检测10 三角函数（能力卷）- 2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测10 指数函数与对数函数（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024高三·全国·专题练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 3．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东威海·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·云南昆明·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数，若有两个零点，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·河北邯郸·阶段练习）下列选项正确的是（    ） A．函数的值域为 B．函数的周期为 C．若，则， D．若函数的值域为，则实数a的取值范围是. 10．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 11．（2024·山东济宁·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则 B．若，则函数在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 D．若函数在上恰有一个零点，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·宁夏银川·期末） ． 13．（23-24高一上·天津·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，则的最小值为 ． 14．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 16. (15分) （24-25高一上·天津东丽·阶段练习）已知 (1)化简 (2)若，求的值； (3)若为第三象限角，且，求的值. 17. (15分) （24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间. 18. (17分) （23-24高一下·河北承德·期末）已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 19. (17分) （23-24高一下·广东广州·期末）已知函数的定义域为，且，． (1)若，求A与； (2)证明：函数是偶函数； (3)证明函数是周期函数； (4)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A A C A B AD ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】写出两条边界所表示的角，数形结合得到角的取值范围. 【详解】阴影部分的两条边界分别是，角的终边， 所以的取值范围是. 故选：D 2．D 【分析】根据指数运算的性质，结合三角函数的定义、同角三角函数的商关系进行求解即可. 【详解】对于函数（且），当时，，即， 因为点A在角θ的终边上， 所以， 于是， 故选：D 3．B 【分析】利用诱导公式及三角函数定义计算即得. 【详解】依题意，，， 即，由三角函数的定义得，则. 故选：B 4．A 【分析】利用函数有意义可得，再结合正切函数及性质求解即得. 【详解】函数有意义，则，于是， 即，因此， 所以原函数的定义域为. 故选：A 5．A 【分析】根据诱导公式和余弦二倍角公式得到，化弦为切，代入求值即可. 【详解】， 故 . 故选：A 6．C 【分析】根据变换规则得出函数的解析式，再求出单调区间的表达式对选项逐一判断可得结果. 【详解】依题意可得， 若单调递减，则， 解得； 观察选项可知，只需写出在上的单调递减区间即可， 易知当时，单调递减区间为，只有， 可得为函数单调递减区间. 故选：C 7．A 【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示. 【详解】，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为. 8．B 【分析】根据结合两角和差的余弦公式化简，进而可求出，再根据二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】， 令，则， 所以或， 所以或， 所以或， 又因为，所以， 所以 . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据得出，是解决本题的关键. 9．AD 【分析】由同角的三角函数关系结合二次函数和正弦函数的值域可得A正确；由周期公式可得B错误；由同角的三角函数关系可得C错误；由对数的真数包含所有真数再分类讨论可得D正确； 【详解】对A，， 令，则，对称轴，开口向下， 所以，，所以值域为，故A正确； 对B，由周期公式可得，故B错误； 对C，， 因为，所以， 所以， 所以，故C错误； 对D，若函数的值域为R，则函数的值域包含所有正数， 当时满足题意， 当时，有，解得， 综上可知，实数a的取值范围是，故D正确. 故选：AD. 10．ACD 【分析】A选项运用图形可判断；B选项可用三角函数定义判断；C选项可判断；D选项可知道,再利用中点坐标公式可判断. 【详解】，，A正确； 由题意，为的中点 则， 所以点的坐标为，故B错误; 由，可得，故C正确; 由于， 利用三角函数的定义，则; 所以，故D正确; 故选:ACD. 11．ACD 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的值域可判断B选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，若和为函数图象的两条相邻的对称轴， 则函数的最小正周期为，则， 所以，，此时，，合乎题意，A对； 对于B选项，若，则， 当时，则，所以，， 故当时，则函数在上的值域为，B错； 对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则为奇函数， 所以，，解得， 因为，当时，取最小值，C对； 对于D选项，因为，当时，， 因为函数在上恰有一个零点，则，解得，D对. 故选：ACD. 12． 【分析】由题意可得是以为周期的周期函数，由周期函数的性质求解即可. 【详解】， ，……， 所以是以为周期的周期函数，所以， 所以 . 故答案为： 13． 【分析】由指数函数的性质，确定定点坐标，再代入三角函数，可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】函数（且）横过定点， 由题意可知，，即，， 则， 当时，即，得，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14． 【分析】由已知，利用同角间的关系和平方运算，求出，，进而求出的值. 【详解】， ， ，结合，知， ， 所以， 则解得，， . 故答案为：. 15．（1）；（2）扇形半径，扇形圆心角为，扇形面积最大值. 【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧所对的圆心角，再求出扇形面积及三角形面积即得. （2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得. 【详解】（1）如图，在圆中，弦，则是正三角形，，边上的高为， 因此，而扇形面积为， 所以弦和劣弧所组成的弓形的面积是.    （2）设扇形的半径为，则扇形弧长， 扇形面积，当且仅当时取等号， 所以扇形半径，扇形的圆心角为时，扇形面积取得最大值. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，从而得解； （2）利用（1）中结论，直接代入，结合三角函数的诱导公式即可得解； （3）根据题意，利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，从而得解. 【详解】（1） . （2）因为， 所以. （3）因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 17．(1)， (2)， 【分析】（1）根据代入求出，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得； （2）由正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得， 所以 ， 即，所以的最小正周期； （2）由，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 当时的单调递增区间为， 当时的单调递增区间为， 所以在上的单调递增区间为，. 18．(1)； (2)； 【分析】(1)根据的最小值求解出； (2)首先根据方程与函数的零点问题求解得或，然后结合三角函数的图像和性质求解出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可得的最小正周期，则． 又，所以． 因为的图象经过点，所以． 所以，即 又，所以． 故. （2）令，即， 解得或． 因为，所以， 所以． 因为在上有3个零点，所以方程在上有2个不同的实根， 在上有1个实根或在上有1个实根， ，在上有2个不同的实根， 则 解得或． 故的取值范围为． 19．(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)证明见解析 【分析】（1） 根据函数值计算求出余弦函数的参数值； （2）应用偶函数定义证明； （3） 应用周期定义证明； （4）赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式. 【详解】（1）因为，      ① 令，可得，，     因为，所以， 由，得．         由，得， 解得． 因为，所以，     所以，则     ， 所以．         解法二：因为，所以 ．         ． 因为，所以， 解得，或． 当时，，与已知矛盾，所以， 由，且，得   所以． （2）由（1）得，，     ①中，令可得，， 即，所以函数为偶函数； （3）令得，，     即有， 从而可知，，     故， 即．         所以函数是一个周期为的周期函数． （4）由（1）得，， 在中， 令，可得， 因为，所以， 所以，又因为在上是减函数， 所以在上有且仅有一个零点． 中，令，得． 所以在区间上有且仅有一个零点．     又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点． ， 所以在内的零点为和．         ，，． 因此，对任意，在上有且仅有两个零点： ，．     在上有4048个零点： ，，，，，，， 其中，． 【点睛】方法点睛：赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测10 指数函数与对数函数（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024高三·全国·专题练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 3．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东威海·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·云南昆明·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数，若有两个零点，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·河北邯郸·阶段练习）下列选项正确的是（    ） A．函数的值域为 B．函数的周期为 C．若，则， D．若函数的值域为，则实数a的取值范围是. 10．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 11．（2024·山东济宁·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则 B．若，则函数在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 D．若函数在上恰有一个零点，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·宁夏银川·期末） ． 13．（23-24高一上·天津·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，则的最小值为 ． 14．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 16. (15分) （24-25高一上·天津东丽·阶段练习）已知 (1)化简 (2)若，求的值； (3)若为第三象限角，且，求的值. 17. (15分) （24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间. 18. (17分) （23-24高一下·河北承德·期末）已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 19. (17分) （23-24高一下·广东广州·期末）已知函数的定义域为，且，． (1)若，求A与； (2)证明：函数是偶函数； (3)证明函数是周期函数； (4)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且． 学科网（北京）股份有限公司 $$