x+7), 解得 x= 14, 14+7 = 21(克), 答:小兰配置的溶液质量有 14 克,则小明配置的溶液质 量有 21 克. 命题点 2　 一元二次方程的解法及其应用 1. C　 2. D 3. (1)解:(x+1) 2 = 2, x+1 = 2或 x+1 = - 2 , x1 = 2 -1,x2 = - 2 -1. (2)解:x2 -2x+1 = 3+1 (x-1) 2 = 4 x-1 = 2 或 x-1 = -2 解得 x1 = 3,x2 = -1 (3)解:∵ a= 2,b= -3,c= -4, ∴ b2 -4ac= 9+32 = 41>0, ∴ x= -b± 　 b2 -4ac 2a = 3± 　 41 4 , ∴ x1 = 3+ 　 41 4 ,x2 = 3- 　 41 4 . (4)解:x(x-2) +3(x-2)= 0, (x+3)(x-2)= 0, x1 = -3,x2 = 2. 4. D　 5. A 变式 5-1　 B　 变式 5-2　 D　 变式 5-3　 B 6. (1) -2,- 2 3 ;(2) - 4 3 ;(3)3;(4) 16 3 7. -1　 8. B　 9. B　 10. x2 -38x+37 = 0 11.解:设该单位这次共有 x 名员工去风景区旅游. ∵ 27000÷1000 = 27,27>25, ∴ x>25; 根据题意,列方程 x[1000-20(x-25)] = 27000, 整理得:x2 -75x+1350 = 0, 解得:x1 = 30,x2 = 45, 当 x1 = 30 时,人均旅游费用:1000 - 20 ( 30 - 25) = 900 (元),符合题意; 当 x2 = 45 时,人均旅游费用:1000 - 20 ( 45 - 25) = 600 (元), ∵ 600<700, ∴ x2 = 45 不合题意舍去. 答:该单位这次共有 30 名员工去风景区旅游. 命题点 3　 分式方程的解法及应用 1. A　 2. D　 3. x= -3 4. (1)解:原方程去分母得:3(2x+1) +x(2x+1)= 2x2 , 去括号得:6x+3+2x2 +x= 2x2 , 移项,合并同类项得:7x= -3, 整理得:7x+3 = 0, 解得:x= - 3 7 , 检验:当 x= - 3 7 时,x(2x+1)≠0, 故原方程的解为 x= - 3 7 . (2)解:去分母得:2+x(x+1)= x2 -1, 去括号得:2+x2 +x= x2 -1, 移项,合并同类项,系数化为 1:x= -3, 检验:当 x= -3 时,x2 -1≠0, ∴ x= -3 是原分式方程的解. (3)解:去分母得 3(x-2) +(x+2)(x-2)= x(x+2) . 去括号得:3x-6+x2 -4 = x2 +2x, 解得:x= 10. 检验:当 x= 10 时,(x+2)(x-2)= 96≠0, 故原方程的解为 x= 10. (4)解:去分母得:4-x2 = -x2 +2x, 解得:x= 2, 检验:当 x= 2 时,2-x= 0,x2 -2x= 0, ∴ 原方程无解. (5)解:去分母得:(x+3) 2 = (x-2)(x+3) -2(x-2), 去括号得:6x+9 = -x-2, 移项,系数化为 1 得:x= - 11 7 , 检验:当 x= - 11 7 时,(x-2)(x+3)≠0, 故原分式方程方程的解为 x= - 11 7 . (6)解:去分母得:(2x-1)(1-x)= 5-2x(1+x), 去括号得:2x-2x2 -1+x= 5-2x-2x2 , 移项得:2x-2x2 +x+2x+2x2 = 5+1, 合并同类项得:5x= 6, 系数化为 1 得:x= 6 5 , 检验:当 x= 6 5 时,(1+x)(1-x)≠0, 故原分式方程的解是 x= 6 5 . 5. C 6. A　 【解析】 1 x - m x+1 = 0,x+1-mx = 0,x-mx = -1,(1-m) x = -1,x= 1 m-1 ,∵ 关于 x 的分式方程 1 x - m x+1 = 0 的解是负 数,∴ m-1<0 且 m-1≠-1,解得:m<1 且 m≠0,故选:A. 7. 2 或-1　 【解析】方程去分母得:3-(kx-1) = x-2 解得:x = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4